U HI P

Hydrodynamik

Georg Wolschin

Wintersemester /Le te Aktualisierung: . November

Inhaltsverzeichnis

Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Strömungslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Hydrodynamische Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ideale Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Eulersche Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Bernoullische Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Euler-Gleichungen im linearisierten Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Hydrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Energie- und Impulsstrom im Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Zirkulation, Thomsonscher Sa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Potentialströmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Inkompressible Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Stromfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Viskose Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Navier-Stokes-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Energiedissipation in einem inkompressiblen viskosen Fluid . . . . . . . . . .

. Hagen-Poiseuillesches Gese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Reynoldssche Zahl; Turbulenzkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Strömungen mit kleinem Re: Stokessche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . .

INHALTSVERZEICHNIS

. Laminarer Nachlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Turbulenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Übergang zur Turbulenz und doppelte Schwelle . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Turbulenzeinsa über Instabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Stabilität stationärer Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Entwickelte Turbulenz in astrophysikalischen Umgebungen . . . . . . . . . .

Grenzschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Die Wärmetransportgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Wärmetransport bei inkompressiblen Fluiden . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Wärmetransport in einem unbegrenzten Medium . . . . . . . . . . . . . . . .

. Konvektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Flüssigkeitsgemische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Brownsche Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Diffusion in relativistischen Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Relativistische Hydrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Energie-Impuls-Tensor einer Flüssigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Relativistische Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Astrophysikalische Hydrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Schockwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . Erzeugung von Schocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

INHALTSVERZEICHNIS

Hydrodynamik der Superflüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Hydrodynamische Gleichungen für He II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Schallausbreitung in Superfluiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Kontinuitätsgleichung für die Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Schwingungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Hydrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Inkompressible Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Wasserwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Poiseuille-Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Laminarer Nachlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Stabilität stationärer Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Energie-Impuls-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Entropieerhaltung in relativistischer Hydrodynamik . . . . . . . . . . . . . . .

Vorwort

Diese Vorlesung ist eine kurzgefaßte Einführung in die Grundlagen der Hydrodynamik. Sieist konzipiert als einsemestrige zweistündige Veranstaltung für Bachelor- undMasterstuden-ten; einige der fortgeschri eneren Teile wie Hydrodynamik der Superfluide sollten auch fürPromovierende von Interesse sein. In diesem Vorwort werden manche Teile besonders be-tont.

Nach der Einordnung derHydrodynamik als Teilgebiet der Kontinuumsmechanik folgt eineinleitendes Kapitel über ideale Fluidemit den Euler-Gleichungen als Grundgleichungen fürdas Geschwindigkeitsfeld, sowie der Kontinuitätsgleichung und der Gleichung für die En-tropierhaltung. Die Nichtlinearität des konvektiven Terms in der Eulergleichung begründetein im Vergleich zur Elastizitätstheorie wesentlich komplexeres Theoriegebäude, das nur inSpezialfällen analytische Lösungen ermöglicht.

Oft sind jedoch Linearisierungen möglich und zulässig, die dann beispielsweise die Ab-leitung der Schwingungsgleichung ermöglichen. Auch die Ausbreitung von Wasserwellenals Oberflächenwellen – je nach Wassertiefe mit oder ohne Dispersion, oder im Fall von Ka-pillarwellen mit anomaler Dispersion – läßt sich so mit einfachen analytischen Methodenbeschreiben.

Der Haup eil der Vorlesung beschäftigt sich mit viskosen Fluiden, und den entsprechenderweitertenGrundgleichungen. DieNavier-Stokes-Gleichungen berücksichtigen den Einflußder dynamischen Viskosität („shear viscosity“) und der Zähigkeit („bulk viscosity“) auf dasGeschwindigkeitsfeld. An festen Oberflächen verschwinden hier nicht nur die normalen,sondern – als Folge der Viskosität – auch die tangentialen Geschwindigkeitskomponenten;im Euler-Fall gibt es dagegen nur eine Randbedingung.

Aus Viskosität folgt Energiedissipation, die Umwandlung von Energie in Wärme. Für in-kompressible Fluide läßt sich die dissipierte Energie relativ leicht berechnen, ebenso dieDurchflußmenge und das Strömungsprofil bei einer Rohrströmung (Poiseuille-Strömung)in linearer Näherung.

Von besonderem Interesse, und nach wie vor Gegenstand aktueller Forschung in zahlrei-chen physikalischen Teildisziplinen wie etwa kalten Quantengasen, ist der Übergang vonder laminaren zur turbulenten Strömung. Die kritische Reynoldszahl liefert nur ein erstes,grobes Kriterium für den Umschlag zur Turbulenz – eine genaueres Kriterium ist die dop-pelte Schwelle, bei der sowohl die Reynoldszahl, als auch die Störung eine kritische Größe

INHALTSVERZEICHNIS

überschreitenmüssen. Unterschiedliche Szenarien zumTurbulenzeinsa werden in der Vor-lesung diskutiert, und die Stabilitätstheorie von L wird dargestellt. Besonders einpräg-same Beispiele zur entwickelten Turbulenz findet man in astrophysikalischen Umgebungen.

Die vormehr als hundert Jahren ( ) von P entwickelte theoretische Beschreibungdes Fluidverhaltens in der Nähe fester Wände – der Grenzschicht – ist ein besonders interes-santer Spezialfall des Gleichungssystems der Hydrodynamik, einschließlich des Umschlagsvon einer laminaren in eine turbulente Grenzschicht bei umströmten Körpern.

Berücksichtigt man Viskosität und Wärmeleitung, besteht das Gleichungssystem derHydrodynamik aus der Navier-Stokes-Gleichung, der – im Vergleich zu idealen Fluiden un-veränderten – Kontinuitätsgleichung, und einer fünften, thermodynamischen Gleichung; sieerse t die Adiabatengleichung bei idealen Fluiden. Aufgrund der irreversiblen Energiedis-sipation wächst die Entropie bei viskosen Fluiden an. Die Änderung der Gesamtenergie istgleich dem Energiestrom, der je t auch Terme aufgrund innerer Reibung undWärmeleitungenthält. Die entsprechende Wärmetransportgleichung läßt sich für inkompressible Fluidewieder stark vereinfachen, in einem ruhenden Fluid wird sie zur Fourierschen Gleichung.Auch andere Spezialfälle ermöglichen analytische Lösungen.

Ist das Fluid nicht homogen, sondern beispielsweise ein Gemisch aus zwei Komponenten,kommen Diffusionsprozesse als zusä liche Quelle von Energiedissipation hinzu. Auch Vor-gänge wie die erstmals von E beschriebene Brownsche Bewegung von Teilchen,die in einer Flüssigkeit suspendiert sind, lassen sich in einer Diffusionstheorie modellieren,wie sie inzwischen in vielen Wissenschaftsbereichen angewandt wird. Ein Beispiel sind Dif-fusionsvorgänge in der Teilchenerzeugung bei relativistischen Schwerionenreaktionen, wieman sie am RHIC in Brookhaven und am LHC in Genf experimentell untersucht.

Wenn die Geschwindigkeit der makroskopischen Fluidströmung – oder die der Fluid-teilchen – mit der Lichtgeschwindigkeit vergleichbar werden, müssen relativistische Bewe-gungsgleichungen aufgestellt werden, die den Euler-Gleichungen bzw. den Navier-Stokes-Gleichungen im nichtrelativistischen Fall entsprechen; dabei geht man vom Energie-ImpulsTensor einer Flüssigkeit aus. Für ideale Fluide diskutieren wir auch die relativistische Verall-gemeinerung der Bernoulli-Gleichung, und den nichtrelativistischen Grenzfall.

Ein wichtiges Anwendungsgebiet der Hydrodynamik ist die Astrophysik, da Sterne undandere kosmische Materieansammlungen wie Galaxien und Galaxienhaufen auf bestimm-ten Längen- undZeitskalen durch die hydrodynamischeApproximation beschriebenwerdenkönnen. Zwar würde eine ausführliche Darstellung den Rahmen dieser Vorlesung sprengen,aber Beispiele wie die Ausbreitung von Schockwellen im interstellarenMedium sollen exem-plarisch zeigen, welche Probleme sich im Rahmen der Hydrodynamik behandeln lassen.

Das abschließende Kapitel über die Hydrodynamik der Superfluide behandelt die von T -( ) undL ( ) aufgestellte Theorie vonHelium II imRahmen eines Zwei-Fluid-

INHALTSVERZEICHNIS

Modells, das sich insbesondere durch eine korrekte Beschreibung der Schallausbreitung inSuperflüssigkeiten auszeichnet („zweiter Schall“). Hier wie auch in anderen Teilen greift dieVorlesung nicht nur auf die Originalliteratur, sondern auch auf die vorhandenen Lehrbü-cher zurück (siehe Literaturverzeichnis), vor allem auf das Lehrbuch von L und L -

, das sich zum vertieften Studium und auch als Nachschlagwerk eignet. Die anderengenannten Bücher sind ebenfalls empfehlenswert; wennman sich z.B. in ein neues Gebiet wiedie astrophysikalische Hydrodynamik einarbeiten möchte, sind die Werke von S oderC ein guter Einstieg.

Zahlreichen Studierenden bin ich für Fragen und Verbesserungsvorschläge dankbar. Dassorgfältige LATEX-Skript hatMori B erstellt, und auch aus Abbildungsskizzen sa ferti-ge Druckvorlagen gemacht; ihm undWasilij B danke ich auch für zahlreiche gründ-liche Korrekturgänge. Hinweise auf dennoch verbleibendeUngenauigkeiten und Fehler – fürdie ich zuständig bin – bi e direkt an mich senden.

Heidelberg, im Februar Georg W

Einleitung

Die Hydrodynamik ist ein Gebiet der Kontinuumsmechanik, der Mechanik der deformier-baren Medien, das sich auf die Betrachtung von Fluiden mit bestimmten Eigenschaftenkonzentriert. Das folgende Diagramm stellt den Zusammenhang zwischen der Hydrodyna-mik und den verwandten und übergeordneten Disziplinen dar:

Kontinuumsmechanik:Mechanik der deformierbaren Medien

Feste Körper:FestkörpermechanikElastizitätstheorieÑ lineare partielle DGL

Nicht dichtebeständige Fluide:Gasdynamikräumlich und zeitlich nahezu

Dichtebeständige Fluide:

konstante Dichte

Dynamik der Fluide,Flüssigkeiten und Gase:StrömungslehreÑ nichtlineare partielle DGL

Hydrodynamik:Newtonsche Fluide

Rheologie:MakromolekulareFluide (z.B. Blut, Polymere)

Abbildung . : Übersicht über die Gebiete der Kontinuumsmechanik

Einleitung

. Strömungslehre

Die Strömungslehre (Dynamik der Fluide) umfaßt mehrere Gebiete der Physik:

. Hydrodynamik für einfache („Newtonsche“) Fluide wie Wasser

. Rheologie:makromolekulare Fluide wie polymere Flüssigkeiten, Blut usw., die sich we-gen der komplizierten Struktur der Moleküle anders als einfache Fluide verhalten

. Gasdynamik: nicht dichtebeständige Fluide

Während sich die Thermodynamik vor allem mit Systemen im thermodynamischen Gleich-gewicht beschäftigt („Gleichgewichts-Thermodynamik“), ist in der Strömungslehre der räum-liche und zeitliche Verlauf von Prozessen in Systemen von Interesse, die sich nicht imGleich-gewicht befinden. Infolgedessen sind die globalen Zustandsgrößen der Gleichgewichts-thermodynamik wie Druck p und Temperatur T nicht mehr ausreichend, um Strömungspro-zesse zu beschreiben.

Wärmebad Wärmebad

T1(r1) T2(r2)

Abbildung . : Stab in zwei Wärmebädern

Beispiel: Ein Stab wird an beiden Enden durch Eintauchen in Wärmebäder aufunterschiedliche Temperaturen gebracht (siehe Abb. . ); die Temperatur ist alsoortsabhängig:

T = T(r)

Nunwird der Stab von denWärmebädern isoliert. Die Temperatur verändert sichdurch den Angleichungsprozeß und wird also auch eine Funktion der Zeit:

T = T(r, t)

Dabei sind kleine, abermakroskopische Teilsysteme zur Zeit t in einer Umgebungdes Ortes r im lokalen Gleichgewicht.

Wird der Stab (oder ein anderes abgeschlossenes Makrosystem) sich selbst über-lassen, geht er schließlich in ein globales Gleichgewicht über. Bis es dazu kommt,gelten zwischen den Zustandsfeldern dieselben Zusammenhänge wie in derGleichgewichts-Thermodynamik.

Einleitung

. Hydrodynamische Beschreibung

Für ein ideales Gas im lokalen Gleichgewicht gilt die Zustandsgleichung

p(r, t)V(r, t) = kBT(r, t) ( . . )

mit dem lokalen Druck p(r, t) und dem spezifischen Volumen V(r, t).

Gibt es Bewegungen im Inneren des Systems, so ist zur Zustandsbeschreibung auch ein Ge-schwindigkeitsfeld v(r, t) bzw. ein Stromdichtefeld j(r, t) = ρ(r, t)v(r, t) erforderlich.

Die Beschreibung eines räumlich und zeitlich unveränderlichen Systems auf der Basis derAnnahme des lokalen Gleichgewichts nennt man die „hydrodynamische Beschreibung“. Aufder Basis dieser Beschreibung soll in dieser Vorlesung die Hydrodynamik im engeren Sinne(d.h., fürNewtonsche Fluide) dargestellt werden. Die Substanzen werden dabei – anders als inder kinetischen Gastheorie und der molekularen Hydrodynamik – als Kontinuum angesehen,d.h., ihre detaillierte molekulare Struktur (Ñ Rheologie) wird dabei nicht berücksichtigt.

Dies bedeutet wiederum, daß ein infinitesimales Volumenelement in der Hydrodynamik ge-genüber dem Volumen des betrachteten Körpers klein sein muß, jedoch groß im Vergleichzu den zwischenmolekularen Volumina. Dies entspricht der Forderung, daß jedes Volumen-element∆V hinreichend viele Moleküle für eine Kontinuumsbeschreibung enthalten müsse.

Der Zustand einer bewegten Flüssigkeit wird dann durch fünf Größen vollständig festgelegt:

• Geschwindigkeitsverteilung v(r, t) (drei Komponenten)

• Zwei beliebige thermodynamische Größen, die über die Zustandsgleichung der Substanzalle anderen thermodynamischen Größen festlegen. Wir wählen hier den Druck p(r, t)und die Dichte ρ(r, t).

Also wird das vollständige Gleichungssystem der Hydrodynamik fünf Gleichungen enthal-ten. Für eine ideale Flüssigkeit (keine Viskosität, keine Wärmeleitfähigkeit) sind dies:

• Die Eulerschen Gleichungen (drei Komponenten)

• Die Kontinuitätsgleichung

• Die Adiabatengleichung (kein Wärmeaustausch mit der Umgebung für S = const)

Während in der Elastizitätstheorie für Festkörper die Probleme oft mit linearen partiellen Diffe-rentialgleichungen formulierbar und exakt lösbar sind, ist dies in der Hydrodynamik nicht derFall: dieGleichungen sind nichtlinear, exakte Lösungen existieren nur selten.Die Entwicklungder Hydrodynamik erfolgte auch deshalb in engem Kontakt zum Experiment.

Ideale Fluide

Bereits im vorigen Kapitel wurden die Charakteristika idealer Fluide erwähnt: sie haben kei-ne Viskosität und keine Wärmeleitfähigkeit. Im Folgenden werden die Grundgleichungen derHydrodynamik für ideale Fluide abgeleitet.

. Kontinuitätsgleichung

Die Kontinuitätsgleichung drückt die Erhaltung der Masse in der Hydrodynamik aus undgilt auch für viskose Fluide.

Die relevanten Größen sind die Dichte ρ, das Volumen V0 und

dA

|dA|

Abbildung . :Oberflächeninfinitesimal

die Masse m =ş

ρdV als Integral der Dichte über V0. Das Dif-ferential des Flusses durch die Oberfläche BV0 des Volumens istgegeben durch

dΦ = ρv ¨ dA , ( . . )

wobei |dA| die Größe des Flächenelements angibt und der VektordA in Richtung der äußeren Normalen zeigt. Demnach gilt hin-

sichtlich des Vorzeichens:

dΦ ą 0 für Fluß aus dV heraus, ( . . )

dΦ ă 0 für Fluß in dV hinein. ( . . )

Der Fluß – die Flüssigkeitsmenge, die pro Zeiteinheit aus V0 herausfließt – ist also gegebendurch das Integral des differentiellen Flusses über die geschlossene Oberfläche von V0:

Φ =

¿

BV0

ρv ¨ dA . ( . . )

Die gleichzeitige Abnahme der Flüssigkeitsmenge in V0 ist

Φ1 = ´Bt

ż

V0

ρdV . ( . . )

Ideale Fluide

Gleichse en von Φ und Φ1 ergibt

´Bt

ż

V0

ρdV =

¿

BV0

ρv ¨ dA . ( . . )

Auf der rechten Seite der Gleichung könnenwir denGaußschen Integralsa anwenden, der fürein kompaktes Volumen V und ein stetig differenzierbares Vektorfeld a einen allgemeinenZusammenhang zwischen einem Volumenintegral und einem Oberflächenintegral über denRand des Volumens herstellt:

ż

V

∇ ¨ adV =

¿

BV

a ¨ dA ( . . )

Aus ( . . ) folgt also

´Bt

ż

V0

ρdV =

ż

V0

∇ ¨ (ρv)dV ( . . )

ñ

ż

V0

[Btρ+∇ ¨ (ρv)]dV = 0 , ( . . )

was für jedes beliebige Volumenelement V0 gelten muß, so daß für den Integranden die Kon-tinuitätsgleichung folgt:

Btρ+∇ ¨ (ρv) = 0 . ( . . )

Unter Zuhilfenahme des Zusammenhanges

∇ ¨ (ρv) = ρ∇ ¨ v+ v ¨ ∇ρ ( . . )

aus der Vektoranalysis läßt sich die Kontinuitätsgleichung auch schreiben als

Btρ+ ρ∇ ¨ v+ v ¨ ∇ρ = 0 ( . . )

oder als

ddtρ+ ρ∇ ¨ v = 0 ( . . )

mit der totalen Ableitung

ddt

= Bt +drdt

¨ Br ( . . )

= Bt + v ¨ ∇ . ( . . )

Ideale Fluide

Alternativ kann die Kontinuitätsgleichung mit dem Stromdichtevektor j = ρv formuliertwerden:

Btρ+∇ ¨ j = 0 ( . . )

Der Stromdichtevektor weist in die Richtung des Geschwindigkeitsvektors v, und sein Be-trag |j| gibt die Flüssigkeitsmenge an, die pro Zeiteinheit durch eine zur Geschwindigkeitorthogonale Flächeneinheit fließt.

. Eulersche Gleichungen

Auf die geschlossene Oberfläche eines Flüssigkeitsvolumens V0 wirkt die Kraft

F = ´

¿

BV0

pdA ( . . )

= ´

ż

V0

∇pdV , ( . . )

die wir erneut mithilfe des Gaußschen Integralsa es als Volumenintegral ausgedrückt ha-ben. Auf jedes Volumenelement dV wirkt die Kraft ´∇pdV.

Die Bewegungsgleichung für ein Volumenelement folgt aus dem

dt

drt t + dt

Abbildung . :Infinitesimale

Verschiebung einesTeilchens

zweiten Newtonschen Gese , das die Kraft pro Volumeneinheitmit dem Produkt aus Dichte und Beschleunigung gleichse t:

´∇p = ρdvdt

( . . )

Dabei ist dv/dt nicht allein die (lokale) Geschwindigkeitsände-rung des Fluids in einem festen Raumpunkt, sondern diejenige ei-nes sich im Raum bewegenden Fluidteilchens im Zeitintervall dt.

Folglich hat dv zwei Anteile:

( ) Änderung im Raumpunkt rwährend dt: „lokale Ableitung“

Btvdt ( . . )

bei konstantem r = (x, y, z).( ) Differenz der Geschwindigkeiten zum gleichen Zeitpunkt in zwei Raumpunktenmit Ab-

stand dr (” dem in dt zurückgelegten Weg):

dxBxv+ dyByv+ dzBzv = (dr ¨ ∇)v , ( . . )

Ideale Fluide

auch konvektive Ableitung genannt.

Die Summe aus ( ) und ( ) ergibt die infinitesimale Geschwindigkeitsänderung

dv = Btvdt + (dr ¨ ∇)v , ( . . )

aus der wir per Division durch dt die substantielle Ableitung gewinnen:

dvdt

= Btv+ (v ¨ ∇)v ( . . )

Die substantielle Ableitung ist ein physikalischer Begriff; aus mathematischer Sicht ist sieidentisch mit dem totalen Differential ( . . ). „Substantiell“ wird sie genannt, da sie die Än-derung der Größe entlang der Bewegung der Substanz, also des bewegten Fluids beschreibt.

Die Bewegungsgleichung ( . . ) kann also ausgeschrieben werden zu

Btv+ (v ¨ ∇)v = ´∇pρ

. ( . . )

Dies sind die Eulerschen Gleichungen für ideale Fluide.

Die Nichtlinearität im Konvektionsglied erschwert die Integration erheblich, denn das Su-perpositionsprinzip hat hier keine Gültigkeit mehr. Gerade die Nichtlinearität der Gleichun-gen zeichnet verantwortlich für die Vielzahl hydrodynamischer Phänomene, und – unterbestimmten Bedingungen – für den Übergang zu chaotischem (turbulentem) Verhalten.

Im Schwerefeldwirkt auf jede Volumeneinheit zusä lich die Kraft ρ g; die Euler-Gleichungenim Schwerefeld lauten also

Btv+ (v ¨ ∇) v = ´∇pρ

+ g . ( . . )

Diese Gleichungen gelten für ideale Fluide, bei denen Wärmeleitung und Zähigkeit vernach-lässigbar sind. Beide Prozesse erzeugen Energiedissipation. Ohne sie ist die Bewegung in je-dem Teil der Flüssigkeit adiabatisch: die Entropie jedes Flüssigkeitselements bleibt bei derBewegung im Raum konstant.

Mit

s =Entropie

Masseneinheitñ

dsdt

= 0 ( . . )

Die Gleichungenwurden von Leonhard E (b Basel, d St. Petersburg) im Jahr gefunden undim Artikel „Principes généraux du mouvement des fluides“ inMémoires de l'Academie des Sciences de Berlin

veröffentlicht.

Ideale Fluide

analog zu dv/dt gilt hier für die totale Zeitableitung, also die Entropieänderung eines sichbewegenden Fluidelements, die Adiabatengleichung

dsdt

= Bts + v ¨ ∇s = 0 . ( . . )

Mit der Kontinuitätsgleichung ( . . ) läßt sie sich als „Kontinuitätsgleichung für die En-tropie“ schreiben,

Bt (ρs) +∇ ¨ (ρsv) = 0 ( . . )

mit der Entropiestromdichte ρsv.

Oft vereinfacht sich die Adiabatengleichung: ist die Entropie anfangs in allen Punkten desFlüssigkeitsvolumens gleich, so bleibt sie auch während der weiteren Bewegung der Flüssig-keit zeitlich unverändert:

S(r)|t=0 = const ñ S(r, t) = const @t ( . . )

Dieser Fall heißt „isentrope“ (oder „homentrope“) Bewegung.

Für diesen Fall lassen sich mit der Enthalpie w (pro Masseneinheit), die auch bei der Be-schreibung isobarer Prozesse wichtig ist, die Euler-Gleichungen ( . . ) vereinfachen, indemman vom Differential der Enthalpie ausgeht:

dw = Tdsloomoon

innereEnergie

+ Vdploomoon

Verdrängungs-arbeit

, ( . . )

wobei V = 1/ρ das spezifische Volumen und T die Temperatur angeben. Falls die Entropiekonstant ist, s = const ñ ds = 0, vereinfacht sich der Ausdruck zu

dw = Vdp =dpρ

. ( . . )

Also folgt für den Gradienten der Enthalpie

∇w =1

ρ∇p . ( . . )

Damit werden die Euler-Gleichungen ( . . ) zu

Btv+ (v ¨ ∇)v = ´∇w , ( . . )

und im Schwerefeld also zu

Btv+ (v ¨ ∇)v = ´∇w + g . ( . . )

Ideale Fluide

Nun bildet man die Rotation auf beiden Seiten und macht sich zunu e, daß nach den Re-sultaten der Vektoranalysis

∇ ˆ ∇ = 0 ( . . )

und

(v ¨ ∇)v =∇v22

´ vˆ (∇ ˆ v) ( . . )

gilt. Damit werden im isentropen Fall die Euler-Gleichungen zu den Euler-Gleichungen für isen-trope Bewegung, die nur das Geschwindigkeitsfeld v(r, t) enthalten :

Bt (∇ ˆ v) = ∇ ˆ [vˆ (∇ ˆ v)] ( . . )

Dazu folgt bei inkompressiblen Fluiden (also für ρ = const) aus

v

vK = 0

Abbildung . :Geschwindigkeitsprofil eines

umgrenzten Fluids

der Kontinuitätsgleichung ( . . ) die Bedingung

∇ ¨ v = 0 . ( . . )

(Der Unterschied zwischen kompressiblen und inkompressi-blen Fluiden fällt allerdings erst ins Gewicht, wenn sich |v| inder Größenordnung der Schallgeschwindigkeit bewegt.)

Außerdem können wir die Randbedingung

vK = 0 am Rand des Fluids ( . . )

aufstellen, die einfach besagt, daß das Fluid nicht in die Wand eindringen kann. Bei zweinicht mischenden Fluiden lautet die Randbedingung

v1K = v2K = vGrenzfläche ( - )K . ( . . )

In den Euler-Gleichungen für die isentrope Bewegung ( . . ) fällt derGravitationstermweg,da Gravitation eine konservative Kraft ist – d.h., sie läßt sich als Gradient eines Potentialsdarstellen –, und da ∇ ˆ ∇ = 0:

Fg = mg = ´∇U . ( . . )

In der nur durch das Geschwindigkeitsfeld bestimmten Form der Euler-Gleichungen gibtes also keine Abhängigkeit von konservativen äußeren Kräften mehr. Der Einfluß einer äu-ßeren Kraft kann sich jedoch in den Randbedingungen beim Lösen der Differentialgleichungbemerkbar machen.

Dies ist nicht möglich, wenn s nicht konstant ist, da dann im allgemeinen ∇ ˆ ∇Pρ ‰ 0 .

