Didaktik der Algebra und Funktionenlehre 8

Prof. Dr. Kristina ReissLehrstuhl für Didaktik der Mathematik

Universität Augsburg

Wintersemester 2004/05

Die Menge IN der natürlichen Zahlen im Unterricht

Beispielaufgabe zur Mathematik PISA 2003

Basisziele im Lehrplan der Realschule

Basisziele im Lehrplan des Gymnasiums

Zahlen findet man überall auf der Welt, in allen Kulturen. Sie entsprechen offensichtlich grundlegenden Bedürfnissen des Menschen. Die Weiterführung der natürlichen Zahlen und der Regeln für den Umgang mit ihnen ist auf die immer anspruchsvolleren Anwendungen zurück zu führen:

Zählen, Messen, Rechnen, Lösen von Gleichungen, Beschreibung funktionaler Zusammenhänge, ...

Zahlen und Zählen

Natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen, reelle Zahlen, komplexe Zahlen, ...

Im 19. Jahrhundert wurde mit einer axiomatischen Begründung der (reellen) Zahlen begonnen. Man betrachtete

die algebraische Struktur, die Ordnungsstruktur,die topologische Struktur

und ihre Beziehungen zueinander.

Zahlbereichserweiterungen

Der Algebraunterricht kann einen wesentlichen Beitrag zum Verständnis der Zahlen leisten, wenn er die Regeln des Rechnens und die Zusammenhänge zwischen diesen Regeln deutlich macht. Dabei ist es notwendig

• die algebraische Struktur der Zahlenbereiche hervorzuheben und

• den Beziehungsreichtum innerhalb dieser Struktur deutlich zu machen.

Mathebaum 1. Mathematik für Grundschulen. Hannover: Schroedel, S. 66.

Das „(Verständnis-)Problem“ bei der isomorphen Einbettung

Bei der Zahlbereichserweiterung werden „neue“ Zahlen aus „alten“ konstruiert.

In einem gewissen Sinne umfasst der konstruierte Zahlbereich dabei den Ausgangsbereich.In einem anderen Sinne umfasst der konstruierte Zahlbereich den Ausgangsbereich nicht.

Dieser feine Unterschied kann in der Schule kaum deutlich gemacht werden. Dennoch ist er Ursache für bestimmte Fehlertypen.

Axiomatische vs. konstruktivistische Begründung der Zahlen

Konsequenz für die Schule:Sollen die Schülerinnen und Schüler die Zahlen entdecken oder erfinden?

Grundsatzfrage in der Mathematik: Reicht es mathematische Objekte durch Axiome zu charakterisieren oder muss man die Objekte auch konstruieren?

Gab es die Mathematik schon immer oder wurde sie durch den Menschen gemacht ?

Für die Schule ist von Bedeutung, dass Schülerinnen und Schüler nicht nur passiv sondern auch aktiv mit Mathe-matik umgehen und sich kritisch mit der Angemessenheit mathematischer Modelle auseinander setzen.

Mit Zahlen und den dazugehörenden Regeln lassen sich Teile der Wirklichkeit beschreiben (Natur- und Sozialwissenschaften, Technik usw.). Ist dies so, weil die Wirklichkeit so ist ? Oder haben sich die Menschen die Mathematik gerade so ausgedacht, dass es passt ?

Die Behandlung der

Natürlichen Zahlen IN

in den Klassen 5 und 6

Die Behandlung der natürlichen Zahlen in Klasse 5 und 6 verfolgt zwei grundsätzliche Ziele:

• die Reflexion der Kenntnisse aus der Grundschule, insbesondere im Hinblick auf die algebraische Struktur und die Ordnungsstruktur,

• die Vertiefung dieser Kenntnisse durch die Betrachtung von Teilerrelationen, Primzahlen usw. als Vorbereitung auf die Bruchrechnung.

Die Behandlung der natürlichen Zahlen mit den Grundrechenarten und Ordnungsrelationen dient dazu, die Kenntnisse aus der Primarstufe von einem höheren Standpunkt aus zu vertiefen.

