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47
In einem Wechselstromkreis mit Spule und Kondensator (Schwingkreis) wechselt die Energie periodisch zwischen E-Feld im Kondensator und B-Feld in der Spule. Spule und Kondensator sind geschlossen aufgebaut, so dass die Energie immer zurück in den Stromkreis findet. Verluste (Erzeugung von Wärme) müssen durch zugeführte Energie ausgeglichen werden. Elektromagnetische Wellen 201 Energie im Magnetfeld der Spule Energie im elektrischen Feld des Kondensators

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In einem Wechselstromkreis mit Spule und Kondensator (Schwingkreis)wechselt die Energie periodisch zwischen E-Feld im Kondensator und B-Feld in der Spule.Spule und Kondensator sind geschlossen aufgebaut, so dass die Energie immer zurück in den Stromkreis findet.

Verluste (Erzeugung von Wärme) müssen durch zugeführte Energieausgeglichen werden.

Elektromagnetische Wellen

201

Energie im Magnetfeld der Spule

Energie im elektrischen Feld des Kondensators

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Baut man Spule und Kondensator offen, breiten sich die Felder mitLichtgeschwindigkeit im ganzen Raum aus.

Auch das gerade Leiterstück hat eine Induktivität und eine Kapazität.

Es bildet einen „Schwingkreis“ mit einer Resonanzfrequenz.

Eine erzwungene Schwingung auf dem Leiterstück kann durch Zufuhrvon Energie von außen aufrecht erhalten werden.

202

Öffnen von Spule und Kondensator

Dipol

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203

+

–– ––

+++

I

+

–– ––

+++

I

4.

1. 2.

3.

BrE

r

Br

Er

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204

Bei kleinen Frequenzen bauen sich quasi statische Felder auf.

Ist aber die Frequenz so hoch, dass die Ausbreitung mit Lichtgeschwindigkeitwährend einer Halbwelle der Länge des Dipols entspricht, dann ist mit derzeitlichen Änderung der Felder auch eine räumliche Modulation verbunden.

+

–– ––

+++

Er

Laufzeit währenddes Umpolens

Er??

?

? ?

?

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205

Entsprechend beim Magnetfeld.

I

Br

Feldstärken entlang einer Achse senkrecht zum Dipol:(beachte: hier in der Nähe des Dipols)

x

yz

Br

Er

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206

Durch die zeitliche Änderung des Magnetfeldes wird ein Wirbel imelektrischen Feld erzeugt und damit die Feldlinien geschlossen.

Auf diese Weise kann das elektrische Feld ohne Anwesenheit von Ladungen weiterexistieren und sich vom Dipol lösen.

tBE∂∂

−=r

rrot vgl. Maxwell-Gleichungen

+tB∂∂r

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207

Bei der Abstrahlung vom Dipol unterscheidet man zwischen dem Nahfeld und dem Fernfeld.

Nahfeld:Das Nahfeld wird durch die Ladungen und Ströme mitbestimmt.Dieser Beitrag zu den Feldstärken von E und B klingt mit 1/r² bzw. 1/r³ ab.Eine mathematische Formulierung wird hier nicht diskutiert (vgl. Theoretische Physik)

Fernfeld:Im Fernfeld spielen Ladungen und Ströme keine Rolle mehr. Die Felder erzeugen sich durch ihre zeitliche Änderung gegenseitig.

Dieser Beitrag zu den Feldstärken von E und B klingt mit 1/r ab und ist deshalb für große Abstände r dominierend.

0div0

==ερE

r

0div =Br

tEjB∂∂

+=r

rr000rot εμμ

tBE∂∂

−=r

rrot

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208

Elektromagnetische Wellen

Wir suchen Lösungen der Maxwellgleichungen im Fernfeld, also für und

Die Maxwellgleichungen lauten dann

Lösungen dieser Gleichungen sind Wellen, bei denen elektrisches Feld undMagnetfeld immer gemeinsam auftreten und deren Richtung und Phase in fester Beziehung zu einander stehen. Beispiele: ebene Wellen, Kugelwellen, linear- bzw. zirkular polarisierte Wellen, etc.Alle Überlagerungen einzelner Wellen sind wieder Lösung der Gleichungen.