Ideale Fluide

. Bernoullische Gleichung

Bei einer stationären Strömung ist die Strömungsgeschwindigkeit in jedem Raumpunkt, dendas Fluid einnimmt, zeitlich konstant:

Btv = 0 . ( . . )

Die isentropen Eulerschen Gleichungen ( . . ) in der Form

Btv´ vˆ (∇ ˆ v) = ∇(

w +v2

2

)( . . )

werden dann zu

∇v2

2´ vˆ (∇ ˆ v) = ´∇w . ( . . )

Daraus läßt sich die Bernoullische Gleichung ableiten:

v2

2+ w = const ( . . )

Dabei ist zu beachten, daß derWert der Konstanten für verschiedene Stromlinien unterschied-lich ist.

Bei stationären Strömungen stimmen Stromlinien mit den Bahnkurven der Flüssigkeitsparti-kel überein. Bei einer nichtstationären Strömung ist das nicht der Fall.

v1v3

v2

Stromlinie Bahnkurve

t1 t2 t3

v1(t1) v1(t2) v1(t3)

Abbildung . : Bahnkurven und Stromlinien

Die Tangenten der Stromlinien geben die Richtung des Geschwindigkeitsvektors zu einemgegebenen Zeitpunkt an (für verschiedene Fluidteilchen in aufeinanderfolgenden Raumpunk-ten).

Die Tangenten der Bahnkurven geben die Richtungen der Geschwindigkeiten v bestimmterFluidteilchen zu aufeinanderfolgenden Zeitpunkten an.

Daniel B (b Groningen, d Basel) veröffentlichte die Gleichung in seinem HauptwerkHydrodynamica.

Ideale Fluide

Im Schwerefeld muß in der Euler-Gleichung – und dementsprechend in der Bernoulli-Gleichung – g ergänzt werden. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wählen wir dafür diez-Richtung:

v2

2+ w + gz = const ( . . )

Daniel Bernoulli fand die Gleichung jedoch nicht als Ableitung aus der (damals noch un-bekannten) Euler-Gleichung, sondern direkt aus dem Energiesa als

ρv2

2loomoon

kinetische Energiepro Volumen-Einheit

+ ploomoon

Druck: potentielleEnergie derinneren Kräfte

+ ρgzloomoon

potentielle Energieder äußeren Kraftpro Volumeneinheit

= const . ( . . )

Die Bernoullische Gleichung hat wichtige Anwendungen im Turbinenbau, der Aerodyna-mik etc. Obwohl ihre Ableitung aus den Eulerschen Gleichungen (Ñ Literatur) zunächst nurfür stationäre Strömungen gilt, läßt sich die BernoullischeGleichung auch auf nichtstationäreStrömungen verallgemeinern.

Beispiel : Aus der Bernoullischen Gleichung folgt das Torricellische Theorem, dasTorrcelli – ein Schüler Galileis – etwa Jahre vor Bernoulli fand.

z

´h

0

Abbildung . : Gefäß mit Hahn

Ein Gefäß ist bis zu einer Höhe hmit einem Fluid gefüllt. Der Auslaß ist geschlos-sen, so daß im ganzen Gefäß v = 0 gilt. Außerdem ist der der Druck (relativ zumAtmosphärendruck) p = 0 an der Oberfläche bei z = 0. Aus der BernoullischenGleichung folgt daher für z = 0, daß const = 0. Also gilt am Boden

p = ρgh . ( . . )

Das ist der hydrostatische Druck.

Evangelista T (b Faenza, d Florenz).

Ideale Fluide

Wird der Hahn geöffnet, so herrscht an der ÖffnungAtmosphärendruck, also p =

0. Dies reduziert die Bernoullische Gleichung auf

v2

2= gh . ( . . )

Für die Ausflußgeschwindigkeit v gilt also

v =a

2gh , ( . . )

was eine einfache Anwendung des Energiesa es vermi els der BernoullischenGleichung ist.

Beispiel : Die Änderung des Drucks in einer stationären Strömung von verän-derlichem Querschni ist der Änderung von |v| entgegengese t: bei Inkompres-sibilität ist die Druckflußmenge in jedem Querschni dieselbe, so daß v bei ab-nehmendemQuerschni zunimmt, bei zunehmendem Querschni aber geringerwird. Nach der Bernoullischen Gleichung ( . . ) bei gleichbleibendem z,

ρv2

2+ p = const , ( . . )

verhält sich der Druck umgekehrt.

vv Õ

p Œ

Abbildung . : Horizontale Röhre von veränderlichem Querschni

(Eine Menschenmenge in einer sich verengenden Passage verhält sich gegensä -lich: die Geschwindigkeit nimmt ab, der Druck aber nimmt zu.)

Beispiel : Preßluft strömt durch einen Kanal mit zunehmendemQuerschni ge-gen eine beweglich gelagerte Pla e. In der Folge wird die Pla e angehoben.

Der Grund dafür ist, daß im Kanal die Geschwindigkeit der Luft abnimmt; derDruck nimmt alsowegen der BernoullischenGleichung bzw. demEnergiesa zu.Am Kanalende herrscht aber Atmosphärendruck p0, kurz davor im Kanal mußalso p ă p0 gelten – es entsteht also eine Sogwirkung von oben, und die Pla ewird angehoben. (Die Darstellung ist stark vereinfacht.)

Ideale Fluide

p0 p0

p ă p0 beweglichePla e

p0

Abbildung . : Preßluft in vertikaler Röhre

. Euler-Gleichungen im linearisierten Fall

Wir erinnern uns an die Euler-Gleichungen ( . . ),

Btv+ (v ¨ ∇)v = ´∇pρ

, ( . . )

und die Kontinuitätsgleichung ( . . ),

Btρ+∇ ¨ (ρv) = 0 . ( . . )

In idealen kompressiblen Fluiden ist ∇ ¨ v ‰ 0.

Um kleinere harmonische Luftschwingungen beschreiben zu können, wünschen wir einelineare Lösung dieser Gleichungen. Wir nähern also

dvdt

= Btv+ (v ¨ ∇)v « Btv ( . . )

und eliminieren damit die quadratischenAnteile in der Gleichung. Dadurch könnenwir aku-stische Schwingungen in Fluiden beschreiben.

Es sei p dieDruckabweichung vomAtmosphärendruck p0 undρ dieDichte.Wir entwickelnρ räumlich um die Dichte der ungestörten Atmosphäre ρ0:

ρ = ρ0 +ξ Bxρ|x0loomoon

=0

+ξ2

2B2

xρˇ

ˇ

x0+ . . . ( . . )

Ideale Fluide

Größen der . Ordnung und höher vernachlässigen wir, so daß sich als Linearisierung derDichte ρ « ρ0 ergibt. Wir erhalten also aus ( . . ) und ( . . ) vier lineare Gleichungen:

ρ0Btv+∇p = 0 ( . . )

Btρ+ ρ0∇ ¨ v = 0 ( . . )

Die Beschreibung wird also auf zeitliche Änderungen der Dichte an einem festen Ort x0 kon-zentriert.

Der Zusammenhang vonDruck p undDichte ρ läßt

ρ

ρ0

xx0

Abbildung . : Quasi-harmonischeDichteverteilung

sich über die Thermodynamik herstellen: bei isother-men Zustandsänderungen ist

∇p = c2∇ρ , ( . . )

was uns ermöglicht, die Schallgeschwindigkeit an-zunähern als

c «

c

p0ρ0

. ( . . )

Auf Meereshöhe ist

ρ0 = 1.928kgm3

p0 = 101 325Pa « 1ˆ 105Pa

= 1013.25hPa

ñ c =

c

101 3251.2928

ms

« 279.96ms

. ( . . )

T [°C] 0 10 20 30c [m/s] 332 338 344 350

Tabelle . : Experimentelle Werte für c bei verschiedenen Temperaturen

Tabelle . gibt experimentelle Werte von c in Luft an. Offenbar ist der isotherme Wert von280ms wesentlich zu klein, da bei einem schnellen Wechsel der Luftschwingungen kein Wär-meausgleich möglich ist und deshalb die Zustandsänderung bei der Schallausbreitung nichtisotherm, sondern adiabatisch ist. Es gilt also die adiabatische Zustandsgleichung

pVκ = const . ( . . )

Ideale Fluide

Der Adiabatenkoeffizient κ ist der Quotient der spezifischen Wärmekapazitäten,

κ =cp

cv= 1+

2

f( . . )

wobei f die Zahl der Freiheitsgrade angibt. Für zweiatomige Gase ist f = 5, da sie dreiTranslations- und zwei Rotationsfreiheitsgrade besi en; also ist κ2 = 7/5 « 1.4. Für eina-tomige Gase ohne Rotationsfreiheiten (in der klassischen Anschauung) ist f = 3 und alsoκ1 = 5/3. Außerdem gilt

dpdρ

= κp0ρ0

= c2 ( . . )

und also

c =

c

κp0ρ0

«?1.4 ¨ 279.96

ms

« 331.25ms

, ( . . )

was wiederum in guter Übereinstimmung mit den experimentellen Werten ist.

(Für polytrope Prozesse gilt allgemein

pVn = const , ( . . )

wobei n = 0 einer isobaren, n = 1 einer isothermen, n = κ einer adiabatischen und n = 8

einer isochoren Zustandsänderung entspricht.)

In den linearisierten Euler-Gleichungen kann nun über die Schallgeschwindigkeit c derDruck p über die Dichte ρ ausgedrückt werden:

ρ0Btv+ c2∇ρ = 0 ( . . )

Wir eliminieren v, indem wir die linearisierte Kontinuitätsgleichung ( . . ) partiell nach tableiten,

B2t ρ+∇ (ρ0Btv) = 0 , ( . . )

und die Euler-Gleichungen einse en:

B2t ρ = c2∆ρ . ( . . )

DieselbeGleichung gilt für p, da∇p,∆p und B2t p bis auf c2 gleich denmitρ gebildetenGrößen

sind:

B2t p = c2∆p . ( . . )

Ideale Fluide

DieseGleichung heißt die Schwingungsgleichung. Sie kann imEindimensionalen (∆ = B2x) eine

schwingende Saite beschreiben, oder im Zweidimensionalen (∆ = B2x + B2

y) eine schwingendeMembran.

Die Lösung der Gleichung im Eindimensionalen,

B2t p = c2B2

x p , ( . . )

ist möglich durch den sogenannten d'Alembertschen Ansa :

p(x, t) = F1(x + ct) + F2(x ´ ct) ( . . )

mit willkürlichen reellen Funktionen F1, F2. Mit den Anfangsbedingungen

p = f1(x), Bt p = f2(x) ( . . )

für t = 0 wird

F1(x) + F2(x) = f1(x) , ( . . )

F11(x) ´ F1

2(x) =1

cf2(x) . ( . . )

Integration ergibt

F1,2(x) =1

2

f1(x) ˘1

c

xż

x0

f2(ξ)dξ

. ( . . )

Ð c c Ñ

x

p(x, t)

f1(x)

Ð 12 f1(x) 1

2 f1(x) Ñ

Abbildung . : Zeitliche Ausbreitung einer Druckstörung

Für f2 ” 0wandert eine anfängliche Druckstörung f1(x) zur Hälfte nach rechts, zur Hälftenach links, jeweils mit Geschwindigkeit c und ohne Änderung der Form. Das entspricht derAusbreitung eines Geräuschesmit Schallgeschwindigkeit c (analog zur Saite, die bei t = 0 an-gezupft und dann sich selbst überlassen wird). Die Fortpflanzung erfolgt longitudinal: Trans-versalwellen gibt es in idealen Fluiden nicht.

Ideale Fluide

Bei periodischen Luftschwingungen istω = 2π/T die Kreisfrequenz, ν = ω/(2π) = 1/T dieFrequenz (Zahl der Schwingungen pro Sekunde, Tonhöhe). Also sind F1, F2 trigonometrischeFunktionen mit Phasenα, β:

F1(x + ct) = b cos(kx +ωt +β) in x-Richtung , ( . . )

F2(x ´ ct) = a cos(kx ´ωt +β) in x-Richtung . ( . . )

Bei a = b ergibt die Überlagerung eine stehende Welle. Die Schallgeschwindigkeit ist gegebendurch die Dispersionsrelation

c =ω

k=λ

T. ( . . )

. Hydrostatik

Für eine ruhende Flüssigkeit ohne äußere Kräfte werden die

p1

p2 p3

Abbildung . : ZumPascalschen Gese

Euler-Gleichungen ( . . ) wegen v ” 0 zu

∇p = 0 ñ p = const . ( . . )

DerDruck ist in allen Punktender Flüssigkeit gleich (im Innerenund amRand). ImSchwerefeldwirddie Eulergleichunghingegenzu

∇p = ρg . ( . . )

Das ist das Pascalsche Gese .

Für inkompressible Fluide (ρ = const) läßt sich die Gleichung integrieren:

Bx p = By p = 0 ( . . )

Bz p = ´ρg ( . . )

ñ p = ´ρgz = const ( . . )

mit const = p0. An der Oberfläche ist z = h, also ist der Druck p = p0.

ñ const = p0 + ρgh ( . . )

ñp = p0 + ρg (h ´ z) . ( . . )

Ideale Fluide

z

h

0

p0

Abbildung . : Einheitlicher Druck in ruhendem Fluid

Im allgemeinen – und besonders für Gase – ist ρ jedoch nicht konstant; für Fluide im ther-mischen Gleichgewicht läßt sich die Euler-Gleichung dennoch integrieren.

Beispiel: Rotation eines Zylinders. Wir betrachten eine flüssigkeitsgefüllte Zen-trifuge, die mit ω = const um die Vertikale rotiert. Die Zentrifugalkraft hat einPotential und ermöglicht ein Gleichgewicht, es handelt sich also um ein quasi-statisches Problem.

Die Zentrifugalkraft pro Volumeneinheit ist

Fr = ρrω2 , ( . . )

also ist das Zentrifugalpotential

Ur = ´1

2ρr2ω2 mit F = ´∇U . ( . . )

Das Gesamtpotential von Gravitation und Rotation ist also

U = ρgz ´1

2ρr2ω2 ( . . )

= ρg(

z ´r2ω2

2g

). ( . . )

Die mechanische Gleichgewichtsbedingung lautet

∇p = F = ´∇U ( . . )

ñ ∇ (p + U) = 0 ( . . )

ñ p + U = const ( . . )

ô p = ρg(

r2ω2

2g´ z)+ const . ( . . )

Die Konstante könnenwir bestimmen anhand derWasserstandshöhe z0 bei r = 0.p ist derÜberdruck ausgehend vomäußerenAtmosphärendruck, alsomuß ander

Blaise P (b Clermont-Ferrand, d Paris).

Ideale Fluide

Oberfläche p = 0 sein.

ñ 0 = ´ρgz0 + const ( . . )

ñ const = ρgz0 . ( . . )

z

z0 x

0

h z ´ z0r

Abbildung . : Oberflächenparaboloid in der Zentrifuge

Das Druckprofil ist also

p = ρg(

r2ω2

2+ z0 ´ z

). ( . . )

Daraus folgt die Gleichung der „freien Oberfläche“ mit p = 0:

z ´ z0 =r2ω2

2g( . . )

und mit der Auftriebshöhe h des Wassers am Rand: r = R ñ h = z ´ z0.

Die Bahngeschwindigkeit ist v = ωr, so daß die Höhe durch ein Oberflächenpa-raboloid beschrieben wird:

h =v2

2g. ( . . )

Die Niveauflächen konstanten Drucks sind kongruente Paraboloide, die gegendas Oberflächenparaboloid nach unten verschoben sind.

. Energie- und Impulsstrom im Fluid

Die Energie des Fluids pro Volumenelement ist

ρv2

2+ ρε = kinetische Energie+ innere Energie , ( . . )

Ideale Fluide

wobei ε die innere Energie pro Masseneinheit angibt. Bei Bewegung folgt die zeitliche Ände-rung der partiellen Ableitung

Bt

[ρ

v2

2+ ρε

], ( . . )

die sich aus der Kontinuitätsgleichung ( . . ), den Euler-Gleichungen ( . . ) und der ther-modynamischen Relation

dε = Tds +pρ2dρ ( . . )

berechnen. Man erhält

Bt

[ρ

v2

2+ ρε

]= ´∇ ¨

[ρv(

v2

2+ w

)]( . . )

mit der Enthalpie pro Masseneinheit

w = ε+ pV = ε+pρ

. ( . . )

Die Energieänderung des Fluids pro Zeiteinheit in einem gegebenen Volumen V ergibt sichdurch die Integration über dieses Volumen:

VBV

Abbildung . :Energieänderung eines

Fluids

Bt

ż

V

[ρ

v2

2+ ρε

]dV = ´

ż

V

∇ ¨

[ρv(

v2

2+ w

)]dV . ( . . )

Dieses Integral können wir mit dem Gaußschen Integralsa ( . . ) inein Oberflächenintegral umformen:

Bt

ż

V

[ρ

v2

2+ ρε

]dV =

¿

BV

ρv(

v2

2+ w

)¨ dA ( . . )

=

¿

BV

j(

v2

2+ w

)¨ dA . ( . . )

Dies ist die Energiemenge, die pro Zeiteinheit aus dembetrachtetenVolumenV durch dessenBegrenzungsfläche F = BV herausfließt. Also ist

ρv(

v2

2+ w

)= j(

v2

2+ w

)( . . )

der Vektor der Energiestromdichte.

Das Fluid mit Stromdichte j = ρv führt pro Masseneinheit bei der Bewegung die Energiev2/2 + w mit sich: hier steht die Enthalpie anstelle der inneren Energie w = ε + p/ρ. Wir

Ideale Fluide

können also schreiben:

Bt

ż

V

[ρ

v2

2+ ρε

]dV =

¿

BV

ρv(

v2

2+ε

)¨ dA´

¿

BV

ρv ¨ dA , ( . . )

wobei das erste Integral die kinetische Energie ist, die pro Zeiteinheit durch die Oberflächetransportiert wird, und das zweite Integral die Arbeit angibt, die von den Druckkräften ander Flüssigkeit innerhalb der geschlossenen Oberfläche geleistet wird.

Der Impulsstrom folgt analog dazu aus der Kontinuitätsgleichung, den Euler-Gleichungenund thermodynamischen Relationen:

ρv = Impuls pro Volumeneinheit ( . . )

Bt (ρv) = Geschwindigkeit der Impulsänderung ( . . )

Vereinfachend läßt sich die totale zeitliche Änderung des Impulses pro Volumeneinheitschreiben als

Bt

ż

V

ρvdV = ´

ż

V

∇[p + ρv2

]dV ( . . )

= ´

¿

A

[p + ρv2

]dA . ( . . )

Die Dichte des Impulsstromes durch die Oberfläche ist also

p + ρv2 , ( . . )

wobei schon die etwas eigenartig anmutende Anwendung des Gaußschen Integralsa es in( . . ) darauf hindeutet, daß es sich hier eigentlich um eine tensorielle Größe handelt, diedurch ein Skalar nur unzureichend beschrieben werden kann.

. Zirkulation, Thomsonscher Sa

Die Zirkulation längs einer geschlossenen Kurve ist definiert als

Γ =

¿

C

v ¨ dl , ( . . )

wobei dl ein Linienelement auf der Kurve C angibt. Bei Bewegung des Fluids ändern sich vund die Gestalt der Kurve. Die Veränderung der Zirkulation bestimmen wir durch die totale

Ideale Fluide

Zeitableitung

dΓdt

=ddt

¿

C

v ¨ dl . ( . . )

Dadurch erhalten wir die Änderung der Zirkulation längs einer sich bewegenden Flüssigkeits-kurve.

Wir wollen die Differentation nach den Ortskoordinaten

v1 v2 v3

Abbildung . : Änderung derZirkulation

durch ein δ ausdrücken, die Differentation nach der Zeit hin-gegen durch ein d. dr ist also ein Linienelement auf der Kurve,das wir als Differenz zweier Ortsvektoren δr = r2 ´ r1 schrei-ben können:

Γ =

¿

v ¨ δr . ( . . )

Die zeitliche Ableitung der Zirkulation ist also

dΓdt

=ddt

¿

v ¨ δr =¿

dvdt

¨ δr+¿

vddt

¨ δr . ( . . )

Es ist

r1r2

dr

Abbildung . :Linienelement aufder Kurve

vddt

¨ δr = v ¨ δdrdt

= v ¨ δv = δv2

2( . . )

und¿

δv2

2= 0 , ( . . )

da ein Integral über ein vollständiges Differential längs einer geschlos-senen Kurve verschwindet. Also ist

dΓdt

=ddt

¿

v ¨ δr =¿

dvdtδr . ( . . )

Für isentrope Bewegungen ist die Beschleunigung

a =dvdt

= Btv+ (v ¨ ∇)v = ´∇w ( . . )

Ideale Fluide

undmit dem Sa von Stokes läßt sich das Kurvenintegral in ein Flächenintegral überführen,¿

C

a ¨ dr =ż

A

(∇ ˆ a) ¨ dA ( . . )

ñ

¿

C

dvdt

¨ δr =ż

A

(∇ ˆ

dvdt

)¨ dA ( . . )

= 0 ( . . )

wegen dv/dt = ´∇w und ∇ ˆ ∇ = 0. (Wegen ∇ ˆ g = 0 gilt dies auch im Schwerefeld.)

ñddt

¿

C

v ¨ dl = 0 ( . . )

ñ Γ =

¿

C

v ¨ dl = const . ( . . )

Dies ist der Thomsonsche Sa , der Erhaltungssa für die Zirkulation: in einer idealen Flüs-sigkeit ist die Zirkulation längs einer geschlossenen Kurve bei isentroper Strömung konstant.

Auf eine unendlich kleine geschlossene Kurve δC angewandt, ergibt der Sa mithilfe desStokesschen Integralsa es die Erhatung derWirbelung ∇ ˆ v der Fluidströmung:

¿

δC

v ¨ dl =ż

δA

(∇ ˆ v) ¨ dA « (∇ ˆ v) ¨ δA ( . . )

!= const . ( . . )

. Potentialströmungen

∇ ˆ v = 0 ∇ ˆ v ‰ 0

Abbildung . : Wirbelfreie und nicht wirbelfreie Strömungen

Potentialströmungen sind Strömungen, für die im ganzen Raum

∇ ˆ v = 0 ( . . )

Aufgestellt von William T , ₁. B K (b Belfast, d Netherhall).AuchWirbelstärke; vorticity in englischsprachiger Literatur.

Ideale Fluide

gilt, d.h., sie sind wirbelfrei bis auf singuläre Punkte oder Linien. BeiWirbelströmungen hinge-gen gilt im allgemeinen

∇ ˆ v ‰ 0 . ( . . )

Aus der Erhaltung der Zirkulation folgt – zunächst für stationäre Strömungen – die Wir-belfreiheit: Sei ∇ ˆ v = 0 auf einem Punkt der Stromlinie. Eine infinitesimale geschlosseneKurve δC umschließe die Stromlinie und bewege sich mit dem Fluid. Also folgt mit dem Savon Stokes:

¿

δC

v ¨ dl = const =ż

A

(∇ ˆ v) ¨ dA . ( . . )

Daraus folgt, daß

Abbildung . :Turbulenzen antangentialerUnstetigkeit

∇ ˆ v = 0 ( . . )

entlang der gesamten Stromlinie; die Rotation verschwindet auch inallen anderen Punkten der Stromlinie. Bei nicht stationären Strömungengilt das auch, nur betrachtet man hier anstelle der Stromlinie die in derZeit von einembestimmten Fluidteilchen zurückgelegteBahnkurve (dienur bei stationären Strömungen mit der Stromlinie übereinstimmt).

Ist der von ´8 auf einen Körper einströmende Strom „homogen“ (v = const), so ist diestationäre Strömung um einen beliebigen Körper eine Potentialströmung mit ∇ ˆ v = 0.Dennoch unterscheidet sich das wahre Strömungsbild beim Umströmen eines Körpers voneiner Potentialströmung, denn die Strömung längs derWand ermöglicht keine geschlossenenKurven um Stromlinien. Das führt dazu, daß die Stromlinien sich „ablösen“ und im Innerender Flüssigkeit verlaufen: es gibt einen Sprung in der tangentialen Geschwindigkeitskompo-nente.

Für ideale Fluide gibt es also eine unendliche Mannigfaltigkeit von Lösungen mit Flächen tan-gentialer Unstetigkeiten. Da sie instabil sind, wird die Strömung turbulent. Bei realen (visko-sen) Fluiden ist die Lösung jedoch als Folge der Zähigkeit im allgemeinen eindeutig; ent-scheidend ist dabei das Verhalten der Grenzschicht.

Bei stromlinienförmigen Körpern ist die Strömung nur in einer dünnen Flüssigkeitsschichtin der Nähe der Oberfläche des Körpers und im schmalen Bereich desNachlaufs keine Poten-tialströmung.

Beispiel für eine Potentialströmung: Kleine Schwingungen eines eingetauchtenKörpers.

Ideale Fluide

Potentialströmung

Nachlauf

Abbildung . : Nachlauf in einer Potentialströmung

Für kleine Amplituden a ! l (wobei l die lineare Dimension des Körpers angibt)ist die Strömung umden schwingenden Körper eine Potentialströmung. Die Grö-ßenordnung der Glieder in den Euler-Gleichungen schä en wir ab zu

Btv+ (v ¨ ∇)v = ´∇w . ( . . )

Für den schwingenden Körper gilt:

z(t) = a cosωt ( . . )

u(t) = ´ωa sinωt ( . . )

Btu(t) = ´ω2a cosωt ( . . )

|umax| =ωa ( . . )ˇ

ˇBtu|maxˇ

ˇ =ω2a ( . . )

zu

l

v a

Abbildung . : Schwingender Körper in einem Fluid

Die Strömungsgeschwindigkeit vwird durch die Schwingungen desKörpers (mitu) in Abständen der Größenordnung l geändert. Für die Ableitung von v gilt also

Btv „ul

. ( . . )

Ideale Fluide

In der Nähe des Körpers wird die Größe von v durch u bestimmt,

v „ u ñ |(v ¨ ∇)v| „u2

l. ( . . )

Wegenω „ u/a ist dort mit v „ u

|Btv| „ωu „u2

a. ( . . )

Für kleine Schwingungen, a ! l, folgt

|(v ¨ ∇)v| ! |Btv| ( . . )

ñ Btv » ´∇w , ( . . )

d.h., der konvektive Teil wird vernachlässigt.

Bilden wir die Rotation von ( . . ), so folgt

Bt (∇ ˆ v) = 0 ( . . )

ñ ∇ ˆ v = const . ( . . )

Da der zeitliche Mi elwert von v verschwindet, ⟨v⟩t = 0, gilt

∇ ˆ v = 0 . ( . . )

Die Strömung einer Flüssigkeit, die kleine Schwingungen ausführt, ist in ersterNäherung eine Potentialströmung.

Eigenschaften von Potentialströmungen sind:

a) Die Zirkulation längs einer beliebigen geschlossenen Kurve ist 0:

Γ =

¿

C

v ¨ dl =loomoon

Stokes

ż

A

(∇ ˆ v) ¨ dA = 0 . ( . . )

Es existieren also keine geschlossenen Stromlinien in einer Potentialströmung, denn dieRichtungder Stromlinie stimmtmit der RichtungderGeschwindigkeit überein, unddieZirkulation längs einer geschlossenen Linie wäre ‰ 0.

b) Wegen ∇ ˆ v = 0 kann bei Potentialströmungen v als Gradient eines Skalars – des Ge-schwindigkeitspotentials Φ – dargestellt werden:

v = ´∇Φ , ( . . )

Ideale Fluide

so daß die Euler-Gleichungen für die Geschwindigkeit

´Btv+∇v22

´ vˆ (∇ ˆ v) = ´∇w ( . . )

sich mit dem Geschwindigkeitspotential als Potentialgleichung schreiben läßt:

∇(

BtΦ+v2

2+ w

)= 0 . ( . . )

Also muß gelten, daß

BtΦ+v2

2+ w = f (t) ( . . )

mit einer beliebigen Zeitfunktion f (t); mit w = p/ρ verknüpft diese Gleichung Ge-schwindigkeit und Druck.

Für eine stationäre Strömung ist Φ zeitunabhängig,

BtΦ = 0 , ( . . )

und also bleibt

v2

2+ w = const , ( . . )

worin wir die Bernoullische Gleichung wiedererkennen, die für stationäre Strömungen of-fenbar direkt folgt.

Man beachte, daß für eine Potentialströmung die Konstante in der Bernoullischen Glei-chung imgesamten Fluidvolumenkonstant ist, in einer beliebigen Strömung jedochnur längseiner einzelnen Stromlinie.

. Inkompressible Fluide

Ein Fluid ist inkompressibel für

∆ρ

ρ! 1 , ( . . )

also wenn keine merkliche Kompression oder Ausdehnung während der Bewegung sta fin-det.

Ideale Fluide

Für das Vorliegen von Inkompressibilität ist erforderlich, daß die Abschä ung der Dichte-änderung∆ρ bei einer adiabatischen Druckänderung ∆p möglich ist als

∆ρ = Bpρˇ

ˇ

s=const∆p . ( . . )

Nach Bernoulli sind die Druckschwankungen in einer stationär strömenden Flüssigkeit vonder Größenordnung

∆p „ ρv2 . ( . . )

Ferner ist mit der Schallgeschwindigkeit c im Fluid

Bρp|s = c2 ( . . )

ñ ∆ρ „ρv2

c2( . . )

ñ∆ρ

ρ„

v2

c2! 1 ( . . )

und also

v ! c . ( . . )

Dies ist eine notwendige Bedingung für Inkompressibilität. Für eine stationäre Strömung istdies auch hinreichend. Für nicht stationäre Strömungen muß eine weitere Bedingung erfülltsein: die Zeit s/c, in der ein Schallsignal die Entfernung s zurücklegt, muß klein sein gegen-über der Zeit τ , in der sich die Strömung merklich ändert – dann läßt sich die Ausbreitungvon Wechselwirkungen in der Flüssigkeit als momentaner Prozeß beschreiben:

sc

! τ . ( . . )

Zur Herleitung gehe man aus von den Euler-Gleichungen ( . . ) ohne Konvektionsterm,

|Btv| =

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

∇pρ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

, ( . . )

woraus man ableitet, daß

vτ

„∆psρ

( . . )

ñ ∆o „sτρv . ( . . )

Die zugehörige Änderung von ρmit∆ρ „ ∆p/c2 ist

∆ρ „sρvτc2

. ( . . )

Ideale Fluide

Nun vergleiche man in der Kontinuitätsgleichung ( . . ) Btρ mit ρ∇ ¨ v; es zeigt sich, daßBtρ vernachlässigbar ist, da ρ „ const für ∆ρ/τ ! ρv/s oder ∆ρ/ρ „ sv/

(τc2)

! τv/s. Diesist der Fall für τ " s/c.

Für ρ » const ändern die Eulerschen Gleichungen ihre Gestalt nicht; man kann jedoch ρ inden Gradienten ziehen:

Btv+ (v ¨ ∇)v = ´∇ pρ+ g . ( . . )

Die Kontinuitätsgleichung wird für ρ = const zu

∇ ¨ v = 0 . ( . . )

Da die Dichte bekannt (konstant) ist, wählt man als System von Grundgleichungen ambesten solche, die nur Geschwindigkeiten enthalten, also die isentropen Euler-Gleichungen( . . ),

Bt (∇ ˆ v) = ∇ ˆ [vˆ (∇ ˆ v)] . ( . . )

Da in den Euler-Gleichungen∇ (p/ρ) sta ∇w steht, läßt sich die Bernoulli-Gleichung ange-ben in der Form

v2

2+

pρ+ gz = const , ( . . )

und die Energiestromdichte wird zu

ρv(v2

2+ w

)= ρv

(v2

2+

pρ

). ( . . )

Für die Potentialströmung eines inkompressiblen Fluids

Staupunkt

Abbildung . : Staupunkt instationärer Strömung

werden die Gleichungen besonders einfach: mit ∇ ˆ v = 0

sind die Euler-Gleichungen ( . . ) identisch erfüllt. Die In-kompressibilitätsgleichung ∇ ¨ v = 0 wird mit einer Potenti-algeschwindigkeit

v = ´∇Φ ( . . )

zur Laplace-Gleichung für das Geschwindigkeitspotential Φ,

∆Φ = 0 . ( . . )

Auch diese Gleichung ha e Leonhard E als erster eingeführt; sie enthält die Zeit nicht explizit, sondernnur über die Randbedingungen.

Ideale Fluide

Die Randbedingungen am Kontaktflächenrand des Fluids sind

. für eine feste Wand: vK = 0;

. für eine bewegliche Wand: vK = Projektion der Wandgeschwindigkeit auf die Norma-lenrichtung;

und es ist

vK = BeKΦ ( . . )

eine vorgegebene Funktion der Koordinaten und der Zeit, wobei eK die Normalenrichtungangibt. Die Randbedingungen hängen also nur von der Richtung des Geschwindigkeitsvek-tors ab.

Wegen der Bernoulli-Gleichung ( . . ),

v2

2+

pρ= const , ( . . )

ist der Druck bei eine stationären Strömung eines inkompressiblen Fluids ohne Schwerefelddort am größten, wo die Geschwindigkeit verschwindet (siehe Abb. . ). Dieser Punkt heißtStaupunkt. Wir nennen u die Geschwindigkeit, p0 den Druck des Fluids im Unendlichen.Dann folgt für den Druck im Staupunkt:

pmax = p0 + ρu2

2. ( . . )

. Stromfunktion

Bei zweidimensionaler (ebener) Strömung (d.h., v hängt nur von zwei Koordinaten ab) kön-nen die Geschwindigkeitskomponenten als Ableitung einer Stromfunktion ψ(x, y) geschrie-ben werden:

vx = ´Byψ, vy = +Bxψ , ( . . )

so daß die Kontinuitätsgleichung automatisch erfüllt wird:

∇ ¨ v = Bxvx + Byvy = 0 . ( . . )

Die Gleichung für die Stromfunktionψ folgt durch Einse en in die Euler-Gleichungen für dieGeschwindigkeit ( . . ),

Bt (∇ ˆ v) = ∇ ˆ [vˆ (∇ ˆ v)] . ( . . )

Ideale Fluide

Die Rotation der Geschwindigkeit im Dreidimensionalen ist

∇ ˆ v = ´exBzvy + eyBzvx + ez(Bxvy ´ Byvx

). ( . . )

Im Zweidimensionalen, d.h., ohne Veränderungen in z-Richtung, reduziert sie sich zu

∇ ˆ v = ez∆ψ , ( . . )

wobei der Laplace-Operator ∆ definiert ist als

∆ = B2x + B2

y . ( . . )

Für die Zeitableitung von ∆ψ gilt

Bt∆ψ = ´ (Bxψ) By∆ψ+(Byψ

)Bx∆ψ . ( . . )

Aus der Stromfunktion läßt sich die Form der Stromlinien für

v1v3

v2

v1v3

v2

Abbildung . : Tangenten aneiner Stromlinie

eine stationäre Strömung unmi elbar bestimmen. Dazu stelltman die Differentialgleichung für die Stromlinien bei ebenerStrömung (vz = 0) auf:

dxvx

=dyvy

( . . )

ñ vydx ´ vxdy = 0 , ( . . )

d.h., die Richtung der Tangente an eine Stromlinie stimmt in je-dem Punkt mit der Richtung der Stromlinie überein. Se t mannun vx(ψ) und vy(ψ) ein, so erhält man

Bxψdx + Byψdy = dψ = 0 ( . . )

ñ ψ = const , ( . . )

d.h., die Stromlinien bilden eine Kurvenschar, die man erhält, wenn man die Stromfunktionψ(x, y) gleich einer beliebigen Konstanten se t.

Mit vK, der Projektion von v auf die Normale der Kurve in einem gegebenen Punkt, ist derFlüssigkeitsstrom

Q = ρ

2ż

1

vKdl = ρ

2ż

1

(´vydx + vxdy

)( . . )

= ρ

2ż

1

dψ . ( . . )

Ideale Fluide

In der x-y-Ebene ist der Flüssigkeitsstrom Q durch eine Kurve zwischen zwei Punkten alsounabhängig von der Form der Kurve durch die Differenz der Werte der Stromfunktion indiesen Punkten bestimmt:

Q = ρ (ψ2 ´ψ1) . ( . . )

Die Funktionentheorie liefert leistungsfähige Methoden zur Berechnung der Potentialströ-mung um verschiedenartige Profile. Die Grundlagen dieser Anwendungen sollen im Fol-genden kurz erläutert werden:

Das Potential und die Stromfunktion hängen mit den Geschwindigkeitskomponenten zu-sammen über

vx = ´Bxϕ = ´Byψ, vy = ´Byϕ = +Bxψ , ( . . )

woraus sich die Beziehungen zwischen den Ableitungen der Funktionenϕ und ψ ergeben,

Bxϕ = Byψ, Byϕ = ´Bxψ . ( . . )

diemit denCauchy-RiemannschenDifferentialgleichungen übereinstimmen. Sie sind Bedingungdafür, daß das komplexe Potential

w = ϕ+ iψ , ( . . )

das sich aus dem Geschwindigkeitspotential (im Realteil) und der Stromfunktion (im Imagi-närteil) zusammense t, eine analytische Funktion des komplexen Arguments z = x + iy ist,bzw. daß w(z) in jedem Punkt z differenzierbar ist als

dwdz

= Bxϕ+ iBxψ = vx ´ ivy ( . . )

= komplexe Geschwindigkeit ( . . )

mit dem Betragˇ

ˇ

ˇ

ˇ

dwdz

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

= |v| =b

v2x + v2y = v . ( . . )

Das Argument der komplexen Geschwindigkeit w1 ” dw/dz ist der Winkel ϑ zwischen derGeschwindigkeit und der x-Richtung,

w1 =dwdz

= ve´iϑ . ( . . )

Ideale Fluide

An der Oberfläche einer umströmten festen Kontur muß die Geschwindigkeit tangenti-al gewichtet sein. Die Kontur muß mit einer Stromlinie übereinstimmen, und auf ihr mußψ = const sein; die Konstante kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit auf 0 gese t wer-den. Für eine vorgegebene Kontur wird das Strömungsproblem so auf die Bestimmung eineranalytischen Funktion w(z) zurückgeführt, die auf dieser Kontur reelle Werte annimmt.

Nach den Resultaten der Funktionentheorie ist das Integral

Abbildung . : Stromlinienan Kontur

über eine analytische Funktion längs eines (beliebigen) geschlos-senenWeges C gleich der mit 2π imultiplizierten Summe der Re-siduen der einfachen Pole innerhalb von C:

¿

C

dwdzdz =

¿

C

w1dz = 2π iÿ

k

Ak , ( . . )

wobei Ak die Residuen der komplexen Geschwindigkeit w1 an-gibt.

Andererseits gilt¿

C

w1dz =

¿

C

(vx ´ ivy

)(dx + idy) ( . . )

=

¿

C

(vxdx + vydy

)looooooooomooooooooon

=:Γ

+i¿

C

(vxdy ´ vydx

). ( . . )

Der Realteil ist die Zirkulation Γ längs der Kurve C. Der Imaginärteil ρ gibt den Flüssigkeits-strom ( . . ) durch die Kurve C an. Sind innerhalb der Kurve keine Flüssigkeitsquellen, soist dieser Strom = 0. Also folgt

Γ = 2π iÿ

k

Ak . ( . . )

Alle Residuen Ak sind rein imaginär, so daß die Zirkulation Γ relle Werte annimmt.

Die Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Variable entspricht demnach derzweidimensionalen Potentialtheorie der Hydrodynamik.

Beispiel: Eine inkompressible Flüssigkeit füllt den Raum; ein kugelförmiges Vo-lumen mit Radius a wird entfernt. Nach welcher Zeit ist der Hohlraum mit Flüs-sigkeit gefüllt?

Ideale Fluide

v

a

Abbildung . : Hohlraum in inkompressibler Flüssigkeit

Die Strömung in den Hohlraum ist kugelsymmetrisch. Für die radiale Geschwin-digkeit gilt die Eulersche Gleichung

Btv + vBrv = ´1

ρBr p ( . . )

mit vr ” v ă 0. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide ist

Btρ = 0 ( . . )

ñ ∇ ¨ v =1

r2Br(r2vr

)= 0 , ( . . )

was bedeutet, daß r2v ” F(t) eine beliebige Funktion der Zeit ist (Brv = 0),d.h., das Flüssigkeitsvolumen, das durch eine Kugel mit beliebigemRadius fließt,hängt wegen seiner Inkompressibilität nicht vom Radius ab.

Wir schreiben mit der Kontinuitätsgleichung also Btv = F1(t)/r2 und se en diesin die Euler-Gleichungen ein:

F1(t)r2

+ vBrv = ´1

ρBr p . ( . . )

Integrieren wir dies über den Radius r von R(t) ď a bis 8, wobei a der Radiusdes Hohlraumes ist, so erhalten wir

´F1(t)

R+

V2

2=

p0ρ

( . . )

mit der Änderungsgeschwindigkeit des Hohlraum-Radius V = dR(t)/dt unddemDruck p0 bei R Ñ 8 . (Die Geschwindigkeit des Fluids bei R Ñ 8 und derDruck auf die Oberfläche des Hohlraumes seien = 0.) Mit r2v = F(t) für Punkteauf der Oberfläche des Hohlraumes gilt

R2(t)V(t) = F(t) , ( . . )

dessen Ableitung wir schreiben als

F1(t) = 2R R1loomoon

=V

V + R2dVdt

= 2RV2 + R2dVdt

( . . )

Ideale Fluide

und in die Euler-Gleichungen einse en:

p0ρ

= ´2RV2

R´ R

dVdt

+V2

2( . . )

= ´3

2V2 ´ R

dVdR

dRdt

loomoon

=V

( . . )

= ´3

2V2 ´

R2

dV2

dR. ( . . )

Wir separieren die Variablen,

V =dRdt

=(+)´

d

2p03ρ

(a3

R3´ 1

)( . . )

ñ dt =dR

´

c

2p03ρ

(a3R3 ´ 1

) , ( . . )

und integrieren mit der Anfangsbedingung V = 0 für R = a. Dadurch erhaltenwir die Zeit τ , in der der Hohlraum gefüllt wird:

τ =

τż

0

dt =

d

3ρ

2p0

ż

0

dRb( a

R

)3´ 1

( . . )

=

d

3a2ρπ2p0

Γ(5/6)

Γ(1/3)« 0.915a

c

ρ

p0. ( . . )

Für a = 0.1m, p0 = 1000hPa = 1ˆ 105Pa = 1ˆ 105 kgms2 und ρ = 1 gcm3 =

1ˆ 10´3kg1ˆ 10´6m3 = 1ˆ 103 kgm3 wird

τ « 0.915ˆ 10´2s « 9ms . ( . . )

Man beachte, daß τ proportional zu a,?ρ und zu 1/?p0 ist.

. Wellen

Wasserwellen sind komplizierter als akustische oder optische Wellen: als Oberflächenwellensind sie an die Grenze zweier Medien gebunden; akustische und optische Wellen sind da-gegen Raumwellen.

Wellen undWirbel unterscheiden sich darin, daßWirbel Materie mit sich for ragen, wohin-gegen bei Wellen alle Flüssigkeitsteilchen im Mi el an ihrem Ort bleiben – es pflanzt sichnicht Materie, sondern Energie und Phase fort.

Ideale Fluide

(a) Ebene Wellen (b) Ringwellen (c) Schiffswellen

Abbildung . : Verschiedene Wellenformen

Wellen können nach ihrer Symmetrieform eingeteilt werden:

• Ebene Wellen, z.B. durch Windfront ausgelöst.

• Ringwellen, bei denen die Amplitudemit der Entfernung abnimmt. Ihre mathematischeBeschreibung ist kompliziert (sie erfordert Bessel-Funktionen und Fourier-Integrale).

• Tiefseewellen haben Dispersion:

ν =

c

gk

, ( . . )

wobei ν = ν(k) = ν(λ), k = 2π/λ.

• Schiffswellen sind Längswellen, die sich an den Schiffskörper schmiegen; Querwellendurchse en sie. Das Gesamtsystem schreitet mit dem Schiff fort, ist also stationär.

• Mach-Wellen sind Stoßwellen bei Überschallströmungenmit v ą c. DerMachscheWinkelα ist dabei gegeben durch

sinα =cv

. ( . . )

Die Störung breitet sich in Strömungsrichtung innerhalb eines Kegelsmit Öffnungswin-kel 2α aus.

Zur Beschreibung ebener Wasserwellen (Oberflächenwellen)

v

α

cn

v+ cn

Abbildung . : Machscher Winkelα

nehmen wir an, daß die Ausbreitung in x-Richtung erfolgtund die Welle in die Tiefenrichtung y weggedämpft wird.Also kann die Amplitude einer ebenen Welle beschriebenwerden als

A(x, y, t) = A0ei(kx´ωt)e´ky , ( . . )

wobei k = 2π/λ die Wellenzahl, ω = 2π/T die Kreisfre-quenz, v = λ/T =ω/k die Fortpflanzungsgeschwindigkeit und A0 die maximale Amplitudeder Wasserwelle angibt. Es sind also drei Parameter, A, ω und k, zur Beschreibung der Wel-lenausbreitung erforderlich.

Ideale Fluide

Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit v ist diePhasengeschwindigkeitderWelle, d.h., die Phaseφ, der Imaginärteil des Exponenten eiφ, schreitet mit v fort. Dies sieht man, indem man denveränderlichen Teil der Phase, gegeben durchφ = kx ´ωt, konstant se t und also den Ortgleicher Phase zu verschiedenen Zeiten betrachtet:

kdx ´ωdt = 0 ( . . )

Damit folgt direkt die Phasengeschwindigkeit

v =dxdt

=ω

k. ( . . )

Für monochromatische Wellen (Wellen fester Frequenz) ist nur die Phasengeschwindigkeitvon Bedeutung. Bei Überlagerung von Wellen verschiedener (vor allem benachbarter) Fre-quenzen zu einem Wellenpaket oder einer Wellengruppe ist dessen Gruppengeschwindigkeitu im allgemeinen von v verschieden:

u =dωdk

. ( . . )

Nur bei dispersionsloser Wellenausbreitung (wenn v unabhängig von λ und k ist) fallenPhasen- undGruppengeschwindigkeit zusammen, und eineWellengruppe kann ohne Form-änderung fortschreiten:

ω = vk ( . . )

ñ dω = vdk ( . . )

ñdωdk

= v ” u . ( . . )

Der allgemeineZusammenhang zwischenGruppen- undPhasengeschwindigkeit ist jedoch

dω = vdk + kdv ( . . )

= vdk + kdvdkdk ( . . )

ñ u = v + kdvdk

, ( . . )

da u = dω/dk. Außerdem ist k = 2π/λ und also dk/dλ = ´2π/λ2, weshalb

dvdk

=dvdλdλdk

= ´dvdλ

λ2

2π( . . )

ñ kdvdk

= ´λdvdλ

, ( . . )

Die Gruppengeschwindigkeit ist eine wichtige physikalische Größe in derWellenmechanik: nach Bist λ = h

p = hmu und also u = h

mλ .

Ideale Fluide

was schließlich den allgemeinen Zusammenhang

u = v ´ λdvdλ

( . . )

ergibt. Der Differenzterm klassifiziert die Dispersion wie folgt:

• keine Dispersion: dvdλ = 0 ñ u = v

• normale Dispersion: dvdλ ą 0 ñ u ă v (Gruppen- ă Phasengeschwindigkeit)

• anomale Dispersion: dvdλ ă 0 ñ u ą v

Man findet für Schwerewellen in Tiefwasser, h " λ, daß

v =

c

gλ2π

, ( . . )

wobei

dvdλ

=1

2λv ( . . )

und also normale Dispersion,

u = v ´1

2v =

1

2v ă 0 . ( . . )

Im flachen Wasser, h ! λ, findet man

v =a

gh ( . . )

also keine Dispersion.

Bei Schwerewellen wird die Ausbreitung am besten über die Eulersche Gleichung mit Ge-schwindigkeitspotential beschrieben,

´BtΦ+v2

2+

1

ρ(ρ+ U) = F(t) ( . . )

mit v = ´∇Φ und einer beliebigen Zeitfunktion F(t). Für kleine Amplituden wird das qua-dratischeGlied vernachlässigt. An der freienOberfläche herrschtAtmosphärendruck (p ” 0);die einzige Zeitfunktion, die periodisch fortschreitende Wellen nicht stört, ist aber

F(t) ” const ( . . )

” 1 ohne Beschränkung der Allgemeinheit ( . . )

ñ BtΦ =uρ= ´

ρgyρ

( . . )

= ´gy . ( . . )

Ideale Fluide

Die Welle breitet sich aus wie das Geschwindigkeitspotential, woraus sich die Dispersion,der Zusammenhang zwischen v und λ ergibt.

Wird λ immer kleiner, ist nicht mehr die Schwere, sondern die Oberflächenspannungσ fürdieWellenausbreitungmaßgebend, so daß sich dieDispersionsverhältnisse komple ändern.Die Oberfläche ist nicht mehr kräftefrei, sondern einem ausσ hervorgehenden Normaldruckausgese t:

´BtΦ+pρ= 0 . ( . . )

Man findet für die Fortpflanzungsgeschwindigkeit

v =

c

σ

ρ¨2π

λ, ( . . )

d.h. sie wächst mit abnehmendem λ, umgekehrt wie bei Schwerewellen in tiefem Wasser:dies ist anomale Dispersion und führt zu ebenen Kapillarwellen.

λλ0

vmin

a

gh

v2 =b

σρ2πλ

v1 =b

gλ2π

v quadratischeSuperposition Schwerewellen

normale Dispersion

Kapillarwellenanomale Dispersion

Abbildung . : Dispersionsverhalten von Kapillar- und Schwerewellen

Die Dispersionskurven für Schwere- und Kapillarwellen schneiden sich bei λ = λ0. Es giltdabei

• für λ ă λ0: die vorwärtstreibende Kraft der Kapillarwellen hängt von der Krümmungdes Oberflächenprofils ab;

• für λ ą λ0: die Kapillarität ist bei großen Wellenlängen unbedeutend.

Ideale Fluide

Der Schni punkt errechnet sich durch das Gleichse en der beiden Dispersionsrelationen:

c

σ

ρ

2π

λ0looomooon

Kapillarwellen

=

c

gλ02π

loomoon

Schwerewellen

( . . )

ñ λ20 =σ (2π)2

ρg( . . )

ñ λ0 = 2π

c

σ

ρg. ( . . )

Bei quadratischer Superposition, v2 = v21 + v22, finden wir das Minimum über

v1 = v2 ( . . )

ñ v2min = 2v21 = 2v22 ( . . )

ñ vmin =

d

2

c

σgρ

. ( . . )

Beispiel: Im Übergang von Wasser zu Luft ist ρ = 1 gcm3 = 1ˆ 103 kgm3 , g = 9.81ms2 .

Wenn man durch eine Stimmgabel Kapillarwellen anregt, ist σ = 7.2ˆ 10´3 kgs2 =

7.2ˆ 10´3 Nm . Daraus bestimmen wir den Schni punkt

λ0 = 2π

c

σ

ρg« 17.02ˆ 10´3m = 1.702cm , ( . . )

vmin =

d

2

c

σgρ

=

b

2ˆ 10´3?7.2 ¨ 9.81ms

( . . )

« 0.231ms

= 23.1cms

( . . )

” Fortpflanzungsgeschwindigkeit von Wellen mit λ = λmin . ( . . )

Dies bedeutet, daß Wellen sich auf Wasser nicht mit Geschwindigkeiten kleinerals 23 cms fortpflanzen können. Wellen von größerer und kleinerer Wellenlänge als1.7cm laufen mit größerer Geschwindigkeit als 23 cms .

L K schlug für Wellen mit λ ă λ0 den Begriff „Ripples“ vor. Manchmalsind die Flanken breiter Schwerewellen von feinen Ripples überdeckt.

Viskose Fluide

Bei Strömungen viskoser Fluide untersucht man die Auswirkungen von Prozessen mit Ener-giedissipation auf die Strömung. Aufgrund der inneren Reibung (= Viskosität) und der Wär-meleitfähigkeit wird die Strömung thermodynamisch irreversibel.

. Navier-Stokes-Gleichungen

Bei viskosen Fluiden bleibt die Kontinuitätsgleichung ( . . ) unverändert,

Btρ+∇ ¨ (ρv) = 0 . ( . . )

In den Eulerschen Gleichungen ( . . ) müssen jedoch zusä liche Terme eingeführt werden,die der Energiedissipation Rechnung tragen:

• η, der Viskositätskoeffizient; η ą 0

• ζ , der Zähigkeitskoeffizient; ζ ą 0

Bei isotropen Fluiden genügen diese beiden skalaren Größen; bei anisotropen Fluiden wer-den die Koeffizienten zu Tensoren.

