Post on 02-Feb-2021
Chapter 13 편도함수
Chapter 13 편도함수
이문배
건국대학교 수학과
Chapter 13 편도함수
Contents
13.3 편도함수
13.4 접평면과 1차근사식
Chapter 13 편도함수
13.3 편도함수
Definition이변수 함수 f : R2 → R에서 y = b(b는 상수)로 y를 고정하고 x만 변한다고가정하자. 그러면 하나의변수 x만의 함수인 g(x) = f(x, b)를 생각할 수 있다.만일 g가 a에서 도함수를 가지면, 그것을 (a, b)에서 x에 관한 f의편도함수라고 부르고 fx(a, b)로 표시한다.
fx(a, b) = g′(a) = lim
h→0
g(a+ h)− g(a)h
= limh→0
f(a+ h, b)− f(a, b)h
마찬가지로 (a, b)에서 y에 관한 f의 편도함수는 다음과 같이 정의된다.
fy(a, b) = limh→0
f(a, b+ h)− f(a, b)h
Chapter 13 편도함수
13.3 편도함수
편도함수의 표기법
z = f(x, y)라고 할 때, 다음과 같이 쓴다.
fx(x, y) = fx =∂f
∂x=
∂
∂xf(x, y) =
∂z
∂x= f1 = D1f = Dxf
fy(x, y) = fy =∂f
∂y=
∂
∂yf(x, y) =
∂z
∂y= f2 = D2f = Dyf
z = f(x, y)의 편도함수를 구하는 규칙
1. fx를 구하기 위해서 y를 상수로 보고 x에 관하여 미분한다.
2. fy를 구하기 위해서 x를 상수로 보고 y에 관하여 미분한다.
Example
f(x, y) = x3 + x2y3–2y2일 때 fx(2, 1), fy(2, 1)를 구하여라.풀이.
Chapter 13 편도함수
13.3 편도함수
편도함수의 기하학적 해석
Example
f(x, y) = 4− x2 − 2y2일 때 fx(1, 1), fy(1, 1)를 구하여라.풀이.
Chapter 13 편도함수
13.3 편도함수
Example
f(x, y) = sin
(x
1 + y
)일 때
∂f
∂x,∂f
∂y를 구하여라.
풀이.
Example
z가 방정식 x3 + y3 + z3 + 6xyz = 1에 의하여 x와 y에 관한 음함수로 정의될
때∂z
∂x와
∂z
∂y를 구하여라.
풀이.
Chapter 13 편도함수
13.3 편도함수
삼변수 이상의 함수
w = f(x, y, z)일 때 fx =∂w
∂x는 y와 z를 고정시켰을 때 x만의 함수로 보아
미분한 것이다.∂w
∂x= lim
h→0
f(x+ h, y, z)− f(x, y, z)h
Example
f(x, y, z) = exy ln z일 때 fx, fy, fz를 구하여라.
풀이.
Chapter 13 편도함수
13.3 편도함수
고계편도함수
f가 2변수함수이면 편도함수 fx와 fy도 또한 2변수함수이므로, 그것들의편도함수를 생각할 수 있고, 이것들을 f의 2계편도함수라 부른다.만약 z = f(x, y)이면 다음 표기법을 사용한다.
(fx)x = fxx = f11 =∂
∂x
(∂f
∂x
)=
∂2f
∂x2=
∂2z
∂x2
(fx)y = fxy = f12 =∂
∂y
(∂f
∂x
)=
∂2f
∂y ∂x=
∂2z
∂y ∂x
(fy)x = fyx = f21 =∂
∂x
(∂f
∂y
)=
∂2f
∂x ∂y=
∂2z
∂x ∂y
(fy)y = fyy = f22 =∂
∂y
(∂f
∂y
)=
∂2f
∂y2=
∂2z
∂y2
Chapter 13 편도함수
13.3 편도함수
Example
f(x, y) = x3 + x2y3 − 2y2의 2계편도함수를 구하여라.풀이.
Theorem (클레로의 정리)
점 (a, b)를 포함하는 원판 D위에서 정의되는 함수를 f라 하자. 함수 fxy와fyx가 D에서 연속이면
fxy(a, b) = fyx(a, b)
이다.
Chapter 13 편도함수
13.4 접평면과 1차근사식
곡면 S가 방정식 z = f(x, y)를 갖는다고 가정하고 또 f는 연속인일계편도함수를 가지며 P (x0, y0, z0)는 S위의 점이라 하자.
C1과 C2를 곡면 S와 수직면 y = y0, x = x0 가 각각 교차함으로써 얻어지는곡선이라 하자. T1과 T2를 점 P에서의 곡선 C1과 C2에 대한 접선이라 하자.그러면 점 P에서의 곡면 S에 대한 접평면은 접선 T1과 T2를 포함하는평면으로 정의된다.