0=ρ0=jr

0div =Er

0div =Br

tEB∂∂

=r

r00rot εμ

tBE∂∂

−=r

rrot

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209

Wellen im Allgemeinen

Schwingungen sind periodisch in der Zeit.Wellen sind periodisch in Zeit und Ort.

x

A

Schwingung eines Punktes(periodisch in der Zeit)

Momentane Auslenkung

(periodisch im Ort)t1

t2

t3

t4

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Ansatz für eine periodische Funktion in Ort und Zeit (eindimensional)

Für festen Ort x periodische Schwingung: Schwingungsdauer T = 2π/ωFür festen Zeitpunkt t periodisch im Ort: Wellenlänge λ = 2π/kk ist die Wellenzahl (Zahl der Wellenzüge pro Meter mal 2π)

Die Welle läuft in positive x-Richtung. Bewegung eines Punktes mit bestimmter Phase (z.B. Amplitude A=0):

immer, wenn

also

)sin(),( 0 xktAtxA −= ω

)sin(0),( 0 xktAtxA −== ω

0=− xktω

xkt =ω

vkt

x==⇒

ω Phasengeschwindigkeit der Welle

210

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211

Ebene Wellen:

Die einfachste Lösung der Maxwellgleichungen ohne Ladung und Strom ist eine linear polarisierte, ebene Welle mit Ausbreitung in x-Richtung:

)sin(),,,(

0),,,(0),,,(0),,,(

)sin(),,,(0),,,(

0

0

xktBtzyxB

tzyxBtzyxBtzyxE

xktEtzyxEtzyxE

z

y

x

z

y

x

−=

===

−==

ω

ω

x

yz B

r

Er

(beachte im Vergleich zu Seite 205: hier im Fernfeld)

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tE

zB

yB xyz

∂∂

=∂

∂−

∂∂

00εμ

tB

zE

yE xyz

∂∂

−=∂

∂−

∂∂

tB

xE

zE yzx

∂−=

∂∂

−∂∂

tB

yE

xE zxy

∂∂

−=∂∂

−∂∂

tE

xB

zB yzx

∂=

∂∂

−∂∂

00εμ

tE

yB

xB zxy

∂∂

=∂∂

−∂

∂00εμ

0=∂∂

+∂

∂+

∂∂

zE

yE

xE zyx

0=∂∂

+∂

∂+

∂∂

zB

yB

xB zyx

Überprüfung ob Lösung der Maxwellgleichungen durch Einsetzen:

000 =−

)cos()cos( 00 xktBxktEk −−=−− ωωω

)cos()cos( 0000 xktExktBk −=− ωωεμω

0000 =++

0000 =++

000 =−

000 =−

212

000 =−

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212b

Wenn E und B nicht senkrecht aufeinander stehen und phasenverschoben sind:

)sin(),,,(

)sin(),,,(0),,,(0),,,(

)sin(),,,(0),,,(

0

0

0

ϕω

ϕω

ω

+−=

+−===

−==

xktBtzyxB

xktBtzyxBtzyxBtzyxE

xktEtzyxEtzyxE

zz

yy

x

z

y

x

folgt aus den Maxwellgleichungen, dass B0y = 0 und ϕ=0 sein muss.

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tE

zB

yB xyz

∂∂

=∂

∂−

∂∂

00εμ

tB

zE

yE xyz

∂∂

−=∂

∂−

∂∂

tB

xE

zE yzx

∂−=

∂∂

−∂∂

tB

yE

xE zxy

∂∂

−=∂∂

−∂∂

tE

xB

zB yzx

∂=

∂∂

−∂∂

00εμ

tE

yB

xB zxy

∂∂

=∂∂

−∂

∂00εμ

0=∂∂

+∂

∂+

∂∂

zE

yE

xE zyx

0=∂∂

+∂

∂+

∂∂

zB

yB

xB zyx

Überprüfung ob Lösung der Maxwellgleichungen durch Einsetzen:

000 =−

)cos()cos( 00 ϕωωω +−−=−− xktBxktEk z

)cos()cos( 0000 xktExktBk −=+− ωωεμϕω

0000 =++

0000 =++

)cos(00 0 ϕωω +−−=− xktB y

000 =−

212c

00)cos(0 =−+−− ϕω xktBk

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Für die Parameter E0,B0,k und ω ergeben sich also die Bedingungen:

Es folgt durch Auflösen nach k und Gleichsetzen:

Einsetzen in die erste Gleichung liefert:

Der Quotient ω/k ist immer die Phasengeschwindigkeit der Welle.Also erhalten wir für die Lichtgeschwindigkeit:

00 BEk ω=

0000 EBk ωεμ=

0020

20

0

000

0

0 εμωεμω=⇒==

EB

BEk

EB

000

0 1εμ

ω==

BE

k

00

1εμ

=c

213

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214

Unsere Welle ist Lösung der Maxwellgleichungen, weil

1. E und B senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung stehen(transversale Welle)

2. E und B senkrecht aufeinander stehen

3. die Amplituden von E und B-Feld sich verhalten wie

4. E und B-Feld in Phase zueinander sind

5. die Frequenz sich zur Wellenzahl verhält wie

(nicht alles wurde hier vorgerechnet)

000

0 εμ=EB

00

1εμ

ω=

k

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215

Polarisation

Die Polarisation einer Welle ist durch die Richtung der elektrischen Feldstärkedefiniert.

Ist die Richtung von E zeitunabhängig und folglich auch ortsunabhängigspricht man von linearer PolarisationBeispiel Polarisation in y-Richtung:

Dreht sich der E-Feld Vektor in der (y,z)-Ebene als Funktion von der Zeitbleibt die Welle trotzdem transversal und man spricht von einer zirkular polarisierten Welle. (Auch der B-Vektor dreht sich entsprechend)

Eine Überlagerung von linear und zirkular polarisierten Wellen ergibts.g. elliptisch polarisierte Wellen.

x

yz B

r

Er

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216

Wellengleichung

Alle Wellen (z.B. Wasserwellen) erfüllen eine Differentialgleichung der Form

2

22

2

2

xAv

tA

∂∂

=∂∂

)cos( xkttA

−=∂∂ ωω

denn:

)sin(22

2

xkttA

−−=∂∂ ωω

)cos( xktkxA

−−=∂∂ ω

)sin(22

2

xktkxA

−−=∂∂ ω

2

2

2

2

2

2

xA

ktA

∂∂

=∂∂

⇒ω

2

22

kv ω

=Mit der Phasengeschwindigkeit

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217

Herleitung der Wellengleichung aus den Maxwellgleichungen

Wendet man den Operator rot auf beiden Seiten der Gleichung

an, erhält man

Mit der Beziehung

ergibt sich

tEB∂∂

=r

r00rot εμ

tBE∂∂

−=r

rrot

Btt

BEr

rr

rotrotrotrot∂∂

−=∂∂

−=

Et

Err

2

2

00rotrot∂∂

−= εμ

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218

Es gilt die allgemeine mathematische Identität

Mit dem Laplaceoperator Δ

Da keine Ladungen vorhanden sind und somit ist, folgt

Wir erhalten also

und damit die Wellengleichung für den E-Feld Vektor:

0div =Er

EEErrr

Δ−= )div(gradrotrot

EErr

Δ−=rotrot

Et

EErrr

2

2

00rotrot∂∂

−=Δ−= εμ

2

2

00 tEE

∂∂

=Δr

rεμ

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219

In Komponenten geschrieben bedeutet dies:

Aus der Wellengleichung liest man einfach ab, dass die Phasen-geschwindigkeit und damit die Lichtgeschwindigkeit gegeben ist durch(Wurzel aus dem Vorfaktor)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

2

2

2

2

2

2

002

2 1zE

yE

xE

tE xxxx

εμ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

∂+

∂+

∂=

∂2

2

2

2

2

2

002

2 1zE

yE

xE

tE yyyy

εμ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

2

2

2

2

2

2

002

2 1zE

yE

xE

tE zzzz

εμ

00

1εμ

=c

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220

Für das Magnetfeld kann ganz analog auch eine Wellengleichung hergeleitet werden:

Beide Gleichungen liefern selbstverständlich die gleiche Lichtgeschwindigkeit

Aber in den Wellengleichungen ist nicht mehr die Kopplung zwischen E und B enthalten. Deshalb sind die wichtigen Zusammenhänge

1. E und B stehen senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung

2. E und B stehen senkrecht aufeinander

3. die Amplituden von E und B-Feld sich verhalten wie

4. E und B-Feld sind in Phase zueinander

Nur aus den Maxwellgleichungen herzuleiten, aber nicht aus den einfacheren Wellengleichungen.

