© Dr. Nicole Wellensiek

Fakultät für Mathematik

Anschauliche Vorstellungen

zur Bruchrechnung

1. Einführung: Problemfelder der Bruchrechnung

2. Anschauliche Vorstellungen zu Bruchzahlen

• Standortbestimmungen und Vorkenntnisse

• Fehlvorstellungen und Verständnisschwierigkeiten

• Grundvorstellungen zu Bruchzahlen

• Unterrichtseinheit: Brüche haben viele Gesichter

• Pause

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Fakultät für Mathematik

Anschauliche Vorstellungen

zur Bruchrechnung

3. Anschauliche Vorstellungen zum Rechnen mit Bruchzahlen

• Kenntnisse von Schülerinnen und Schülern

• Typische Fehler

• Grundvorstellungen zu den Rechenoperationen

• Unterrichtsmaterialien für die Anschauliche Bruchrechnung

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Fakultät für Mathematik

EinführungProblemfeld: Bruchrechnung als Regelspiel

• häufig formales Bruchrechnen mit Hilfe von Regeln

• Bruchrechenregeln in Form von Merksätzen

• Gefahr: auswendig gelernte und unverstandene Rechenregeln

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Fakultät für Mathematik

EinführungProblemfeld: Umbrüche in den Grundvorstellungen

Umbrüche bei den Zahlvorstellungen, z.B.

• Vorgänger und Nachfolger

• Eindeutigkeit der Zahldarstellung/ -schreibweise

Umbrüche bei den Vorstellungen zu den Rechenoperationen, z.B.

• Multiplizieren vergrößert

• Dividieren verkleinert

� Mehrere Grundvorstellungen aus dem Bereich der natürlichen Zahlen gelten nicht bei den Bruchzahlen!

� Gefahr: fehlerhafte Übertragungen aus den natürlichen Zahlen

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Fakultät für Mathematik

Einführung: Konsequenzen zur Behandlung der Bruchrechnung im Unterricht

• Inhaltlich anschauliche Phase

• anschauliche Vorstellungen zu Bruchzahlen entwickeln

• anschauliche Vorstellungen zum Rechnen mit Bruchzahlen entwickeln

• Formal-regelhafte Phase

• formales Bruchrechnen mit Hilfe von Regel

� Betonung der ersten Phase

• Grundlage der systematischen Behandlung

• Vorerfahrungen der Kinder nicht ausreichend

• Verständnisschwierigkeiten und Fehlvorstellungen vorbeugen

(Gefahr: auswendig gelernte und unverstandene Rechenregeln)

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Fakultät für Mathematik

Standortbestimmung und Vorkenntnisse

Standortbestimmung

• Über welche (anschaulichen) Vorkenntnisse verfügen Schülerinnen und Schüler vor der Behandlung der Bruchrechnung?

• Test unter www.bruchrechenunterricht.de

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Standortbestimmung und Vorkenntnisse

Ausgewählte Untersuchungsergebnisse

1. Pizzabäckerei Caruso und Pizzabäckerei Donato backen gleich große Pizzen. Caruso teilt seine Pizzen in 6 gleich große Teile. Sarah kauft 3 Teile.

Donato teilt die runden Pizzen in 8 gleich große Teile. Jan kauft 4 Teile. Wer hat mehr Pizza bekommen?

2. Kreuze die größere Zahl an: und .ca. 40% korrekt

3

1

4

1

ca. 50% korrekt

Lit.: Padberg (2009): Didaktik der Bruchrechnung. Heidelberg: Spektrum

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Standortbestimmung und Vorkenntnisse

Ausgewählte Untersuchungsergebnisse

3. Schraffiere zunächst die Hälfte (ein Viertel) dieses Rechtecks, danach schraffiere noch ein Viertel (ein Drittel) dieses Rechtecks.

Wie viel hast du insgesamt schraffiert? _________

Lit.: Padberg (2009): Didaktik der Bruchrechnung. Heidelberg: Spektrum

0% korrekt (15% korrekte Zeichnung)ca. 20% korrekt (Zeichnung u. Bruch)

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Standortbestimmung und Vorkenntnisse

Ausgewählte Untersuchungsergebnisse

4. Lukas hat einen drei viertel Meter langen Stab. Er sägt hiervon ein Stück von einem halben Meter Länge ab. Wie lang ist das Reststück? Das Reststück ist ____ Meter lang.

