1 V.4 Wellen in kontinuierlichen Medien x Longitudinale Wellen: Transversale Wellen: x x y z.
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Transcript of 1 V.4 Wellen in kontinuierlichen Medien x Longitudinale Wellen: Transversale Wellen: x x y z.
1
V.4 Wellen in kontinuierlichen Medien
x
Longitudinale Wellen:
Transversale Wellen:
x
x
y
z
2
V.4.4 Lösung der 1-dim. Wellengleichung
Lösung der Wellengleichung für beliebige
zweimal differenzierbare Funktion f
Speziell kann z.B.:
gewählt werden.
“Harmonische Wellen”
Das Argument
bezeichnet man als Phase.
aus Dimensionsgründen,
[k] = 1/Länge
3
Phasengeschwindigkeit
Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich ein Zustand konstanter Phase
Dazu betrachte:
nach links laufende Welle
nach rechts laufende Welle
?
4
Wellenlänge und Wellenzahl der harmonischen Welle
x
kürzester Abstand zwischen gleichen Schwingungszuständen (Oszillatoren in Phase)
Wellenlänge :
bzw.
k bezeichnet man als Wellenzahl
Momentaufnahme
bei fester Zeit t0
u(t=t0,x)
5
Kreisfrequenz der harmonischen Welle
t
Harmonische Schwingung
am festen Ort x0
u(t,x=x0)
Am festen Ort schwingt Oszillator gemäß:
bzw.
6
Superpositionsprinzip
Hat man zwei Lösungen u1 und u2 von
so ist auch u = u1 + u2 wieder eine Lösung.
(Folgt aus Linearität der Wellengleichung)
Wichtige Anwendung:
Fourierzerlegung
Stehende Wellen
… (mehr dazu später)
,
7
Ausbreitung einer Wellengruppe (Informationstransport)
Betrachte: Überlagerung zweier harmonischen Wellen (1 ≈ 2)
“Schwebung”
8
Ausbreitung einer Wellengruppe
x
x
x
Zeitpunkte t1
Zeitpunkte t2
Zeitpunkte t3
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Gruppengeschwindigkeit
Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich die Wellengruppe fort?
Überlagert man unendlich viele harmonische Wellen findet man:
(hier ohne Beweis) ( falls )
Die Gruppengeschwindigkeit ist für die Informationsübertragung wichtig
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Gruppengeschwindigkeit
Verwendet man kann man auch schreiben:
Bisherige Beispiele:
c ist unabhängig von der Wellenlänge,
die Gruppengeschwindigkeit ist gleich der Phasengeschwindigkeit,
endlich ausgedehnte Wellenpakete zerfließen nicht
11
Gruppengeschwindigkeit
Für Wasserwellen in tiefem Wasser gilt näherungsweise:
c ist von der Wellenlänge abhängig !
Wellenpakete zerfließen / Dispersion
12
Alternative Methode zur Lösung der Wellengleichung
Produktansatz
Um
zu lösen, mache folgenden Ansatz:
Einsetzen liefert:
!
13
Produktansatz:
14
Für beliebige k ist
Allgemeine Lösung, durch Überlagerung von Lösungen zu unterschiedlichem k:
Noch aus den Anfangsbedingungen zu bestimmen:
15
V.4.5 Wellen in endlich ausgedehnten Systemen, Randbedingungen am Beispiel der schwingenden Saite
Beispiel: Fest eingespannte Saite
L
Beispiel: Loses Ende
Ring gleitet reibungsfrei
auf Stab
Keine Kraft längs des Stabes Ring horizontal
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Zusätzlich zu den Anfangsbedingungen treten Randbedingungen hinzu!
“Dirichletsche Randbedingungen”:
Die Wellenfunktion ist auf dem Rand vorgegeben
Beispiel: festes Ende
“von Neumannsche Randbedingungen”
Die Normalableitung ist auf dem Rand vorgegeben
Beispiel: loses Ende
Die gesuchte Lösung der Wellengleichung muß also:
Wellengleichung erfüllen
Anfangsbedingungen erfüllen
Randbedingungen für alle Zeiten erfüllen
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Grundschwingung n=1
1.Oberschwingung (n=2)
2.Oberschwingung (n=3)
n-1 Knoten
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Stehende Welle als Überlagerung:
Verwende:
nach rechts
laufende Welle
nach links
laufende Welle
Damit:
Wellenberg wird als Wellental reflektiert
(“Phasensprung ”)
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Reflexion am festen Ende (allgemein)
Es entsteht eine am Ursprung gespiegelte Welle die nach rechts läuft
Für die Gesamtlösung gilt dann:
Randbedingung:
R=-1, insbesondere |R| = 1 “Totalreflexion”
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Reflexion am losen Ende
Gleicher Ansatz wie zuvor:
Randbedingung:
liefert R=1 (Tafelrechnung)
Wellenberg wird als Wellenberg reflektiert
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Lösung der schwingenden Saite für konkrete Anfangsbedingungen
Bsp.: gezupfte Saite
aL
h
Auslenkung zu t=0:
Anfangsgeschwindigkeit zu t=0:
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Überlagerung der Eigenschwingungen
n=1..1
n=1..3
n=1..5
n=1..9
n=1..99
Zeitentwicklung Matlab Illustration
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24
Numerische Lösung der schwingenden SaiteDiskretisieren von
ergibt
sich:
mit ( Tafelrechnung)
Mit:
25
V.4.6 Wellengleichung in mehr als einer Raumdimension
Verallgemeinerung des d’Alembert-Operators:
Wellengleichung:
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Beispiel: Transversalschwingung einer Membran
Quadratische Membran am Rand eingespannt ergibt wieder diskretes
Spektrum von Eigenschwingungen / Eigenfrequenzen
können durch Chladnysche Klangfiguren sichtbar gemacht werden
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V.4.7 Typische Wellenphänomene am Beispiel von Wasserwellen --- Huygenssches Prinzip
Allgemeine Theorie der Wasserwellen kompliziert:
nichtstationäre Bewegung von Flüssigkeiten
Beschreibung durch Euler-Gleichung falls Flüssigkeit als
inkompressibel
ohne innere Reibung
angenommen wird
“ideale Flüssigkeit”
Äußere Kraftdichte: Gravitation “Schwerewellen”
Außerdem: Randbedingungen am Rand der Flüssigkeit
Wellengleichung nimmt komplizierte Form an
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Näherungsweise findet man:
“Tiefes Wasser”
(h Wassertiefe)
“seichtes Wasser”
Kapillarwellen:
Rechnung: siehe z.B. Lehrbuch der Theor. Physik, Walter Weizel
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Wasserwellen können näherungsweise als 2-dimensional angenommen
werden.
