Wellen in Plasma
Einziger Wellentyp in MHD-Theorie: Alfvén-Wellen
Dispersionsrelation: aus linearisierter MHD-Kraftgleichung:
010
100
11
0
11BBBBp
t
v
Auslenkung 01 Bv
100
100
11
0
11BBBBp
t
v
Alle Gleichgewichtsgrößen als homogen angenommen
homogene Kompression des GG-Feldes 10 || BB
t
BB
t
p
t
v
1
00
121
2
0
1
Adiabatengleichung: 101 vpt
p
Faradaysches Gesetz: 101 vBt
B
Wellengleichung: 100
20
0
021
2
vBp
t
v
Kompressionale Alfvén-Wellen
Kompressionale Alfvén-Wellen
Kompressions-Energie
Energieaustausch zwischen kinetischer Energie und
0
0
00
20
pB
vph Charakteristische Geschwindigkeit:
keine Kompression des GG-Feldes 101 ,0 BBv
t
BB
t
p
t
v
1
00
121
2
0
1
Adiabatengleichung: 01 t
p
Faradaysches Gesetz: 101 vBt
B
Wellengleichung:
100
2
021
2
vB
t
v
Scher- Alfvén-Wellen
Scher- Alfvèn-Wellen
Magnetfeld-Energie
Energieaustausch zwischen kinetischer Energie und
00
0
B
vv Aph Charakteristische (Alfvèn-) Geschwindigkeit
Wellen in Plasma
• Bisher Schallwellen und Alfvén-Wellen (MHD)
• Plasmawellen wichtig für Plasmaheizung und -diagnostik
• viele weitere Wellentypen, wenn volle Plasmadynamik berücksichtigt
x
z
t=t0 t=t1
)(0
trkieEE
Ebene Welle (homogenes Pasma):
k: Wellenzahl
k: Wellenvektor
Kreisfrequenz
Phasengeschwindigkeit:
kph
v
Brechungsindex:ckc
Nph
v
N
N
z
1
Vakuum Medium A
N 0
N
z
1
Vakuum Medium B
Resonanz: cut-off:
N ph ;0v;
k;0
;v;0 N ph
0; k
Spezialfälle:
Wellengleichungen
• liefern Dispersionseigenschaften N() und k()
Maxwell-Gleichungen:
tjDH
BE
/
0000 EjE EEE )(
“Plasmawirkung“Spezialfall:Longitudinal-
welle (E||k)
Ec
jE 200
1/
Transversalwellen im homogenen Plasma
2222 / kt
ik
/ it
Ec
jiEk2
2
02
)(0
trkieEE
Ec
jE 200
1/
Transversalwellen ohne Magnetfeld
Beziehung zwischen j und E aus Ohmschem Gesetz:
dt
jd
ne
mp
enBj
enjBuE
e
e
ee
2
11
hier ohne Magnetfeld
vernachlässige Stöße
nur ungleich Null für k||E
/ it
Ei
m
nej
e
e
2
Ei
m
nej
e
e
2
Ec
jiEk2
2
02
Wellengleichung: Ec
Ei
m
neiEk
e
e
2
22
00
0
2
2
0
2
2
222 1
e
e
m
nekcN
e
epe m
ne
0
2
2
22 1
peN
komplexer Brechungsindex:
Dispersionsrelation eines magnetfeldfreien Plasmas
Transversalwellen ohne Magnetfeld
N2 < 0N=1
ne=ne, crit
dzE
alle Elektronenin Phase!
