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10 Februar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 1Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 1
Vorlesung 28:
Roter Faden: Heute:
Hydrodynamik bei Flüssigkeiten und Gasen
Versuche: turbulente StrömungGeschwindigkeitsprofilBernoulli Prandtlsches Staurohr
Barometrische HöhenformelKaminWindkanal, Tragfläche
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Gase
Gase: Ansammlung von Teilchen ohne oder sehr geringe Anziehungskräfte. Im Gegensatz zu Flüssigkeiten und Festkörper Expansion über das ganze Volumen und durch Druck komprimierbar.Zustand beschrieben durch drei Variablen: p,V,T. Zustandsgleichung: pV=mRT oder p = RT (Allgemeine Gasgleichung).T=Temperatur= Maß für Ekin der Moleküle: Ekin=½m<v2>=3/2 kT(k=Boltzmann-Konstante=1,38 10-23 J/K und pV = NkT)
Kompressibilität: = -1/V V/p=0 für Flüssigkeit und = 1/p für Gas. (V/p=-V/p)
Gewichtskraft/Fläche= Druck p = mg/A = -gh. Oder dp = -g dh. Bei Flüssigkeit: =konst p=p0+gh
Bei Gas: =p/RT=konst. p
(p=p/2 für h=5.5 km in Luft)
p
h
p=p0 exp( -0gh/p0 )
Barometrische Höhenformel:
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Barometrische Höhenformel
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Zug im Kamin
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Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung
Geschwindigkeitsverteilung:Wahrscheinlichkeitsverteilung: f(vz) exp (-E/kT) exp(-½mvz
2/kT) (Gauß-Verteilung)
Für alle Richtungen: f(v) = f(vx)f(vy)f(vz) exp(-½mv2/kT)
Anzahl der Moleküle im Geschwindigkeitsintervall v bis v+dv: n(v)dv = f(v) dvx dvy dvz 4v2 exp(-½mv2/kT)(da Spitzen der Geschwindigkeitsvektoren der Länge v bis v+dv eine
Kugelschale mit dem Volumen 4v2 dv ausfüllen)
Maxwell-Boltzmann:
n(v)dv
v (m/s)
T=70K
T=270K
400
10 Februar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 6Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 6
Hydrodynamik
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Stromlinien bei laminaren Strömung
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Turbulente Strömung
Turbulenz entsteht durch Reibung zwischen den Rand-schichten der Flüssigkeiten oder zwischen Flüssigkeit und Wand Durchmischung der Stromlinien (Wirbel)
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Bernoulli Gleichung
Energie-Erhaltung: Druckleistet Arbeit: W=Ep+Ek
Fds=PAvdt=1/2mv2+mgh
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Beispiele
P1+ gh
P2+½ v22
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Prandtlsches Staurohr
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Steigrohr nach Bernoulli
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Windkanal
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Tragfläche
Dichte der Stromlinien (=Weltlinie eines ‘Staubkorns’)Je dichter die Stromlinien, je höher Geschwindigkeit,da Av konstant ist (Kontinuitätsgesetz)
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Hydrodynamisches Paradoxon
Ansaugen wenn P = P0-P1 = ½ v2 > mg/A
P0
P1
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Magnus-Effekt
10 Februar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 17Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 17
Strahlquerschnitt beim Wasserhahn
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Laminare Strömung durch Rohre
Innere Reibung: F=A dv/dr
Fr
v
dv/dy GeschwindigkeitsgradientF=Kraft um Flüssigkeit mit Konstanter Geschwindigkeitzu transportieren = Viskosität
F=r2 dp = 2 rL dv/dr
v(r)= dv = dp/4 L rdr =r2dp/8 LDies ist Rotationsparaboloid.
Volumen/Zeit durch Zylinder mit Radien zwischen r und r+dr:
dVdr/dt = 2rdr v(r) V = 2r r2dp/8 L dr = R4/8 dp/L
Oder allgemein: V = R4/8 dp/dz (Hagen-Poiseuille Gesetz)(dp/dz = lineare Druckgefälle entlang des Rohres)
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Viskosimeter
Kugel fällt in visköser Flüssigkeit.Nach einiger Zeit gleichförmige Bewegung.Dann gilt: Gewichtskraft – Auftrieb +Reibung = 0
Empirisch gilt: FR= -6RK v. (Stokessches Gesetz)
Daher: 4/3RK3g(K- Fl) -6RK v = 0
Aus gemessener Geschwindigkeit v und bekannter
Kugelradius RK und Dichten kann bestimmtwerden
10 Februar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 20Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 20
Zum Mitnehmen
Hydrodynamik:
Statische Flüssigkeiten: Pascalsche Gesetz:
Strömende Flüssigkeiten: Bernoulli
Statische Gase: barometrische Höhenformel p=p0 exp( -0gh/p0)