Benutze zur Lösung die Skizze!

5. Ein Saftgefäß enthält vier fünftel Liter Apfelsaft. Der Saft wird gerecht an zwei Kinder verteilt. Wie viel erhält jedes Kind? _________

Lit.: Padberg (2009): Didaktik der Bruchrechnung. Heidelberg: Spektrum

ca. 30% korrekt

ca. 15% korrekt

1m lang

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Standortbestimmung und Vorkenntnisse

Ausgewählte Untersuchungsergebnisse

6. Sophie macht einen halben (zwei drittel) Meter lange Schritte. Wie viele Schritte macht sie auf einer 6 (4) Meter langen Strecke? Anzahl der Schritte von Sophie? ______

Lit.: Padberg (2009): Didaktik der Bruchrechnung. Heidelberg: Spektrum

6 m lang 4 m lang

ca. 65% korrekt ca. 5% korrekt

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Standortbestimmung und Vorkenntnisse

Ausgewählte Untersuchungsergebnisse (Zusammenfassung)

• Bruchsymbole können häufig gelesen werden

• Zusammenhang zwischen der Zahlenwelt der Brüche und der Bilderwelt konkreter Größen wird kaum hergestellt

• mit der Ausnahme von und sind die Vorkenntnisse zu den Stammbrüchen gering

• die Grundvorstellungen "Bruch als Teil eines Ganzen" und "Bruch als Teil mehrer Ganzer" sind wenig ausgebildet

Lit.: Padberg (2009): Didaktik der Bruchrechnung. Heidelberg: Spektrum

2

1

4

1

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Fakultät für Mathematik

Fehlvorstellungen und Verständnisschwierigkeiten

Brüche als alternative Schreibweise für Größenangaben:

¼ kg = 250 g

¾ Std. = 45 Minuten

½ km = 500 m

Problem: Bruchteile werden als feste natürliche Zahlen verstanden

½ = 50 oder 500, weil ½ m = 50 cm; ½ t = 500kg

Aber: ½ Std. = 30 min.

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Fehlvorstellungen und Verständnisschwierigkeiten

Mögliche Ursachen

• Fehlende anschauliche Bruchvorstellung

• Zusammenhang zwischen natürlichen Zahlen und Bruchzahlen unklar

• Überwiegend formale Bearbeitung von Aufgaben ohne Verständnis für inhaltliche Zusammenhänge

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Grundvorstellungen zu Bruchzahlen(entnommen aus Malle 2004)

Lit.: Malle (2004): Grundvorstellungen zu Bruchzahlen. In: mathematik lehren, Heft 123, S. 4-8

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Vorstellungen zu Bruchzahlen

Bruchzahlaspekte

• Teil vom Ganzen

• Maßzahl

• Operator

• Verhältnis

• Quotient

• Lösung einer linearen Gleichung

• Skalenwert

• Quasikardinalität

zwei zentrale Grundvorstellungen

• Teil des Ganzen

• Teil mehrere Ganzer

� Gleichwertigkeit beider Grundvorstellungen

� Bruch � Repräsentant

"Brüche haben viele Gesichter"

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Fakultät für Mathematik

Grundvorstellungen zu Bruchzahlen

Anschauliche Vorstellungen zu Bruchzahlen entwickeln

• an Alltagserfahrungen der Kinder anknüpfen

• Bruchzahlen im Zusammenhang mit Größen

• Modelle aus dem Bereich der Geometrie

• Verteil-/Aufteilsituationen

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Unterrichtseinheit: Brüche haben viele Gesichter

• Einführung

• 1. Unterrichtssequenz: Stationenarbeit

• 2. Unterrichtssequenz: eine Ausstellung planen

• 3. Unterrichtssequenz: eine Ausstellung durchführen

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Fakultät für Mathematik

Unterrichtseinheit: Brüche haben viele Gesichter

Einführung

• reale Verteilsituation

• Brainstorming zum Thema

• Hinführende Fragestellung zur Stationenarbeit:

• Was sind Bruchzahlen?

