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Dipl.-Math. Eric Meyer1

Wachstum und EntwicklungBausteine zur Wachstumstheorie

Dipl.-Math. Eric MeyerInstitut für Genossenschaftswesenim Centrum für Angewandte WirtschaftsforschungUniversität Münster


Bausteine zur Wachstumstheorie

Angebotsseitige Faktoren Nachfrageseitige Faktoren

• Produktionsfunktion• Technischer Fortschritt• Investitionsverhalten• Humankapital-investitionen

• Nutzenfunktion• Konsum-/Sparverhalten• Arbeits-/Freizeit-entscheidung

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Produktionsfunktionen

Charakterisierung durch:• SubstitutionselastizitätWie leicht lässt sich ein Produktionsfaktor durch denanderen substituieren bzw.Wie „krumm“ ist die Isoquante?

• SkalenelastizitätWie weit liegen die Isoquanten auseinander?

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Substitutionselastizität

Messung von Substitution bei einer gegebenen ProduktionsfunktionF=F(K,L) durch die Grenzrate der Substitution:

K

L

FF

KFLF

dLdK

−=

∂∂∂∂

−=

0

L

K

Y1Y2

Y3

L1

L2

K1 K2


Substitutionselastizität

dLdKvonÄnderungrelativeLKvonÄnderungrelative

=σ

Definition: Substitutionselastizität Wie ändert sich das Faktoreinsatzverhältnis bei der Änderung derGrenzrate der Substitution?

LK

dLdKd

dLdK

LKd

dLdKdLdKd

:

LKLKd

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=σ

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SubstitutionselastizitätBeispiel σ=0

Linear limitationale Funktionen

L

K


SubstitutionselastizitätBeispiel 0<σ<1

Substitution in beschränktem Maße möglich, aber nichtüber ein Minimalniveau hinaus

Lmin

Kmin

L

K

5


SubstitutionselastizitätBeispiel σ=1

Substitution möglich

L

K


SubstitutionselastizitätBeispiel σ>1

Vollständige Substitution möglich

L

K

Lmax

Kmax

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SubstitutionselastizitätBeispiel σ=∞

Vollkommen elastisch

L

K

Lmax

Kmax


Skalenelastizität

Definition: Skalenelastizität Wie ändert sich bei proportionaler Änderung der Faktoreinsatzengender Output?

L

K

α

∆αYd

dYdY

dYrungSkalenänderelativerungOutputänderelative

α⋅

α=

αα

=

=ε

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Spezielle ProduktionsfunktionenLinear-limitationale Produktionsfunktionen

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= L

u1;K

v1minYLinear-limitationale Produktionsfunktion

L

K uv

LK=


Spezielle ProduktionsfunktionenLinear-limitationale Produktionsfunktionen

• Produktionsfaktoren sind zumindest kurzfristig nicht substitutierbar.• Der „knappe Faktor“ bestimmt die Höhe der Produktion.• Das Verhältnis von Kapital und Arbeit wird durch die Technologieparameterv (Kapitalkoeffizient) und u (Arbeitskoeffizient) bestimmt.

K

L gegeben

1v

K L= ⋅vu

∂∂ Y K

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Spezielle ProduktionsfunktionenSubstitutionale Produktionsfunktionen

Neoklassische makroökonomische Produktionsfunktionen• Homogene Produktionsfunktionen• Linear-homogene Produktionsfunktionen

CES-Produktionsfunktionen

Cobb-Douglas-Produktionsfunktionen


Spezielle ProduktionsfunktionenNeokl. makroökonomische Produktionsfunktionen

(1) KY∂∂ = FK > 0; FL > 0 positive Grenzerträge

(2) 2

2

KY

∂∂ = FKK < 0; FLL < 0 abnehmende Grenzerträge

FKL > 0 Konvexität (3) F (0,0) = 0 ohne Inputs kein Output (4) 0Flim KK

=∞→

; 0Flim LL=

∞→

∞=→

K0KFlim ; ∞=

→L0L

Flim

Annahme über die Grenz-produktivitäten für „große“ (bzw. sehr kleine) Einsatzmengen an Produktionsfaktoren

(5) ∞=∞→

)L,K(FlimK

(L>0 fest)

∞=∞→

)L,K(FlimL

(K>0 fest)

keine absolute Obergrenze für die Produktion

Standardannahmen für substitutionale Produktionsfunktionen

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Spezielle ProduktionsfunktionenHomogene Produktionsfunktionen

Definition: Eine Produktionsfunktion Y = F (K, L) heißt homogen vom Grade λ genau dann, wenn F (α ⋅ K, α ⋅ L) = αλ ⋅ F (K, L) für alle K, L des Definitionsbereiches.

Eigenschaften:

(1) Die Skalenelastizität Yd

dY α⋅

α ist gleich dem Homogenitätsgrad λ.

(2) Mit einer einzigen Isoquante ist die Schar aller Isoquanten bestimmt. (3) Eulersche Formel: λ ⋅ Y = FK ⋅ K + FL ⋅ L . (4) FK (K, L) und FL (K, L) sind homogen vom Grade λ - 1. (5) Die Substitutionselastizität σ ist längs eines Fahrstrahls durch den

Ursprung konstant und es gilt: )1(FFFF1

LK

KL −λ−⋅⋅⋅λ

=σ

.


