Der graphikfähige Taschenrechner (GTR) im Mathematikunterricht des Beruflichen Gymnasiums

Berufliches Gymnasium 1

UnterrichtlicherMehrwert

Sek. II

GTRoderCAS

Sek. II

GTRoderCAS

Funktionalitätendes GTR

Fortbildungs-möglichkeiten

FachübergreifendeMöglichkeiten

Finanzierungs-modelle

RechtlicheGrundlagen

Einsatzdes GTR

in der Sek. II

Einsatzdes GTR

in der Sek. II

Vorschläge zur Einführung

Übersicht2

Der graphikfähige Taschenrechner unterstützt den Erwerb mathematischer Kompetenzen.

Unterrichtlicher Mehrwert in der S II

Entdecken mathematischer

Zusammenhänge

Verständnis-förderung durch Visualisierung

Reduktion schematischer

Abläufe

Verarbeitung größerer

Datenmengen

Kontrolle von Ergebnissen

Konzentration auf den mathe-

matischen Kern eines Problems

Experimentieren und Erkunden

Unterstützung von begriffsbildendem

Arbeiten

Rechtliche Grundlagen

Übersicht

Verpflichtung zum Einsatz eines graphikfähigen Taschenrechners (GTR) für Schülerinnen und Schüler, die ab dem Schuljahr 2014/15 in die Einführungsphase eintreten (Erlass vom 27.6.2012).

• in der gymnasialen Oberstufe (Gymnasium, Gesamtschule, Weiterbildungskolleg, Waldorfschule)

• im Beruflichen Gymnasium (Erziehung und Soziales, Gestaltung, Informatik, Technik, Wirtschaft und Verwaltung; Anl. D 1 bis D 28)

Alternativ ist weiterhin der Einsatz eines Computer-Algebra-Systems (CAS) möglich.

Rechtliche Grundlagen- Berufliches Gymnasium -

Übersicht

Konsequenzen für das Zentralabitur

• verpflichtender Einsatz des GTR ab dem Zentralabitur 2017

• alternativ weiterhin CAS als Hilfsmittel in GK und LK zugelassen

• Einführung eines hilfsmittelfreien Aufgabenteils in Mathematik- Grund- und Leistungskursen ab dem Zentralabitur 2017 geplant

• im GK nur noch ein gemeinsamer Aufgabensatz für GTR und CAS

Rechtliche Grundlagen - Berufliches Gymnasium -

Übersicht

Technologie

• GTR-Erlass verpflichtet zur Einführung eines GTR-Handheld

• GTR-Software-Lösungen sind nicht zulässig

• Schulen können statt eines GTR auf freiwilliger Basis ein CAS-Handheld oder eine CAS-Software einführen

• Entscheidung zwischen GTR und CAS in Verantwortung der Schule

Übersicht

Besondere Bedingungen bei Einsatz einer CAS-Software

• Die Anschaffung einer CAS-Software (ggf. mit entsprechender Hardware) statt eines GTR ist freiwillig. Das Finanzierungsmodell enthält eine soziale Komponente.

• Schülerinnen und Schüler des Beruflichen Gymnasiums müssen ständigen Zugriff auf die (gleiche) CAS-Software haben, d.h. in allen relevanten Fächern, bei Hausaufgaben und in den Schulferien.

• In Prüfungssituationen muss von der Schule sichergestellt werden, dass der Zugriff nur auf die CAS-Software erfolgt und Zugriffe auf andere Programme, eigene Dateien, Internet oder Netzwerke aller Art unterbunden werden.

• Das CAS-Software-Konzept muss der oberen Schulaufsicht formlos angezeigt werden. Die Schulleitung oder Bildungsgangleitung bestätigt die Einhaltung dieser Bedingungen durch Unterschrift.

Übersicht

Verpflichtung zur Anschaffung des GTRin der gymnasialen Oberstufe und am Beruflichen Gymnasium

• Taschenrechner sind keine Lernmittel, sondern Gegenstände der persönlichen Ausstattung der Schülerinnen und Schüler.

• Die Anschaffung obliegt damit grundsätzlich den Erziehungs- berechtigten bzw. den volljährigen Schülerinnen und Schülern.

Empfehlung: Erarbeitung eines tragfähigen Finanzierungsmodells mit sozialer Komponente auf der Basis umfassender Information und Beteiligung der schulischen Mitwirkungsgremien.

Übersicht

Taschenrechnermodelle• Kein Zulassungsverfahren für Taschenrechnermodelle • Eingeführter Taschenrechner muss durch Graphikfähigkeit und

weitere Funktionalitäten dem Einsatz im Unterricht und in Prüfungen gerecht werden.

• Die innerhalb einer Lerngruppe verwendeten Geräte müssen in ihrer Funktionalität vergleichbar sein.

• Die vollständige Integration in die unterrichtliche Arbeit wird durch ein einheitliches Taschenrechnermodell erleichtert.

• Die Verpflichtung zur Anschaffung von Taschenrechnern bezieht sich jedoch nur auf die Funktionalitäten und nicht auf ein bestimmtes Modell.

Vorschläge zur Einführung von GTR/CAS an der

Schule

Übersicht

Mögliche Entscheidungswege und Zeitplan

Ab Frühjahr 2013:• Beratungen der Fachschaft Mathematik zur Auswahl eines GTR-Modells oder der Einführung eines CAS-Konzepts

– Beachtung der geforderten GTR-Funktionalitäten– Preisvergleich und Vergleich der Lieferbedingungen der

Hersteller/Händler – Längerfristige Nutzung eines Modells (Verlässlichkeit,

Wiederverkaufsmöglichkeit, Aufbau eines Gerätepools)– ggf. Abstimmung mit kooperierenden Schulen der Sek. I

(z.B. Sekundarschulen)

• Einbeziehung weiterer Fachschaften zur Abstimmung fachübergreifender Nutzungsmöglichkeiten

Vorschläge zur Einführung von GTR/CAS

Übersicht

• Erarbeitung eines tragfähigen Finanzierungsmodells in einem Arbeitskreis (Schulleitung, evtl. weitere Vertreterinnen und Vertreter der Lehrerkonferenz, Mitglieder der Schulpflegschaft, der Schülervertretung und des Fördervereins)

• Beschluss der Fachkonferenz Mathematik und danach der Bildungsgangkonferenz als Empfehlung zur Einführung des ausgewählten GTR-Modells bzw. CAS-Konzepts

• Erstellung einer Vorlage für die schulischen Gremien

• Planung der Fortbildungsmaßnahmen zum GTR/CAS-Einsatz

Übersicht

Ab September 2013:• Information und Beteiligung der Mitwirkungsgremien• Wahrnehmung der Fortbildungsmaßnahmen• Methodische und didaktische Überlegungen zum GTR/CAS-Einsatz

im Mathematikunterricht

Zum Beginn des Schuljahres 2014/15:• Nutzung des GTR/CAS im Rahmen des erarbeiteten

Finanzierungsmodells und der verhandelten Konditionen

Funktionalitäten des GTR

Übersicht

Anforderungen an die Funktionalität eines GTR in der S II

I. Wertetabellen und Listen• Erstellen und bearbeiten von Tabellen und Listen• graphische Darstellung von Werten einer Tabelle (z. B. als

Punktwolke)

II. Analysis• Graphische Darstellung von

o Funktioneno Tangenten an einen Funktionsgraphen an einer Stelleo Integralfunktionen

• Variieren von Parametern von Funktionstermen

Übersicht

• Ermitteln von Koordinaten ausgewählter Punkte, auch durch Abfahren der Graphen (Trace-Modus), Kontrolle rechnerischer Ergebnisse (z. B. lokale Extremstellen, Wendestellen, Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen)

• Numerische Berechnungen o Ableitung einer Funktion an einer Stelleo bestimmte Integrale o Lösen von Gleichungen

Übersicht

III. Lineare Algebra

Lineare Gleichungssysteme (mind. mit 6 Unbekannten)

• Bestimmung der Lösungsmenge von Gleichungssystemen • Lösungsmengen auch von unterbestimmten linearen

Gleichungssystemen z.B. mithilfe der reduzierten Zeilenstufenform einer erweiterten Koeffizientenmatrix

Analytische Geometrie/Matrizen (mind. bis zur Dimension 6 x 6)• Elementare Rechenoperationen mit Vektoren und Matrizen• Matrizenmultiplikation• Potenzieren quadratischer Matrizen

Übersicht

IV. Stochastik• Berechnen von Kennzahlen statistischer Daten (Mittelwert,

Standardabweichung)• Wahrscheinlichkeitsverteilungen

– Erstellen von Histogrammen– Variieren der Parameter– Berechnen von Kennzahlen (Erwartungswert,

Standardabweichung)• Berechnen von Wahrscheinlichkeiten bei binomial- und

normalverteilten Zufallsgrößen• Berechnen von kumulierten Wahrscheinlichkeiten• Generieren von Listen mit Zufallszahlen

Übersicht21

Finanzierungsmodelle

Übersicht

Kauf Miete Mix

Soziale Komponente

Übersicht

Kaufmodell• Sammelbestellung über die Schule (Beteiligung freiwillig)

– vergünstigte Konditionen– Nutzung von Sozialprogrammen der Hersteller möglich– Freigeräte

• Freigeräte werden bedürftigen Schülerinnen und Schülern zur Verfügung gestellt

• Schule hält ggf. zusätzliche Geräte zur Ausleihe bereit• Option: Nach einem Durchgang wird eine Börse für gebrauchte

GTR eingerichtet (z. B. Weiterverkauf der GTR von Abiturienten)

Beispiel 1: Variante eines Kaufmodells

Übersicht

Mietmodell• Schule schafft einen Satz GTR zur Vermietung an

– vergünstigte Konditionen– Freigeräte

• Anschubfinanzierung durch den Förderverein• Festlegung eines angemessenen Mietpreises für den GTR• Schriftliche Nutzungsvereinbarung zwischen Schule und

Erziehungsberechtigten• Bei bedürftigen Schülerinnen und Schülern übernimmt der

Förderverein den Mietpreis oder es wird unentgeltlich ein GTR ausgeliehen.

Beispiel 2: Variante eines Mietmodells

Übersicht

Wahlmöglichkeit zwischen drei Optionen:• Kauf des Gerätes über Sammelbestellung der Schule• Mieten des Gerätes von der Schule• Anschaffung des Gerätes in eigener Verantwortung

Für bedürftige Schülerinnen und Schüler übernimmt der Förderverein der Schule die Mietkosten.

Anschubfinanzierung durch den Förderverein (Sponsoren, Darlehen)

Beispiel 3: Mischmodell

Übersicht27

Unterrichtlicher Mehrwert in der S II

Übersicht über die Beispiele

1 EFModellieren mit Exponentialfunktionen

5EF, Q1Extremwertprobleme

9Q1Lage von Gerade und Ebene zueinander(LGS lösen)

2Q1Ein Weg zurlinearen Regression

6Q1Berechnen von Integralen (mit/ohne Bilanzierung)

10Q2Arbeiten mit Übergangsmatrizen

3EFEntdecken derPotenzregel

7Q1Untersuchung von Integralfunktionen

11Q1, Q2Ein Weg zurNormalverteilung

4EFElemente einerKurvendiskussion

8Q1, Q2Ein Weg zur e-Funktion

12Q2Ein Weg zum Vertrauensintervall

Übersicht

Beispiel 1

EFModellieren mit Exponentialfunktionen

Zu einer offenbar nicht linearen Entwicklung wird ein neues, nicht quadratisches Modell gesucht, z.B.:

Der GTR …

• nimmt die Daten auf (Tabelle),

• zeigt die Punktwolke (Streudiagramm),

• zeigt Graph zu neuem Modell (nicht linear, nicht quadratisch),

• übernimmt weitere Rechnungen („Wie lange dauert es, bis …“)

Bierschaum-zerfall

Schoko-linsen-abnahme

Abkühlungs-prozesse

Übersicht Beispiele Übersicht

Beispiel 1

EFModellieren mit Exponentialfunktionen

Zu einer offenbar nicht linearen Entwicklung wird ein neues, nicht quadratisches Modell gesucht, z.B.:

Der GTR …

• nimmt die Daten auf (Tabelle),

• zeigt die Punktwolke (Streudiagramm),

• zeigt Graph zu neuem Modell (nicht linear, nicht quadratisch),

• übernimmt weitere Rechnungen („Wie lange dauert es, bis …“)

Bierschaum-zerfall

Schoko-linsen-abnahme

Abkühlungs-prozesse

1.Die experimentellermittelten Daten

als Liste

3.Ein mögliches

Modell:Funktionsterm

5.Ziel: Zeit bis„Höhe“ 0,5

2.Der Datensatzals Punktplot

(Streudiagramm)

4.Ein mögliches

Modell:Graph

6.Wertetabelle

31 Übersicht Beispiele Übersicht

1.Die experimentellermittelten Daten

als Liste

3.Ein mögliches

Modell:Funktionsterm

5.Ziel: Zeit bis„Höhe“ 0,5

2.Der Datensatzals Punktplot

(Streudiagramm)

4.Ein mögliches

Modell:Graph

6.Wertetabelle

Beispiel 2

EFEin Weg zur linearen Regression

Zu einem bivariaten Datensatz (z.B. Körpergröße – Schuhgröße o.ä) wird ein lineares Modell gesucht, das diesen Datensatz „optimal“ beschreibt.

Der GTR

• zeigt das Streudiagramm und die Lage der ersten Modelle,

• berechnet Qualitätskriterien,

• berechnet die Parameter für die optimale Ausgleichsgerade (m, b),

• zeigt den optimalen Graphen, und

• berechnet Residuen bzw. Abweichungssummen.

Beispiel 2

EFEin Weg zur linearen Regression

Zu einem bivariaten Datensatz (z.B. Körpergröße – Schuhgröße o.ä) wird ein lineares Modell gesucht, das diesen Datensatz „optimal“ beschreibt.

Der GTR

• zeigt das Streudiagramm und die Lage der ersten Modelle,

• berechnet Qualitätskriterien,

• berechnet die Parameter für die optimale Ausgleichsgerade (m, b),

• zeigt den optimalen Graphen und

• berechnet Residuen bzw. Abweichungssummen.

1.Die originalen

3.Ein erster

Versuch für eineAusgleichsgerade

5.Ein besseres

Modell(oder

GTR-Regression)

2.Das Streudiagramm

4.Eine ersteEvaluation:

Quadratsumme

6.Eine weitereEvaluation

1.Die originalen

3.Ein erster

Versuch für eineAusgleichsgerade

5.Ein besseres

Modell(oder

GTR-Regression)

2.Das Streudiagramm

4.Eine ersteEvaluation:

Quadratsumme

6.Eine weitereEvaluation

Beispiel 3

EFEntdeckung der Potenzregel

Kann man Regelmäßigkeiten entdecken, wenn man zu Potenzfunktionen (z.B. x2 bis x4) mittlere Änderungsraten berechnet (z.B. mit h = 0,1) und graphisch darstellt?

Der GTR …

• berechnet (z.B.) zu f(x) = x4 in einem ausgewählten Intervall 10 – 12 mittlere Änderungsraten,

• plottet diese Daten zusammen mit der Potenzfunktion,

• Als Modell für die Änderungsraten bietet sich an f*(x) = 4x3.

Weitere Gruppen untersuchen y = x2 usw. Im Vergleich ergibt sich eine belastbare Vermutung zur Potenzregel. Anschließen wird sich der algebraische Beweis.

Beispiel 3

EFEntdeckung der Potenzregel

Kann man Regelmäßigkeiten entdecken, wenn man zu Potenzfunktionen (z.B. x2 bis x4) mittlere Änderungsraten berechnet (z.B. mit h = 0,1) und graphisch darstellt?

Der GTR …

• berechnet (z.B.) zu f(x) = x4 in einem ausgewählten Intervall 10 – 12 mittlere Änderungsraten,

• plottet diese Daten zusammen mit der Potenzfunktion,

• Als Modell für die Änderungsraten bietet sich an f*(x) = 4x3.

Weitere Gruppen untersuchen y = x2 usw. Im Vergleich ergibt sich eine belastbare Vermutung zur Potenzregel. Anschließen wird sich der algebraische Beweis.

1.Der Graph zu

f(x) = x4

4.Der Plot der

Änderungsraten

2.Die Stützstellen

5.Bildungsgesetz für die

Änderungsraten(1. Versuch: x3)

3.Die Änderungsraten

6.(2. Versuch: 4x3)

1.Der Graph zu

f(x) = x4

4.Der Plot der

Änderungsraten

2.Die Stützstellen

5.Bildungsgesetz für die

Änderungsraten(1. Versuch: x3)

3.Die Änderungsraten

6.(2. Versuch: 4x3)

Beispiel 4

EFElemente einerKurvendiskussion

Eine Funktion bzw. ihr Graph soll auf lokale Eigenschaften, z.B.

• Nullstellen

• Hoch-/Tiefpunkte

• Wendepunkte

hin untersucht werden.

Der GTR …

• liefert eine erste wertemäßige Übersicht (Ablaufen mit „Trace“),

• berechnet Nullstellen und Ableitungen an isolierten Stellen,

• zeigt die Ableitungsfunktion,

• berechnet die (lokalen) Extremstellen und die Wendestellen,

• zeigt ggf. Tangenten, u.a. die (den Graphen schneidende!) Wendetangente.

Beispiel 4

EFElemente einerKurvendiskussion

Eine Funktion bzw. ihr Graph soll auf lokale Eigenschaften, z.B.

• Nullstellen

• Hoch-/Tiefpunkte

• Wendepunkte

hin untersucht werden.

Der GTR …

• liefert eine erste wertemäßige Übersicht (Ablaufen mit „Trace“),

• berechnet Nullstellen und Ableitungen an isolierten Stellen,

• zeigt die Ableitungsfunktion,

• berechnet die (lokalen) Extremstellen und die Wendestellen,

• zeigt ggf. Tangenten, u.a. die (den Graphen schneidende!) Wendetangente.

1.Der Graph

4.Die Ableitung anisolierten Stellen

7.Der Hochpunkt

2.Das Ablaufen

mit „Trace“(erste Näherung)

5.Der Ableitungs-

befehl

8.Die Wende-

stellen

3.Die Nullstellen

6.Der Ableitungs-

9.Die Wende-tangente(n)

1.Der Graph

4.Die Ableitung anisolierten Stellen

7.Der Hochpunkt

2.Das Ablaufen

mit „Trace“(erste Näherung)

5.Der Ableitungs-

befehl

8.Die Wende-

stellen

3.Die Nullstellen

6.Der Ableitungs-

9.Die Wende-tangente(n)

Beispiel 5

EF, Q1Extremwertprobleme

Zu einem Sachproblem soll eine optimale Lösung gefunden und evaluiert werden.

Der GTR …

• zeigt den Graphen der Zielfunktion,

• berechnet ein (numerisches) Optimum.

Direkt am Graphen erkennt man, inwieweit die Randwerte für die Lösung des Sachproblems von Bedeutung sind.

Beispiel 5

EF, Q1Extremwertprobleme

Zu einem Sachproblem soll eine optimale Lösung gefunden und evaluiert werden.

Der GTR …

• zeigt den Graphen der Zielfunktion,

• berechnet ein (numerisches) Optimum.

Direkt am Graphen erkennt man, inwieweit die Randwerte für die Lösung des Sachproblems von Bedeutung sind.

1.Das Problem

2.Die Zielfunktion

3.der Graph

und sein Hochpunkt

1.Das Problem

2.Die Zielfunktion

3.der Graph

und sein Hochpunkt

Beispiel 6

Q1Berechnen von Integralen(mit/ohne Bilanzierung)

In einer Sachsituation sollen anhand der Modellfunktion Berechnungen durchgeführt werden, bei denen die Orientierung der Flächen eine Rolle spielt, z. B.• „Veränderung der Wassermenge

im Becken“ vs.• „Menge an gepumptem Wasser“

Der GTR …

• berechnet die Bilanz der beteiligten Flächen („Veränderung im Becken“)

• berechnet mithilfe der Betragsfunktion die „echte/bilanzfreie“ Fläche („Menge gepumpten Wassers“),

• zeigt anhand des Graphen eine Veranschaulichung dieser beiden Standardsituation.

Beispiel 6

Q1Berechnen von Integralen(mit/ohne Bilanzierung)

In einer Sachsituation sollen anhand der Modellfunktion Berechnungen durchgeführt werden, bei denen die Orientierung der Flächen eine Rolle spielt, z. B.• „Veränderung der Wassermenge

im Becken“ vs.• „Menge an gepumptem Wasser“

Der GTR …

• berechnet die Bilanz der beteiligten Flächen („Veränderung im Becken“)

• berechnet mithilfe der Betragsfunktion die „echte/bilanzfreie“ Fläche („Menge gepumpten Wassers“),

• zeigt anhand des Graphen eine Veranschaulichung dieser beiden Standardsituation.

1.Der Funktionsterm

2.Der Graph:

„Zufluss/Abfluss“(Änderungsrate)

3.„Die Veränderungnach 5 Minuten“

4.Der neue Term

5.Der neue Graph

6.„In den 5 Minuten

bewegteWassermenge“

1.Der Funktionsterm

2.Der Graph:

„Zufluss/Abfluss“(Änderungsrate)

3.„Die Veränderungnach 5 Minuten“

4.Der neue Term

5.Der neue Graph

6.„In den 5 Minuten

bewegteWassermenge“

Beispiel 7

Q1Untersuchung von Integralfunktionen

Integralfunktionen sind als Objekte schwerer zu greifen als die bestimmten Integral, die gut veranschaulicht werden können.

Die Integralfunktion kann genutzt werden, …

• um die Bilanzierungseigenschaft des Riemann-Integrals zu vertiefen,

• ggf. den Hauptsatz vor- oder nachzubereiten,

• Grenzen für ein Integral (bei vorgegebener Fläche bzw. Bilanz) zu berechnen.

Beispiel 7

Q1Untersuchung von Integralfunktionen

Integralfunktionen sind als Objekte schwerer zu greifen als die bestimmten Integral, die gut veranschaulicht werden können.

Die Integralfunktion kann genutzt werden, …

• um die Bilanzierungseigenschaft des Riemann-Integrals zu vertiefen,

• Grenzen für ein Integral (bei vorgegebener Fläche bzw. Bilanz) zu berechnen,

• ggf. den Hauptsatz vor- oder nachzubereiten.

1.Der Randgraph

4.„Ist es schon 1?“

Flächeninhaltvon 0 bis b sei 1

2.Eingabe der

Integralfunktion,Start bei a = 0

5.Lösung mittelsSchnittpunktenvon Funktionen

3.Der Graph derIntegralfunktion(a = 0, a = -1)

6.Lösung mittelsWertetabelle

1.Der Randgraph

4.„Ist es schon 1?“

Flächeninhaltvon 0 bis b sei 1

2.Eingabe der

Integralfunktion,Start bei a = 0

5.Lösung mittelsSchnittpunktenvon Funktionen

3.Der Graph derIntegralfunktion(a = 0, a = -1)

6.Lösung mittelsWertetabelle

Beispiel 8

Q2Ein Weg zur e-Funktion

Gesucht wird (zunächst) nach einem Zusammenhang zwischen einer Exponentialfunktion und ihren Ableitungen.

Der GTR …

• berechnet für y = 2x (und y = 3x) an ausgewählten Stellen mittlere Änderungsraten,

• führt mithilfe einerTabellierung zu der Vermutung f‘(x) = f‘(0) f(x),

• ermöglicht mittels einer graphischen Darstellung eine erste Näherung für e:Suche f mit f‘(x) = 1 f(x).

Beispiel 8

Q2Ein Weg zur e-Funktion

Gesucht wird (zunächst) nach einem Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und ihren Ableitungen.

Der GTR …

• berechnet für y = 2x (und y = 3x) an ausgewählten Stellen mittlere Änderungsraten,

• führt mithilfe einer Tabellierung zu der Vermutung f‘(x) = f‘(0) f(x),

• ermöglicht mittels einer graphischen Darstellung eine erste Näherung für e:Suche f mit f‘(x) = 1 f(x).

1.Stützstellen,

Funktionswerte,Änderungsraten

für f(x) = 2x

3.Der Graph zu

f(x) = 2x und dieÄnderungsraten

5.b = 3Graph

2.Quotienten-

4.Variation der Basis:

b = 3Quotientenprobe

6.gezielte Suche:

b = 2.7

1.Stützstellen,

Funktionswerte,Änderungsraten

für f(x) = 2x

3.Der Graph zu

f(x) = 2x und dieÄnderungsraten

5.b = 3Graph

2.Quotienten-

4.Variation der Basis:

b = 3Quotientenprobe

6.gezielte Suche:

b = 2.7

Beispiel 9

Q1Lage von Gerade und Ebene zueinander (LGS lösen)

Gegeben sind die beiden Parameterformen zu den drei möglichen Fällen. Bekannt sei das algebraische Verfahren:Lösen eines LGS mit dem Gauss-Algorithmus.

Der GTR …

• übernimmt die (normierte) Koeffizientenmatrix

• berechnet zu der Koeffizienten-matrix die zugehörige Dreiecks- bzw. Diagonalmatrix.

Letztere ermöglicht das direkte Ablesen der drei möglichen Fälle. Zudem liefert sie, falls ein Schnittpunkt existiert, die benötigten Parameter.

Beispiel 9

Q1Lage von Gerade und Ebene zueinander (LGS lösen)

Gegeben sind die beiden Parameterformen zu den drei möglichen Fällen. Bekannt sei das algebraische Verfahren:Lösen eines LGS mit dem Gauss-Algorithmus.

Der GTR …

• übernimmt die (normierte) Koeffizientenmatrix

• berechnet zu der Koeffizienten-matrix die zugehörige Dreiecks- bzw. Diagonalmatrix.

Letztere ermöglicht das direkte Ablesen der drei möglichen Fälle. Zudem liefert sie, falls ein Schnittpunkt existiert, die benötigten Parameter.

1.Die drei Fälle

2.g schneidet E

(in genau einem Punkt)

3.g ist echt parallel

4.g liegt in E

1.Die drei Fälle

2.g schneidet E

(in genau einem Punkt)

3.g ist echt parallel

4.g liegt in E

Beispiel 10

Q2Arbeiten mit Übergangsmatrizen

Eine bekannte Übergangsmatrix soll genutzt werden, um den ebenfalls gegebenen Systemzustand kurzfristig, langfristig oder rückwirkend zu modellieren und ggf. einen Fixvektor zu bestimmen.

Der GTR …• führt die Potenzbildung für kleine

und große Intervalle durch,• berechnet mittels der inversen

Matrix zurückliegende Zustände,• nutzt die Einheitsmatrix, um den

Fixvektor zu berechnen.

Beispiel 10

Q2Arbeiten mit Übergangsmatrizen

Eine bekannte Übergangsmatrix soll genutzt werden, um den ebenfalls gegebenen Systemzustand kurzfristig, langfristig oder rückwirkend zu modellieren und ggf. einen Fixvektor zu bestimmen.

Der GTR …• führt die Potenzbildung für kleine

und große Intervalle durch,• berechnet mittels der inversen

Matrix zurückliegende Zustände,• nutzt die Einheitsmatrix, um den

Fixvektor zu berechnen.

1.Die Übergangsmatrix

4.Die Verteilung

am Ende der Woche

7.Fixvektor,Schritt I

2.Die Verteilung

zu Beginn

5.Die Verteilungnach 1 Monat

8.Fixvektor,Schritt II

3.Die Verteilung

nach 1 Tag

6.Hatte die

Startverteilungeinen Vorlauf?

9.Fixvektor,Schritt III

1.Die Übergangsmatrix

4.Die Verteilung

am Ende der Woche

7.Fixvektor,Schritt I

2.Die Verteilung

zu Beginn

5.Die Verteilungnach 1 Monat

8.Fixvektor,Schritt II

3.Die Verteilung

nach 1 Tag

6.Hatte die

Startverteilungeinen Vorlauf?

9.Fixvektor,Schritt III

x1 - 0.91x4 = 0…

x1 + x2 + x3 + x4 = 1Þ x4 0,42

x1 0,39, x2 0,1, x3 0,09

Beispiel 11

Q1, Q2Ein Weg zurNormalverteilung

Wichtige Kenngrößen für den Werteverlauf einer binomialverteilten Zufallsgröße sind µ und σ. Kann man diese beiden Werte für eine „Normierung“ nutzen?

Ja! Es ergibt sich eine „Normierung“, wenn man den Graphen

• um µ Einheiten nach links verschiebt,

• dann mit σ in x-Richtung staucht und

• zur Kompensation in y-Richtung mit σ streckt.

Als Modellfunktion bietet sich an

4,0)(x

Beispiel 11

Q1, Q2Ein Weg zurNormalverteilung

Wichtige Kenngrößen für den Werteverlauf einer binomialverteilten Zufallsgröße sind µ und σ. Kann man diese beiden Werte für eine „Normierung“ nutzen?

Ja! Es ergibt sich eine „Normierung“, wenn man den Graphen

• um µ Einheiten nach links verschiebt,

• dann mit σ in x-Richtung staucht und

• zur Kompensation in y-Richtung mit σ streckt.

Als Modellfunktion bietet sich an

4,0)(x

1.Die Grunddatenund Kenngrößen

3.Die neu berechneten

5.Ein weiteres Beispiel

mit neuen Wertenfür n und p

2.Die Werte der

Verteilung

4.Die graphische

Darstellung

6.Die Modellfunktion

1.Die Grunddatenund Kenngrößen

3.Die neu berechneten

5.Ein weiteres Beispiel

mit neuen Wertenfür n und p

2.Die Werte der

Verteilung

4.Die graphische

Darstellung

6.Die Modellfunktion

Beispiel 12

Q1, Q2Ein Weg zum Vertrauensintervall

Im Vorfeld einer Wahl erhält eine Partei bei einer Umfrage

621 Stimmen von1200 Befragten.

Kann die Partei „halbwegs sicher“ sein, bei der Wahl 50% der Stimmen zu bekommen?

Der GTR

• berechnet mit Hilfe der σ-Regeln, für welche Werte von p die gegebene Häufigkeit in der 2σ-Umgebung liegt,

• unterstützt mit einer graphischen Darstellung vertiefende Analysen, z. B. zu algebraischen Modellen (Funktionen) für die Ellipse.

Beispiel 12

Q1, Q2Ein Weg zum Vertrauensintervall

Im Vorfeld einer Wahl erhält eine Partei bei einer Umfrage

621 Stimmen von1200 Befragten.

Kann die Partei „halbwegs sicher“ sein, bei der Wahl mindestens 50% der Stimmen zu bekommen?

Der GTR

• berechnet mit Hilfe der σ-Regeln, für welche Werte von p die gegebene Häufigkeit in der 2σ-Umgebung liegt,

• unterstützt mit einer graphischen Darstellung vertiefende Analysen, z. B. zu algebraischen Modellen (Funktionen) für die Ellipse.

1.µ und σ

für 0.45 ≤ p ≤ 0.55

2.die 2σ-Umgebungenfür 0.45 ≤ p ≤ 0.55

und …

3.… die „plausiblen“

Wahrscheinlichkeiten

4.graphischeDarstellung

für 0.45 ≤ p ≤ 0.55

5.graphischeDarstellungfür 0 ≤ p ≤ 1

6.Rekonstruktion

mit Wurzelfunktionenund Schnittpunkten

1.µ und σ

für 0.45 ≤ p ≤ 0.55

2.die 2σ-Umgebungenfür 0.45 ≤ p ≤ 0.55

und …

3.… die „plausiblen“

Wahrscheinlichkeiten

4.graphischeDarstellung

für 0.45 ≤ p ≤ 0.55

5.graphischeDarstellungfür 0 ≤ p ≤ 1

6.Rekonstruktion

mit Wurzelfunktionenund Schnittpunkten

Ein GTR im Mathematikunterricht unterstützt u.a.:

Beispiele

Exploratives und entdeckendes Arbeiten38

Potenzregele , e-Funktion

Begriffsbildendes Arbeiten2

12RegressionVertrauensintervall

Wechsel zwischen Darstellungsformen:Term (Algebra), Werte (numerisch), Graph

IntegralfunktionExponentialfunktion

Reduktion von Routine-Algorithmen:mehr Zeit für vertiefendes Verständnis

KurvendiskussionIntegrationLGSÜbergangsmatrizen

Modellieren,außer- und innermathematisch

ExtremwerteNormalverteilung

ÜbersichtBerufliches Gymnasium78

GTR oder CAS ?

Vorgaben Zentralabitur bei Auswahl des CAS Vorschlags

• Algebraische Ausdrücke vereinfachen und vergleichen• Gleichungen symbolisch und numerisch lösen• Lineare Gleichungssysteme lösen und

Matrizenberechnungen durchführen• Funktionen symbolisch und numerisch differenzieren

und integrieren• Funktionen und Daten zweidimensional graphisch

darstellen• Werte der Binomialverteilung und Normalverteilung

bestimmen

Funktionalitäten CAS

Berufliches Gymnasium79 Übersicht

GTR oder CAS ?

GTR CAS

Wertetabellen identisch

Graphische Darstellung von Funktionsgraphen

identisch

Lösen von LGS mit Matrizen Lösen von LGS

--- Lösen beliebiger GS

--- Vereinfachung und Vergleich von

algebraischen Ausdrücken

Gleichungen numerisch lösen Gleichungen algebraisch lösen

numerische Bestimmung des Ableitungswertes an einer Stelle

Funktionen algebraisch

differenzieren

GTR oder CAS ?

GTR CAS

---Bestimmung von Extremwerten mit Parameter

numerische Bestimmung der

Flächenmaßzahl

Funktionen algebraisch integrieren

Matrizenberechnungen durchführen(inkl. Inverse, reduz. Diagonalform)

identisch

Binomialverteilung (auch kumuliert) identisch

Normalverteilung identisch

Bestimmung von Statistik-Größen identisch

Bestimmung Regressionsfunktionen identisch

näherungsweise Bestimmung von Grenzwerten

GTR oder CAS ?

GTR CAS

Handheld oder Software?

GTR oder CAS

als Handheld

Netbook/Laptop/PC/Tablet mit

CAS-Software ( Bedingungen!)

• leichterer Schutz vor

Täuschungsversuch• überall leicht verfügbar• läuft relativ stabil

• Dokumentation der Lösung auf

Papier

• Schutz vor Täuschungsversuch

deutlich aufwendiger • aufwendigere Organisation

(Computerraum, Stromversorgung,

Internet-/Netzwerkkontrolle)• Dokumentation im Programm möglich,

Ausdruck von Lösungen möglich • Nutzung weiterer Programme

(andere Fächer, digitale Schulbücher)

Einheitliche Lösung

Innerhalb eines AHR-Bildungsgangs soll ein einheitliches

Konzept implementiert werden.

• Möglichkeiten des Austauschs von Unterrichtsmaterialien

• Wiederholer-Problematik

• Wechsel des Bildungsganges (z.B. Quereinstieg Stufe 12)

• Vertretungsunterricht

• Fortbildung

• CAS: Es wird empfohlen, die Schülerinnen und Schüler

eine Einverständniserklärung zu dem CAS-Konzept

unterschreiben zu lassen (bei Schul-Anmeldung).