2

2

00 tBB

∂∂

=Δr

rεμ

000

0 εμ=EB

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221

Ebene Wellen in beliebiger Richtung

Wenn eine ebene Welle nicht einfach entlang einer Koordinatenachse läuft,kann dies mathematisch durch den Wellenzahlvektor ausgedrückt werden:

Der Wellenzahlvektor zeigt in Richtungder Ausbreitungsgeschwindigkeit.

Das Skalarprodukt sorgt dafür, dassdie Flächen gleicher Phase senkrechtauf der Ausbreitungsrichtung stehen.

Der Vektor zeigt in Richtung der Polarisation.

Für das B-Feld ergibt sich aus den Maxwellgleichungen:(wird hier nicht hergeleitet)

kr

x

z

kr

)sin(),( 0 rktEtrE rrrrr⋅−= ω

Blau: Flächen gleicher Phase

0Er

)(1 EkBrrr

×=ω

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222

Energiedichte einer Welle

Wellen transportieren Energie in Form von Feldenergie im E- und B-Feld.Die Energiedichte im E-Feld ist:

Die Energiedichte im B-Feld ist:

Die Stärke von E-Feld und B-Feld stehen bei elektromagnetischen Wellen in fester Beziehung zueinander

Es folgt für die gesamte Energiedichte:

202

1 EwE ε=

2

0

121 BwB μ

=

cEB 1

00 == εμ

20

200

0

20

121

21 EEEw εεμ

με =+=

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223

Intensität einer Welle

In den Wellenbergen wo E-Feld und B-Feld maximal ist findet man die meisteFeldenergie. In einer Knotenfläche ist die Energiedichte Null.

Die Welle breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit c aus. Durch die Fläche A tritt also pro Zeit Δt die Energie W

Mit der mittleren Energiedichte

A

tc Δ

200

0 21d1 Etw

Tw

T

ε== ∫2002

1 EtAcW εΔ=

wtAcwVW Δ==

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224

Als Intensität bezeichnet man die Energie, die pro Zeit und Fläche durch die Fläche hindurchtritt. Wir erhalten:

Einheit der Intensität ist Watt pro Quadratmeter 1 W/m².

Beispiel:Die Intensität der Sonne beträgt 970 W/m² an der Erdoberfläche. Im zeitlichen Mittel herrschen im Licht also elektrische Feldstärken von

gleichzeitig sind Magnetfelder vorhanden mit

200

2002

1

21 Ec

tAEtAcI ε

ε=

ΔΔ

=

mV8562

00 ==

εcIE

T108.21 600

−⋅== Ec

B

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225

Poynting Vektor

Man definiert einen Vektor, der Stärke und Richtung des Energiestromsangibt.

Der Betrag des Poynting Vektors ist gleich der Intensität, denn

Für eine ebene elektromagnetische Welle stehen E-Feld und B-Feldsenkrecht auf dem Wellenzahlvektor k. Deshalb zeigt in diesem Falleder Poynting Vektor in die Richtung von k.

BEcSrrr

×= 20ε

IEcBEcS === 20

20 εε

r

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226

Kugelwellen

Wellen, die radial von einem Punkt ausgehen und in jeder Richtung die gleiche Amplitude haben werden mathematisch durch die Funktion

beschrieben. (Kein Skalarprodukt, da k immer in Richtung von r zeigt d.h. Ausbreitung in radialer Richtung)

Begründung für die Radiusabhängigkeit 1/r:Der Energiestrom ist unabhängig vom Abstand und die Fläche nimmtquadratisch mit dem Abstand zu.Also nimmt die Intensität wie 1/r² mit dem Anstand ab.Da die Intensität proportional zum Quadrat der Amplitude ist, nimmt dieFeldstärke wie 1/r ab.