Spezielle ProduktionsfunktionenLinear-homogene Produktionsfunktionen

Definition: Eine Produktionsfunktion Y = F (K, L) heißt linear-homogen ⇔ Df F (α ⋅ K, α ⋅ L) = α ⋅ F (K, L) für alle K, L des Definitionsbereichs d.h. eine Ver-α-fachung aller Produktionsfaktorinputs führt zu einer Ver-α-fachung der Produktion, d.h. die Produktionsfunktion ist homogen vom Grade 1. Eigenschaften:

(1) LY d.h. die durchschnittliche Arbeitsproduktivität ist nur von

LK = k

abhängig (ebenso spiegelbildlich auch KY ) :

LY = F (

LK , 1) = f (k) .

(2) FL (Grenzproduktivität der Arbeit) und FK sind nur von LK = k abhängig

(3) Y = FK ⋅ K + FL ⋅ L (Spezialfall der Eulerschen Formel ), d.h. bei Entlohnung nach Grenzproduktivitäten Y = i ⋅ K + w ⋅ L

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Eigenschaften: (4) Die Grenzproduktivität eines Faktors nimmt (bei Konstanz des je-

weils anderen Faktoreinsatzes) mit zunehmendem Einsatz nicht zu: FLL ≤ 0 und FKK ≤ 0 .

(5) Die Substitutionselastizität σ = KL

KL

FFFF⋅⋅ ist längs eines Ursprung-

fahrstrahls konstant.



Definition: Eine Produktionsfunktion erfüllt die Inada-Bedingungen, wenn: a) sie linear-homogen ist b) sie die Bedingungen (1) bis (5) auf Folie 16 erfüllt. Für diese Funktionen gilt:

(1) Die Arbeitsproduktivität LY = y = f (k) ist eine streng monoton

wachsende Funktion der Kapitalintensität der Arbeit mit f' > 0 und f" < 0. (2) k ist eine eindeutige streng monoton wachsende Funktion des Lohn

Zins-Verhältnisses (und umgekehrt):

k ↑ ⇔ rw ↑.

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Spezielle ProduktionsfunktionenCES-Produktionsfunktionen

Produktionsfunktionen mit einer konstanten Substitutionselastizität heißen CES-Funktionen (CES= constant elasticity of substitution). Sie habendie Form:

Y = A⋅[ δ ⋅ K-ρ + (1-δ) ⋅ L-ρ ]-1/ρ

Es sind: - A: Skalierung für die Produktionshöhe - 0 < δ < 1: Verteilungsparameter für Lohn- und Gewinneinkommen - ρ: Maß für die Substitutionselastizität σ = 1/(1+ρ)


Spezielle ProduktionsfunktionenCES-Produktionsfunktionen, Beispiele

( ) 21

22 L8.0K2.0Y−−− ⋅+⋅=

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( ) 101

1010 L5.0K5.0Y−−− ⋅+⋅=



( )25,05,0 L5.0K5.0Y ⋅+⋅=

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Spezielle ProduktionsfunktionenCobb-Douglas-Produktionsfunktionen

Cobb-Douglas-Produktionsfunktionen sind ein spezieller Typ von CES-Funktionen mit der Substitutionselastizität σ=1:

neoklassische makroökono-mische Produktionsfunktion

Cobb-Douglas-Funktionen

CES-Produk-tionsfunktionen

INADA- Bedingungen

σ <1

σ = 1

σ >1

mit

Y = K1-a ⋅ La


Spezielle ProduktionsfunktionenCobb-Douglas-Produktionsfunktionen, Beispiele

5.05.0 LKY =

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8.02.0 LKY =



8.08.0 LKY =

15



5.02LKY =


Cobb-Douglas-FunktionWarum sind sie so beliebt?

Einfach rechnen und zu interpretieren:

)a1(K

LKLK)a1(

KY

dKdY

KdKY

dY

lastizitätoduktionsePr

aa1aa

−=

⋅⋅−=

⋅==

−−

(1) Produktionselastizität

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Cobb-Douglas-FunktionWarum sind sie so beliebt?

LaK)a1(Y ⋅+⋅−=

Einfach rechnen und zu interpretieren:

(2) Einkommensverteilung (historischer Ursprung)Nach Euler gilt:

wLrKLFKFY LK +=+=

Also: Sozialprodukt = Kapitaleinkommen + Lohneinkommen

(3) Leichtes Rechnen mit Wachstumsraten


Cobb-Douglas-FunktionGrowth AccountingUnterstellt man eine Produktionsfunktion der Form

Y = A ⋅ K1-a ⋅ La

wobei A ein Effizienzparameter ist, so lässt sich das Wachstum einerVolkswirtschaft auf die Beiträge der einzelnen Faktoren aufteilen:

LaK)a1(AY ⋅+⋅−+=

Das Wachstum des autonomen Effizienzparameters A bezeichnet manals Totale Faktorproduktivität (TFP). Sie ist das nicht durch K und L erklärbare Residual und reflektiert den technischen Fortschritt.