η undζ sind im allgemeinen Funktionen vonDruck ρ und Temperatur T, die nicht im ganzenFluid gleich sein müssen. Meist können η und ζ jedoch näherungsweise konstant gese twerden. Die Bewegungsgleichungen werden dann zu den Navier-Stokes-Gleichungen:

ρ [Btv+ (v ¨ ∇)v] = ´∇plooooooooooooooomooooooooooooooon

Eulerscher Anteil

+η∆v+(ζ +

η

3

)∇ (∇ ¨ v) . ( . . )

Für inkompressible Fluide verschwindet der le te Summand; einerseits, weil die Zähigkeitζ für kompressible Fluide verschwindet, andererseits, weil ∇ ¨ v = 0. Im Falle zäher, aberinkompressibler Fluide reduziert sich ( . . ) zu

Btv+ (v ¨ ∇)v = ´∇pρ

+η

ρ∆v . ( . . )

Die Gleichungen wurden von Claude Louis Marie Henri N (b Dijon, d Paris) im Jahraufgestellt und von George Gabriel S (b Skreen, County Sligo, d Cambridge) im Jahr korrekthergeleitet.

Viskose Fluide

Zusä lich zu den Euler-Gleichungen gibt es den Zusa term

η

ρ∆v ( . . )

mit der dynamischen Viskosität η: [η] = kgms = Pa s. Das Verhältnis

ν =η

ρ( . . )

mit [ν] = m2s heißt kinematische Viskosität.

η [Pa ¨ s] ν[1ˆ 10´5m2/s

]Luft 1.8ˆ 10´5 1.50

Wasser 0.001 0.10Quecksilber 0.001 56 0.012

Alkohol 0.0018 0.22Glycerin 0.85 68

Tabelle . : Typische Werte für die dynamische und die kinematische Viskosität η und ν

Bei fester Temperatur hängt die dynamische Zähigkeit η von Gasen nicht vom Druck ab.Da pV = const, folgt für die kinematische Zähigkeit

ν 9 V 91

p. ( . . )

Wie bei den Euler-Gleichungen läßt sich der Druck aus den Navier-Stokes-Gleichungeneliminieren, indem man die Rotation der Gleichung bildet und die Identitäten ( . . ) und( . . ) verwendet:

Bt (∇ ˆ v) = ∇ ˆ (vˆ (∇ ˆ v)) + ν∆(∇ ˆ v)looooomooooon

=0 in derEuler-Gleichung

. ( . . )

Mit b = ∇ ˆ v ist

∇ ˆ (vˆ b) = (b ¨ ∇)v´ (v ¨ ∇)b+ v (∇ ¨ b) ´ b (∇ ¨ v) , ( . . )

wobei

(b ¨ ∇)v = [(∇ ˆ v) ¨ ∇]v , ( . . )

(v ¨ ∇)b = (´v ¨ ∇) (∇ ˆ v) , ( . . )

v (∇ ¨ b) = 0 wegen ∇ ¨ (∇ ˆ v) = 0 , ( . . )

b (∇ ¨ v) = 0 wegen ∇ ¨ v = 0 . ( . . )

Vgl. J , Classical Electrodynamics, zweite Umschlagseite.

Viskose Fluide

Also lauten die Navier-Stokes-Gleichungen für das Geschwindigkeitsfeld mit der kinematischenZähigkeit ν = η/ρ

Bt (∇ ˆ v) + (v ¨ ∇)∇ ˆ v´ [(∇ ˆ v) ¨ ∇]v = ν∆(∇ ˆ v) . ( . . )

Aus einer bekanntenGeschwindigkeitsverteilung findet man die Verteilung vonDruck, indemman eine Gleichung vom Poissonschen Typ löst, die durch die Bildung der Divergenz ausden ursprünglichen Navier-Stokes-Gleichungen folgt (stets ein inkompressibles Fluid mit∇ ¨ v = 0 vorausgese t):

∆p = ´ρ (Bkvi) (Bivk) = ´ρBkBi (vivk) ( . . )

Wie im viskositätsfreien Fall der Euler-Gleichungen läßt sich die Geschwindigkeitsvertei-lung auch durch eine Stromfunktion ψ(x, y) ausdrücken,

vx = ´Byψ, vy = +Bxψ , ( . . )

so daß die Kontinuitätsgleichung automatisch erfüllt ist,

∇ ¨ v = Bxvx + Byvy = 0 ; Bzvz = 0 . ( . . )

Einse en in die Navier-Stokes-Gleichung ergibt

Bt∆ψ´ (Bxψ)(By∆ψ

)+(Byψ

)(Bx∆ψ) ´ν∆∆ψ = 0 . ( . . )

Dazu kommen die Randbedingungen: Zwischen der Oberfläche eines festen Körpers und demzähen Fluid gibt es molekulare Anziehungskräfte. Sie halten die innerste Fluidschicht an derWand fest, so daß die Geschwindigkeit direkt an der Wand (an festen Oberflächen) ver-schwindet: v = 0 an festen Oberflächen, d.h., normale (vK = 0) und tangentiale (v∥ = 0)Komponenten müssen verschwinden ; bei idealen Fluiden war nur vK = 0 gefordert.

Bei einer bewegten Oberfläche muß v gleich der Geschwindigkeit dieser Oberfläche sein.

. Energiedissipation in einem inkompressiblen viskosen Fluid

Aus Viskosität ergibt sich Energiedissipation, d.h., Umwandlung von Energie in Wärme. Dabeiwird jedoch die detaillierte molekulare Struktur des Fluids nicht berücksichtigt.

Man beachte, daß die Euler-Gleichungen eine Randbedingung vK = v∥ = 0 gar nicht erfüllen könnten, weildie räumlichen Ableitungen dort von ersterOrdnung sind. In denNavier-Stokes-Gleichungen sind sie wegen desViskositätsterms von zweiter Ordnung.

Viskose Fluide

Zur Berechnung der dissipierten Energie in einer inkompressiblen Flüssigkeit gehe man ausvon der gesamten kinetischen Energie und bestimme die Zeitableitung:

Ek =ρ

2

ż

v2dV ; ( . . )

ñ BtEk =

ż

Btρv2

2dV =

ż

ρviBtvidV . ( . . )

Die partiellen Zeitableitungen der Geschwindigkeitsgleichungen werden nun anhand derNavier-Stokes-Gleichung substituiert:

Btvi = ´vkBkvi ´1

ρBi p +

1

ρBk

loomoon

= ηρ∆v

σ 1ik ( . . )

mit dem Reibungstensor

σ 1ik = η [Bkvi + Bivk] bei inkompressiblen Fluiden. ( . . )

Dies ist der Teil des Impulsstromes, der nichtmit dem unmi elbaren Transport des Impulsesgemeinsam mit der Masse des bewegten Fluids zusammenhängt.

Nach einigen weiteren Umformungsschri en findet man die totale zeitliche Veränderungder Energie als

ddt

Ek = ´η

2

3ÿ

i=1

ż

V

[Bkvi + Bivk]2 dV , k = 1, 2, 3 . ( . . )

Dies ist die Energiedissipation in einem inkompressiblen Fluid; sie bewirkt eine Abnahme dermechanischen Energie:

ddt

Ek ă 0 . ( . . )

Das Integral ist wegen des quadratischen Integranden stets positiv; demnach muß der Vis-kositätskoeffizient η ą 0 sein;

ddt

Ek 9 ´ η . ( . . )

Viskose Fluide

. Hagen-Poiseuillesches Gese

Als Poiseuille-Strömung wird die stationäre Strömung einer inkompressiblen, zähen Flüssig-keit durch ein Rohr bezeichnet. Dabei gilt

∆ρ

ρ! 1, ρ « const, Btρ = 0 . ( . . )

Als Durchflußmenge Q bezeichnet man die Größe

Q = 2πρ

Rż

0

rvdr , ( . . )

deren anschauliche Bedeutung in Abb. . skizziert wird. Vorausse ung für diese Schreibwei-se ist, daß keine Querschni sänderung sta findet, die Strömung also stationär ist: v hängtalso nur von x und y ab, ist jedoch proportional zur z-Achse,

v = vez . ( . . )

Die Kontinuitätsgleichung ist also identisch erfüllt:

Bxvx + Byvy = 0 . ( . . )

Da die Strömung stationär ist, gilt

R

v0

2πrdr

Abbildung . :Differentielle

Durchflußmenge

Btv = 0 , ( . . )

und weil v ¨ ∇ = vBz, verschwindet auch der konvektive Term, sodaß

ddtv = Btv+ (v ¨ ∇)v = 0 , ( . . )

ist, wodurch die Navier-Stokes-Gleichungen sich vereinfachen zu

ρ [Btv+ (v ¨ ∇)v] = 0 = ´∇p + η∆v . ( . . )

Mit ( . . ) ergibt sich also

ñ ∇p = η∆v ( . . )

= η∆vez , ( . . )

was impliziert, daß der Druck nur von der z-Koordinate abhängen kann, p = p(z). Da dielinke Seite der Gleichung eine Funktion von z ist, die rechte aber nur eine Funktion von x

Viskose Fluide

und y, können beide Seiten einer Konstanten gleichgese t werden,

∆v =1

η

dpdz

= const ( . . )

” ´1

η

δpl

( . . )

mit der Druckdifferenz an den Rohrenden δp (das negative Vorzeichen bedeutet abfallendenDruck) und der Rohrlänge l ” δz.

Die Geschwindigkeitsverteilung im Flüssigkeitsstrom wird also durch eine zweidimensio-nale Gleichung vom Typ

∆v = const ( . . )

bestimmt. In Polarkoordinaten gilt

|v(r)| = v(r) ( . . )

ô1

rddr

(rdvdr

)= ´

δpηl

. ( . . )

Durch Integration (Aufgabe . ) erhält man

v(r) = ´δp4ηl

r2 + a ln (r/R) + b . ( . . )

Die Geschwindigkeit muß über das ganze

v(r)λ0

0

R

r

´R

∆p4ηl

2πrdr

Abbildung . : Geschwindigkeitsprofil inPoiseuille-Strömung

Rohr inclusive der Mi elachse (r = 0) endlichbleiben; daher muß a = 0 sein. Die Konstanteb läßt sich aus der Randbedingung v|BV = 0 be-stimmen: es ist

v(r) = 0 ( . . )

für r = ˘R, also am Rand einer viskosen Flüs-sigkeit. Damit folgt, daß

v = ´δp4ηl

R2 + b ( . . )

ñ b =δp4ηl

R2 ( . . )

ñ v(r) =δp4ηl

(R2 ´ r2

). ( . . )

Dies ist ein parabolisches Geschwindigkeitspro-fil über den Radius des Rohres.

Viskose Fluide

Die Durchflußmenge ist nun eine Funktion von R: durch den Kreisring 2πrdr tri pro Se-kunde die Flüssigkeitsmenge ρv2πrdr. Die Integration über alle Kreisringe ergibt die Durch-flußmenge Q:

Q = 2πρ

Rż

0

rvdr . ( . . )

Se t man das Geschwindigkeitsprofil ein, so ergibt sich

Q =2πρδp4ηl

Rż

0

r(

R2 ´ r2)dr ( . . )

=πρδp2ηl

(1

2R2R2 ´

[1

4r4]R

0

)mit η = νρ ( . . )

=πδp8νl

R4 ( . . )

unabhängig von der Dichte ρ des Fluid, bzw.

Q =πδpρ8ηl

R4 ( . . )

mit der dynamischen Viskosität η. Dies ist das Hagen-Pouiseuillesche Gese .

. Reynoldssche Zahl; Turbulenzkriterium

Zwar sind die Navier-Stokes-Gleichungen,

Btv+ (v ¨ ∇)v =∇pρ

+η

ρ∆v ( . . )

und die Kontinuitätsgleichung

Btρ+∇ ¨ (ρv) = 0 bei kompressiblen Fluiden, ( . . )

∇ ¨ v = 0 bei inkompressiblen Fluiden ( . . )

grundlegend für dieDarstellung aller Flüssigkeitserscheinungen. Jedoch ist die Frage der Sta-bilität einer Strömung, d.h. das Umschagen von laminarer in turbulente (chaotische) Strömung,auf dieser Grundlag noch nicht vollständig beschrieben.

Ein wichtiges Stabilitätskriterium liefert die Reynoldssche Zahl Re. Sie ist ein Maß für dieStärke der Konvektion relativ zur Viskosität; das Umschlagen von laminarer in turbulente Strö-

Das Gese wurde von Go hilf Heinrich Ludwig H (b Königsberg, d Berlin) und Jean LouisMarie P (b Paris, d Paris) in den Jahren bzw. empirisch bestimmt (Q 9 R4). Der hierausgeführte theoretische Beweis wurde von George Gabriel S geführt.

Viskose Fluide

mungwird durch einen kritischenWert der Reynoldsschen Zahl gekennzeichnet. Sie hat z.B.bei Rohrströmungen (Pouiseuille-Strömungen; siehe Abschni . ) einen bestimmten Wert,der nicht vom Durchmesser des Rohres abhängt.

Der englische PhysikerOsborne R untersuchte im . Jahrhundert Strömungen ver-schiedener Geschwindigkeiten durch Glasröhren verschiedenen Durchmessers. Anhand ei-nes gefärbten „Flüssigkeitsfadens“ beobachtete er dasUmschlagen von laminarer in turbulenteStrömung:

kleines v

kleiner Durchmesser

„Faden“

großes v

großer Durchmesser

Abbildung . : „Flüssigkeitsfaden“ in laminarer und turbulenter Strömung

Bei regelmäßig geschichteter, laminarer Strömung (wie bei Hagen-Poiseuille) verläuft derFaden parallel zur Röhrenachse. Unregelmäßige Schlängelbewegungen und Seitenbewegun-gen des Fadens, die die ganze Röhre ausfüllen, indizieren hingegen turbulente Strömung.

Reynolds betrachtete diese Ergebnisse unter dem Gesichts-

⃝

R1

⃝

R2

Abbildung . : Strömung in zweiverschiedenen Skalen

punkt eines Ähnlichkeitsgese es, also als Vergleich zweier An-ordnungen, die sich nur in den Maßeinheiten (Skalen) unter-scheiden; hier: zwei Röhren mit unterschiedlichen Radien R1,R2. Wie ändern sich nun die Navier-Stokes-Gleichungen beimÜbergang von System⃝ zu System⃝?

Istα die Skala für die Änderung aller Längeneinheiten, so gilt

R2 = αR1, x2 = αx1, y2 = αy1, z2 = αz1 ( . . )

für zwei „korrespondierende Punkte“ in den Röhren. Für diemi leren Geschwindigkeiten in den Punkten⃝ und⃝ gilt:

v2 = βv1 . ( . . )

Wegen [v] = m/s legtα/β die Änderung der Zeiteinheit fest:

t2 =α

βt1. ( . . )

Viskose Fluide

Die Röhren können mit Fluiden verschiedener Dichte und Viskosität gefüllt sein:

ρ2 = γρ1 . ( . . )

Wegen [ρ] = kg/m3 legt γ3α die Änderung derMasseneinheit fest,

m2 = γα3m1 . ( . . )

Mit der kinematischen Zähigkeit ν = η/ρ,

ν2 = δν1 , ( . . )

sowie den Drücken in korrespondierenden Querschni en,

p2 = ϵp1 (ϵ läßt sich auch durchα, β, γ ausdrücken), ( . . )

transformieren die Navier-Stokes-Gleichungen

Btv+ (v ¨ ∇)v =∇pρ

+η

ρ∆v ( . . )

beim Übergang⃝ Ñ ⃝ folgendermaßen:

) Der Beschleunigungsterm ändert sich beim Übergang wegen R2 = αR1, v2 = βv1 umβ2/α.

) Der Zähigkeitsterm ändert sich wegen v2 = βv1, ν2 = δν1 um δβ/α2.) Der Druckterm wird durch R2 = αR1, ρ2 = γρ1, p2 = ϵp1 geändert um ϵ/ (γα).

Sollen die Navier-Stokes-Gleichungen für beide Anordnungen⃝ und⃝ erfüllt sein, so mußdas Verhältnis dieser drei Faktoren = 1 sein:

β2

α: δβ

α2:1

γ

ϵ

α= 1 : 1 : 1 ( . . )

ñβα

γ= 1 und

ϵ

γβ2= 1 . ( . . )

Daraus folgen die Verhältnisgleichungen

v1R1

ν1=

v2R2

ν2( . . )

und

p1ρ1v21

=p2ρ2v22

, ( . . )

Viskose Fluide

die das Ergebnis der Reynoldsschen Ähnlichkeitstheorie sind. In der Literatur wird meistnur Gleichung ( . . ) als Reynoldssches Kriterium bezeichnet, obwohl die auch zweite für einhinreichendes Kriterium erforderlich ist.

Aus der Verhältnisbetrachtung folgt: ist⃝ laminar, so auch⃝; ist⃝ turbulent, so auch⃝.Die dadurch definierte dimensionslose Zahl ist die Reynoldssche Zahl

Re =vRν

”ρvRη

=KonvektionViskosität

( . . )

„ρ (v ¨ ∇)vη∆v

, ( . . )

wobei R – je nach Versuchsanordnung – eine räumliche Abmessung ist (nicht notwendiger-weise ein Radius).

Die durch die zweite Bedingiung definierte Zahl ist

s =pρv2

. ( . . )

Das Umschlagen von laminarer in turbulente Strömung ist ein für beide Röhren ⃝ und ⃝ähnlicherVorgang, der durch denselben Zahlenwert von Re gekennzeichnetwird, die kritischeReynoldssche Zahl (R Ñ l):

Rekrit =(ρvlη

)krit

. ( . . )

Für jeden Strömungstyp gibt es ein eigenes Rekrit, es ist keine universelle Größe.

Der Wert von Re hängt auch von der Art des Zuflusses zum Rohr ab.

Abbildung . :Trompetenförmiger

und scharferEinlauf

Bei trompetenförmigem Einlauf ist die Strömung anfangs laminar und bleibtes bei großem Re. Bei „scharfem“ Einlauf ist die Anfangsströmung durchSeitenkomponenten gestört, und der Umschlag zur Turbulenz findet beirelativ niedrigem Re sta . Im Glasrohr:

Rekrit « 1200, unregelmäßiger Einlauf ( . . )

Rekrit « 20 000, gut abgerundeter Einlauf ( . . )

Die kritische Reynolds-Zahl ist also nur bei Strömungen mit ähnlichenAnfangsbedingungen konstant.

Wie kommt nun der Umschlag von laminarer zu turbulenter Strömung zustande? Bisherscheint die Hagen-Poiseuille-Strömung stets einemögliche Strömungsform zu sein – aber fürRe ą Rekrit ist sie nicht mehr stabil.

Dargelegt von Osbourne R (b Belfast, d Watchet) im Jahr .

Viskose Fluide

• Die Viskosität wirkt auf die Beruhigung von Seitenbewegungen hin und begünstigt la-minares Verhalten

• Die Trägheit verlangt die Erhaltung der Seitenkomponenten, wirkt also zugunsten derTurbulenz.

Dies zeigt sich in ν = η/ρ: größeres η erfordert größeres vl, um dieselbe Reynolds-Zahlzu erreichen, was für eine laminare Strömung spricht. Vergrößert sich ρ, so müßte vl zumAusgleich kleiner werden; dadurch werden turbulente Strömungen begünstigt.

Die Stabilität der laminaren Strömung läßt sich steigern, indem man Seitenbewegungenbeim Einlauf durch Abrundung verhindert.

. Strömungen mit kleinem Re: Stokessche Formel

Für Re ! 1 vereinfachen sich die Navier-Stokes-Gleichungen stark. Bei stationärer Strömungeiner inkompressiblen Flüssigkeit gilt

(v ¨ ∇)v = ´1

ρ∇p +

η

ρ∆v . ( . . )

Die Reynolds-Zahl gibt im wesentlichen das Verhältnis von konvektivem und dissipativemAnteil an:

ρ (v ¨ ∇)

η∆v9 Re , ( . . )

so daß für Re ! 1 der konvektive Anteil vernachlässigbar ist und die Bewegungsgleichunglinear wird (daraus ha en wir die Poiseuille-Strömung berechnet),

η∆v´ ∇p = 0 , ( . . )

und mit der Kontinuitätsgleichung die Strömung vollständig bestimmt ist, ∇ ¨ v = 0.

Durch Bildung der Rotation folgt

∆(∇ ˆ v) = 0 . ( . . )

Viskose Fluide

Daraus leitete George Gabriel S seine Formel für die Widerstandskraft auf einebewegte Kugel mit Radius R in einer viskosen Flüssigkeit ab. (Die Ableitungwird hier jedochausgelassen.)

Die Stokessche Formel für die Widerstandskraft auf eine langsam im Fluid bewegte Kugel(Strömungswiderstand) lautet

F = ´6πRηu , ( . . )

wobei u die Geschwindigkeit der Kugel angibt und F 9 R, η, u sowie F ∥ u. Für Körperanderer Form stimmt die Richtung derWiderstandskraft im allgemeinen nichtmit derjenigender Geschwindigkeit überein; derWiderstand hängt aber auch von u und den Abmessungenab.

Die Stokessche Lösung des Strömungsproblems ist äquivalent zur Um-

Ru

Abbildung . : ImFluid bewegte Kugel

strömung einer festen Kugel in einem Flüssigkeitsstrom, der im Un-endlichen die Geschwindigkeit u hat; das v-Feld in der Nähe der Kugelerlaubt dann die Stokessche Lösung.

Für genügend große Entfernungen von der Kugel ist die StokesscheLösung jedoch nicht anwendbar tro Re ! 1. Dort wird v « u; das Kon-vektionsglied (v ¨ ∇)vmuß berücksichtigt werden. Eine Näherungslö-sung gelang C. W. O : dieOseensche Gleichung als Verbesserung der Stokesschen Formelfür große Entfernungen von der Kugel r " R, indem er das Konvektionsglied in der Form(v ¨ ∇) Ñ (u ¨ ∇) linearisierte, so daß

(u ¨ ∇)v = ´1

ρ∇p +ν∆v . ( . . )

Mit der erhaltenen Geschwindigkeitsverteilung v(u) folgt ei-

uu

v

Abbildung . : Umströmungeiner festen Kugel

ne genauere Formel für den Strömungswiderstand (gegen u).Als nächstes Glied der Entwicklung desWiderstandes nach derReynolds-Zahl Re = ul/ν erhält man

F = ´6πηuR(1 +

3Re8

)( . . )

Für kleine Entfernungen l „ R ergibt dies nur eine sehr gering-fügige Verbesserung der Stokesschen Formel, aber für l " Rwird der Unterschied merklich.

CarlWilhelmO (b Lund, d Uppsala) war Direktor des Nobel-Instituts in Stockholm. Er fand dienach ihm benannte Gleichung im Jahr .

Vgl. H. L , Hydrodynamics, Cambridge .

Viskose Fluide

. Laminarer Nachlauf

Die Strömung einer zähen Flüssigkeit um einen festen Körper wird in großen Entfernungenhinter dem Körper unabhängig von seiner Gestalt.

Für große Entfernungen hinter demKörper ist v nur im schmalen Band des laminaren Nach-laufs von 0 verschieden. Außer imNachlauf kann die Strömung überall als Potentialströmungangesehen werden, ∇ ˆ u = 0 (wie bei einer idealen Flüssigkeit), da der Einfluß von η aufStromlinien, die in genügend großer Entfernung am Körper vorbeigehen, unbedeutend ist:die Viskosität η wirkt nur am umströmten Körper und im Nachlauf.

Es stellt sich die Frage, wie die Strömung im

u

laminarer Nachlauf

x

∇ ˆ v = 0

Abbildung . : Laminarer Nachlauf inPotentialströmung

Nachlauf mit den Kräften auf den umström-ten Körper zusammenhängt. Dazu verwendenwir die Navier-Stokes-Gleichungen für stationä-re Strömungen in Oseenscher Näherung ( . . ),

(u ¨ ∇)v = ´1

ρ∇p +ν∆v . ( . . )

Die Lösung im Nachlauf ergibt in Kugelkoordi-naten in genügend großer Entfernung r " R vom Körper

vr(ϑ) = ´Fr

4πρνrexp

[´

urϑ2

4ν

]. ( . . )

Das Ergebnis ist negativ, denn die Strömung ist im Nachlauf langsamer als in Abwesenheitdes Körpers (die wahre Strömungsgeschwindigkeit ist u+ v).

ϑ

|vr|

Fr4πρvr

Abbildung . : Geschwindigkeitsprofil im laminaren Nachlauf

Außerhalb des Nachlaufs ist die Strömung eine reine Potentialströmung; das Potential Φ er-gibt sich durch Lösen der Laplace-Gleichung

∆Φ = 0, v = ∇Φ ( . . )

Viskose Fluide

für das Geschwindigkeitspotential,

Φ =1

4πρur

[´Fx + Fy cosφ cot

ϑ

2

], ( . . )

d.h., Φ 9 1/r, v 9 1/r2.

Sofern kein Auftrieb (Gravitationsfeld) vorhanden ist, bleibt die Strömung außerhalb desNachlaufs axialsymmetrisch.

Exakte Lösungen der Kontinuitäts- und der Navier-Stokes-Gleichungen sind nur in wenigenFällen möglich. Damit sie physikalisch interessant sind, müssen sie die Gleichungen erfüllenund stabil sein: wachsen kleine Störungen zeitlich an, wird die Strömung instabil, es entstehtTurbulenz.

Beispiel: Eine der bekannten stabilen Lösungen ist die rotierende Scheibe. Eineins Unendliche ausgedehnte Scheibe rotiert in einer viskosen Flüssigkeit gleich-förmig um die z-Achse und verse t die Flüssigkeit in Bewegung. Die Strömungdes Fluids kann in Zylinderkoordinaten berechnet werden. Dafür werden die fol-genden Randbedingungen benötigt:

z = 0 : vr = 0, vφ =ωr, vz = 0 ( . . )

z = 8 : vr = 0, vφ = 0, vz = const . ( . . )

Die Konstante für vz|z=8 wird aus den Bewegungsgleichungen bestimmt.

r

z

ω

φ

Scheibe

Fluid

Abbildung . : Rotierende Scheibe

Das Fluid strebt radial von der Rotationsachse weg, insbesondere in der Nähe derScheibe. Zur Sicherung der Kontinuität (der Massenerhaltung) in der Flüssigkeit

Theodore K (b Budapest, d Aachen) postulierte diese Lösung .

Viskose Fluide

muß deshalb ein konstanter vertikaler Strom aus dem Unendlichen zur Scheibehin existieren.