Fotos der Plakate

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Unterrichtseinheit: Brüche haben viele Gesichter

1. Unterrichtssequenz: Stationenarbeit

• Eigene Entdeckungen an Stationen

• Selbstorganisation durch die Schüler

• Auswertung mit Hilfe von Brüchealben: Darstellen der Lösungen

• weiteres Ziel: über Lösungswege diskutieren, argumentieren, kreativ sein, mathematisieren

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Unterrichtseinheit: Brüche haben viele Gesichter

2. Unterrichtssequenz: Ausstellung planen

• Sammeln eigener Ideen

• Planen von Ausstellungsplakaten:

• je ein Plakat zu einer Bruchzahl

• Diskussion über die Gestaltung

• Planen und Vorbereiten der anderen Ideen

• Planen des organisatorischen Rahmens

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Unterrichtseinheit: Brüche haben viele Gesichter

Ideensammlung zur Ausstellung:

• Plakate mit Bildern zu verschiedenen Brüchen

• ein extra Plakat zur Kleidung

• Stationen vorstellen

• Brüchealben ausstellen

• DIN A4-Blätter in allen Größen

• verschiedene Nahrungsmittel teilen und Karten dazu schreiben

• die Besucher sollen selbst etwas teilen

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Unterrichtseinheit: Brüche haben viele Gesichter

Ideensammlung zur Ausstellung:

• Wissenstest

• Ausstellungsführer

• Überblick am Eingang der Ausstellung

• Einladungen

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Unterrichtseinheit: Brüche haben viele Gesichter

Kriterien zur Erstellung der Plakate

• Überschrift

• verschiedene Sachen zu einer Bruchzahl

• genau teilen

• genau zeichnen

• genau erklären, dass wenig Fragen bleiben

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Unterrichtseinheit: Brüche haben viele Gesichter

Kriterien zur Erstellung der Plakate

• gegenseitig helfen/Experten fragen

• Schrift groß genug

• Rechtschreibung

• ordentlich/übersichtlich

• Namen unter die Plakate für Rückfragen

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Unterrichtseinheit: Brüche haben viele Gesichter

3. Unterrichtssequenz: Ausstellung durchführen

• Aufbau der Ausstellung

• Bilden von Expertengruppen

• Eröffnung und Durchführung

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Unterrichtseinheit: Brüche haben viele Gesichter

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Unterrichtseinheit: Brüche haben viele Gesichter

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Fakultät für Mathematik

Kenntnisse von Schülerinnen und Schülern(im 6. Schuljahr; nach der systematischen Behandlung der Bruchrechnung)

1. Addition

� Bruch plus Bruch (ungleichnamig), z.B.

� nat. Zahl plus Bruch, z.B.

2. Subtraktion

� Bruch minus Bruch (ungleichnamig), z.B.

� nat. Zahl minus Bruch, z.B.

3. Multiplikation

� Bruch mal Bruch (ungleichnamig), z.B.

� nat. Zahl mal Bruch, z.B.

3

2

5

1+ ca. 71% korrekt

ca. 56% korrekt

ca. 69% korrekt

ca. 43% korrekt

ca. 73% korrekt

ca. 58% korrekt

5

13+

8

5

4

3−

3

15−

3

1

4

3⋅

7

14 ⋅

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Typische Fehler(im 6. Schuljahr; nach der systematischen Behandlung der Bruchrechnung)

1. Addition

� Bruch plus Bruch (ungleichnamig):

� nat. Zahl plus Bruch:

2. Subtraktion

� Analoge Fehler wie bei der Addition

3. Multiplikation

� nat. Zahl mal Bruch:

)(

)(

db

ca

d

c

b

a

+

+=+

b

an

b

an

)( +=+

)(

)(

bn

an

b

an

⋅

⋅=⋅

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Grundvorstellungen zu den Rechenoperationen

Lit.: Malle (2004): Grundvorstellungen zu Bruchzahlen. In: mathematik lehren, Heft 123, S. 4-8

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Unterrichtsmaterialien für die Anschauliche Bruchrechnung

• Tangram

• EXI: Das zerlegte Rechteck

• Rechtecksformen

• Bruchquadrate

• Geobrett

• Cuisenaire-Stäbe

• Kreisscheiben

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Unterrichtsmaterialien für die Anschauliche Bruchrechnung

• Bruchdarstellung und Bruchauffassung (vgl. auch Mathe-Welt)

• Bruchvergleiche

• Erweitern und Kürzen

• Addieren/Subtrahieren

• Multiplizieren

• Dividieren als Messen (Enthaltensein)

• Didvidieren als Teilen (Verteilen)