tizztzki eeEeEE z 0/0
)(0
1
/
2
20
pe
cz
12
2
pe
Für überkritische Dichte fällt E-Feld exponentiell ab:
Wellenausbreitung im Plasma nur für
Transversalwellen ohne Magnetfeld
12
2
pe
Wellen mit Frequenz kleiner als Plasmafrequenz werden am Plasma reflektiert(bzw. vom Plasma abgeschirmt)
Wellenausbreitung ohne Magnetfeld
2222pekc
Abhängigkeit der Phasengeschwindigkeit nur von der Dichte kann zur Dichtemessung verwendet werden (Interferometrie)
22 /1
pe
ph
c
kv
Longitudinalwellen ohne Magnetfeld
Transversalwellen Longitudinalwellen
ieie vvkv ,||,
Raumladungen
Bewegungen von Elektronen und Ionen betrachten
Longitudinalwellen ohne Magnetfeld
Dispersionsrelation:
0000 EjE
0)( 12
2
0,0,00, Ec
vveni eie
Wellengleichung:
Longitudinalwellen:
Geschwindigkeiten aus Kraftgleichung und Adiabatengleichung:
2
22
1
1,
1
e
ee ck
Emei
v
2
22
1
1,
1
i
ii ck
Emei
v
2222epe ck
Longitudinalwellen ohne Magnetfeld
Wellenausbreitung mit Magnetfeld
Neue ausgezeichnete Richtung: B, kein Einfluss des Magnetfeldes für BE
||
Druck spielt keine Rolle Näherung: kaltes Plasma
Transversalwelle, Ausbreitung parallel zum Magnetfeld
Ausbreitung senkrecht zum Magnetfeld:Transversal- und Longitudinalwellen gekoppelt
/2
Wellenausbreitung mit Magnetfeld
Ohmsches Gesetz: dt
jd
ne
mp
enBj
enjBuE
e
e
ee
2
11
vernachlässige Stöße
kaltes Plasma
Wegen Hall-Term: Leitfähigkeits-Tensor: Ej
......
y
zxzyxyxxxx
j
EEEj
Ec
EiEkk2
2
0
Wellengleichung:
Wellenausbreitung mit Magnetfeld
Ec
EiEkk2
2
0)( Wellengleichung:
Ec
Ekk 2
2
)(
0
1i
Wellenausbreitung mit Magnetfeld
P
SiD
iDS
00
0
0
)(2
1;)(
2
1LRDLRS
i ci
pi
ce
peR
/1
)/(
/1
)/(1
22
i ci
pi
ce
peL
/1
)/(
/1
)/(1
22
i
pipeP22
1
e
epe m
ne
0
22
i
iipi m
neZ
0
22 )(
ece m
eB
i
ici m
eBZ
Stix, Kapitel 1
Wellenausbreitung mit Magnetfeld
Man findet aus Ec
Ekk 2
2
)(
mit ck
N Ec
ENN 2
2
)(
024 CNBNA
LRPC
SPLRB
PSA
)cos1(sin
cossin22
22
A
FBN
22
2,1
222422 cos4sin)( DPPSRLF
N1 : “langsame Welle“ ("slow wave")
N2 (<N1) : “schnelle Welle“ ("fast wave")
Wellenausbreitung mit Magnetfeld
Transversalwellen parallel zum Magnetfeld
=0
SPB
PA
2
A
FBN
22
2,1
PDF 2
)(2
1
)(2
1
LRD
LRS
LRN ,22,1
R
L
/1
)/(1
2
ce
peR
i ci
pi
ce
peL
/1
)/(
/1
)/(1
22
Resonanz: mit Gyrationsbewegung ce ci R: L:
Resonanz: mit Gyrationsbewegung
ce
ci
R:
L:
Transversalwellen parallel zum Magnetfeld
Mit MF Ausbreitung mit erlaubt
pl
cut-off:
ce
ci
R:
L:
R: 2
2
1
pece
Transversalwellen parallel zum Magnetfeld
ceMagnetfeld
1 20
1
0
R- cut off L-cut-off
pe /22 (=Dichte)
ci 12
2
peceL: für
Wellen senkrecht zum Magnetfeld
A
FBN
22
2,1
=
SPLRB
SA
PSRLF
PN 2
)(2
1
)(2
1
LRD
LRS
2
1
peP
“ordentliche Welle” (O-Mode) E || B
SRLN /1
Magnetfeld spielt keine Rolle
E
“außerordentliche Welle” (X-Mode) E B
“außerordentliche Welle” (X-Mode) E B
Untere Hybridfrequenz
falls cepe
-
E~ B0
+
E x B - Drift
Polarisations-drift
Obere Hybridfrequenz
Zusammenfassung: Wellenausbreitung mit Magnetfeld
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