Man sucht Lösungen der Bewegungsgleichung in der Form

vr = rωF(z1), vφ = rωG(z1), vz =?νωH(z1) ( . . )

p = ´ρνωP(z1) mit z1 =c

ω

νz . ( . . )

Die radiale und die φ-Komponente der Geschwindigkeit sind proportional zumAbstand r von der Drehachse der Scheibe, während die vertikale Geschwindig-keit vz in jeder horizontalen Ebene konstant ist. Einse en in die Navier-Stokes-Gleichungen ergibt:

(∇ ¨ v) = ´∇Pρ

+ν∆v ( . . )

ñ F2 ´ G2 + F1H = F2 ( . . )

2FG + G1H = G2 ( . . )

HH1 = P1 + H2 , ( . . )

wobei

1 ”ddz1

( . . )

und

Bzz1 =c

ω

ν. ( . . )

Die Kontinuitätsgleichung ∇ ¨ (ρv) in Polarkoordinaten ergibt

0 =1

rBr (rvr) +

1

rBφvφ + Bzvz ( . . )

= 2ωF +?νω

c

ω

νH1 ( . . )

= 2ωF +ωH1 . ( . . )

Die Randbedingungen werden zu

z1 = 0 : F = 0, G = 1, H = 0 ( . . )

z1 = 8 : F = 0, G = 0 . ( . . )

Das Problem ist also darstellbar durch ein System vier gewöhnlicher Differenti-algleichungen mit einer Veränderlichen, die numerisch gelöst werden kann.

Viskose Fluide

Die Geschwindigkeit des Flüssigkeitsstromes aus dem Unendlichen zur Scheibehin ist

vz(8) =?νωH(z1 Ñ 8) = ´0.886

?νω . ( . . )

z1 =a

ων

z1

1

2 3

G´H

F

0.886

Abbildung . : Lösung des Gleichungssystems für die rotierende Scheibe

Die senkrechte Reibungskraft auf die Scheibe pro Flächeneinheit ist

σzφ = η (Bzvφ)z=0 ( . . )

= ηrω BzG(z1)|z=0 ( . . )

= ηrωBzz1 BzG(z1)|z=0 ( . . )

= ηrωc

ω

νG1(0) ( . . )

= rρ?νω3G1(0) , ( . . )

es ist also σzφ 9 ρ,?νω3.

Bei Vernachlässigung der Randeffekte an der Scheibe können wir für eine große,aber endliche Scheibe desRadiusRdasDrehmoment derReibungskräfte auf einerder beiden Seiten schreiben als

M = 2

Rż

0

2πr2σzφdr ( . . )

= πR4ρ?νω3G1(0) . ( . . )

Die numerische Lösung ergibt

M = ´1.94R4ρ?νω3 . ( . . )

Dies ist das Drehmoment der Reibungskräfte auf die Scheibe; wir halten fest, daßM 9 R4,ρ,

?ν.

Turbulenz

. Übergang zur Turbulenz und doppelte Schwelle

Laminare Strömungen eines viskosen Fluids werden für große Reynolds-Zahlen

Re =vdν

=ρvdη

ą Rektrit ( . . )

im allgemeinen instabil gegenüber infinitesimalen Störungen: die Störung klingt nicht mitder Zeit ab, sondern wächst an; die Strömung wird turbulent.

Für jeden Strömungstyp gibt es ein eigenes Rekrit; z.B. bei

d

Abbildung . : Festkörper inStrömung

der Strömung um feste Körper. Hier ist im allgemeinen 10 ď

Rekrit ď 100.

Im turbulenten Fall lassen sich die Navier-Stokes-Gleichungenmit einer turbulenzerzeugendenKraft f schreibenals

Btv = ´ (v ¨ ∇)v´∇pρ

+ν∆v+ f . ( . . )

Analytische Lösungen im turbulenten Fall gibt es nicht, und sie wären auchwenig sinnvoll,da man je t an statistischen Mi elwerten interessiert ist: für die mi lere Geschwindigkeit ⟨v⟩,die mi lere quadratische Geschwindigkeit

⟨v2⟩, die mi lere dissipierte Energie ⟨Ed⟩ (pro

Zeit- und Masseneinheit), etc. In manchen Fällen lassen sie sich näherungsweise berechnen,insbesondere bei „entwickelter Turbulenz“ (also einer voll turbulenten Strömung) : so fandman für die mi lere quadratische Geschwindigkeit als Funktion des Abstandes vomWirbel-zentrum (analog für die Wirbelenergie ⟨E⟩ „

⟨v2⟩) dasWirbelverteilungsgese

⟨v2⟩(r) 9 r2/3 . ( . . )

Die Beschreibung entwickelter Turbulenz durch Carl Friedrich W (b Kiel, d Söcking)im Jahr war das erste Beispiel der Einführung der Renormierungsgruppe.

Der Zusammenhang folgt aus einem Renormierungsansa für selbstähnliche Strukturen, siehe C. F.W : Zeitschrift für Physik , ( ), Werner H : Zeitschrift für Physik , ( ).

Turbulenz

Der exakteWert der Exponenten ist bis heute nicht berechenbar (man findet empirisch kleineAbweichungen von 2/3), da auch die Geschwindigkeitskomponenten und ihre Ableitungenstatistisch fluktuieren.

Das Einse en der Turbulenz bei großen Reynolds-Zahlen hat

Abbildung . :Rohrströmung

L über eine unendliche Folge von Instabilitäten undräumlich und zeitlich immer unregelmäßigere Strömungsmusterbeschrieben.

Bei manchen Strömungstypen wie der Rohrströmung gibt es je-doch keine Instabilität, wohl aber Turbulenz. Sie se t direkt und stark ein; dazu ist eine endli-che Störung des laminaren Profils erforderlich (d.h., eine infinitesimale Störung ist nicht aus-reichend). Hier gibt es für den Turbulenzeinsa eine doppelte Schwelle: sowohl die Reynolds-Zahl als auch die Störungmüssen groß genug sein:

ReRekrit

Störstärke

Übergangsbereich

typischerStörpegel

laminar

turbulent

Abbildung . : Zusammenhang von Reynolds-Zahl und Turbulenzen

Ist die Strömung turbulent geworden, so hat sie viele Freiheitsgrade und einen hochdimen-sionalen Phasenraum.

Das Profil der turbulenten Strömung ist wesentlich durch die Nichtlinearität im konvektivenTerm bestimmt, während bei der laminaren Strömung die Viskosität entscheidend ist.

Beispiel Rohrströmung: Im laminaren Fall ist das die Poiseuille-Strömungmit pa-rabolischem Geschwindigkeitsprofil,

v(r) =δp4ηl

(R2 ´ r2

)( . . )

ñ vlammax(r = 0) =δp4ηl

R2 ( . . )

= 2 ⟨v⟩ , wobei ( . . )

Lew Dawidowitsch L (b Baku, d Moskau).

Turbulenz

⟨v⟩lam =

Rş

0

rv(r)drş

rdr( . . )

=δp8ηl

R2 . ( . . )

v(r)

⟨v⟩lam0

R

r

´R

vlammax

⟨v⟩turb

Abbildung . : Laminarer und turbulenter Mi elwert der Strömungsgeschwindigkeit

Da Turbulenzen nicht analytisch beschreibbar sind, ist die Beschreibung derRohrströmung grundsä lich nur über Mi elwerte möglich. Die mi lere Ge-schwindigkeit ⟨v⟩ muß in diesem Fall numerisch berechnet werden; sie unter-scheidet sich deutlich von dem Ergebnis für die laminare Strömung. Im turbulen-ten Fall muß die Berechnung der mi leren Geschwindigkeit numerisch erfolgen.

Als Folgen der Nichtlinearität können auch Ordnung und Struktur in offenen, dissipativenSystemen fern vom Gleichgewicht entstehen, etwa in der Kármánschen Wirbelstraße (beiRe « 140) oder in einem Wasserstrahl (Re « 2300). Die dabei entstehenden Strukturensind vielskalig, d.h., gleichartige Muster bilden sich in verschiedensten Größen ineinander-geschachtelt aus.

(a) Turbulent zerfallender Wasserstrahl (N. Zaralis, KIT)(b) Kármánsche Wirbelstraße (J. H. Peters,

Photographie)

Abbildung . : Folgen der Nichtlinearität

Turbulenz

Im turbulenten Fall muß die zeitlich gemi elte Geschwindigkeit betrachtet werden; die in-dividuellen Fluidteilchen-Geschwindigkeiten variieren stark. Die Strömung hat kein parabo-lisches Profil mehr, es ist eher „eckig“ mit einem Maximalwert für r = 0 (in der Rohrmi e)etwas über dem Mi elwert der laminaren Strömung. Erst dicht am Rand fällt sie steil auf 0ab; es bildet sich eine schmale Randzone aus, in der die Strömung durch Viskosität dominiertund fast laminar ist.

. Turbulenzeinsa über Instabilität

Ohne makroskopische Störung se t Turbulenz über infinitesimale Instabilitäten ein. Dazuzwei Beispiele:

Beispiel : Bei der Taylor-Coue e-Instabilität, entdeckt , strömtWasser in demSpalt zwischen einem rotierenden Innenzylinder und einem feststehenden, kon-zentrischen Außenzylinder. Bei langsamer Drehung ist die Strömung laminar, beischneller Drehung gibt es regelmäßige Schlauchmuster, bei sehr schneller Drehungwird sie vielskalig turbulent.

Glas

Stahl

ω = 0.1..4s´1

„ 2.5cm „ 0.5cm

Abbildung . : Taylor-Coue e-Instabilität

Die Ursache ist, daß die viskose Flüssigkeit am rotierenden inneren und am ru-henden äußeren Zylinder haftet: es gibt ein Gefälle der azimutalen Geschwin-digkeit uφ(r) von innen nach außen, und infolgedessen ein Gefälle der Zentrifu-galkräfte. Wird es hinreichend groß, so kommt es zu einer Zentrifugalinstabilität.(Eine zusä liche makroskopische Störung gibt es hier nicht.)

Dreht sich auch der äußere Zylinder, so sollte die Strömung laminar bleiben, weiluφ(r)mit r anwächst, so daß auch dieDruckkraft anwächst und infinitesimale Stö-rungen zurücktreibt. Jedoch wird die Strömung bei hinreichend großemω den-noch turbulent; es muß demnach auch hier eine weitere Ursache geben.

Turbulenz

Beispiel : Die Rayleigh-Bénard-Zelle dient als weiteres Beispiel für hydrodyna-mische Instabilität. Der Auftrieb durchWärmeausbreitung resultiert in Konvekti-onsrollen, dann in Turbulenz: Eine Flüssigkeitsschicht im Schwerefeld gwird von

∆T

Abbildung . : Rayleigh-Bénard-Zelle

unten um∆T (einige °C) erwärmt. Für kleines∆T wird die Wärme über die mo-lekulare Leitfähigkeit transportiert, für mi elgroßes ∆T bilden sich regelmäßigeKonvektionsrollen aus, und für großes ∆T entsteht Turbulenz.

Die Konvektionsrollen sind die erste Instabilität; sie entsteht, wenn ein Paar kom-plexer Eigenwerte die imaginäre Achse kreuzt (siehe später; Hopf-Bifurkation).

Das beim Zerfall der Konvektionsrollen entstehende neue Muster ist nicht zeit-unabhängig, sondern periodisch mit der Frequenz f1. Wird ∆T (oder ω oder Re)weiter erhöht, bleibt auch das neue Muster nicht stabil: es folgt die dri e Instabi-lität, anschließend gibt es zwei Frequenzen f1, f2 (und wegen der Nichtlinearitätebenso alle Mischungsverhältnisse).

Bei der vierten Instabilität kommt nicht einfach eine weitere Frequenz hinzu, son-dern das Spektrumwird kontinuierlich und das Strömungsfeld zeitlich chaotisch.

Der Ruelle-Takens-Weg ins hydrodynamische Chaos hat zahlreiche experimen-telle Bestätigungen gefunden. Es gibt dabei drei Grundmuster für den Weg insChaos über Instabilitäten:

( ) Quasiperiodischer Weg: f1, f2 inkommensurabel, d.h. nicht durch dieselbe Zahlohne Rest teilbar;

( ) Periodenverdopplung: f1, f2 fest verknüpft;( ) Intermi enz: intermi ierendes Einse en eines neuen Musters.

Alle dreiWege lassen sich je nachRandbedingungen bei Rayleigh-Bénardmessen.

Entdeckt von John William S , . Baron R (b Langford-Grove, Maldon, dTerlins Placebei Witham), und unabhängig von Henri Claude B (b , d ) im Jahr .

Vgl. D. R , F. T , On the nature of turbulence, Commun. Math. Phys. , – ( ) und , –( ).Man beachte, daßChaosundTurbulenzdennoch nicht synonymsind, dawichtigeGegenbeispiele nicht diesem

Weg folgen.

Turbulenz

. Stabilität stationärer Strömungen

Nicht jede Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen für die Bewegung eines zähen Fluids istin der Natur realisiert, denn sie muß auch stabil sein, d.h., kleine Störungen müssen mit derZeit abklingen.

Wir führen also einemathematische Stabilitätsuntersuchung durch: Sei v0(r)die stationäreLösungund v1(r, t) eine kleine, nicht stationäre Störung.DieNavier-Stokes-Gleichungenunddie Kontinuitätsgleichung werden also erfüllt von v = v0 + v1 mit p = p0 + p1:

Btv+ (v ¨ ∇)v = ´∇pρ

+ν∆v ( . . )

∇ ¨ v = 0 . ( . . )

Für den stationären Anteil mit Btv0 = 0 gilt also:

(v0 ¨ ∇)v0 = ´∇p0ρ

+ν∆v0 ( . . )

∇ ¨ v0 = 0 , ( . . )

und für den gestörten Anteil gilt unter Auslassung von Termen höherer Ordnung in v1 (wegen|v1| ! |v0|):

Btv1 + (v0 ¨ ∇)v1 + (v1 ¨ ∇)v0 = ´∇p1ρ

+ν∆v1 ( . . )

∇ ¨ v1 = 0 . ( . . )

Zusä lich gilt die Randbedingung v1 = 0 an unbeweglichen festen Wänden. Also genügt v1einem System homogener Differentialgleichungenmit Koeffizienten, die nur Funktionen desOrtes sind und nicht von der Zeit abhängen.

Die allgemeine Lösung ist eine Summe spezieller Lösungen, in denen v1 über einen Faktorv1(t) 9 e´iωt von der Zeit abhängt. Die Frequenzenω sind durch die Lösungen mit Randbe-dingungen bestimmt; sie sind komplex:ω P C,ω =ω1 + iγ1.

Für den positiven Imaginärteil γ1 ą 0 wächst e´iωt unbeschränkt mit t; die Strömung wirdinstabil. ImUmkehrschluß liegt eine stabile Strömung genau dann vor, wennγ1 = Im(ω) ă 0

für alleω.

Die zugehörige mathematische Stabilitätsuntersuchung ist kompliziert, und bei stationärenStrömungen um Körper mit endlichen Abmessungen ist sie bisher nicht gelöst. Jedenfallswird die Strömung für Re ą Rekrit instabil gegenüber infinitesimalen Störungen; für jedenStrömungstyp gibt es ein eigenes Rekrit, z.B. bei Strömungen um feste Körper: 10 ď Rekrit ď

Nach Lew Dawidowitsch L .

Turbulenz

100 (vgl. Kapitel ):

Re =vdν

=ρvdη

, Rekrit « 30 . ( . . )

Für Reynolds-Zahlen gilt also

• für Re ă Rekrit und Störfrequenzenω =ω1 + iγ1 mit γ1 ă 0: stabile Strömung

• für Re = Rekrit: Dωmit γ1 = 0, γ1(Rekrit) = 0

• für Re ą Rekrit und γ1 ą 0 (mit γ1 !ω1 bei Re « Rekrit): turbulente Strömung.

Beim Umströmen eines endlichen Körpers gibt es nur diskrete, keine kontinuierlichen Fre-quenzen, und es ist γ1 ą 0.

Für nichtstationäre Bewegung bei großem Re ą Rekrit in der Be-

d

Abbildung . :Festkörper in Strömung

schreibung von L ( ) verwendet man folgenden Ansa fürdas Störfeld v1:

v1(r, t) = A(t)f(r) mit komplexer Ortsfunktion fund komplexer Amplitude A(t):

( . . )

A(t) = const ¨e´iωt ( . . )

= const ¨eγ1te´iω1t zu Anfang bei t ě 0 . ( . . )

Wie entwickelt sich die Amplitude |A(t)| des Störfeldes zeitlich?

Für Re « Rekrit strebt die Amplitude des Störfeldes gegen einen endlichen Grenzwert, dersich wie folgt abschä en läßt: Zu kleinen Zeiten ist

|A|2 = const2 e2γ1t

ˇ

ˇ

ˇe´iω1te+iω1t

ˇ

ˇ

ˇ

loooooomoooooon

=1

. ( . . )

Die zeitliche Änderung des Betragsquadrats der Amplitude wird für kleine Zeiten zu

ddt

|A|2 = 2γ1 |A|

2 . ( . . )

Für größere Zeiten gibt es jedoch Abweichungen von der anfänglichen Amplitudenform; ineiner Reihenentwicklung kommen weitere Glieder hinzu.

Es interessiert der zeitliche Mi elwert; die Glieder dri er Ordnung enthalten einen periodi-schen Faktor, der bei Zeitmi elung ⟨|A|⟩t Null ergibt. Also folgt mit Genauigkeit bis zur

Turbulenz

vierten Ordnung:

ddt

|A|2 = 2γ1 |A|

2´α |A|

4 , ( . . )

wobei die Landausche Konstanteα positiv oder negativ sein kann.

Die Lösung der Differentialgleichung ist gegeben durch

t

Abbildung . : Zeitentwicklungder Amplitude

1

|A|2 =

α

2γ1+ const ¨e´2γ1t . ( . . )

Für t Ñ 8 strebt |A|2 asymptotisch gegen den endlichenGrenz-

wert

|A|2max =

2γ1α

. ( . . )

γ1 ist dabei eine Funktion der Reynolds-Zahl mit γ1(Rekrit) = 0. Sie läßt sich in der Nähe vonRekrit in einer Potenzreihe entwickeln; in erster Näherung ist

γ1 = const (Re ´ Rekrit) ( . . )

ñ |A|max «

c

2 ¨ constα

(Re ´ Rekrit)1/2 . ( . . )

Bei der Berücksichtigung eines weiteren Gliedes in

ReRekrit

|A|(2γ1α

)1/2stabil

turbulent

|A|max

Abbildung . : EndlicherAmplitudengrenzwert

der Entwicklung sieht man, daß die fünfte Ordnungbei der Zeitmi elung analog zur dri en Ordnungwegfällt:

ddt

|A|2 = 2γ1 |A|

2´α |A|

4´β |A|

6 ( . . )

fürα ă 0 und β ą 0. Die Lösung für t Ñ 8 ist

|A|2max =

|α|

2.3˘

[α2

4.32+

2 |α|

βγ1

]1/2. ( . . )

Bei Re = Rekrit nimmt das System sprunghaft eine endliche Amplitude an, |A| = |α| /β.

Bei Re1krit ă Re ă Rekrit gibt es eine metastabile Grundströmung, die stabil gegenüber sehr

kleinen Störungen ist (|A| ă|α|

2.3 ) – sie klingen im Laufe der Zeit ab –, aber instabil gegenüberStörungen mit endlicher Amplitude |A| ą α

2.3 .

Für Re ă Re1krit ist die Strömung stabil, für Re ą Rekrit gibt es keine stabile Strömung.

Turbulenz

ReRekrit

|A|2

(2γ1|α|

)

stabilturbulent

|A|2max

Bifurkation

Re1krit

Übergangsbereich

Abbildung . : Bifurkation

Die Phase des Störfeldes A(t) bleibt unbestimmt; sie hängt von den zufälligen Anfangs-bedingungen ab. Dadurch erhält die Strömung einen Freiheitsgrad, während die stationäre(stabile) Strömung durch die äußeren Bedingungen vollständig bestimmt ist.

. Entwickelte Turbulenz in astrophysikalischen Umgebungen

Turbulenz erscheint auf sehr unterschiedlichen Skalen, vom Labor bis in die größten Struk-turen im Universum. Vorausse ung ist nur die Gegenwart eines kontinuierlichen, fluid-ähnlichen Mediums. Turbulenz ist eine der wichtigsten (und häufigsten) Naturerscheinun-gen; dennoch sind wir von einem tieferen Verständnis weit entfernt.

Beispiele für entwickelte Turbulenz sind

• Planeten: Turbulenz ist essentiell beim Strukturieren der Atmosphäre sowie zumWärme- und Impulstransport an der Oberfläche

• terrestrische Planeten: vergleichsweise kleinskalige Strukturen in der Atmosphäre, z.B.Wirbelströme; Durchmesser von ca. - km (etwa der Hurrikan Katrina)

• große Gasplaneten: großskalige Strukturen; z.B. der Große Rote Fleck auf Jupiter: einkm breiter und - km langer Zyklon, der mit sechs Tagen Umlaufzeit

entgegen dem Uhrzeigersinn rotiert. Auf Saturn entstand ein „weißer Fleck“, derein Sturmzentrum in der H/He/NH3-Atmosphäre von ca. km Ausdehnung undh min Umlaufzeit ist. Weiter gibt es auf Neptun einen ähnlichen blauen Fleck.

• Sternatmosphären: Turbulenz ist Bestandteil jeder Theorie über konvektiven Energie-transport mit Implikationen für die innere Struktur von Sternen

Der Große Rote Fleck wurde von Giovanni Domenico C (b Perinaldo bei Nizza, d Paris)entdeckt und überdauerte die Jahrhunderte.

Entdeckt von V ₂ .

Turbulenz

• interstellares Medium: Turbulenz in Molekülwolken spielt eine wichtige Rolle bei derSternentstehung.

• Galaxien: Turbulenz spielt eine entscheidende Rolle beim Entstehen von Galaxien-Clustern, den größten gravitativ gebundenen Objekten im Universum.

Abbildung . : Beispiel für entwickelte Turbulenz: Jupiters Großer Roter Fleck (NASA)

km

- kmT = 6d

Abbildung . : Maße des Großen Roten Flecks

Grenzschichten

Bei sehr großen Reynolds-Zahlen Re = vlν= ρvl

η– entsprechend bei kleinen Werten von η bzw.

ν – kann das Fluid allgemein als ideal angesehen werden. Dies gilt jedoch nicht in der Nähefester Wände, da dort für viskose Fluide vK = v∥ = 0 am Rand, beim idealen Fluid nur dieNormalkomponente vK = 0 sein muß.

Die Abnahme von v auf 0 für große Reynolds-Zahlen erfolgt

Grenzschicht

Abbildung . :Grenzschicht

fast vollständig in einer dünnen Fluidschicht an den Wänden,der Grenzschicht. Hier haben die Geschwindigkeitsgradienten hoheWerte; die Strömung kann dort laminar oder turbulent sein. Die Zä-higkeit verursacht den Geschwindigkeitsabfall in der Grenzschichtbis zu v = 0. Der Rand der Grenzschicht ist nicht scharf.

Beispiel: Stromlinienkörper. Die Dicke der Grenzschicht ist im laminaren Fall gege-ben durch

δl =5l

?Re

9?ν , ( . . )

im turbulenten Fall durch

δt = 0.37 5

c

νl4

4. ( . . )

Beispielsweise ist für die charakteristische Länge l = 10cm und die Reynolds-Zahl Re = 1ˆ 104 die Dicke der laminaren Grenzschicht δl = 0.5cm.

u

turbulent

laminarUmschlagpunkt

Abbildung . : Stromlinienkörper (Randbedingungen: vK = v∥ = 0)

Grenzschichten

Die Theorie der Grenzschichten wurde formuliert von L. P .

Wir behandeln die Bewegungsgleichung in der

Grenzschicht

ux

y

z

Abbildung . : Grenzschicht in stationärerStrömung

Grenzschicht für eine zweidimensionale stationäreStrömung um ein ebenes Teilstück der Oberflächedes Körpers aus den Navier-Stokes-Gleichungen.Außerhalb der Grenzschicht entspricht diese derBernoulli-Gleichung,

p + ρu2

2= const ( . . )

ñ1

ρ

dpdx

= ´ududx

, ( . . )

da die Strömung dort eine Potentialströmung mitder Geschwindigkeit u der Grundströmung ist. Da die Grenzschicht dünn ist, verläuft dieStrömung hauptsächlich parallel zur umströmten Oberfläche,

vy ! vx sowie B2xvc ! B2

yvx . ( . . )

Also ist es ausreichend, sich mit der ersten Navier-Stokes-Gleichung (der x-Komponente dervektoriellen Gleichung) und der Kontinuitätsgleichung zu beschäftigen. Diese werden zuden Prandtlschen Gleichungen:

vxBxvx + vyByvx ´νB2yvx = u

dudx

( . . )

Bxvx + Byvy = 0 ( . . )

Die Randbedingungen geben vor, daß am Rand vx = vy = 0 gelte.

Vgl. den Beitrag von Ludwig P (b Freising, d Gö ingen) zum InternationalenMathematiker-Kongreß Heidelberg des Jahres .

Vgl. S. G et al., Phys. J., Oktober , Seite .

Wärmeleitung

Mit Berücksichtigung von Viskosität und Wärmeleitung besteht das Gleichungssystem derHydrodynamik aus den Navier-Stokes-Gleichungen, der Kontinuitätsgleichung und einerfünften thermodynamischen Gleichung. Sie tri bei idealen Fluiden an die Stelle der Adia-batengleichung, deren Bedeutung die Erhaltung der Entropie ist. Wegen der irreversiblenEnergiedissipation ist bei viskosen Fluiden die Entropie nicht erhalten; vielmehr wächst siean.

Die Änderung der Gesamtenergie in einem bestimmten Volumen pro Sekunde muß gleichdem Energiestrom durch dieses Volumen sein. Der Energiestrom enthält je t außer dem„idealen“ Term einen Term infolge der inneren Reibung. Im idealen Fluid:

Bt

[ρv2

2+ ρϵ

]= ´∇ ¨

[ρv(

v2

2+ w

)]= ´∇ ¨ jideal , ( . . )

wobei ϵ die innere Energie pro Masseneinheit und w = ϵ+ p/ρ die Enthalpie pro Massen-einheit angibt. Die Gleichung beschreibt den Energistrom aufgrund der Verschiebung derFlüssigkeitsmasse; dazu kommt der Energiestrom infolge innerer Reibung,

j1 = ´vσ 1 , j1k = ´viσ1ik . ( . . )

Auch beikonstanter Temperatur sorgen die beiden Energietransportmechanismen für Wär-metransport.

Ist T nicht im ganzen Volumen konstant, so gibt es zusä lichenWärmetransport durchWär-meleitung: direktemolekulare Energieübertragung vonOrtenmit höheremzuOrtenmit nied-rigerer Temperatur T. Sie geschieht auch in einer ruhenden Flüssigkeit und ebenso in einemFestkörper, hängt also nichtmit makroskopischer Bewegung zusammen.