Chapter 13 편도함수
13.4 접평면과 1차근사식
▶ 접평면의 방정식 :
z − z0 = a(x–x0) + b(y–y0)
⇒ g(x, y) put= z0 + a(x–x0) + b(y–y0)
⇒ ∂f∂x
(x0, y0) = a =∂g
∂x(x0, y0)
⇒ ∂f∂y
(x0, y0) = b =∂g
∂y(x0, y0)
Theoremf가 연속인 편도함수를 갖는다고 가정하자. 점 P (x0, y0, z0)에서 곡면z = f(x, y)에 대한 접평면의 방정식은
z–z0 = fx(x0, y0)(x–x0) + fy(x0, y0)(y–y0)
이다.
Chapter 13 편도함수
13.4 접평면과 1차근사식
Example
(1, 1, 3)에서 z = 2x2 + y2에 대한 접평면을 구하여라.풀이.
Chapter 13 편도함수
13.4 접평면과 1차근사식
Definition점 (a, b, f(a, b))에서 이변수함수 f의 그래프에 대한 접평면의 방정식은
z = f(a, b) + fx(a, b)(x–a) + fy(a, b)(y–b)
이다. 이 접평면의 방정식을 그래프로 갖는 1차함수는
L(x, y) = f(a, b) + fx(a, b)(x–a) + fy(a, b)(y–b)
이다. 이 식을 (a, b)에서 f의 선형화라 부르고 근사식
f(x, y) ≈ f(a, b) + fx(a, b)(x–a) + fy(a, b)(y–b)
는 (a, b)에서 f의 일차(선형)근사식 또는 접평면 근사식이라 부른다.
Chapter 13 편도함수
13.4 접평면과 1차근사식
Definitionz = f(x, y)일 때 ∆z = f(a+∆x, b+∆y)− f(a, b)가 다음과 같이 표현되면f는 (a, b)에서 미분가능하다고 한다.
∆z = fx(a, b)∆x+ fy(a, b)∆y + ε1∆x+ ε2∆y
여기서 (∆x,∆y) → (0, 0)일 때 ε1, ε2 → 0이다.
▶ 위 정의는 함수가 미분가능하고 (x, y)가 (a, b)근방의 점일 때 선형근사식은 함수 f의 좋은 근사식임을 말해준다. 다시 말해, 접점 근방에서f의 그래프와 접평면은 거의 일치한다.
Theorem편도함수 fx와 fy가 (a, b) 근방에서 존재하고 (a, b)에서 연속이면 f는 (a, b)에서 미분가능하다.
Chapter 13 편도함수
13.4 접평면과 1차근사식
Example
f(x, y) = xexy가 (1, 0)에서 미분가능함을 보이고, (1, 0)에서의 선형화를구하고 그것을 이용하여 f(1.1, –0.1)의 근사값을 구하여라
풀이.
Chapter 13 편도함수
13.4 접평면과 1차근사식
Definition2변수함수 z = f(x, y)에 대하여
dz = fx(x, y) dx+ fy(x, y) dy =∂z
∂xdx+
∂z
∂ydy
를 f의 미분 또는 전미분이라 한다. 여기서 dx = ∆x, dy = ∆y이다.
▶ dx = ∆x = x–a, dy = ∆y = y–b로 취하면 z의 전미분은
dz = fx(a, b)(x–a) + fy(a, b)(y–b)
▶ 전미분 기호를 사용하면 선형근사식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
f(x, y) ≈ f(a, b) + dz
Chapter 13 편도함수
13.4 접평면과 1차근사식
Example
1. z = f(x, y) = x2 + 3xy–y2일 때 전미분 dz를 구하여라.
2. x가 2에서 2.05, y가 3에서 2.96로 변할 때 ∆z와 dz의 값을 비교하여라.
풀이.
Example
반지름이 10cm, 높이가 25cm인 원뿔이 있다 (측정오차는 0.1cm로 한다).전미분을 사용하여 이 원뿔의 부피를 계산할 때 최대오차를 구하여라.풀이.
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13.4 접평면과 1차근사식
3변수 또는 그보다 많은 변수들의 함수w = f(x, y, z)에서
▶ (a, b, c)에서 f의 선형근사식;
f(x, y, z) ≈ f(a, b, c)+ fx(a, b, c)(x–a)+ fy(a, b, c)(y–b)+ fz(a, b, c)(z–c)
선형화 L(x, y, z)는 위 식의 오른쪽이다.
▶ dw =∂w
∂xdx+
∂w
∂ydy +
∂w
∂zdz: f의 전미분
Example
직육면체의 치수가 75cm, 60cm, 40cm로 측정되었다. (측정오차는 0.2cm로한다). 전미분을 사용하여 부피를 계산할 때 최대오차를 구하여라.풀이.
13.3 ....13.4 .... 1....