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Cobb-Douglas-FunktionGrowth Accounting

Beispiel Bundesrepublik 1991-1998Es gilt dann (s.o.):

%593,0%972,0%365,0%2,1%6,3*)73,01(%)5,0(*73,0%2,1g

73,0%6,3g%5,0g%2,1g

g*)1(g*gg

a

K

N

Y

KNYa

=−+=

=−−−−==>=α

+=

−=

+=

α−−α−=

(Wachstum BIP real)(Beschäftigungswachstum)(Wachstum Kapitalstock in konst. Preisen)(durchschnittliche Lohnquote)

Interpretation: technischer Fortschritt in Höhe von ca. 0,6% pro Jahr.Aber beachten: Veränderungen der Sektoralstruktur können Ergebnisverzerren => Vorsicht bei gesamtwirtschaftlicher Produktionsfunktion!



Quelle: OECD (2003)/IfW Kiel (2004):

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Quelle: IMF (2001)



Quelle: IMF (2001)

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Quelle: IMF (2006)






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Investitionsverhalten

Investitionsannahmen

• Keine eigenständige Investitionsfunktion(Neoklassik)

• Eigenständige Investitionsfunktion(Keynesianismus)

• Explizite Formulierungdes Investitionsverhaltens


InvestitionsverhaltenEigenständige Investitionsfunktion

Investitionen erfolgen, wenn der Barwertüberschuss des Investitionsprojektes positiv ist:

0)i1(

D)i1(

DrschussBarwertübe nn1 >

+++

+= K

wobei i der Marktzins ist, mit dem diskontiert wird, und Di die Rückflüsseaus dem Projekt sind.Umgekehrt ließe sich auch eine Rendite r des Projektes suchen, bei der

nn1

)r1(D

)r1(D0

+++

+= K

gilt. Die Investition ist dann lohnend, wenn r > i ist.

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InvestitionsverhaltenEigenständige Investitionsfunktion

Einflussfaktoren auf die Investitionen sind dann:• der Marktzinssatz i• erwartete Absatzchancen (Zahlungsrückläufe).

Keynesianische Wachstumstheorien verwenden Investitionsfunktionenmit• der erwarteten Nachfrage• der erwarteten Profitrate r (wird nicht behandelt)

Die Investitionen wirken dabei via Einkommen auf das Sparverhalten.

Investitionen sind inhärent destabilisierend.


InvestitionsverhaltenKeine eigenständige Investitionsfunktion

Die Investitionen werden gleich der Ersparnis angenommen!

Zinssatz stimmt die Pläne der Haushalte (Sparer) und Unternehmen (Investoren) aufeinander ab.

Ist I > S, dann folgt i↑. Damit S(Y,i) ↑ und I(i,r)↓, bis zum Gleichgewicht.

Kurzfristige Ungleichgewichte sind für langfristige Wachstumspfade nichtrelevant.

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Technischer Fortschritt

Definition:Technischer Fortschritt liegt vor, wenn eine Erweiterung des technisch-organisatorischen Wissens eine Erhöhung des Outputs erlaubt, ohne daß der Einsatz an Produktionsfaktoren erhöht werden müßte.

Technischer Fortschritt wirkt so, als würden die Produktionsfaktorenquasi vermehrt, obgleich deren physischer Einsatz unverändert ist.

Hieran und an den Wirkungen auf die Faktorentlohnung und denKapitalkoeffizienten setzen die Klassifikationen an.

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Technischer Fortschritt Hicks-NeutralitätDefinition:Technischer Fortschritt heißt Hicks-neutral, wenn die Einkommensverteilung nicht verändert wird.

D.h. es muss gelten:

Der technische Fortschritt vermehrt in gleichem maße Kapital und Arbeit.

Die Produktionsfunktion lautet:Y = em⋅t ⋅ F (K, L)

)t(F)t(F

)0(F)0(F

L

K

L

K =


Technischer Fortschritt Hicks-NeutralitätArbeitsvermehrender technischer Fortschritt:

Kapitalsparender technischer Fortschritt:

(eigentlich kapitalvermehrend)

)t(F)t(F

)0(F)0(F

L

K

L

K <

)t(F)t(F

)0(F)0(F

L

K

L

K >

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Technischer Fortschritt Harrod-NeutralitätDefinition:Technischer Fortschritt heißt Harrod-neutral, wenn er Zinssatz und Kapitalkoeffizienten nicht verändert.

Die Produktionsfunktion lautet:Y = F (K, L ⋅ em⋅t)

Y YL

=

k KL

=

f k t( , )1

f k t( , )0

Yv

k=1

KY

v const= = .

′ = ′ ==

f k t f k tZinssatz const

( , ) ( , ).

1 0

k∗ k∗∗


Technischer Fortschritt Solow-NeutralitätDefinition:Technischer Fortschritt heißt Solow-neutral, wenn er die Grenzproduktivität der Arbeit und den Arbeitskoeffizienten L/Y nicht verändert.

Die Produktionsfunktion lautet:Y = F (K ⋅ em⋅t, L ⋅ em⋅t)

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