. Die Wärmetransportgleichung

Sei q die Wärmestromdichte infolge Wärmeleitung; q ist eine Funktion der Temperaturände-rung. Ist der Temperaturgradient klein, so kann q in einer Potenzreihe nach ∇T entwickeltwerden, von der wir nur die Glieder niedrigster Ordnung berücksichtigen.

Wärmeleitung

Der konstante Term verschwindet, da q = 0 ô ∇T = 0. Also ist

q « ´κ∇T ( . . )

mit derWärmeleitfähigkeit κ, dieą 0 ist, da der Energiestrom von Orten mit hoher zu Ortenmit niedriger Temperatur gerichtet ist. q und ∇T haben entgegengese te Richtungen.

Die gesamte Energiestromdichte ist also

jvisc = ρv[

v2

2+ w

]loooooomoooooon

=jideal

´vσ 1 ´κ∇Tloomoon

=q

, ( . . )

und es gilt der Energieerhaltungssa

Bt

[ρv2

2+ ρϵ

]= ´∇ ¨ jvisc , ( . . )

der sich mithilfe der hydrodynamischen Gleichungen umformen läßt zu

Bt

[ρv2

2+ ρϵ

]=

v2

2Btρ+ ρv ¨ Btv+ ρBtϵ+ϵBtρ , ( . . )

wobei der Term Btρ aus der Kontinuitätsgleichung, Btv aus den Navier-Stokes-Gleichungenentnommen ist und die Ableitung Btϵ aus der thermischen Beziehung

dϵ = Tds ´ pdV ( . . )

= Tds +pρ2dρ , ( . . )

ñ Btϵ = TBts +pρ2

Btρ ( . . )

kommt. Nach Einse en folgt durch den Vergleich mit der rechten Seite des Energieerhal-tungssa es die allgemeine Gleichung für den Wärmetransport,

ρT

Btsloomoon

lokal

+ v ¨ ∇sloomoon

konvektiv

= σ 1ikBkvi

loomoon

viskos

+ ∇ (κ∇T)loooomoooon

Wärmeleitung

. ( . . )

Ohne Viskosität undWärmetransport verschwindet die rechte Seite; es ergibt sich dann dieEnergieerhaltung in einer idealen Flüssigkeit, die Adiabatengleichung

dsdt

= 0 . ( . . )

(Es ist σ 1ikBkvi = ηBkvi

[Bkvi + Bivk ´ 2

3δikBlvl].)

Thermal conductivity in englischsprachiger Literatur.

Wärmeleitung

Die Gesamtentropie der Flüssigkeit

S =

ż

ρsdV ( . . )

wächst an aufgrund der irreversiblen Prozesse derWärmeleitung und der inneren Reibung.

. Wärmetransport bei inkompressiblen Fluiden

Oft läßt sich die Wärmeleitungsgleichung stark vereinfachen. Falls gilt, daß die Strömungs-geschwindigkeit sehr viel kleiner ist als die Schallgeschwindigkeit, v ! c, so sind die Druck-änderungen so klein, daß die zugehörigen Dichteänderungen vernachlässigbar sind. Die Dich-teänderungen infolge einer Temperaturänderung∆T müssen jedoch berücksichtigt werden.

Bei der Differentiation der thermodynamischen Größen kann man also den Druck, nichtaber die Dichte als konstant annehmen:

Bts = (BT)p BtT ,∇s = (BTs)p ∇T , ( . . )

wobei (BTs)p = Cp/T mit der spezifischen Wärmekapazität bei konstantem Druck Cp =

T (BTs)p.

ñ Bts = CpBtT , T∇s = Cp∇T . ( . . )

Einse en in die Wärmetransportgleichung ( . . ) ergibt

ρCp [BtT + v ¨ ∇T] = σ 1ikBkvi +∇ (κ∇T) . ( . . )

Bei kleinen Temperaturdifferenzen kann auch die Dichte als konstant angesehen und die Flüs-sigkeit insgesamt als inkompressibel behandelt werden. Dann ist die Kontinuitätsgleichung

∇ ¨ v = 0 , ( . . )

und bei kleinem∆T können wir auch die Temperaturabhängigkeit von η,κ und Cp vernach-lässigen. Nach Division durch ρCp folgt die Wärmetransportgleichung in einem inkompressi-blen Fluid:

BtT + v ¨ ∇T = χ∆T +ν

2Cp[Bkvi + Bivk]

2 ( . . )

mit der kinematischen Zähigkeit ν = η/ρ und der Temperaturleitfähigkeit χ = κ/(ρCp

).

Thermometric conductivity in englischsprachiger Literatur.

Wärmeleitung

In einer ruhenden Flüssigkeit wird der Energietransport allein durch die Wärmeleitung be-wirkt; ohne geschwindigkeitsabhängige Terme wird die Gleichung zu

BtT = χ∆T , ( . . )

auch bekannt alsWärmeleitungsgleichung oder Fouriersche Gleichung.

Diese Gleichung folgt auch direkt aus der Energieerhaltung: die in einem bestimmtenVolu-men pro Zeiteinheit absorbierte Wärmemenge muß gleich demWärmestrom sein, der durchdie Oberfläche in das Volumen fließt. Aus der Gleichse ung von absoluter Wärmemengeund Wärmestrom,

ρCpBtT = ´∇q = κ∆T , ( . . )

folgt also direkt die Wärmeleitungsgleichung.

DieWärmeleitungsgleichung ist nur sehr begrenzt anwendbar: bei Flüssigkeiten im Schwe-refeld bewirkt bereits ein kleiner Temperaturgradient eine unmerkliche Störung („freie Kon-vektion“): nur wenn ∇T der Schwerekraft entgegengerichtet oder die Flüssigkeit sehr zähist, gilt die Gleichung. Sie ist dennoch wichtig, da sie auch Wärmeleitung in festen Körpernbeschreibt, und soll deshalb hier untersucht werden.

Ist die Temperaturverteilung in einem ungleichmäßig erwärmten, ruhenden Medium zeit-lich konstant, wird die Wärmeleitungsgleichung – bei konstanter Wärmeleitfähigkeitκ – zurLaplace-Gleichung

∆T = 0 . ( . . )

Kann κ nicht als konstant angesehen werden, muß man allgemeiner schreiben:

∇ ¨ (κ∇T) = 0 . ( . . )

Sind zusä lich fremde Wärmequellen vorhanden, muß zur Wärmeleitungsgleichung ein Zu-sa term addiert werden, z.B. für die Au eizung durch elektrischen Strom.SeiQ dieWärme-menge, die von Quellen an die Flüssigkeit pro Volumen- und Zeiteinheit abgegeben wird,

Q = Q(r, t) , ( . . )

so wird die Wärmeleitungsgleichung zu

ρCpBtT = κ∆T + Q . ( . . )

Nach Jean Baptiste-Joseph F (b Auxerre, d Paris).

Wärmeleitung

Hinzu kommen noch die Randbedingungen.

. Wärmetransport in einem unbegrenzten Medium

Sei die Temperaturverteilung bei t = 0 vorgegeben:

T = T0(x, y, z) . ( . . )

Gesucht wird T(r, t ą 0). Man entwickelt dazu die gesuchte Funktion in einem Fourier-Integral:

T(r, t) =ż

Tk(t)eik¨r d3k(2π)3

( . . )

mit Tk(t) =ş

T(r, t)e´ik¨rd3x.

Für jede Fourier-Komponente der Temperatur,

Tkeik¨r , ( . . )

folgt die Wärmeleitungsgleichung

BtT = χ∆T : ( . . )dTkdt

+ k2χTk = 0 . ( . . )

Daraus folgt die Zeitabhängigkeit der Temperatur Tk als

Tk = T0ke´k2χt , ( . . )

und mit T = T0(r) für t = 0:

T0k =

ż

T0(r1)e´ik¨r1

d3x1 ( . . )

ñ T(r, t) =ż

T0(r1)e´k2χteik¨(r´r1)d3x1 d3k(2π)3

. ( . . )

Das Integral über d3k ist darstellbar als Produkt dreier gleichwertiger Integrale der Form

+8ż

´8

e´αξ2 cosβξdξ =(πα

)1/2e´β2/(4α) , ( . . )

wobei ξ einer der Komponenten des Vektors k entspricht. Das analoge sin-Integral ver-schwindet, da sin eine ungerade Funktion ist.

Wärmeleitung

Damit ist die zeitabhängige Temperaturverteilung bei gegebener Anfangsverteilung T0 an-gegeben durch

T(r, t) =1

8 (πχt)3/2

ż

T0(r1) exp

[´(r´ r1)2

4χt

]d3x1 . ( . . )

Hängt T0 nur von einer Koordinate ab, T0 = T0(x), so läßt sich die dy1dz1-Integration ausfüh-ren, und man bekommt

T(r, t) =1

2 (πχt)1/2

ż

T0(r1) exp

[´(x ´ x1)2

4χt

]dx1 , ( . . )

und für eine anfängliche δ-Funktionsverteilung T0(r) = const ¨δ(r)

T(r, t) =const

2 (πχt)1/2e´r2/(4χt) . ( . . )

Bei r = 0 nimmt die Temperatur proportional zu t3/2 ab, in der Umgebung nimmt sie zu.

Der Verlauf der Temperaturausdehnung wird im wei-

T

1

2

3

4

5

6

1 2

r?γ

t = 18

t = 14

t = 12

t = 1

Abbildung . : Temperaturverteilung zuverschiedenen Zeitpunkten

teren durch den Exponentialfaktor bestimmt. Die Stan-dardabweichung der Gauß-Funktion ist σ =

?2χt, die

Breite Γ =?8 ln 2σ , d.h., l 9

?t. Dementsprechend ist

die Relaxationszeit für den Wärmeleitungsvorgang, inder sich die Temperaturen merklich angleichen,

τ 9l2

χ, ( . . )

wobei l die Größenordnung der Abmessungen des Kör-pers ist, der zunächst ungleichmäßig erwärmt ist.

Thermische Störungen breiten sich instantan über denganzen Raum aus: bei anfänglicher δ-Funktion geht dieVerteilung schon im nächsten Moment nur im Unendli-chen asymptotisch gegen 0. (In räumlich begrenzte Me-dien kommen die Randbedingungen hinzu.)

. Konvektion

Konvektion ist die Strömung in einer ungleichmäßig erwärmten Flüssigkeit. Sind die Tempera-turdifferenzen groß gegen die Temperaturveränderungen durchWärmeentwicklung bei der

Wärmeleitung

Energiedissipation,

∆T " ∆Tdiss , ( . . )

so kann man den Viskositätsterm in der Wärmetransportgleichung vernachlässigen,

χ∆T "ν

2Cp(Bkvi + Bivk)

2 ( . . )

und erhält für inkompressible Fluide

BtT + v ¨ ∇T = χ∆T ( . . )

mit der Temperaturleitfähigkeit

χ =κ

ρCp, ( . . )

wobei κ wieder die Wärmeleitfähigkeit angibt. Zusammen mit den Navier-Stokes-Gleichungen und der Kontinuitätsgleichungwird Konvektion dadurch vollständig beschrie-ben.

Findet keine zeitliche Änderung der Temperaturverteilung sta , so liegt stationäre Konvek-tion vor. Da BtT = 0, fallen die Zeitableitungen heraus, und es bleiben die Gleichungen

v ¨ ∇T = χ∆T (Konvektion), ( . . )

(v ¨ ∇)v = ´∇ pρ+ν∆v (Navier-Stokes-Gleichungen) und ( . . )

∇ ¨ v = 0 (Kontinuitätsgleichung). ( . . )

v, T und p/ρ sind die unbekannten Funktionen, ν und χ (im allgemeinen konstante) Para-meter.

Die Lösungen hängen über die Randbedingungen (z.B. fester Körper in der Strömung) vonweiteren Größen ab, etwa:

• der Längenskala eines festen Körpers in der Strömung,

• der Geschwindigkeit u der Grundströmung,

• der charakteristischen Temperaturdifferenz T1 ´ T0 zwischen Fluid und festemKörper.

Die Gleichung für T ist linear und homogen; sie kann deshalbmit einem beliebigen konstantenFaktor multipliziert werden. Also ist die Maßeinheit der Temperatur willkürlich wählbar.Wir wählen die übliche Einheit K.

Wärmeleitung

Fünf Parameter charakterisieren also die Konvektion. Ihre Einheiten sind

[ν] = [χ] =m2

s; [u] =

ms; [l] = m; [T1 ´ T2] = K . ( . . )

Daraus lassen sich zwei unabhängige dimensionslose Kombinationen bilden:

• die Reynolds-Zahl Re = ulν, vgl. ( . . ), und

• die Prandtl-Zahl Pr = νχ= kinematische Viskosität

Temperaturleitfähigkeit .

Die Prandtl-Zahl, auch bekannt als Wärmeübertragungskennwert, ist eine Materialkonstan-te, die von T, aber nicht von den Eigenschaften der Strömung abhängt. Für Gase ist sie vonder Größenordnung 1, für Flüssigkeiten variiert sie stark.

PrQuecksilber 0.044Luft 0.733Wasser 6.75Alkohol 16.6Glycerin 7250

Tabelle . : Prandtl-Zahlen für verschiedene Materialien bei 20°C

Das Produkt von Re und Pr ist die Péclet-Zahl

Pe ” Re ¨ Pr =ulχ

. ( . . )

In die dimensionslose Funktion für die Temperaturverteilung gehen Re und Pr als Parameterein,

T ´ T0

T ´ T1= f

( rl, Re, Pr

). ( . . )

In die Geschwindigkeitsverteilung geht nur Re ein da sie durch die Navier-Stokes-Gleichungenund die Kontinuitätsgleichung bestimmt ist, in denen χ bzw. Pr nicht vorkommen:

vu= f( r

l, Re)

. ( . . )

Den Wärmetransport zwischen Flüssigkeit und festem Körper charakterisiert die Wärme-übergangszahlα,

α =q

T1 ´ T0. ( . . )

Dabei ist q = |q|, q = ´κ∇T dieWärmestromdichte durch die Körperoberfläche, und T1 ´ T0

ist die Temperaturdifferenz zwischen festem Körper und Flüssigkeit.

Wärmeleitung

Der Wärmetransport kann durch die dimensionslose Nusselt-Zahl charakterisiert werden,

Nu ”αlκ

= f (Re, Pr) . ( . . )

Diffusion

. Flüssigkeitsgemische

Bisher habenwir das Fluid als homogen angenommen. BeiGemischen, deren Zusammenhangvom Ort abhängt, werden die hydrodynamischen Gleichungen wesentlich abgeändert.

Für ein Gemisch aus zwei Komponenten ist die Konzentration definiert als

c ”m1

M, ( . . )

wobei M = m1 + m2 die Gesamtmasse im Volumenelement und m1 die erste Komponenteangibt. Die Verteilung der Konzentration ist zeitabhängig:

( ) Jedes Teilvolumen bewegt sich als Ganzes mit unveränderter Zusammense ung: mecha-nische Durchmischung. Diese Konzentrationsänderung ist reversibel und bewirkt keine En-ergiedissipation. (Beispiel: Paraffin in H2O.)

( ) Die Zusammense ung ändert sich durch molekularen Massentransport aus einem Teil-volumen in ein anderes. Der Konzentrationsausgleich geschieht durch Diffusion und istzeitlich irreversibel.

Neben Wärmeleitung und Viskosität ist Diffusion die Ursache der Energiedissipation in ei-nem Flüssigkeitsgemisch.

Ohne Diffusion bleibt die Zusammense ung eines Fluidelements bei der Bewegung unver-ändert; es gilt eine Kontinuitätsgleichung für den „Substanzstrom“ ρcv (c = m1/m):

Bt (ρc) +∇ ¨ (ρcv) = 0 . ( . . )

Integration mit dem Gaußschen Sa ergibt

Bt

ż

ρcdV = ´

¿

ρcvdf . ( . . )

(Der Strom für die zweite Substanz ist analog ρ (1 ´ c)v.)

Mit Diffusion kommt der sogenannte Diffusionsstrom hinzu,

Bt (ρc) +∇ ¨ (ρcv) = ´∇ ¨ i , ( . . )

Diffusion

auch bezeichnet als „sechste Grundgleichung der Hydrodynamik“ bei Gemischen. In inte-graler Form lautet die Gleichung

Bt

ż

ρcdV = ´

¿

ρcv ¨ df´

¿

i ¨ df . ( . . )

Mithilfe der thermodynamischen Größen – die je t jedoch auch von der Konzentration cabhängen – erhalten wir außerdem die verallgemeinerteWärmetransportgleichung (auch: „diefünfte Gleichung“). Sie folgt aus der Energieerhaltung

Bt

[ρv2

2+ ρϵ

]= ´∇ ¨ jvisc ( . . )

durch Umformung mithilfe der Kontinuitäts- und der Navier-Stokes-Gleichungen. Je t ent-halten die Ausdrücke für Energie und Enthalpie jedoch einen zusä lichen Term mit dem Dif-ferential der Konzentration:

( ) das Energiedifferential dϵ = Tds + pρ2dρ+µdc und

( ) das Enthalpiedifferential dw = Tds + 1ρdp +µdc

mit dem chemischen Potential des Gemisches µ, das proportional zur mi leren Teilchenzahlist.

In der Ableitung ρBtϵ kommt zusä lich der Term ρµBtc vor; analog kommt zu ´v ¨ ∇pderTerm ρµv ¨ ∇c hinzu. Damit wird die Gleichung für die zeitliche Änderung der Energiezu

Bt

[ρv2

2+ ρϵ

]= ´∇ jvisc + ρT [Bts + v ¨ ∇s] ´σ 1

ikBkvi +∇ ¨ q´µ∇ ¨ i . ( . . )

Damit der Energieerhaltungssa erfüllt ist, muß demnach gelten:

ρT [Bts + v ¨ ∇s] = σ 1ikBkvi ´ ∇ ¨ (q´µi) ´ i∇µ ( . . )

mit ∇ ¨ q ´ µ∇ ¨ i = (q´µi) + i∇µ. Diese Gleichung für die zeitliche Änderung unter Be-rücksichtigung der Diffusion ist eine Verallgemeinerung der Wärmetransportgleichung.

Um die Gleichungen zu lösen, müssen der Diffusionsstrom i und der Wärmestrom q durchdie Temperatur- und Konzentrationsgradienten ausgedrückt werden. Beide Ströme hängen imallgemeinen von beiden Gradienten ab. Sind diese klein, kann man i und q als lineare Funk-tionen von ∇µ und ∇T anse en:

i = ´α∇µ ´β∇T ( . . )

q = ´δ∇µ ´γ∇T +µi ( . . )

Analog ist die Temperatur proportional zur mi leren Energie, T 9 ⟨E⟩ = 32 kBT.

Diffusion

Sofern sich Temperatur und Konzentration nur wenig ändern und es keinen wesentlichenDruckgradienten gibt, lassen sich dieseGleichungenmithilfe thermodynamischer Relationenumformen zu

Btc = D[∆c +

kT

T∆T]

( . . )

BtT ´kT

Cp(Bcµ)p,T Btc = χ∆T , ( . . )

d.h., Temperatur und Konzentration sind durch ein lineares Gleichungssystem bestimmt.

Man definiert Diffusionskoeffizient D und Thermodiffusionskoeffizient kTD durch

D =α

ρ(Bcµ)p,T und ( . . )

kTD =αTρ

(BTµ)c,p +β . ( . . )

Bei kleinen Konzentrationen wird kTD Ñ 0; es bleibt dann eine reine Diffusionsgleichung:

Btc = D∆c ( . . )

zuzüglich der Randbedingungen. Die Diffusionsgleichung hat dieselbe Gestalt wie die Wär-meleitungsgleichung ( . . ) für eine ruhende Flüssigkeit,

BtT = χ∆T , ( . . )

so daß alle Formeln aus Kapitel übertragen werden können mit

T Ñ c , ( . . )

χ Ñ D . ( . . )

Beispiel: Für die Verteilung einer gelösten Substanz mit δ-Funktions-Anfangsbedingungen bei t = 0 ergibt sich

c(r, t) =M

8ρ (πDt)3/2e´r2/(4Dt) ( . . )

in dreidimensionalen Polarkoordinaten, wobei M die Gesamtmenge der gelöstenSubstanz ist.

Die Zeitverteilung der Konzentration im Diffusionsvorgang wird in Abb. . ge-zeigt; die Standardabweichung ist gegeben durch σ =

?2Dt, die Breite durch

Γ =?8 ln 2σ .

Diffusion

c

1 2

r?D

t = 18

t = 14

t = 12

t = 1

Abbildung . : Konzentrationsverteilung zu verschiedenen Zeitpunkten

. Brownsche Bewegung

Aufgrund molekularer Stöße machen in einer Flüssigkeit suspendierte Teil-

Abbildung . :BrownscheBewegung

chen eine ungeordnete „Zi erbewegung“, die der Botaniker R. Bentdeckt ha e, und deren Ursache bis zu A. E s Arbeit unbekanntblieb.

Sei zu t = 0 ein „Brownsches Teilchen“ (z.B. Blütenpollen in Wasser) im Ko-ordinatenursprung; seine Bewegung wird als Diffusionsprozeß beschrieben,und die Aufenthaltswahrscheinlichkeit tri an die Stelle der Konzentration. Dann läßt sich dieLösung der Differentialgleichung für die Konzentration ( . . ),

BtW = D∆W , ( . . )

verwenden:

W(r, t) =M

8ρ (πDT)3/2exp

[´

r2

4Dt

], ( . . )

abermals in dreidimensionalen Kugelkoordinaten formuliert.Vorausse ung dafür ist, daß dieTeilchen der gelösten Substanz miteinander nicht wechselwirken, so daß die Teilchenbewe-gung unabhängig ist vom jeweils nächsten Teilchen.

Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für das Brownsche Teilchen zur Zeit t in einemAbstandzwischen [r, r + dr] ist angegeben durch w(r, t)dr. Nimmt man an, daß M/ρ ” 1, und multi-

Robert B (b Montrose, d London), scho ischer Botaniker.Albert E (b Ulm, d Princeton): Annalen der Physik ( ), - .

Diffusion

pliziert man das Volumen der Kugelschale hinzu, so erhält man

w(r, t)dr =1

2?πD3t3

exp[

´r2

4Dt

]r2dr . ( . . )

Dasmi lere Quadrat des Abstandes vomAusgangspunkt des

r

w(r, t)

Γ =?8 ln 2σ

Abbildung . :Aufenthaltswahrscheinlichkeitbei Brownscher Bewegung

Brownschen Teilchens zur Zeit t ist (mitş8

0 e´u2du =?π/2)

⟨r2⟩=

8ż

0

r2w(r, t)dr = 6Dt , ( . . )

woraus man auf die Proportionalitätb

⟨r2⟩ 9?

t ( . . )

schließt.

DerDiffusionskoeffizientD läßt sich aus der Beweglichkeit b berechnen: Eswirke eine konstan-te äußere Kraft (z.B. die Schwerkraft) F auf die Brownschen Teilchen. Im stationären Zustandist sie gleich demWiderstand v/b, wobei b = const, gegen die Teilchenbewegung:

v = bF , ( . . )

wobei die Beweglichkeit b sich berechnen läßt aus den hydrodynamischen Gleichungen. Beikugelförmigen Teilchen gibt die Stokessche Formel den Widerstand an:

F = ´6πηRv , ( . . )

so daß

b =|v|

|F|=

1

6πηR( . . )

sein muß.

Bei nicht-kugelförmigen Teilchen hängt der Widerstand auch von der Bewegungsrichtung ab:

Fi = aikvk , ( . . )

wobei aik ein symmetrischer Tensor ist.Zur Berechnung von bmi elt man dann über alle Orientierungen, so daßmit den Hauptachsenwerten a1, a2 und a3 von aik für die Beweglichkeit folgt:

b =1

3

(1

a1+

1

a2+

1

a3

). ( . . )

Diffusion

Die lineare Beziehung zwischen b und D wird Einstein-Relation genannt,

D = Tb . ( . . )

Der Diffusionsstrom ist

i = ´ρD∇c + ρcbF . ( . . )

Dabei ist der erste Term ersichtlichermaßen proportional zum Konzentrationsgradienten,und der zweite Term ist der äußeren Kraft geschuldet, für die ρcv = ρcbF gilt. Für den Dif-fusionsstrom folgt also

i = ´ρD

(Bcµ)T,p∇µ + ρcbF ( . . )

mit dem chemischen Potential der suspendierten Teilchen µ.

Das chemische Potential hängt von der Konzentration ab:

µ = T ln c +ψ(p, T) ( . . )

ñ i = ´ρDc

T∇µ + ρcbF . ( . . )

Im thermodynamischen Gleichgewicht gibt es keine Diffusion, i = 0. Mit äußerem Feld mußim Gleichgewicht gelten:

µ+ U = const , ( . . )

wenn U die potentielle Energie der suspendierten Teilchen im Feld angibt. Also ist

∇µ = ´∇U = F , ( . . )

und mit i = 0 folgt

0 = ´ρDc

TF+ ρcbF ( . . )

und also die Einstein-Relation D = Tb für die Beziehung zwischen Beweglichkeit und Diffu-sionskoeffizient, die offenbar über die Temperatur verknüpft sind.

Einse en der Beweglichkeit bei kugelförmigen Teilchen ( . . ) ergibt für kB = 1

D =T

6πηR, ( . . )

Diffusion

die translatorische Diffusion suspendierter Brownscher Teilchen.

. Diffusion in relativistischen Systemen

Diffusion spielt auch eine Rolle in vielen relativistischen Systemen. Dies sind im Wesentli-chen Vielkörpersysteme (Atomkerne aus Baryonen) bei relativistischen Energien, wie sie inTeilchenbeschleunigern erreicht werden:

(a) CERN SPS

[PHOBOS]*[BRAHMS]*

PHENIX

STAR

[* nicht mehr aktiv]

(b) RHIC, Brookhaven NationalLaboratory; Umfang u = 3.8km

CMS

LHCbALICE

ATLAS

(c) LHC, CERN; Umfang u = 27km

Abbildung . : Au auten verschiedener Teilchenbeschleuniger

• CERN SPS: fixed-target-Experimente mit schweren Ionen;

EL = 158 GeV/Teilchen208Pb+ 208Pb ( . . )

Ecm =?

sNN =[2u2 + 2ELu

]1/2« 17.3GeV ( . . )

mit der Nukleonenmasse u = 938MeV.

• RHIC, Brookhaven (BNL):

100GeV/Teilchen19779Au+ 100GeV/TeilchenAu ( . . )?

sNN = 200GeV = 0.2TeV . ( . . )

Der RHIC besteht aus sechs intersections und ursprünglich vier, je t noch zwei Experi-menten (siehe Abb. . b).

