8. Vektoren

A =

3

2

1

aaa

oder A =

z

y

x

aaa

oder A =

zyx

Allgemein ist ein Vektor ein geordnetes n-Tupel, das bestimmten Rechenregeln unterliegt. Wir beschränken uns aber zunächst auf den dreidimensionalen euklidischen Raum 3. Dort ist ein Vektor A ein geordnetes Tripel, dessen Komponenten reelle Zahlen sind.

Ortsvektor oder Polarvektor

A = B a1 = b1 a2 = b2 a3 = b3

|A| = 23

22

21 aaa

8.1 Vektoraddition

A + B = C oder

3

2

1

aaa

+

3

2

1

bbb

=

33

22

11

bababa

A + B = B + A

(A + B) + C = A + (B + C)

A + 0 = A = 0 + A 0 =

000

A + B = 0 B = - A =

A + (-B) = A - B

A - B ≠ B – A

(A - B) - C ≠ A - (B - C)

3

2

1

a-a-a-

3

2

1

aaa

8.2 Skalarmultiplikation

A =

A = A

A) = ()A = A

(A ± B) = A ± B

( ± )A = A ± A

|A| = | |23

22

21 aaa

/4

A

y

x

B

C

D

L

j

3

2

5

8.2 Schreiben Sie die Strecken als Vektoren A, B, C, D. Berechnen Sie daraus L und |L|.

8.3 Einheitsvektor

A|A| A0 = |A| |A0| = 1

koordinatenfreie Darstellung: A = |A| A0

Die Relation "X besitzt dieselbe Richtung wie Y “ist eine Äquivalenzrelation. X = Y mit > 0

X0 =

001

Y0 =

010

Z0 =

100

A = axX0 + ayY0 + azZ0 =

z

y

x

aaa

8.4 Skalarprodukt (inneres Produkt)

A B C ist nicht definiert: (A B) C ≠ A (B C)

kein neutrales Element 1 mit A 1 = A

kein Inverses A-1 mit A A-1 = 1

A / B ist nicht definiert.

Aus C = A / B würde C B = A folgen.

3

2

1

aaa

3

2

1

bbb

= a1b1 + a2b2 + a3b3

3 3

A B = B A

A (B ± C) = (A B) ± (A C)

AA|A| =

8.1 A =

21-

3, B =

011

, C =

42-2-

.

Berechnen Sie: A (B - C) (A + C) B (A B) C |A| A0

Nach dem Kosinussatz gilt

|A - B|2 = |A|2 + |B|2 - 2|A||B|cosj

(a1 - b1)2 + (a2 - b2)2 + (a3 - b3)2 = a1

2 + a22 + a3

2 + b12 + b2

2 + b32 - 2|A||B|cosj

-2a1b1 - 2a2b2 - 2a3b3 = - 2|A||B|cosj A B = |A||B|cosj

cosj = |||| BA

BA

Zwei Vektoren schließen einen Winkel j mit 0 ≤ j ≤ ein.

A

B

A - B

j

cosj = |||| BA

BA

Zwei Vektoren schließen einen Winkel j mit 0 ≤ j ≤ ein.

Es gilt also für B = X0

cos = |||| 0

0

XAXA

= ||

0

AXA =

|| Axa

ax = |A|cos

A = |A|

coscoscos

Es gilt also für B = X0

cos = |||| 0

0

XAXA

= ||

0

AXA =

|| Axa

ax = |A|cos

A = |A|

coscoscos

(a0x)2 + (a0

y)2 + (a0z)2 = 1

Winkelsatz des Pythagoras

cos2 + cos2 + cos2 = 1

cosj = |||| BA

BA

A·B = |A|·|B|·cosj

A B = 0

A B = |A||B|

A B = -|A||B|

B

AB B

A0k A0

j = kj Kroneckersches -Symbol:

kj = sonst0

für1{ jk

A1

A2

A30

0

0

Leopold Kronecker (1823 – 1891)

A B = A B1 = |A||B1|

Projektion von B auf A B1 = (B A0) A0

8.3 Berechnen Sie den Winkel zwischen der Würfeldiagonale und der Seitendiagonale, a) die einen gemeinsamen Punkt besitzen, b) die keinen gemeinsamen Punkt besitzen.