)sin(),( 0 rktrEtrE −= ωr

22

20

02 44 r

rEcrI

tWconstP πεπ ⋅=⋅=Δ

==

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227

Impuls einer elektromagnetischen Welle

Eine Welle transportiert auch Impuls und kann dadurch eine Kraft ausüben.Die Impulsdichte g für eine ebene Welle ist gegeben durch (hier ohne Herleitung)

Der Betrag von g ist folglich

Aus der Mechanik ist bekannt, dass eine Kraft gleich der Impulsänderung pro Zeit ist (bzw. Impulsübertrag pro Zeiteinheit).

Eine schwarze Fläche absorbiert die Intensität I und erhält dabei pro Zeiteinheit den Impulsübertrag

Sc

grr

2

1=

Ic

g 2

1=

tp

tpF

ΔΔ

≈=rrr

dd

Ic

g 2

1=

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228

Auf die Fläche wird dadurch die Kraft

ausgeübt. Besser berechnet man die Kraft pro Fläche

Und erhält so den Strahlungsdruck durch eine elektromagnetische Welle.

Bei der Reflexion einer Welle ist der Strahlungsdruck doppelt so groß, weil die Impulsänderung doppelt so groß ist.

Beispiel: Im Sonnenlicht erfährt eine schwarze Fläche den Strahlungsdruck:

Acgt

tAcgtVg

tpF r

rrrr=

ΔΔ

=ΔΔ

=

cIgc

AF

==

26-

8 mN102.3 Pa2.3

m/s103W970

==== μcI

AF

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229

Beispiel: Lichtmühle

Bei einer Lichtmühle sind die Seiten eines Flügelrades auf der einen Seite schwarz und auf der anderen Seite reflektierend.

Auf die reflektierende Seite wird der doppelteStrahlungsdruck ausgeübt. Dadurch dreht sich das Rad im Licht.

Ein anderer Effekt ist aber bei den kommerziellen Lichtmühlen größer:An der wärmeren, schwarzen Seite werden Luftmoleküle erwärmt undverlassen die Seite mit höherer Geschwindigkeit als die ankommenden.Dieser Impulsübertrag (Rückstoß) ist größer als der Strahlungsdruck und lässt das Rad andersherum drehen.Ist der Luftdruck im Glaskolben sehr klein, lässt sich auch der Strahlungsdruck beobachten.

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Beispiel: Strahlungsdruck auf Nanoteilchen im Sonnenlicht

Teilchen in unserem Sonnensystem erfahren die Gravitationskraft der Sonneund den Strahlungsdruck des Sonnenlichtes.

Für eine schwarze Kugel mit Dichte ρ und Radius r gilt im Abstand R von der Sonne:

Das Verhältnis aus Gravitationskraft und Kraft durch Strahlungsdruck hängtnur von der Dichte und dem Radius der Teilchen ab, aber nicht vom Abstand zur Sonne

2

3220

2

3

2 kgNm106.5

34

Rr

Rrm

RmmF s

sg

ρρπγγ ⋅=−=−=

2

217

202 N103.3

Rr

cRIr

cIAFs ⋅=== π

rFF

s

g ρkgm1700

2

=

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231

Bei einer Dichte von 1000 Kg/m³ (Wasser) ergibt sich

Für Teilchen mit r < 588 nm ist der Strahlungsdruck in unserem Sonnensystem größer als die Gravitation der Sonne. Sie werden aus dem Sonnensystem „herausgepustet“. Ein Teilchen mit r = 100 nm fliegt in 6 Tagen von der Sonne zur Erde und in einem halben Jahr zum Pluto. (Lösung erfordert längere Rechnung)

Strahlungsdruck auf Staub im Kometenschweif

rFF

s

g

m1107.1 6⋅=

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Stehende elektromagnetische Wellen

Bei der Reflexion an einer Metalloberfläche werden im Metall Ströme erzeugtund Ladungen verschoben, so dass kein E-Feld parallel zur Metalloberflächevorhanden ist.