Es gibt auch eine Brownsche Rotations-/Diffusionsbewegung, auf die aber nicht eingegangen wird.In der Arbeit A. E s wird die folgende Notation verwendet:

D =RTN

1

6πηd( . . )

mit der universellen Gaskonstante R « 8.31 JKmol , der Avogadro-Zahl N = 6.03ˆ 1023mol´1 und dem Radius

d (entspricht R in unserer Konvention). Die Bol mann-Konstante kB = 1.3ˆ 1023J/K ist die auf ein Molekülbezogene Gaskonstante; mit kB = R/N ” 1 entspricht das dem obigen Resultat.

cm = center of mass, Massenschwerpunkt.

Diffusion

• LHC collider, CERN:

max. 2.76 TeV/Teilchen20882Pb+ 2.76 TeV/Teilchen20882Pb ( . . )?

sNN = 5.52TeV ( . . )

Stark Loren -kontrahierte Kollisionspartner, charakterisiert durch

– Teilchenzahlen N1, Z1; N2, Z2

– Schwerpunkts-Energie?

s

– Stoßparameter b

– Loren -Kontraktion d(v) = d0b

1 ´ v2c2

Abbildung . : Lorenz-kontrahierte Stoßpartner

) In zentralen Stößen bei Energiedichten über dem kritischen Wert ϵkrit « 1.5GeVfm3 wird einkurzlebiges Quark-Gluon-Plasma für « 1ˆ 10´23s gebildet. Es entspricht dem Urzustandder Materie im Universum bis « 10µs nach dem Urknall.

) ImVerlauf der Kollisionwurden aus der verfügbaren relativistischen Energie so viele Teil-chen erzeugt, daß eine nichtgleichgewichts-statistische Betrachtungsweise gerechtfertigtist:

• bei SPS-Energien „ 1700 geladene Hadronen,

• bei RHIC-Energien „ 5400 geladene Hadronen,

• bei LHC-Energien „ 17 500 geladene Hadronen.

Es wird dabei die verfügbare relativistische Energie

Eav =?

s ´ u (A1 + A2) ( . . )

in Ruhemasse undkinetische Energie erzeugter Teilchenumgewandelt. In transversaler Rich-tung (senkrecht zum Strahl) sind die Energieverteilungen nahe am statistischen Gleichge-wicht.

In longitudinaler Richtung – parallel zum Strahl – sind die Verteilungsfunktionen entferntvom thermodynamischen Grenzfall. Dies gilt vor allem für die Verteilung der Rapidität der

Die Rapidität ist das relativistische (additive) Analogon der Geschwindigkeit.

Diffusion

Quark-Gluon-Plasmabildung, evtl. thermische ÄquilibrierungHadronenerzeugung, QGP ohne thermische Äquilibrierung

Fragmentationdsdb

b

Abbildung . : Kollisionseffekte abhängig vom Stoßparameter

Teilchen,

y =1

2ln

E + p∥E ´ p∥

= arctanhp∥E

« ´ ln tanϑ

2” η ( . . )

mit dem Streuwinkel ϑ, und der sogenannten Pseudorapidität η. Als Folge von Stößen undTeilchenerzeugung genügt die Verteilungsfunktion der Rapidität einer Diffusionsgleichung; inlinearer Näherung ist für R = R(y, t)

BtR =1

τyBy[(

y ´ yeq)

R]+ B2

y[DyR

]( . . )

mit dem Gleichgewichtswert der Rapidität yeq (= 0 für symmetrische Systeme), derRapiditäts-Relaxationszeit τy und dem Diffusionskoeffizienten Dy, bestimmt durch die Ver-breiterung der Verteilungsfunktion:

Dy 9Tτy

( . . )

Dies ist dasDissipations-Fluktuations-Theorem, das analog zur Einstein-Relation ( . . ) bei derBrownschen Bewegung die Gleichgewichtstemperatur T und die Rapiditätsrelaxationszeitüber den Diffusionskoeffizienten verbindet.

Die Lösung der linearen Diffusionsgleichung ist

R(y, t) =[?

2πτy(t) ¨ 2]´1

exp´

(y + ybe´t/τy

)2σ2

y(t)

+ exp

´

(y ´ ybe´t/τy

)2σ2

y(t)

( . . )

Diffusion

für symmetrische Systeme und zwei Quellen. Die Varianz ist

σ2y(t) = Dyτy

[1 ´ exp

(´2tτy

)]=

T2k

[1 ´ exp

(´2tτy

)], ( . . )

wobei k die Krümmung eines parabolischen treibenden Potentials im y-Raum ist.

Für große Zeiten t ą t2mitΓFWHM(t2) =?8 ln 2σy(t2) « y1wird aus den beiden getrennten

Verteilungen eine einzige Verteilung, die bei y = yeq zentriert ist und für t Ñ 8 in dieGleichgewichtsverteilung übergeht.

R(y, t)

y

Gleichgewichtsverteilung, T für t Ñ 8

´yb yb

δ-Anfangsverteilung bei t = 0

Abbildung . : Schematische Darstellung der Rapiditätsrelaxation für Ne obaryonen ( = Baryonen minuserzeugte Antibaryonen)

Vgl. Review-Artikel von Georg W , Prog. Part. Nucl. Phys. , ( ), und dortige Referenzen.

Relativistische Hydrodynamik

Relativistische Effekte müssen in der Hydrodynamik berücksichtigt werden, wenn

) die Geschwindigkeit dermakroskopischen Fluidströmung |v|mit der Lichtgeschwindigkeitc vergleichbar wird, oder

) die Geschwindigkeiten dermikroskopischen Bewegung der Fluidteilchenmit c vergleichbarwerden.

Es werden relativistische Bewegungsgleichungen aufgestellt, die für die ideale Flüssigkeitden Euler-Gleichungen im nichtrelativistischen Fall entsprechen. Wir definieren dazu zu-nächst den Energie-Impuls-Tensor:

. Energie-Impuls-Tensor einer Flüssigkeit

Der Energie-Impuls-Tensor wird üblicherweise notiert als

Tαβ, α,β,γ = 0, 1, 2, 3; i, k, l = 1, 2, 3; x0 = ct; x1; x2; x3 . ( . . )

Dabei gibt das Element T00 = T00 die Energiedichte, cT0i die vektorielle Energiestromdichte(nichtrelativistisch: j) und T0i

c = ´T0ic die Impulsstromdichte an.

In einem lokalen Ruhesystem, d.h. bei ruhendemVolumenelement, fürwelches das PascalscheGese ( . . ) gilt, ist der von einem bestimmten Flüssigkeitselement ausgeübte Druck in allenRichtungen gleich groß und überall senkrecht zu der Fläche, auf die er wirkt:

Tikd fk = pd fi ( . . )

ñ Tik pδik . ( . . )

Die Komponenten der Impulsstromdichte T0i

c sind im lokalen Ruhesystem gleich Null.

Relativistische Hydrodynamik

T00 ” ϵ ist die Dichte der (inneren) Energie des Fluids im lokalen Ruhesystem. Also ist derEnergie-Impuls-Tensor im lokalen Ruhesystem:

tαβ =

ϵ

pp

p

( . . )

Wir wollen ihn nun in ein beliebiges (bewegtes) Bezugssystem transformieren.

Die Komponenten der Vierergeschwindigkeit der Flüssigkeitsströmung uα im lokalen Be-zugssystem sind u0 = 1 und ui = 0. Im bewegten System ist der Energie-Impuls-Tensor

Tαβ = wuαuβ ´ pgαβ . ( . . )

mit dem metrischen Tensor

gαβ = gαβ =

1

´1

´1

´1

( . . )

und der Enthalpie pro Volumeneinheit w = ϵ + p (auch ϵ ist hier auf die Volumeneinheitbezogen, wähnend es im nichtrelativistischen Fall auf die Masseneinheit bezogen war) . Wirsehen sogleich, daß Tαβ = tαβ für u0 = 1, ui = 0.

In dreidimensionaler Schreibweise sind die Komponenten des Energie-Impuls-Tensors

Tik =wvivk

c2[1 ´ v2

c2

] + pδik , ( . . )

T0i =wvi

c[1 ´ v2

c2

] , ( . . )

T00 =w

1 ´ v2c2

´ p =ϵ+ p v2

c2

1 ´ v2c2

. ( . . )

Der nichtrelativistische Grenzfall v ! c beschreibt kleine Geschwindigkeiten der inneren(„mikroskopischen“) Bewegungen der Fluidteilchen.

Beim Grenzübergang ist zu beachten, daß die relativistische innere Energie ϵ die Ruhe-energie Nmc2 der N einzelnen Fluidteilchen enthält. Die Teilchenzahldichte n ist dabei auf dieEinheit des Ruhevolumens bezogen. In den nichtrelativistischen Ausdrücken wird jedoch dieEnergiedichte auf die Volumeneinheit im Laborsystem bezogen, in dem sich das Fluidele-

Relativistische Hydrodynamik

ment bewegt:

mn Ñv!c

ρ

c

1 ´v2

c2« ρ´

ρv2

2c2( . . )

ñ mnc2 Ñ ρc2 ´ρv2

2( . . )

mit der nichtrelativistischen Massendichte ρ = mV , der nichtrelativistischen Energiedichte

ϵ ! ρc2 und dem nichtrelativistischen Druck p ! ρc2. ρc2 gibt die Ruheenergie des Systemsan. Daraus folgt der nichtrelativistische Grenzwert für die Energiedichte T00:

Tnr00 = ρc2 +ϵ+ρv2

2, ( . . )

wovon der erste Summand der Ruheenergie, die le ten beiden der nichtrelativistischen En-ergiedichte entsprechen, sowie der Impulsstromdichtetensor

Tnrik = ρvivk + pδik . ( . . )

Es ist zu beachten, daß beim Übergang zum nichtrelativistischen Grenzfall der einfacheZusammenhang zwischen Impulsdichte und Energiestromdichte

c2T0i

c= cT0i ( . . )

verloren geht, weil die nichtrelativistische Energie die Ruheenergie nicht enthält: c2T0inr/c ‰ j.

. Relativistische Bewegungsgleichungen

Für ideale Fluide (d.h. analog zu den Euler-Gleichungen) folgen die Bewegungsgleichungenim nichtrelativistischen Fall direkt aus der Energie-/Impulserhaltung:

BβTβα = 0 ( . . )

mit Tαβ = wuαuβ ´ pgαβ und der Enthalpie pro Volumeneinheit w = ϵ + p. In diesemEnergie-Impuls-Tensor sind dissipative Prozesse (Viskosität, Wärmeleitung) noch nicht be-rücksichtigt, daher ist er nur für ideale Fluide gültig. Die Ableitung des Analogons zu denNavier-Stokes-Gleichungen ist komplizierter.

Die Teilchenzahlerhaltung wird durch die Entsprechung der Kontinuitätsgleichung ausge-drückt:

Zur Ableitung der relativistischen Verallgemeinerung der Navier-Stokes-Gleichungen siehe z.B. L /L -, § .

Relativistische Hydrodynamik

nα ist der Vierervektor des Teilchenstromes, n0 die Teilchenzahldichte, und ni der Vektordes Teilchenstroms, wobei

nα = nuα mit der skalaren Teilchenzahldichte u, ( . . )

uα =(γ,γ

vc

)mit γ = 1/

c

1 ´v2

c2. ( . . )

In relativistischen Systemen mit Teilchenerzeugung wird die Teilchenzahl durch die Bedin-gungen des thermischen Gleichgewichts festgelegt.

Die Kontinuitätsgleichung besagt, daß die Viererdivergenz des Stromvektors verschwindet,

Bα (nuα) = 0 . ( . . )

Zusammen mit dem Energie-/Impulstensor Tαβ = wuαuβ ´ pgαβ folgt durch Differenzieren

BβTβα = uαBβ

(wuβ

)+ wuβBβuα + Bαp !

= 0 ( . . )

wegen der Energie-/Impulserhaltung. Durch Projektion auf die Richtung von uα und unterAnnahme der Normalisierung uαuα = 1 sowie mit Verwendung der Invarianz des Vierer-skalarprodukts, aus der uαBβuα folgt, erhält man

Bβ

(wuβ

)´ uβBβp = 0 . ( . . )

Substituiert man wuβ mit nuβ (w/n) und benu t ( . . ), so fällt der zweite Term imDifferen-tial weg, und man erhält

nuβ[

Bβwn

´1

nBβp

]= 0 . ( . . )

Aus der Enthalpie gewinnt man das Enthalpiedifferential

w = T ¨ s + p ( . . )

ñ dw = Tds + dp ( . . )

ñ d(w

n

)= Td

( sn

)+

1

ndp , ( . . )

wobei der le te Ausdruck der Enthalpie für ein Teilchen entspricht. 1/n ist das auf ein Teil-chen entfallende Volumen und s die auf die Einheit des Ruhevolumens bezogene Entropie.Damit wird Gleichung ( . . ) zu

uβBβ

( sn

)= 0 , ( . . )

d.h. die Bewegung verläuft – wie bei nichtrelativistischen idealen Fluiden – adiabatisch, dieEntropie ändert sich nicht.

Relativistische Hydrodynamik

Mit der Kontinuitätsgleichung ( . . ) läßt sich ( . . ) schreiben als

Bβ

(suβ)= 0 , ( . . )

d.h., die Viererdivergenz des Entropiestromes suβ verschwindet.

Die relativistische Verallgemeinerung der Eulerschen Gleichungen erhält man durch geeig-nete Projektion und Umformung der Gleichung für die Energie-/Impulserhaltung als

wuβBβuα = Bαp ´ uαuβBβp , ( . . )

und für eine isentrope stationäre Strömung folgt die relativistische Verallgemeinerung der Ber-noullischen Gleichung als

γwh

= const ( . . )

mit γ = 1/b

1 ´ v2c2 « 1 + 1

2v2c2 für v ! c und der Enthalpie pro Volumeneinheit w = ϵ+ p.

Astrophysikalische Hydrodynamik

Das Teilgebiet der astrophysikalischen Hydrodynamik konzentriert sich auf die Betrachtungstatischer und dynamischer Probleme bei Fluiden in nicht-terrestrischen Umgebungen.

Da Sterne aus Gasen bestehen, sollten dort kinetische Gastheorie und Gasdynamik domi-nieren. Da jedoch das Gasmeist imwesentlichen homogen ist und sein eigenesGravitationsfelderzeugt, simuliert es die Bewegung eines Fluids im Feld. Diemi lere freieWeglänge λ ist imVer-gleich zu jeder relevanten Größenskala des Sterns klein, so daß Störungen „ausgewaschen“werden und die Sternstruktur kontinuierlich ist:

λ =uσρ

( . . )

=1.7ˆ 10´27

1.5ˆ 103 ¨ 4ˆ 10´30m « 0.3m ( . . )

! R@ = 6.96ˆ 108m ( . . )

mit der Dichte ρ « 1.5ˆ 103 kgm3 in stellarer Materie, der atomaren Masseneinheit u =

1.7ˆ 10´27kg und dem Querschni σ « 40mb = 4ˆ 10´30m2.

Sterne (und andere kosmische Materieansammlungen) können also stets auf bestimmtenLängen- und/oder Zeitskalen durch eine hydrodynamische Approximation beschriebenwerden.Alle Arten von hydrodynamischem Fluß, die sich auf der Erde beobachten lassen, finden sichauch im Universum, jedoch auf wesentlich größeren Skalen:

• der magneto-hydrodynamische Fluß,• Turbulenz,• Überschallbewegung,• Instabilitäten (Schocks) etc.

Hier kann nur ein repräsentatives Kapitel herausgegriffenwerden: Schockwellen in der Astro-physik.

Für weiterführende Literatur wird verwiesen auf S. N. S , An Introduction to Astrophysical Hydrodynamics,Academic Press, .

Astrophysikalische Hydrodynamik

. Schockwellen

Ursprung der theoretischen Behandlung von Schockwellen ist Bernhard R s Theo-rie über die Ausbreitung akustischer Störungen . Weitere wichtige Erkenntnisse gehenzurück auf die Laborversuche zu Überschall-Fluß von Ernst M und die Untersu-chung von Überschall-Grenzschichten von Ludwig P , die imManha an-Projekteinfloß.

In der Astrophysik sind Schockwellen eher die Regel als die Ausnahme. Viele der Beobach-tung zugängliche Regionen im Universum sind textitweit entfernt von thermodynamischemoder mechanischem Gleichgewicht; oft sind die Zeitskalen für Energiedissipation sehr groß.Die Entweichgeschwindigkeiten sind für die meisten kosmischen Objekte weit größer als dieSchallgeschwindigkeit, so daß alles Material, das ins interstellare Medium gelangt, super-sonische Geschwindigkeiten haben muß und erst später Energie und Impuls dissipiert, bisthermisches Gleichgewicht erreicht wird.

Im interstellarenMediumund bei vielen stellaren Phänomenen ist diemi lere freieWeglängeso groß, daß die Viskosität in erster Ordnung vernachlässigar ist. Astrophysikalische Schockskönnen daher zunächst als nicht viskos behandelt werden; später wird die Dissipation an derSchockfront einbezogen.

. . Erzeugung von Schocks

Da Schocks Diskontinuitäten im Fluß darstellen, müssen sie stark nichtlinear sein; sie ent-stehen als Ergebnis einer Instabilität, durch die der Fluß als Funktion der Geschwindigkeitnichtlinear wird. Ein typisches Beispiel sind Schallwellen: hier sind Kontinuitäts- und Bewe-gungsgleichung erfüllt, und bei anwachsender Dichte wächst die Ausbreitungsgeschwindig-keit. Die Ausbreitung einer Störung verläuft anhand der nachfolgenden Gleichungen:

( ) Kontinuitätsgleichung in einer Dimension:

Btρ+ Bx (ρu) = 0 ( . . )

( ) Bewegungsgleichung in einer Dimension:

Btu + uBxu = ´1

ρBx p , ( . . )

wobei der Zusammenhang p(ρ) über die Zustandsgleichung gegeben ist.

Georg Friedrich Bernhard R (b Breselenz bei Dannenberg, d Selasca bei Verbania).Ernst Waldfried Josef Wenzel M (b Chirli -Turas, d Vaterste en bei München).

Astrophysikalische Hydrodynamik

Es ist p = p(ρ). Ferner gilt

Φ := Bρp ( . . )

und

Λ := ln (ρ/ρ0) ( . . )

ñ BxΛ = (Bxρ) /ρ , BtΛ = (Btρ) /ρ . ( . . )

Aus Kontinuitätsgleichung ( . . ) und Bewegungsgleichung ( . . ) folgt also

BtΛ+ uBxΛ = ´Bxu und ( . . )

Btu + uBxu = ´ΦBxΛ , ( . . )

und durch Multiplikation von ( . . ) mit Φ1/2 und Kombination der beiden Gleichungenerhält man

Btu +(

u ´ Φ1/2)

Bxu = Φ1/2[BtΛ+

(u ´ Φ1/2

)BxΛ

]. ( . . )

Multipliziert man ( . . ) sta dessen mit(´Φ1/2

), so erhält man ein analoges Resultat mit

veränderten Vorzeichen in den inneren Klammern. Daraus leiten wir eine neue Propagati-onsbedingung ab: die Störung bewegt sich mit

U˘ = u ˘ Φ1/2 . ( . . )

Durch die Beziehung

Φ = Bρp ( . . )

geht die Zustandsgleichung in die Propagationsbedingung ein. Je nach der Abhängigkeitp(ρ) des Drucks von der Dichte wird die Störung im Vergleich zur konstanten Schallge-schwindigkeit beschleunigt oder abgebremst.

Ist die Schallgeschwindigkeit dichteunabhängig, so bewegt sich die Störung mit konstan-ter Geschwindigkeit; variiert aber die Schallgeschwindigkeit mit der Dichte, so steigt sie beiKompression (da Φ ą 0); die Welle wird beschleunigt.

Als Bedingungen für die Wellenfront dienen die Riemann-Invarianten(dxdt

)˘

= u ˘ (Bρp)1/2 , ( . . )

Vgl. Bernhard R ,Ueber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite, Abhandlun-gen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gö ingen, .

Astrophysikalische Hydrodynamik

die aus der Methode der Charakteristiken hervorgehen. Die zugehörigen Charakteristikensind Linien in der (x, t)-Ebene. Alternativ können die Riemann-Invarianten ( . . ) mit derSchallgeschwindigkeit cS geschrieben werden als

dxdt

= v ˘

ż

dpρcS

. ( . . )

Die Schallgeschwindigkeit ist über die Zustandsgleichung

p = κρn ( . . )

eine Funktion der Dichte:

cS = (Bρp)1/2 =(κpρ

)1/2

( . . )

mit n = 1+ 2/ f ” cp/cV bei idealen Gasen.

Entlang der so definierten Trajektorienwerden die erhaltenen Fluß-Größen durch das Fluidtransportiert. Ist in einer dieser Größen eineDiskontinuität enthalten, sowird sie ebenfalls derdurch die Riemann-Invarianten gegebenen Trajektorie folgen.

Beispiel: u ist die Geschwindigkeit eines Kolbens, der in ein Gas stößt. u ist alsoäußere Bedingung für den Fluß. Ist dieser schneller als der Schall, kann er sichnicht an Änderungen von u anpassen.

u

p

p0

Schockfront

Abbildung . : Schockfront, von Kolben verursacht, in Zylinder

Ausgehend von der Zustandsgleichung ( . . ) mit n = cp/cV folgt für die Riemann-Invarianten (

dxdt

)˘

= u ˘2cS

n ´ 1, ( . . )

und die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Fluids ist

u˘ = cs,0 ¨

(1 ˘

n ´ 1

n + 1

[(ρ

ρ0

)(n´1)/2

´ 1

]). ( . . )

Astrophysikalische Hydrodynamik

Ist sie = 0, so bleibt das Fluid ungestört.

Also wächst mit zunehmender Dichte auch die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Störung: dar-auf beruht die Ausbildung der Schockwelle. An einem bestimmten Punkt wird das dichtereMaterial das weniger dichte überholen; die Schockfront baut sich auf.

Im Fluß gibt es dabei drei erhaltene Größen:

• Massenfluß• Impulsfluß• Enthalpiefluß

Daraus lassen sich Bedingungen für die Änderung der thermodynamischen Variablen längseiner Schockfront ableiten: die Rankine-Hugoniot-Bedingungen.

Bei einem gegebenem Dichte- oder Drucksprung und n = const (n = 5/3 für ein idealesGas) lassen sich algebraische Bedingungen für die Änderung der übrigen thermodynami-schen Variablen längs der Schockfront ableiten:

ρ2

ρ1=

(n + 1) p2 + (n ´ 1) p1(n ´ 1) p2 + (n + 1) p1

, ( . . )

worin die Angaben p1 und ρ1 sich auf die Zeit vor dem Schock beziehen, p2 und ρ2 auf dieZeit danach. Die Ableitung erfolgt mit den Flußgeschwindigkeiten v1 und v2, der Bedingungv2 = (ρ1/ρ2) v1 (Impulserhaltung) und der Energieerhaltung ρ1v21 + p1 = ρ2v22 + p2.

Bei starkem Schock ist p2 ! p1, und also

ρ2

ρ1Ñ

n + 1

n ´ 1. ( . . )

Im idealen Gas, wo n = 5/3, gilt also ρ2/ρ1 = 4. Die Kompression ist in einem Medium mitkleineren n (wie in einem strahlungsdominierten Gas) größer (z.B. n = 4/3 ñ ρ2/ρ1 = 7),da das Medium stärker kompressibel ist. Da der Dichtesprung umgekehrt proportional zumGeschwindigkeitssprung ist, lassen sich die relevanten Größen durch Messen der Geschwin-digkeiten über die Schockfront bestimmen.

Beim „Schockzylinder“ ist umgekehrt der Drucksprung gegeben, und der Geschwindig-keitssprung läßt sich aus den Rankine-Hugoniot-Bedingungen bestimmen.

Einige astrophysikalische Anwendungen der Rankine-Hugoniot-Bedingungen sind:

• Flare an der Sonnenoberfläche („Eruption“): Zeitskalensprung von 1s Ñ 1h, Frequenz-sprung von Röntgenbereich Ñ 100 fm. Hochenergetisches Phänomen; Strahlung undTeilchen werden aus einer kleinen Region in kurzer Zeit freigese t. Expandiert indie Corona und das interplanetare Medium (ρ klein) in Form einer Schockwelle. Die

Astrophysikalische Hydrodynamik

Rankine-Hugoniot-Bedingungen geben Aufschluß über die Bedingungen bei der Ent-stehung.

• Supernova: Die Expansionsgeschwindigkeit läßt sich anhand der Spektralverschiebungder Emissionslinienmessen.Wie vermischt sich dieMaterie mit dem interstellarenMe-dium, undwas läßt sich über die Produktion der schweren Elemente aussagen?Mit denRankine-Hugoniot-Bedingungen und dem Geschwindigkeitssprung gelangt man zurPlasma-Diagnostik zur Berechnung derHäufigkeiten aus den gemessenen Emissionslinien.

• H-II-Regionen (z.B. M im Orion; vier heiße Sterne im H-II-Nebel, H-II ” einfach io-nisierter Wasserstoff): Ein Stern ist im Zentrum eines diffuesn gasförmigen (interstel-laren) Mediums; er sei heiß genug, um das Medium zu ionisieren. Scheint der Sternlange genug, so wird genügend Energie in das Medium gepumpt, so daß es sich auf-heizt und expandiert. Also bewegt sich eine Front mit einer Diskontinuität in Druckund Ionisierung auswärts im interstellaren Medium: ein Ionisierungs-Schock mit einerDiskontinuität in der Enthalpie über die Ionisierungsregion.Die Ionisierung verändert die Enthalpie und die Entropie des Gases: ein „schwacher“Schock entsteht. Ander expandierenden Front entsteht eine komplexe Struktur, imwei-teren bewegt sich jedoch eine heiße ionisierte Region in das kühle interstellare Medium.

Zwei erweiterte Probleme, die aber keine nähere Behandlung finden:

. Zusä lichesmagnetisches Feld: Erkaltung desmagnetischen FlussesñweitereGleichungzu den Rankine-Hugoniot-Bedingungen, die analog zur Erkaltung des Massenflussesist; die Sprungkonditionen an der Schockfront ändern sich.. Wechselwirkende Schocks

Für die meisten hydrodynamischen Probleme in der Astrophysik sind numerische Rech-nungen die Regel. Manchmal sind jedoch analytische Abschä ungen und Überschlagsrech-nungen nü lich.

Beispiel: Dichteschockwellen, etwa Spiralarm-Schocks in Galaxien.

Wir betrachten eine flache Spiralgalaxie mit Dichtestörung in der stellaren Kom-ponente der Scheibe. Diese verursacht eine Störung imGravitationspotential überdie Poisson-Gleichung. DasGas strömt durch die Scheibe und reagiert auf die Stö-rung. Bei Dichtestörungen kann durch Gravitationsbeschleunigung Überschall-geschwindigkeit erreicht werden.