8.4 Berechnen Sie A, B, |A|, , .

8.3 Berechnen Sie den Winkel zwischen der Würfeldiagonale und der Seitendiagonale, a) die einen gemeinsamen Punkt besitzen, b) die keinen gemeinsamen Punkt besitzen.

8.5 a) Berechnen Sie die Vektoren A, B, C, D, die Längen der Kanten und die Winkel an der Spitze der Pyramide. Die Spitze liegt 60 Einheiten höher als die Basis A, B, C, D.b) Legen Sie den Punkt B 20 Einheiten tiefer und den Punkt D 30 Einheiten höher und berechnen Sie alles neu.

8.5 Kreuzprodukt (äußeres Produkt) 3 3 3

A B = X0(aybz - azby) + Y0(azbx - axbz) + Z0(axby - aybx)

3

2

1

aaa

3

2

1

bbb

=

1221

3113

2332

babababababa

Zyklische Vertauschung der Indizes x y z x ... bzw. 1 2 3 1 ...

A 0 = 0 = 0 ADas Kreuzprodukt ist antikommutativ:

A B = -(B A)

A (B ± C) = (A B) ± (A C)

Das Kreuzprodukt ist nicht assoziativ:

0 = (X0 X0) Y0 X0 (X0 Y0) = X0 Z0 = -Y0

|A B| = |A B2| = |A||B2|

Das Kreuzprodukt steht senkrecht auf seinen Faktoren

X0 Y0 = Z0

Rechte-Hand-Regel

A B = N0|A||B|sinj

|A B| = |A||B|sinj

|A B| = |A B2| = |A||B2|

X0 Y0 = Z0

Rechte-Hand-Regel

A B = N0|A||B|sinj

|A B| = |A||B|sinj

Das Kreuzprodukt steht senkrecht auf seinen Faktoren

Das Spatprodukt

(A B) C

kombiniert Skalarprodukt und Kreuzprodukt.

Volumen eines aus drei Vektoren gebildeten Spates oder Parallelepipeds. Von sechs Parallelogrammflächen begrenztes Prisma.

Fläche |A B| = |A||B|sin(A, B) und Höhe N0 C

= (B C) A = A (B C)

8.6 Parallelverschiebung

B =

z

y

x

bbb

A =

z

y

x

aaa

A' =

z

y

x

a'a'a'

ax = a'x + bx ay = a'y + by az = a'z + bz

8.6 Parallelverschiebung

B =

z

y

x

bbb

A =

z

y

x

aaa

A' =

z

y

x

a'a'a'

ax = a'x + bx a'x = ax - bx ay = a'y + by a'y = ay - by az = a'z + bz a'z = az - bz

Die in K' konzentrische Kugel x'2 + y'2 + z'2 = r2 beschreibt man in K durch (der Radius r bleibt unverändert) (x - bx)2 + (y - by)2 + (z - bz)2 = r2 = 0

8.7 Polarkoordinaten

|A| = 222zyx aaa

= arccos(az/|A|) j = arctan(ay/ax)

ax = |A| sincosjay = |A| sinsinj az = |A| cos

8.8 Vektorraum

Ein Vektorraum (V, K, s) über dem Körper K ist eine abelsche Gruppe (V, +) zusammen mit einer Skalarmultiplikation s, d.h. einer Abbildung s: KV V.

Wir schreiben für das Bild s(, A) auch A oder A.

Für diese Abbildung gilt, wenn A, B V und , K und 1 das Einselement des Körpers K ist:

( + )A = A + A(A + B) = A + B()A = ( A)1A = A = A1

Beispiele für V: Menge aller Punkte des 3 Menge aller Abbildungen f: