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2.2-1

12.09.14

2. Sätze von Castigliano und Menabrea

● Aus der Gleichheit von äußerer Arbeit und Formände-rungsenergie kann die Verschiebung am Lastangriffspunkt berechnet werden, wenn an der Struktur nur eine Last angreift.

● Die Sätze von Castigliano sind eine Erweiterung auf Strukturen, an denen mehrere Lasten angreifen.

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2.2-2

12.09.14

2. Sätze von Castigliano und Menabrea

2.1 Grundlagen

2.2 Beispiele

2.3 Rahmen

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2.2-3

12.09.14

2.1 Grundlagen

● Betrachtet wird ein elasti-scher Körper, an dem Kräfte und Momente an-greifen:

– Für die Verschiebungen bzw. Verdrehungen wird der gleiche Richtungssinn gewählt wie für die Kräfte bzw. Momente.

F1

F2

Fk

Ml

u1

u2

uk

ϕl

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2.2-4

12.09.14

2.1 Grundlagen

● Der erste Satz von Castigliano:

– Die Arbeit von Kräften und Momenten ist definiert durch das Differenzial

– Bei einem elastischen Körper ist die Arbeit unabhängig da-von, wie die Lasten aufgebracht werden. Sie definiert eine potenzielle Energie.

– Aus

folgt:

dW=∑k

F k duk∑l

M l d l

W=E F=EF uk ,l

dW=dE F=∑

k

∂ E F

∂ukduk∑

l

∂ E F

∂ld l

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2.2-5

12.09.14

2.1 Grundlagen

– Daraus folgt der erste Satz von Castigliano:

– Mit dem ersten Satz von Castigliano lassen sich die Kräfte und Momente ermitteln, die nötig sind, um vorgegebene Verschiebungen und Verdrehungen zu verursachen.

– Dazu muss die Formänderungsenergie in Abhängigkeit der vorgegebenen kinematischen Größen aufgestellt werden.

Fk=∂ E F

∂uk, M l=

∂ EF

∂l

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2.2-6

12.09.14

2.1 Grundlagen

● Der zweite Satz von Castigliano:

– In der Praxis häufiger ist der Fall, dass die Verschiebungen und Verdrehungen für eine vorgegebene Belastung gesucht sind.

– Es ist oft einfacher, die Formänderungsenergie in Abhän-gigkeit von den Lasten aufzustellen.

– Um Gleichungen zu finden, die die kinematischen Größen in Abhängigkeit von den Lasten liefern, wird die komplemen-täre Arbeit eingeführt:

C=∑k

Fk uk∑l

M l l−W

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2.2-7

12.09.14

2.1 Grundlagen

– Veranschaulichung für ein System mit nur einer Kraft:

– Das Differenzial der kom-plementären Arbeit be-rechnet sich zu

u

F

W

C

dC=∑k

Fk dukuk dF k

∑l

M l d ll dM l

−∑k

Fk duk−∑l

M l d l

=∑k

uk dFk∑l

l dM l

C=F u−W

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2.2-8

12.09.14

2.1 Grundlagen

– Daraus kann abgelesen werden:

– Für eine linear-elastische Struktur gilt:

uk=∂C∂ Fk

, l=∂C∂ M l

C=W =EF

– Daraus folgt der zweite Satz von Castigliano:

– Damit können die Ver-schiebungen in Lastrich-tung berechnet werden, wenn die Formände-rungsenergie in Abhän-gigkeit von den Lasten bekannt ist.

uk=∂ EF

∂ F k, l=

∂ EF

∂ M l

u

F

CW

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2.2-9

12.09.14

2.1 Grundlagen

● Satz von Menabrea:

– Mit dem Satz von Mena-brea lassen sich Reakti-onslasten für statisch un-bestimmte Systeme er-mitteln.

– Dazu wird die Formände-rungsenergie in Abhän-gigkeit aller an der freige-schnittenen Struktur an-greifenden Lasten aufge-stellt.

0=∂ E F

∂ Fk, 0=

∂ E F

∂ M l

– Da die Verschiebungen an den Lagern null sind, gilt für die Lagerkräfte und -momente:

– Daraus können die Reak-tionslasten berechnet werden.

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2.2-10

12.09.14

2.2 Beispiele

● Balkensystem:

– Gegeben:● a = 500mm● E = 210000MPa● A = 480mm2

● Iy = 4·106mm4

● F = 10kN, M = 10kNm– Gesucht:

● Verschiebung uC und Verdrehung ϕ

B

2a

a

F

A

B

C

M

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2.2-11

12.09.14

2.2 Beispiele

– Schnittlasten für Kraft F:

● Normalkraft

N

F

Nx1

x2

A B

C

-aF

Myx

1

x2

My

-aFA B

C

● Biegemoment

BalkenAB : N 1x1=F

BalkenBC : N 1x2=0

BalkenAB : M y1 x1=−a F

BalkenBC : M y1x2=−a F 1−x2

a

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2.2-12

12.09.14

2.2 Beispiele

– Schnittlasten für Moment M:

● Die Normalkraft ist null:● Im Balken AB ist das Biegemoment konstant:● Im Balken BC ist das Biegemoment null:

– Formänderungsenergie:

● Berechnung der Integrale mit Hilfe einer Koppeltafel:

N 2=0

M y 2=M

E F=

12

2 a N 12

EA

12∫A

B M y 1M y 2 2

E I ydx

12∫B

C M y 12

E I ydx

∫A

B

M y1M y 2 2 dx=∫

A

B

M y 12 dx2∫

A

B

M y1 M y2 dx∫A

B

M y 22 dx

M y 2=0

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2.2-13

12.09.14

2.2 Beispiele

∫A

B

M y 12 dx=a2 F2⋅2 a=2 a3 F 2 , ∫

A

B

M y 22 dx=2 a M 2

∫A

B

M y1 M y 2 dx=−a F⋅M⋅2 a=−2 a2 F M , ∫B

C

M y12 dx=

13

a3 F 2

● Ergebnis:

EF=

a F 2

E A

1E I y

a3 F 2a M 2

−2 a2 F M16

a3 F2=

a3 F2

E I y 76

i y2

a2 − 2 a2 F ME I y

a M 2

E I ymit iy

2=

I y

A

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2.2-14

12.09.14

2.2 Beispiele

– Verschiebungen:

● Zahlenwerte:

u=∂ E F

∂F=

2 a3 FE I y 7

6

i y2

a2 −2 a2 ME I y

, =∂ E F

∂ M=

2 a M−a F E I y

=2⋅500 mm⋅107 Nmm−500 m⋅104 N

210000 N /mm2⋅4⋅106 mm2 =5,952⋅10−3

u=2⋅5003 mm3

⋅104 N2,1⋅105 N /mm2

⋅4⋅106 mm4 76

130

−2⋅5002 mm2

⋅107 Nmm2,1⋅105 N /mm2

⋅4⋅106 mm4 =3,571−5,952 =−2,381 mm

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2.2-15

12.09.14

2.2 Beispiele

● Statisch unbestimmt gelagerter Balken:

– Gegeben:● a● q

0

● E● I

y

– Gesucht:● Kräfte in den Lagern A, B und C

a a

A

B Cx

z

q0

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2.2-16

12.09.14

2.2 Beispiele

– Statisch bestimmtesGrundsystem:

– Lastfall 1: Streckenlast

a aA B C

x

z

q0

Bz

A Cx

z

q0

A1z

C1z

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2.2-17

12.09.14

2.2 Beispiele

● Lagerkräfte:

● Biegemoment:

∑ M A=0 : 2 a C1 z−a⋅2 a q0=0 C1 z=q0 a

∑ MC=0 : a⋅2 a q0−2 a A1 z=0 A1 z=q0 a

d2 M y1

dx2 =−q0 : M y1x =−12

q0 x2c1 xc2

M y 10=0 : c2=0

M y 12 a=0 : −12

q0 2 a 2c12 a=0 c1=q0 a

M y 1x =q0 a2 [ xa−

12 x

a 2

]M y 1a=

12

q0 a2

a 2a

½q0a2

My

x

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2.2-18

12.09.14

2.2 Beispiele

– Lastfall 2: Einzelkraft

● Lagerkräfte:

A B Cx

zB

zA

2zC

2z

∑ M A=0 : a Bz2 C2 z=0

C2 z=−12

B z

∑ MC=0 : −a Bz−2 A2 z=0

A2 z=−12

Bz

● Schnittlasten:

½Bz

-½Bz

Q

x

x

My

-½aBz

a 2a

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2.2-19

12.09.14

2.2 Beispiele

– Formänderungsenergie:

● Berechnung der Integrale:

E F=

12∫0

2 a M y 1M y2 2

E I ydx

=1

2 E I y ∫a2a

M y 12 dx2∫

0

2 a

M y 1 M y 2 dx∫0

2a

M y 22 dx

∫0

2 a

M y 12 dx=q0

2 a4∫0

2 a

( xa−

12 ( x

a )2

)2

dx=q02 a5∫

0

2

( xa−

12 ( x

a ))2

d ( xa )

=415

q02 a5

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2.2-20

12.09.14

2.2 Beispiele

∫0

2 a

M y 1 M y 2 dx=2∫0

a

M y 1 M y2 dx=−2⋅5

12a⋅1

2q0 a2⋅

12

a Bz

=−5

24q0 a4 Bz

∫0

2 a

M y 22 dx=2∫

0

a

M y 22 dx=

23

a 12

a Bz2

=16

a3 B z2

● Ergebnis:

EF=1

2 E I y 415

q02 a5−

512

q0 a4 B z16

a3 B z2

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2.2-21

12.09.14

2.2 Beispiele

– Lagerkräfte:

● Die Kraft Bz berechnet sich aus

zu

● Für die übrigen Kräfte folgt:

0=∂ E F

∂ Bz=

12 E I y

− 512

q0 a4

13

a3 B zBz=

54

q0 a .

Az=A1 zA2 z=q0 a−58

q0 a=38

q0 a

C z=C1 zC2 z=q0 a−58

q0 a=38

q0 a

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2.2-22

12.09.14

2.3 Rahmen

● Problem:

– Bei geschlossenen Rahmen können die Schnittlasten nicht aus den Gleichgewichtsbedingungen ermittelt werden.

– Geschlossene Rahmen sind statisch unbestimmt.

– Beispiele:

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2.2-23

12.09.14

2.3 Rahmen

● Lösung:

– Zur Ermittlung der Schnittlasten wird der Rahmen an einer beliebigen Stelle geschnitten:

s

N N

Qz

My

My

Qz

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2.2-24

12.09.14

2.3 Rahmen

– Nun kann die Formänderungsenergie in Abhängigkeit von den noch unbekannten Schnittlasten ermittelt werden.

– Die Schnittlasten an den beiden Schnittufern sind gleich groß, aber entgegengesetzt gerichtet.

– Die Verschiebungen und die Verdrehung sind an beiden Schnittufern gleich.

– Daher ist die äußere Arbeit der Schnittlasten null.

– Daraus folgt:

– Aus diesen drei Gleichungen können die drei Schnittlasten bestimmt werden.

∂ E F

∂ N=0 , ∂ E F

∂Qz=0 , ∂E F

∂ M y=0