Bei vollständiger Reflexion überlagern sich die einfallende

und die reflektierte Welle:

E

)sin(),,,(

)sin(),,,(

0

0

xktBtzyxB

xktEtzyxE

z

y

−=

−=

ω

ω

x

)sin(),,,(

)sin(),,,(

xktBtzyxB

xktEtzyxE

rz

ry

+=

+=

ω

ω

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233

Wählt man das Koordinatensystem so, dass x=0 an die Metalloberfläche liegt,muss für alle Zeiten gelten

Für ergibt sich

das die geforderte Bedingung für alle Zeiten erfüllt.Aus den Maxwellgleichungen ergibt sich für das B-Feld der reflektierten Welle: Man erhält also insgesamt:

Und mit den Additionstheoremen:

0)sin()sin(0 =++− xktExktE r ωω

0BBr =

0)sin()cos(2)sin()sin( 000 =−=+−− xktExktExktE ωωω0EEr −=

)sin()sin(),,,(

)sin()sin(),,,(

00

00

xktBxktBtzyxB

xktExktEtzyxE

z

y

++−=

+−−=

ωω

ωω

)cos()sin(2),,,(

)sin()cos(2),,,(

0

0

xktBtzyxB

xktEtzyxE

z

y

ω

ω

=

−=

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Zeitabhängigkeit und Ortsabhängigkeit stehen nun in verschiedenen Faktoren.Dadurch schreitet die Welle nicht voran, sondern es gibt Orte an denenDie Amplitude immer Null ist (Schwingungsknoten) und andere,an denen die Amplitude maximal mit der Zeit variiert (Schwingungsbäuche).→ Stehende WelleDie Knoten des E-Feldes sind um 90° phasenverschoben zu den Knoten desB-Feldes. Zeitlich wechseln sich Maximum von E-Feld und B-Feld ab.

x

Ery

z

x

Br

yz

Zeitliche und räumliche Phasenverschiebung um T/4 und λ/4

λ/4

t = 0

t = T/4

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Vor einer ebenen Metalloberfläche (Spiegel) bildet sich eine stehende Welle aus.

Es gibt Knotenflächen parallel zum Spiegel in denen das E-Feld oder B-Feldimmer Null ist.

Die Feldenergie des E-Feldes wird während einer 1/4 Schwingung in Feldenergie des B-Feldes umgewandelt. Analogie zur mechanischen Schwingung, bei der potentielle in kinetische Energie umgewandelt wird.

Die gesamte Feldenergie bleibt in der stehenden Welle erhalten.

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Hohlraumresonator

Zwischen zwei gegenüberliegenden Spiegeln kann eine stehende Welle eingesperrt sein.

Da jetzt das E-Feld auf beiden Seiten am Spiegel gleich Null sein muss,passen nur noch bestimmte Wellenlängen dazwischen.Es muss die Bedingung gelten

x

Er

x

Br

t = 0

t = T/4

yz

yz

Ln =2λ

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Wärmestrahlung

Eine Fläche, die bei allen Frequenzen Wärmestrahlung vollständig absorbiert und damit auch maximal abstrahlt bezeichnet man als schwarzen Strahler.

Übliche Realisierung als schwarzer Hohlraum mit Austrittsloch.

Der s.g. Hohlraumresonator eignet sich besonders für die Berechnung des Spektrums der emittierten Strahlung.

Die Erklärung der Wärmestrahlung durch Planck (1900) war die Geburtsstundeder Quantenmechanik.

20°C 800°C

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Elektromagnetische Wellen (Infrarot, Licht, ..) werden durch die thermische Energie angeregt.Bei hohen Temperaturen (>700°C) steht genügend Energie zur Verfügung,um merklich im sichtbaren Bereich zu emittieren (Rotglut).Je heißer die Oberfläche wird, umso gelber – weißer – blauer wird das Licht.

Frage: 1. Wieviel Licht wird bei einer bestimmten Frequenz emittiert2. Wieviel Lichtenergie wird insgesamt abgestrahlt.