Wir legen also die folgenden Vorausse ungen zugrunde:

• Die Dichtewelle hat die Frequenz Ωp

• die Scheiben sind dünn und bestehen aus Gas und Sternen• sie wird nur von den Sternen unterstü t

„Das Gas beschleunigt, wenn es in das durch die Stürme erzeugte Gravitationspotential eintri , und brenntab beim Austri .“ Die nichtlinearen Bewegungsgleichungen zeigen dabei Schock-Lösungen: vgl. W.W. R ,Astrophysical Journal ( ) .

Astrophysikalische Hydrodynamik

Ωp

x

y

Abbildung . : Rotierendes Bezugssystem

• die Welle bewegt sich langsam im Vergleich zur Rotationsgeschwindigkeitder Galaxie selbst

All diese Bedingungen begünstigen eine lokale Analyse mit stationärem Fluß.

Wir formulieren die Bewegungsgleichungen für im rotierenden Bezugssystem:

uBx + vByu + f v = ´c2SΣ

BxΣ ´ BxΦ ( . . )

uBxv + vByv ´ f u = ´c2SΣ

ByΣ ´ ByΦ ( . . )

Die Kontinuitätsgleichung lautet

Bx (Σu) + By (Σv) = 0 . ( . . )

Die Geschwindigkeit der Dichtewelle wird von u, die Geschwindigkeit der Rota-tion von v angegeben: Bxv = ´ f .

Sei nun der Fluß parallel zur x-Richtung, und zudem bestehe keine Abhängig-keit der Bewegung von y. Dann läßt sich das Gravitationspotential um das lokaleDichtemaximum im Spiralarm Φ0 entwickeln:

Φ(x, y) « Φ0 +1

2

(B2

xΦ)

x2 +1

2

(B2

yΦ)

y2 ( . . )

Der zweite Term verschwindet, da die Dichte längs des Arms konstant ist. Alsovereinfacht sich Gleichung ( . . ) zu

uBxu + f v =c2SΣ

´(B2

x2Φ)0

x2 , ( . . )

und die Kontinuitätsgleichung ( . . ) wird zu

ΣBxu + uBxΣ = 0 . ( . . )

Astrophysikalische Hydrodynamik

Eliminiert man den Druckterm in ( . . ), so läßt sich der Fluß approximieren:

1

u(u2 ´ c2S

)Bxu = f v ´ Φ2

0x und ( . . )

Bxv = ´ f . ( . . )

Das Gas wird also in Richtung auf das galaktische Zentrum abgelenkt als Folge derStörung; dort dient es dem zentralen schwarzen Loch als Akkretionsmaterial.

Hydrodynamik der Superflüssigkeiten

. Grundlagen

Als „Quantenflüssigkeiten“ bezeichnet man Flüssigkeiten in der Nähe des absoluten Null-punkts, wo Quanteneffekte ins Spiel kommen. Bis 0K bleibt nur Helium flüssig:

• 4He: Kern und Atom haben Spin 0 ñ Bose-Einstein-Statistik („Bose-Flüssigkeit“)• 3He: Kern und Atom haben Spin 1/2 ñ Fermi-Dirac-Statistik („Fermi-Flüssigkeit“)

Wir wollen uns zunächst auf den Fall der Bose-Einstein-Statistik konzentrieren.

Kühlt man unter den Siedepunkt von 4.18K durch Evaporation („Vakuumpumpe“), so„kocht“ 4He mit kleinen Bläschen. Am λ-Punkt bei 2.18K (Übergang von He I zu He II)„kocht“ es plö lich stark auf, um anschließend völlig aufzuhören: das 4He ist superfluidgeworden. Wärme wird nun nahezu widerstandslos abgeleitet, die Wärmeleitfähigkeit steigtunterhalb des λ-Punktes um das „106-fache. Weitere Folgen sind:

• Die Viskosität sinkt ebenfalls um das 106-fache (Messung: Fluß durch Kapillare )• 4He kriecht als dünner Film die Wände hoch.

Die Wärmekapazität divergiert am Phasenübergang.

He-IIHe-I

kühlen

= 2.18K ă 2.18Ką 2.18K

Abbildung . : λ-Übergang

Zum λ-Übergang: Der Phasenübergang in der . Ord-nung ist ein Knick im Phasendiagramm orthogonal zurTangente, der dazu führt, daß der GraphWärmekapazitätals Funktion der Temperatur an den griechischen Buch-staben λ erinnert (vgl. Abb. . ). Demgegenüber sindPhasenübergänge . Ordnung durch einen Sprung in derEntropie s (und einer Divergenz derWärmekapazität undder Kompressibilität) gekennzeichnet (vgl. Abb. . ).

Die Fermi-Flüssigkeit 3Hewird ebenfalls superfluid, jedoch erst bei T À 10´3K; die Hydro-dynamik ist schwieriger als bei 4He wegen des komplizierten Ordnungsparameters. (Meisthat 4He einen geringen Anteil („ 1.3ˆ 10´3%) 3He als „Verunreinigung“.)

Vgl. Pjotr Leonidowitsch K (b Kronstadt, d Moskau), Viscosity of liquid helium below the λ-point,Nature. , , S. .

Hydrodynamik der Superflüssigkeiten

20

12

4

He-II

He-I

T ´ Tλ [K]

T4Heλ = 2.18K

´2 0 2

cp

Abbildung . : λ-Übergang

s ´ s0

T

Tkrit

p = const

(a) Phasenübergang . Ordnung: zusä licheWärmeaufnahme während des Phasenübergangs;∆Q = C∆T, C =Wärmekapazität: C Ñ 8 an

Phasenübergang

s ´ s0

T

Tkrit

p = const

λ-Übergang:s wächst nicht weiter

(b) Phasenübergang . Ordnung: beim λ-Übergang keinKnick, aber in Ableitung

Abbildung . : Phasenübergänge

DieHydrodynamik der superfluiden Flüssigkeit kann auf der Basis dermikroskopischen Theorieentwickelt werden.

Die mikroskopische Theorie von He II nach T und L ist ein makroskopischesZwei-Fluide-Modell, d.h., es treten zwei Arten von Schallwellen auf. Für Tλ ą T ą 0 verhältsich He II wie ein Gemisch aus zwei Flüssigkeiten:

) superfluid, ohneViskosität;mangels Reibungwird kein Impuls zwischenden Flüssigkeitenübertragen

) normal, viskos

Nach L. T , L. D. L .

Hydrodynamik der Superflüssigkeiten

p ă pc

T

T0 Tc

s

Dampf

Koexistenz-

Flüssigkeit

bereich

p = pc

p ą pc

Abbildung . : Koexistenz zweier Phasen

Es existieren gleichzeitig zwei Strömungen, die durch eine bestimmte effektive Masse charak-terisiert sind: eine normal, die andere superfluid. (Es handelt sich dabei nicht wirklich umdie„Komponenten“ eines „Gemisches“.) Bei der Kapillarströmung von He II im Spalt handeltes sich um die superfluide Strömung (die normale Strömung „bleibt im Gefäß“ und strömtmit normaler Viskosität durch den Spalt). Eine rotierende Scheibe in He II erzeugt normaleStrömung mit der dazugehörigen Viskosität (eine Messung der Zähigkeit durch Dämpfungvon Torsionsschwingungen ergibt den normalen η-Wert).

Die superfluide Strömung transportiert keine Wärme. Sie ist stets eine Potentialströmung.

Die normale Strömung ist eine Strömung des „Gases der Elementaranregungen“; die An-regungen verhalten sich wie Quasiteilchen, die sich im Flüssigkeitsvolumen bewegen undbestimmte Impulse und Energien haben.

Die Entropie von He II wird durch die statistische Verteilung der Elementaranregungenbestimmt. Deshalb wird bei jeder Strömung, bei der das Gas der Elementaranregungen inRuhe bleibt, keine Entropie übertragen: eine superfluide Strömung verursacht keine Entropie-übertragung und keinen Wärmetransport. Also ist eine rein superfluide Strömung in He IIthermodynamisch reversibel.

Der Mechanismus für den Wärmetransport in He II ist die Wärmeübertragung durch dienormale Strömung der Flüssigkeit. Jede Temperaturdifferenz ruft eine normale und eine su-perfluide innere Strömung hervor, sie können sich hinsichtlich ihrerMasse kompensieren, sodaß kein realerMassentransport sta finden kann.

Hydrodynamik der Superflüssigkeiten

Sei vs die Geschwindigkeit der superfluiden, vn die der normalen Strömung. Die Entro-piestromdichte ist gegeben durch vnρs, wobei s die Entropie pro Masseneinheit angibt, undq = ρTsvn ist die Wärmestromdichte. Die superfluide Strömung ist eine Potentialströmung, esgilt also

∇ ˆ vs = 0 ( . . )

zu jeder Zeit und im ganzen Volumen des Fluids. Die Elementaranregungenmit großerWel-lenlänge (also kleinen Energien und Impulsen) sind Schallquanten (Phononen), und die ma-kroskopische Hydrodynamik der superfluiden Strömung läßt keine anderen Schwingungenals Schallschwingungen zu.

Eine Potentialströmung übt keine Kraft auf einen stationär umströmten festen Körper aus(„d'Alembertsches Paradoxon“).

In einer normalen Strömung hat ein Körper einen Widerstand. Kompensieren sich normalerund superfluider Massenstrom, so wirkt auf Körper im He II eine Kraft, obwohl kein resul-tierender Massentransport vorhanden ist.

. Hydrodynamische Gleichungen für He II

Die hydrodynamische Strömung ist durch die zwei Geschwindigkeiten vs, vn besetimmt.Die Gleichungen folgen aus der Galilei-Invarianz (nichtrelativistisch) und den notwendigenErhaltungssä en.

Bei hinreichend großer Strömungsgeschwindigkeit verliert He II seine Superfluidität(Grenzgeschwindigkeit, kritische Geschwindigkeit); dennoch wollen wir die Gleichung fürbeliebige Geschwindigkeiten ableiten, um dann zu kleinen vs überzugehen.

Die Massenstromdichte, also der Impuls pro Volumeneinheit, ist

j = ρsvs + ρnvn . ( . . )

Dabei ist ρs die superfluide, ρn die normale Dichte; die Gesamtdichte ist

ρ = ρs + ρn . ( . . )

Für T Ñ 0 (in reinem 4He) gilt ρn Ñ 0; für T ď Tλ (normales Fluid) ist ρs Ñ 0. Die Kontinui-tätsgleichung, die die Massenerhaltung angibt, ist

Btρ+∇ ¨ j = 0 , ( . . )

Hydrodynamik der Superflüssigkeiten

und mit dem Impulsstromdichtetensor Πik lautet die Impulserhaltung

Bt ji + BkΠik = 0 . ( . . )

Zunächst wollen wir dissipative Prozesse vernachlässigen. Dadurch wird die Strömung rever-sibel, und die Entropie bleibt erhalten. Der Entropiestrom ist ρsvn, woraus mit der Kontinui-tätsgleichung ( . . ) die Entropieerhaltung folgt:

Bt (ρs) +∇ ¨ (ρsvn) = 0 . ( . . )

Bedingung für Potentialströmung im Anteil vs ist, daß ∇ ˆ vs = 0. Die Ableitung von vs alsGradient eines Skalars ist

Btvs +∇(

v2s2

+µ

)= 0 ( . . )

mit dem Skalar µ, das wir später mit dem chemischen Potential identifizieren werden. Πik

und µ müssen noch festgelegt werden. Aus dem Energieerhaltungssa und der Galilei-Invarianz folgt

BtE +∇ ¨Q = 0 , ( . . )

wobei die Energiestromdichte durchQ repräsentiert wird. Mit derGalilei-Transformation läßtsich die Abhängigkeit aller Größen von vs bei fester Relativgeschwindigkeit vn ´ vs bestim-men. Dazu muß ein Koordinatensystem eingeführt werden, in dem die Geschwindigkeit dersuperfluiden Strömung eines gegebenen Fluidelements ist, und das sich mit vs relativ zumursprünglichen System bewegt. Der Index 0 bezeichnet Größen im bewegten System:

j = ρvs + j0 ( . . )

E =ρv2s2

+ j0 ¨ vs + E0 ( . . )

Q = Evs +v2s2j0 +Π0vs +Q0 ( . . )

Πik = ρvsivsk + vsi j0k + vsk j0i +Π0ik ( . . )

dE0 = µdρ+ Td (ρs) + (vn ´ vs) ¨ dj0 ( . . )

p = ´E0 + Tρs +µρ+ ρn (vn ´ vs)2 ( . . )

mit dem Druck p und dem chemischen Potential µ, der freien Enthalpie pro Masseneinheit.Se en wir E und Q in den Energieerhaltungssa ein und eliminieren die Zeitableitungen

Hydrodynamik der Superflüssigkeiten

mithilfe der hydrodynamischen Gleichungen, so folgt nach umfangreichen Rechnungen:

Q =

(µ +

v2s2

)j+ Tρsvn + ρnvn [vn ¨ (vn ´ vs)] ( . . )

Πik = ρnvkivnk + ρsvsivskloooooooooomoooooooooon

=ρvivkin der üblichen Hydrodynamik

+pδik . ( . . )

Damit ist das vollständige System der hydrodynamischen Gleichungen definiert. Die Grö-ßen ρ ´ s, ρn, µ, s sind Funktionen nicht nur der thermodynamischen Variablen p und T,sondern auch des Quadrats der Relativgeschwindigkeit der Strömungen w2 = (vn ´ vs)

2,eines Skalars, das gegenüber Galilei-Transformationen des Bezugssystems und Drehungender gesamten Flüssigkeit invariant ist.

Die Gleichungen vereinfachen sich im physikalisch relevanten Fall nicht zu großerGeschwindigkeiten (Verhältnis von vn, vs zur Ausbreitungsgeschwindigkeit des zweitenSchalls): Abhängigkeiten von ρn, ρs von w vernachlässigen wir und entwickeln die übrigenthermodynamischen Größen nach Potenzen der Geschwindigkeit, z.B.:

s(p, T,w) « s(p, T) +w2

2BTρu

ρ( . . )

ρ(p, T,w) « ρ(p, T) +ρ2w2

2Bpρu

ρ( . . )

Hinzu kommen, wie bereits gewohnt, die Randbedingungen: an jeder festen ruhendenOber-fläche muß die dazu orthogonale Komponente des Massenstromes j verschwinden. Fernermuß die Tangentialkomponente von vn an der Wand verschwinden:

vn∥ = 0 an der Wand, ( . . )

vnK stetig an der Wand. ( . . )

Dies ist für vs eine übliche Randbedingung für eine ideale, bei vn für eine zähe Flüssigkeit.

Zur Berücksichtigung dissipativer Prozesse ist – wie in der gewöhnlichen Hydrodynamik– die Einführung zusä licher Terme erforderlich, die linear in den räumlichen Ableitungenvon vn und T sind. Dabei werden fünf unabhängige kinetische Koeffizienten (η, ξ1, ξ2, ξ3, κ)eingeführt; die „erste Zähigkeit“ η ist mit vn verknüpft (analog dem gewöhnlichen η); κ istanalog zurWärmeleitfähigkeit eines normalen Fluids.Die „zweite Zähigkeit“ξwird je t durchdrei Koeffizienten ξ1, ξ2, ξ3 erse t.

. Schallausbreitung in Superfluiden

Für die Beschreibung von Schallwellen bemühen wir abermals die lineare Näherung: wirse en voraus, daß die Strömungsgeschwindigkeiten in der Schallwelle im Vergleich zu den

Hydrodynamik der Superflüssigkeiten

Schallgeschwindigkeiten klein sind, und daß ρ, p und s nur gering von ihren Gleichgewichts-werten abweichen. Dann können wir die hydrodynamischen Gleichungen linearisieren, in-dem wir ihre quadratischen Glieder vernachlässigen:

Btρ+∇ ¨ j = 0 , ( . . )

Bt (ρs) + ρs∇ ¨ vn = 0 (ρs vor ∇¨ gezogen, da dieser Term vn bereits enthält), ( . . )

Btj+∇p = 0 , ( . . )

Btvs +∇µ = 0 . ( . . )

Kombination der Zeitableitung von ( . . ) mit dem Gradienten von ( . . ) ergibt

B2t ρ = ∆p , ( . . )

und mit thermodynamischen Identitäten folgt nach einigen Umformungen

B2t s =

ρss2

ρn∆T . ( . . )

Diese Gleichungen beschreiben die Schallausbreitung im Superfluid. Da es zwei Gleichungengibt, folgen zwei Geschwindigkeiten der Schallausbreitung.

Für den Grenzfall ρs = 0 (nur normales Fluid) bleibt nur die gewöhnliche Schallgeschwin-digkeit

u2 = (Bρp)s , ( . . )

während sich allgemein die Relation

u4 ´ u2

[(Bρp)s +

ρsT2s

ρncV

]+ρsT2

sρncV

(Bρp)T = 0 ( . . )

mit

u1 =a

Bρp , u2 =

d

Ts2ρs

cρn, c » cp » cV . ( . . )

Während u1 nahezu konstant bleibt, ist u2 stark T-abhängig und verschwindet mit ρs umdenλ-Punkt („zweiter Schall“).

Nahe am λ-Punkt läßt sich der Unterschied cp ´ cV nicht vernachlässigen; es folgt

u2 =

d

Ts2ρs

cpρ. ( . . )

Hydrodynamik der Superflüssigkeiten

Bei sehr niedrigen Temperaturen sind fast alle Elementaranregungen im Fluid Phononen, und esgilt

c = 3s, ρn =cTρ3u2

1

, ρn « ρ ( . . )

ñ u2 =

d

Ts2ρs

c2Tρ¨ 3u2

1 ( . . )

=sc

u1 ¨?3 ( . . )

=u1?3

. ( . . )

Im Grenzfall T Ñ 0 gilt ( . . ) und also

u1

u2Ñ

?3 . ( . . )

In einerWelle des zweiten Schalls schwingen normale und superfluide Flüssigkeit gegenein-ander, der resultierende Massenstrom verschwindet.

In einer Schallwelle des normalen (ersten) Typs ist vn « vs (bei einer ebenenWelle), d.h., dieFlüssigkeit in jedem Volumenelement schwingt als Ganzes, normale und superfluide Massebewegen sich gemeinsam – entsprechend gewöhnlichen Schallwellen.

Strömungen von Superfluiden lassen sich nicht wie gewöhnliche Strömungen durch eineReynolds-Zahl charakterisieren; vielmehr divergieren die Strömungsgeschwindigkeiten, undTheorien zur Turbulenzentstehung sind nicht mehr direkt anwendbar . Rotation ist nur durchBildung vonWirbelschläuchenmöglich, die eine quantisierte Zirkulation tragen; sie können insich geschlossen sein.

Vgl. 'Intermi ent Switching between Potential Flow and Turbulence in Superfluid Helium at mK Tempera-tures', M. N , H. K , W. S , Journal of Low Temperature Physics , ( ).

Aufgaben

. Kontinuitätsgleichung für die Entropie

In Abschni . wurde die „Kontinuitätsgleichung für die Entropie“ ( . . ) vorgestellt:

Bt (ρs) +∇ ¨ (ρsv) = 0 . ( . . )

Leiten Sie diese Gleichung aus der Kontinuitätsgleichung ( . . ) und der Adiabatenglei-chung ( . . ) ab.

. Schwingungsgleichung

Bestimmen Sie für die eindimensionale Schwingungsgleichung ( . . ),

B2t p = c2B2

x p , ( . . )

die d'Alembertsche Lösung

p(x, t) = F1(x + ct) + F2(x ´ ct) ( . . )

mit willkürlichen reellen Funktionen F1, F2.

. Hydrostatik

a) Bestimmen Sie für ein ruhendes inkompressibles Fluid in einem zylindrischen Gefäß(vgl. Abb. . ) aus den Eulergleichungen im Schwerefeld,

∇p = ρg , ( . . )

den Druck als Funktion der z-Koordinate, p = p(z).

b) Berechnen Sie das Druckprofil, wenn der Zylinder mit ω = const um die Vertikalerotiert. (Hinweis: verwenden Sie das Zentrifugalpotential Ur = ´1

2ρr2ω2.)

Aufgaben

. Inkompressible Fluide

Eine inkompressible Flüssigkeit füllt den Raum, und ein kugelförmiges Volumenmit Radiusa wird entfernt (vgl. Abb. . ). Nach welcher Zeit hat sich der Hohlraum mit Flüssigkeitgefüllt?

Hinweis: Verwenden Sie die Euler-Gleichungen und die Kontinuitätsgleichung für inkom-pressible Fluide (∇ ¨v = 0) in sphärishcen Koordinaten (das Problem ist kugelsymmetrisch!).

. Wasserwellen

a) Berechnen Sie aus der Gleichung ( . . ) für das Geschwindigkeitspotential Φ (mitv = ´∇Φ),

BtΦ = ´gy , ( . . )

die Dispersionsreation im flachen (h ! λ) Wasser, wobei λ = 2π/k die Wellenlänge ist.

b) Berechnen Sie für Kapillarwellenmit der Oberflächenspannungσ aus der Potentialglei-chung ( . . )

´BtΦ+pρ= 0 ( . . )

die (anomale) Dispersionsrelation v = v(λ).

. Poiseuille-Strömung

a) Bestimmen Sie für die Rohrströmung (siehe Abb. . ) einer inkompressiblen zähenFlüssigkeit aus den Navier-Stokes-Gleichungen

Btv+ (v ¨ ∇)v = ´∇pρ

+η

ρ∆v ( . . )

mit den in Abschni . gemachten Annahmen die Bewegungsgleichung in Polarkoor-dinaten (v(r) Ñ v(r)).

b) Lösen Sie die Gleichung (per Integration) für v(r) für ein Rohr der Länge l mit demDruckgefälle δp. (Beachten Sie die Randbedingungen: v(r) = 0 für v = ˘R!)

Aufgaben

. Laminarer Nachlauf

Eine zähe Flüssigkeit mit Geschwindigkeit u umströmt einen festen Körper (siehe Abb. . ).Die „wahre“ Strömungsgeschwindigkeit sei u+ v; für v = ´u herrscht Stillstand.

a) Zeigen Sie durch Einse en, daß die Lösung im Nachlauf in Kugelkoordinaten ( . . ),

vr(ϑ) = ´Fr

4πρνrexp

[´

urϑ2

4ν

], ( . . )

die Oseensche Gleichung ( . . ) erfüllt,

(u ¨ ∇)v = ´1

ρ∇p +ν∆v . ( . . )

b) Außerhalb des Nachlaufs ist die Strömung eine reine Potentialströmung. Lösen Sie hierdie Laplace-Gleichung für das Geschwindigkeitspotential, ∆Φ = 0 (mit v = ´∇Φ).

. Stabilität stationärer Strömungen

Mit den Landauschen Konstanten α ă 0 und β ą 0 lautet die Differentialgleichung für dieAmplitude A(t) einer kleinen, nicht stationären Störung der Bewegung eines zähen Fludids(mit γ1 ě 0)

ddt

|A|2 = 2γ1 |A|

2´α |A|

4´β |A|

6 . ( . . )

a) Lösen Sie die Gleichung für Glieder bis zur . Ordnung (d,h., vernachlässigen Sie denTerm in der . Potenz).

b) Wie lautet die Lösung der komple en Gleichung für t Ñ 8? (Probe durch Einse en)

. Wärmeleitung

In einem unbegrenzten Medium gelte die Wärmeleitungsgleichung

BtT = χ∆T , ( . . )

wobei T die Temperatur und χ die Temperaturleitfähigkeit angeben. Berechnen Sie die Tem-peraturverteilung aus dem Fourier-Integral

T(r, t) =ż

T0(r1)e´k2χteik(r´r1)d3x1 d3k(2π)3

( . . )

Aufgaben

für eine anfängliche Temperaturverteilung T0(r) = const ¨δ(r) und ein eindimensionales Pro-blem (r Ñ r, T(r, t) Ñ T(r, t)).H : k-Integration zuerst ausühren, dann Integration über d3x!

Mit eik¨R = cosk ¨R+ i sink ¨R verschwindet das Integral über die ungerade sin-Funktion,und es ist

+8ż

´8

e´αξ2 cosβξdξ =(πα

)1/2e´β2/(4α) , ( . . )

wobei ξ eine Komponente des Vektors k angibt.(Die Lösung verläuft analog zur Ableitung von ( . . ) aus ( . . ), aber in einer Dimension,so daß man

T(r, t) =const

8 (πχt)3/2e´r2/(4χt) ( . . )

erhält.)

. Diffusion

Welche Zeit τ benötigt ein in einem Fluid suspendiertes Brownsches Teilchen, um eine Di-stanz d « 2R durch Diffusion zurückzulegen?

(Lösung: es ist

R

d

Abbildung . :Brownsche Bewegung

⟨r2⟩= 6Dt und also ( . . )

τ =d2

6D=

2R2

3D, ( . . )

und mit der Einstein-Relation

D =kBT6πηR

( . . )

folgt direkt τ = 4πηR3

kBT .)

. Energie-Impuls-Tensor

Berechnen Sie den Energie-Impuls-Tensor

Tαβ = wuαuβ ´ pgαβ ( . . )

Aufgaben

mit der Enthalpie pro Volumeneinheit w = ϵ+ p, der inneren Energiedichte ϵ, dem Druckp, der Vierergeschwindigkeit uα und dem metrischen Tensor gαβ im nichtrelativistischenGrenzfall v ! c.

H : Im relativistischen Fall wird die Teilchenzahldichte n auf die Einheit des Ruhevo-lumens bezogen; die Energiedichte ist dann mnc2. Im nichtrelativistischen Fall wird dagegendie Energiedichte auf die Volumeneinheit im Laborsystem bezogen, in dem sich das Fluid be-wegt. Beim nichtrelativistischen Grenzübergangmuß deshalbmnc2 analog zu ( . . ) erse twerden.

. Entropieerhaltung in relativistischer Hydrodynamik

Die Bewegung idealer relativistischer Fluide verläuft adiabatisch; die auf die Einheit des Ru-hevolumens bezogene Entropie s ändert sich nicht:

uβBβ

( sn

)= 0 ( . . )

mit der Vierergeschwindigkeit uβ = (γ,γv/c) und der skalaren Teilchendichte n.

Zeigen Sie, daß daraus die Erhaltung der Viererdivergenz des Entropiestromes suβ folgt,

Bβ

(suβ)= 0 . ( . . )

Literaturverzeichnis

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[ ] S. N. S : An introduction to astrophysical Hydrodynamics ( )

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