Für harmonische Punktstörungen findet man dann
als Näherungslösung der Wellengleichung für große r.
“Huygenssche Elementarwelle”
30
Huygenssches Prinzip:
“Jeder Punkt einer Wellenfront wirkt als punktförmige Störung,
die Elementarwellen auslöst. Die Einhüllende der Elementarwellen
ergibt die zeitliche Entwicklung der ursprünglichen Wellenfront”
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Ebene Welle als Überlagerung
von Kreiswellen
Kreiswelle als Überlagerung
von Kreiswellen
Einfache Anwendung des Huygensschen Prinzips
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A B
Reflexion mit Huygensschem Prinzip
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Reflexion an ebener Wand
ebene Wand
EinEin AusAus
ebene Welle
α α
Einfallswinkel Ausfallswinkel
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A B
Brechung mit Huygensschem Prinzip
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Brechung an Grenzflächen
α
β
Medium 1: c1
Medium 2: c2Brechungsgesetz
Kürzester Weg zwischen P1 und P2
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Beugung am Spalt
Ausbreitung in den “geometrischen Schatten”
Wichtig für Hindernisse mit Abmessungen
vgl. Festumzüge: was hört man als erstes ?
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Beugungsmuster bei Streuung am Spalt
Ebene Welle
λ
dα
Beugungsmuster im UnendlichenBeugungsmuster im Unendlichen
α
I2·
0. Ordnung
1. Ordnung
2. Ordnungdα
λ/2d/2
d
λαΔsinαΔ
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Poissonscher Fleck (1818)
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V.4.8 Schallwellen
Ausbreitung von Störungen in Gasen, Flüssigkeiten und Festkörpern
Demo: Klingel unter Vakuumglocke SW 2.12
Unterscheidung nach Frequenzbereichen:
Hörbarer Bereich 16 – 20000 Hz
20 kHz – 10 MHz Ultraschall
10 MHz – Hyperschall
Demo: Tongenerator SW 2.20
Schallwelle ?
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Woher weiß man, dass Schall sich als Welle verhält ?
Falls Schall Welleneigenschaft besitzt, müssen typische Wellenphänomene beobachtbar sein
z.B.: Beugung, Interferenz,…
Beispiel: Stehende Welle in einem Rohr
geschlossenes
Ende
Lautsprecher
Pulver Gas / 2
Schallbauch Schallknoten
Kundt’sches Rohr
SW 2.10
!
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Alternatives Experiment: Rubens’sches Flammrohr
Gas gefülltes
Rohr
Löcher
Flammen unterschiedlich hoch nach Einschalten des Lautsprechers
Was schwingt?
Druckschwankungen als Folge einer stehenden Welle
SW 2.11
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Schallwelle in Luft
FlächeA
dx
p(x) p(x+dx)
v(x) v(x+dx)
Newtonsche Bewegungsgleichung:
reicht noch nicht aus, man braucht noch “Zustandsgleichung” ( p),
vgl. Diskussion Navier-Stokes Gleichung
longitudinale Druckwelle
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Schall in Festkörpern
Elastische Longitudinalwelle
Elastische Rückstellkräfte Wellen
zt
Unendlicher Stab mitDichte: ρ
Elastizitätsmodul: E
z
ρ
Ev
z
ξ
ρ
E
t
ξ2
2
2
2
Schallgeschwindigkeit
zzt
z
Elastische Transversalwelle
ρ
Gv
z
ξ
ρ
G
t
ξ2
2
2
2
Unendlicher Stab mitDichte: ρ
Torsionsmodul: G
Schallgeschwindigkeit
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Doppler-Effekt (C. Doppler 1803-1853)
Wie ändert sich die gehörte Frequenz falls
Beobachter oder Quelle bewegt ist
a) Bewegte Quelle
ruhende Quelle bewegte Quelle
?
45
Doppler-Effekt
b) Bewegter Empfänger / Beobachter
ruhende Quelle
Beobachter
Quelle
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Machscher Kegel (E. Mach 1836 – 1916)
Betrachte nochmal bewegte Quelle:
Ergebnis divergiert für
Es bildet sich eine gemeinsame Wellenfront aus:
Wellenfront mit großer Amplitude (Kopf-,Stoß-,Schockwelle)
starke Verdichtung der Luft “Schallmauer”
47
Machscher Kegel
Was passiert bei ?
M bezeichnet man als Machzahl
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Überschallknall Cherenkovstrahlung geladener
Teilchen mit Überlichtgeschwindigkeit
Machscher Kegel - Anwendungen