Verständnis und Beherrschung des Umgangs mit natürlichen Zahlen ist eine notwendige Voraussetzung für die Erschließung der weiteren Zahlbereiche sowie allgemein der Beschäftigung mit der Algebra in der Sekundarstufe.

Folgende Inhalte sind für die Betrachtung der natürlichen Zahlen vom höheren Standpunkt aus von Bedeutung:

• Darstellungsformen der natürlichen Zahlen (Ziffern, Stellenwertsystem, Zahlenstrahl ...),

• Rechnen mit natürlichen Zahlen und Ordnungsrelationen (Rechengesetze, Schätzen, Runden, < ...),

• Teilbarkeitslehre (ggT, kgV, Primzahlen, Primfaktorzerlegung, Teilbarkeitsregeln ...).

Bei den Darstellungsformen von natürlichen Zahlen geht es um die Unterscheidung von Zahlen und ihre Namen/Bezeichnungen.Da das Dezimalsystem z.T. schon in der Grundschule behandelt wird, dient dieser Abschnitt als Wiederholung bzw. Reflexion:

• Dezimalsystem,• Darstellung ohne Stellenwertsystem (z.B.

römische Ziffern),• anderes Stellenwertsystem (z. B. Dualsystem),• aber auch: Tabellen und Diagramme.

U. Schätz & F. Eisentraut (2003). Delta 5. Bamberg: C.C.Buchner (S. 22).

U. Schätz & F. Eisentraut (2003). Delta 5. Bamberg: C.C.Buchner (S. 27).

U. Schätz & F. Eisentraut (2003). Delta 5. Bamberg: C.C.Buchner (S. 29).

• Die Betrachtung der Ordnungsrelationen „<“ und „>“ für IN ergibt u. a. die Unendlichkeit der Menge der natürlichen Zahlen.

• Die Behandlung von Zahlenfolgen verallgemeinert das Prinzip Vorgänger/Nachfolger.

• Der Zahlenstrahl dient zur Veranschaulichung der natürlichen Zahlen sowie der Ordnungsrelationen.

• Weitere Darstellungsformen wie Säulendiagramme sowie das Runden von Zahlen vertiefen das Verständnis der Anordnung der natürlichen Zahlen.

• Durch das Dezimalsystem können große Zahlen mit Hilfe der Potenzschreibweise dargestellt werden.

aus: Neues Mathematisches Arbeitsbuch 5, Diesterweg, 1989.

Das Addieren und Subtrahieren von natürlichen Zahlen wird im Anschluss an die Behandlung der Darstellungsformen gemacht. Multiplikation und Division in IN je nach Lehrplan/Schulbuch ebenfalls sofort oder nach einer Unterbrechung durch eine Geometrieeinheit.

Die vier Grundrechenarten sind aus der Grundschule bekannt und werden nicht noch einmal neu eingeführt oder auf andere Art begründet.

Addition und Subtraktion

• Darstellung der Rechenoperation am Zahlenstrahl,

• Einführung der Fachbegriffe Summand, Summe bzw. Minuend, Subtrahend, Differenz,

• die Subtraktion ist Umkehroperation zur Addition,

• die Null spielt bei Addition und Subtraktion eine besondere Rolle.

U. Schätz & F. Eisentraut (2003). Delta 5. Bamberg: C.C.Buchner (S. 34).

U. Schätz & F. Eisentraut (2003). Delta 5. Bamberg: C.C.Buchner (S. 36).

Es wird von links nach rechts gerechnet,soll dies nicht passieren, so sind Klammern zu setzen.

Im Zuge der weiteren Behandlung von Addition und Subtraktion in IN verschiebt sich der Fokus weg von den Zahlen hin auf die Eigenschaften der Verknüpfungen:

Die Behandlung von Klammerausdrücken ist für den späteren Algebraunterricht von großer Bedeutung.

U. Schätz & F. Eisentraut (2003). Delta 5. Bamberg: C.C.Buchner (S. 46).

Rechengesetze:

Den Schülerinnen und Schülern soll deutlich werden, welche Vorteile diese Gesetze bieten:

Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz),Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz).

Beide Gesetze sollten in Worten formuliert und anhand von Beispielen verdeutlicht werden. In der Regel bietet sich zusätzlich auch eine abstrakte Formulierung mit Variablen an.

Schnittpunkt 5,

Klett 1992

Multiplikation und Division werden ähnlich wie Addition und Subtraktion behandelt. Diese Operationen werden aus der Grundschule übernommen und nicht neu begründet.

Die Multiplikation wird auf die Addition zurückgeführt,es werden die Fachbegriffe Faktor, Produkt bzw. Dividend, Divisor, Quotient eingeführt,die Division ist Umkehroperation zur Multiplikation,die Eins und auch die Null spielen bei Multiplikation und Division eine besondere Rolle.

U. Schätz & F. Eisentraut (2003). Delta 5. Bamberg: C.C.Buchner (S. 102).

Es werden in Bezug auf die Multiplikation das

Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz) undKommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)

behandelt.Beide Gesetze werden in Worten formuliert und anhand von Beispielen verdeutlicht. In der Regel bietet sich zusätzlich auch eine abstrakte Formulierung mit Variablen an.

Mathebaum 2. Mathematik für Grundschulen. Hannover: Schroedel, S. 93.

Schließlich wird die Beziehung von Addition und Subtraktion zu Multiplikation und Division behandelt. Dabei sind von Bedeutung:

Punktrechnung vor Strichrechnung,Klammerausdrücke werden immer zuerst berechnet,Distributivgesetz (Verteilungsgesetz) für Addition und Multiplikation.

Auch hier werden die Regeln in Worten formuliert und an Beispielen geübt. Wichtig ist die Vorteile dieser Regeln aufzuzeigen.

Für alle vier Verknüpfungen sollen die Schüler die schriftlichen Rechenverfahren beherrschen und mit den auftretenden Begriffen umgehen können.

Im Rahmen der Multiplikation und Division besteht die Möglichkeit zusätzlich Potenzen zu behandeln. Potenzieren wird als wiederholte Multiplikation gleicher Faktoren eingeführt. Notwendige Begriffe sind Potenz, Grundzahl (Basis) und Hochzahl (Exponent).

Teilbarkeitslehre

Die Teilbarkeitslehre wird als eigenständige Einheit in der 5. Klasse behandelt. Es geht um

die Teilbarkeitsrelation, Teiler, Teilermengen,ggT und kgV,Primzahlen, Primfaktorzerlegung,Teilbarkeitsregeln.

Lehrplan Klasse 5 (Realschule)

Die Schüler entdecken Teilbarkeitsregeln und lernen die Primfaktorzerlegung kennen und anzuwenden. Sie vertiefen dabei ihre Einsicht in den Aufbau der natürlichen Zahlen und verschaffen sich die Grundlage für das Rechnen mit Brüchen in der nächsten Jahrgangsstufe.(Aus der Geschichte: Eratosthenes, L. Euler)

• Teiler und Teilermengen• Teilbarkeit durch 2, 5, 10, 25, 100; Teilbarkeit

durch 4, 8, 3, 9, 6• größter gemeinsamer Teiler (ggT); kleinstes

gemeinsames Vielfaches (kgV)• Primfaktorzerlegung

Die Teilbarkeitsrelation bietet neben der Ordnungsrelation eine weitere Strukturierung der natürlichen Zahlen.Implizit lernen die Schülerinnen, dass die Relation reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist, auch wenn diese Begriffe nicht vorkommen.Damit wird eine weitere Grundlage für den Relationsbegriff gelegt.Grundvoraussetzung für die Teilbarkeitslehre ist die Beherrschung der Grundrechenarten.

Zunächst werden die Begriffe Teiler, Teilermenge und Vielfaches, Vielfachenmenge eingeführt.Beziehungen (Relationen) zwischen den Elementen der Teilermenge (Vielfachenmenge) werden durch Pfeildiagramme dargestellt. Einzelne Aussagen werden explizit formuliert, z. B.

„Sind in einer Summe alle Summanden durch eine Zahl teilbar, so ist auch die Summe durch diese Zahl teilbar.“

Die Summenregel ermöglicht die Herleitung von Teilbarkeitsregeln (im Dezimalsystem). Die Endstellenregel (Teilbarkeit durch 2, 5, 10, 4, 25) wird dabei beispielgebunden eingeführt, z. B.

Da alle Summanden durch 2 teilbar sind ist 5436 durch 2 teilbar (analog 5, 10, 4, 25). Es folgt, dass für 2, 5, 10 nur die letzte Ziffer und für 4 und 25 die letzten beiden Ziffern relevant sind.

5436= 5000+400+30+6

Teilbarkeitsregeln

Die Quersummenregel, d. h. die Teilbarkeit durch 3 und 9 wird ebenfalls beispielgebunden eingeführt. Eine Herleitung in der 6. Klassen hat sich als wenig effektiv herausgestellt. Dennoch kann man die Quersummenregel am Beispiel plausibel machen (oder entdecken lassen):

258 = 200+50+8 = (3·66+2) + (3·15+5) + 8

= 3·(66+15)+(2+5+8) = 3·81+15

oder in der „klassischen“ Variante

258 = 200 + 50 + 8 = (2•99+2) + (5•9)+1+8

Bei der Betrachtung von Teilermengen (Vielfachenmengen) verschiedener Zahlen ergibt sich die Frage nach gemeinsamen Teilern (Vielfachen).Die Schnittmengen von Teilermengen können z. B. in Form von Venn-Diagramm dargestellt werden. Bei Vielfachenmengen ergibt sich hier das Problem der graphischen Darstellung von unendlichen Mengen.

Die Schnittmenge von Teilermengen (Vielfachenmengen) verschiedener Zahlen ist nicht leer, da immer Eins (das Produkt der Zahlen) enthalten ist.Die „interessanten“ Elemente sind hier der größte gemeinsame Teiler (ggT) bzw. das kleinste gemeinsame Vielfach (kgV).Die Bestimmung von ggT und kgV sind wichtige Vorübungen für die Bruchrechnung!

ggT und kgV

Bei der Betrachtung von Teilermengen von natürlichen Zahlen tauchen die Primzahlen als besondere Zahlen auf.Primzahlen haben genau zwei Teiler: die Zahl 1 und die Primzahl selber.Die Zahl 1 ist keine Primzahl.Als Verfahren zur Bestimmung von Primzahlen kann z. B. das „Sieb des Eratosthenes“ behandelt werden.

Primzahlen

Schnittpunkt 6, Klett 1992, S. 19

Primfaktorzerlegung (PFZ)

Zur Herleitung der PFZ werden Zahlen so weit wie möglich in Faktoren zerlegt, z. B.72 = 2·36 = 2·2·18 = 2 ·2 ·2 ·9 = 2 ·2 ·2 ·3 ·3Es wird festgehalten, dass dies immer geht und dass die Zerlegung eindeutig ist. Statt eines formalen Beweises können die Schülerinnen und Schüler einige Zahlen auf unterschied-lichen „Wegen“ bis zur PFZ zerlegen.

Die PFZ zeigt, dass die Primzahlen die kleinsten „Einheiten“ sind, aus denen die natürlichen Zahlen mit der Multiplikation erzeugt werden können (multiplikative Bausteine von N).

Die PFZ ermöglicht leicht die Bestimmung von Teilermengen bzw. von ggT und kgV zweier Zahlen.

Am Ende der zugehörigen Unterrichtssequenzen sollten die Kenntnisse der Schüler über die natürlichen Zahlen und die Beherrschung der Grundrechenarten so weit fortgeschritten sein, dass die Voraussetzungen für die Bruchrechnung gegeben sind.

die Reflexion der Kenntnisse aus der Grundschule, insbesondere im Hinblick auf die algebraische Struktur und die Ordnungsstruktur,die Vertiefung dieser Kenntnisse durch die Betrachtung von Teilerrelationen, Primzahlen usw.

Ziele der Behandlung der natürlichen Zahlen in den Klassen 5 und 6 sind