Betrachtung der Wellen in dem Hohlraumresonator:Ausbildung stehender elektromagnetischer Wellen

je kürzer die Wellenlänge umso höher die FrequenzFarbe des Lichtes ändert sich von rot über gelb, grün nach blau 238

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Es sind auch solche stehenden Wellen möglich:

Die Wellenzahl in x-, y- und z-Richtung ist:

Die Wellenzahlvektoren für alle möglichen stehenden Wellensind rechts schematisch eingetragen.

Die Frequenz (Farbe) der Welleist proportional zum Betrag vomWellenzahlvektor.

Lnk xx

π2=

kx

ky

kc r

πν

2=

Lnk yy

π2=

Lnk zz

π2=

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kx

kyAlle k-Vektoren zu einem Frequenzintervall ν bis ν+dν liegen in einer Kugelschale.

Die Anzahl der k-Vektoren in der Kugelschalesteigt quadratisch mit dem Radius, d.h.quadratisch mit der Frequenz.

Im thermischen Gleichgewicht wird auf jede stehende Welle im Mittel gleich viel Energie verteilt kBT.Jede Welle stellt einen Freiheitsgrad (des Lichtfeldes) dar.

Die in dem Frequenzintervall ν bis ν+dν gespeicherte Energiedichte steigt also quadratisch mit der Frequenz an.

νπνννρ d8d)( 3

2

Tkc B= Rayleigh – Jeans Gesetz

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Dieses aus der klassischen Physik hergeleitete Gesetz würde zur s.g.Ultraviolettkatastrophe führen: die Intensität würde mit zunehmender Frequenz (... blau, violett, ultraviolett ...) ins unendliche ansteigen.

Ein bis dahin unbekanntes Phänomen verhindert die Anregung der Wellen mit hoher Frequenz.

Planck führte das Energiequant ein und leitete daraus das richtigeSpektrum eines schwarzen Strahlers her.

Jede Welle kann Energie nur in festen Portionen d.h. Quanten aufnehmen,die Photonen. Die Energie eines Quants ist proportional zur Frequenz:

h: Plank‘sches Wirkungsquantum h = 6.626 10-34 Js

νhE =

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Bei hohen Frequenzen ist die Energie eines Energiequants (Photon) hoch und damit wird die thermische Anregung sehr unwahrscheinlich.

EE

n

EE

n

große Frequenz (ultraviolett)kleine Frequenz (rot)

Die mittlere, in einer stehenden Welle gespeicherte Energie ist:

1−=

Tkh

Be

hE νν

1νh2νh

(Ergibt sich nach kurzer Rechnung)

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Die Energiedichte im Hohlraum ist Anzahl der stehenden Wellen imFrequenzintervall multipliziert mit der mittleren Energie darin

Die emittierte Strahlungsleistung in dem Frequenzintervall hat bis auf einenVorfaktor die gleiche Form.

Bei kleinen Frequenzen ist dieses Gesetz gut genährt durch das Rayleigh-Jeans Gesetz.

Bei hohen Frequenzen nimmt dieEnergiedichte exponentiell mit derFrequenz ab.

ννπνννρ ν d1

8d)( 3

2

=Tk

h

Be

hc Planck‘sches Strahlungsgesetz

1014 Hz

6000 K

5000 K

4000 K

3000 K

243

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Emissionsmaximum:

Das Maximum der emittierten Strahlung verschiebt sich mit steigenderTemperatur zu höheren Frequenzen (ins Blaue).Berechnet man das Maximum der Kurve aus dem Planck‘schen Gesetzerhält man das Wien‘sche Verschiebungsgesetz.

Das Maximum verschiebt sich proportional zur Temperatur.

TKHz10

max 1088.5 ⋅=ν

1014 Hz

6000 K

5000 K

4000 K

3000 K

Verschiebung

244

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Gesamtemission des schwarzen Strahlers:

Mit steigender Temperatur nimmt die Fläche unter der Kurve im Planck‘schen Strahlungsgesetz stark zu. Integriert man über alle Frequenzen erhält man:

Die insgesamt abgestrahlte Leistung nimmt mit 4. Potenz der Temperatur zu.

Stefan-Boltzmann Gesetz

1014 Hz

6000 K

1014 Hz

3000 K

245

48421067.5 T

AP

KmW−⋅=