• Bei verschiedenen AHR-Bildungsgängen an einem

Berufskolleg ist ein einheitliches Konzept von Vorteil.Berufliches Gymnasium84

Übersicht

Übersicht85

Fachübergreifende Möglichkeiten

Beispiel 1

Physik:Speicherung elektrischer Energie, Kondensator

Der Kondensator bietet eine gute Möglichkeit zum Einsatz von Schülerexperimenten in der Sek II. Untersucht werden kann z.B. der Entladevorgang.

Nutzung des GTR•Eingabe/Aufnahme der Messwerte•Graphische Darstellung der Punktwolke•Bestimmung einer Regressions- kurve•Bestimmung von Gesetzmäßigkeiten bei der Kondensatorentladung

Kondensator

Übersicht

1.Der Versuchsaufbau

(Schaltplan)

3.Ein Beispielgraph

2.Erfassung der

Messwerte

Übersicht

Beispiel 2

Chemie:Erstellen einer Eichkurve, Konzentrationsbestimmung

Bei der Bestimmung der Konzentration von Natriumchlorid in Meerwasser soll eine Eichkurve erstellt werden.

Nutzung des GTR•Eingabe/Aufnahme der Messwerte•Graphische Darstellung der Punktwolke•Bestimmung der Eichkurve als Funktion

Eichkurve

88 Übersicht

1.Versuchsaufbau

3.Messwertabelle

2.Auswählen der

Sensoren

4.Eichkurve

89 Übersicht

Beispiel 3

Technik:Kennlinie einer Solarzelle

Bei der Untersuchung einer Solarzelle stellt sich die Frage nach einem optimalen Betriebspunkt, dazu wird eine Kennlinie erstellt.

Nutzung des GTR• Eingabe/Aufnahme der Messwerte• Graphische Darstellung der

Punktwolke• Berechnung der Leistung;• Graphische Darstellung der

Kennlinie• Bestimmung des optimalen

Betriebspunktes

Solarzelle

Übersicht

1.Die experimentellermittelten Datenals Liste

3.Die berechnete Leistung

2.Der Datensatzals Punktplot(Streudiagramm)

4.Ein möglichesModell:Graph

Übersicht

Beispiel 4

Sport/Biologie:Trainingslehre und Stoffwechselphysiologie

Zur Verknüpfung von Theorie und Praxis wird der Puls vor, während und nach einer Belastung gemessen und anschließend hinsichtlich der Fragestellung nach der Sauerstoffversorgung ausgewertet.

Nutzung des GTR• Eingabe/Aufnahme der Messwerte• Graphische Darstellung• Bestimmung und Vergleich der

Flächen zu Beginn und nach der Belastung hinsichtlich der Sauerstoffversorgung

Übersicht

1.Die experimentellermittelten Datenals Liste

3.Vergleich der Flächen

2.Der Datensatzals Punktplot(Streudiagramm)

„Sauerstoffdefizit“ „Sauerstoffschuld“

Übersicht

Beispiel 5

Eine ökonomische Situation mit

angegebener Kostenfunktion K und

Erlösfunktion E soll untersucht werden.

Denkbare mathematische Schwer-

punkte:• Wendepunkt der Kostenfunktion• Schnittpunkte der Graphen

von E und K • Nullstellen der Gewinnfunktion G• lokaler Hochpunkt von G• Minimumstelle der Stückkosten-

funktion (Betriebsoptimum)

Nutzung des GTR

• liefert die graphische Darstellung von K und E

• zeichnet den Graphen von G und gibt eine Wertetabelle an

• gibt Wertezusammenhänge an

• berechnet Nullstellen, lokale Extrema und Ableitungen sowie Wendepunkte an isolierten Stellen

• zeichnet den Graphen der Stückkostenfunktion und gibt die Koordinaten des Tiefpunktes an

• gibt die Koordinaten des Schnitt- punktes von k und K‘ an

Übersicht

... liefert die graphischeDarstellung von

K und E

... gibt Wertezusammen-hänge an

... zeichnet den Graphen von G und gibt Wertetabellen an

... berechnet Nullstellenund lokale Extrema an isolierten Stellen

Übersicht

... berechnet die Ableitung und Wendepunkte an isolierten

Stellen

... gibt die Koordinaten des Tiefpunktes an

... zeichnet Graphen der Stückkostenfunktion

... gibt Schnittpunkt-koordinaten an

Übersicht

Übersicht97

- Angebote zur Unterrichtsentwicklung durch

die Bezirksregierungen ab Sj. 2013/2014

- Angebote zur Geräte-/Software-Bedienung

und -Anwendung durch Hersteller und

Anbieter

Fortbildung

Übersicht

Berufliches Gymnasium 99

Der graphikfähige Taschenrechner (GTR) im Mathematikunterricht des Beruflichen Gymnasiums

Sek. II

GTRoderCAS

Sek. II

GTRoderCAS

Funktionalitätendes GTR

FachübergreifendeMöglichkeiten

Finanzierungs-modelle

RechtlicheGrundlagen

Einsatzdes GTR

in der Sek. II

Einsatzdes GTR

in der Sek. II

Vorschläge zur Einführung

Impressum: MSW, Ref. 312, Roebers, 10.04.2013

Der graphikfähige Taschenrechner (GTR) im Mathematikunterricht des Beruflichen Gymnasiums

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Transcript of Der graphikfähige Taschenrechner (GTR) im Mathematikunterricht des Beruflichen Gymnasiums

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