Didaktik der Geometrie (1)

Vorlesung im Sommersemester 2004

Prof. Dr. Kristina Reiss

Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik

Universität Augsburg

Didaktik der GeometrieInhaltsübersicht

Bedeutung der Geometrie und Ziele des Geometrieunterrichts

Lehrplaninhalte der Sekundarstufe I (Klassen 5 bis 10)

Lernvoraussetzungen aus der Grundschule Aspekte der Geometrie im Unterricht

Lehre vom Anschauungsraum Axiomatisierbare Theorie Übungsfeld für Problemlösen

Begriffsbildung im Geometrieunterricht Beweisen, Begründen und Argumentieren

Kongruenzgeometrische und abbildungsgeometrische Verfahren

Flächeninhalte und Volumina Kongruenz Ähnlichkeit Die Satzgruppe des Pythagoras Der Kreis und seine Eigenschaften Aspekte der räumlichen Geometrie Aspekte der Darstellenden Geometrie

Ziele des Geometrieunterrichts

• Geometrie kann eine Hilfe zum besseren Verständnis der Umwelt sein.

• Geometrie ist ein wichtiges Kulturgut.• Geometrie ist besonders geeignet,

Problemlösen zu initiieren.• Geometrie kann logisches Denken und

kohärentes Argumentieren fördern.• Geometrische Begriffe und Methoden sind

prototypisch für die Mathematik.

(1) Geometrie als Hilfe zum besseren Verständnis der Umwelt

Geometrische Phänomene in der Architektur

Geometrische Phänomene in der Kunst

Geometrie und Technik

Geometrie und Natur

Geometrie und Architektur

Geometrie und Kunst

Geometrie und Technik

Überlegen Sie sich Beispiele!

Geometrie und Natur

(2) Geometrie als 5000 Jahre altes Kulturgut

Exemplarische Aspekte:

Flächen- und Volumenberechnungen; Pythagoreischer Lehrsatz, Berechnung von Quadratwurzeln (Mesopotamien)

Axiomatische Methode in der Geometrie (Euklid)

Nichteuklidische GeometrieLiteratur: C.J. Scriba und P. Schreiber (2001). 5000 Jahre Geometrie. Geschichte, Kulturen, Menschen. Heidelberg: Springer.

(3) Geometrie und Problemlösen

Wo liegen alle Punkte, die von zwei gegebenen Punkten A und B gleichen Abstand haben?

Wie muss man die Startblöcke beim 400 m-Lauf positionieren, damit alle Läufer genau 400 m laufen?

Wie verbindet man 9 Punkte mit 4 Geraden?

Alle genannten Probleme erfordern geometrisches Wissen. Dabei haben Geometrieaufgaben in der Schule häufiger als Algebraaufgaben den Charakter „echter“ Probleme, bei denen zwischen gegebener Bedingung und dem Ziel der Aufgabe mehrere Schritte liegen, die nicht durch einfache Algorithmen beschrieben werden.

(4) Logisches Denken und kohärentes Argumentieren

Betrachte die folgende Figur!

Betrachte die folgende Figur!

Zu einer Geometrieaufgabe gehört die Konstruktionsbeschreibung. Auf diese Weise werden Arbeitsschritte nicht nur implizit, sondern oftmals auch explizit begründet. Explizites Argumentieren verbessert das mathematische Verständnis.

(5) Geometrische Begriffe und Methoden

Ein Parallelogramm ist ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten auf auf paarweise parallelen Geraden liegen.

Sind die Seiten eines Parallelogramms gleich lang?

Beispiel: Der Begriff „senkrecht“

Wie kann man entsprechend den Begriff „parallel“ enaktiv erarbeiten?

Mathematisches Arbeiten ist geprägt durch den Umgang mit

Axiomen Definitionen Sätzen und ihre Beweisen

Die Elementargeometrie bietet Möglichkeiten, dieses Arbeiten auch im Rahmen des Schulunterrichts zu behandeln.

Aspekte der Geometrie nach Holland

Geometrie als Lehre vom Anschauungsraum

Geometrie als Beispiel einer deduktiven Theorie

Geometrie als Übungsfeld für Problemlösen

Geometrie als Vorrat mathematischer Strukturen

Literatur: G. Holland (19962; 2001). Geometrie in der Sekundarstufe. Heidelberg: Spektrum

Geometrie als Lehre vom Anschauungsraum

Geometrieunterricht soll hinführen zum Erwerb grundlegender geometrischer

Figurenbegriffe, Abbildungsbegriffe und Größenbegriffe, sowie deren Anwendung in Umweltsituationen;

zur einsichtigen Kenntnis solcher geometrischer Zusammenhänge, die für die weitere Ausformung des Anschauungsraums und für Anwendungen von Bedeutung sind;

zur Fertigkeit, ebene und räumliche Konfigurationen zeichnerisch darzustellen.

Geometrie als Beispiel einer deduktiven Theorie

Geometrie ist gekennzeichnet durch das logische Beziehungsgefüge zwischen Begriffen und Sätzen;

Ziel ist es, alle Begriffe und Sätze der Geome-trie auf einer nicht weiter reduzierbaren Basis von Grundbegriffen und Axiomen aufzubauen;

Geometrie als deduktive Theorie fordert die Ablösung vom Anschauungsraum;

Beweisen bedeutet Deduktion eines Satzes aus bereits bewiesenen Sätzen, Grund-begriffen und Axiomen.

Geometrie als Übungsfeld für Problemlösen

Die Geometrie bietet eine Fülle kleinerer Probleme. Holland ordnet sie den drei folgenden Bereichen zu:

Berechnungsprobleme Beweisprobleme Konstruktionsprobleme

Geometrie als Vorrat mathematischer Strukturen

Idee: Geometrische Veranschaulichung von algebraischen und topologischen Strukturen

Additive Gruppe der reellen Zahlen / die Zahlengerade;

Translationen der Ebene / zweidimensionaler reeller Vektorraum

Deckabbildungen eines regelmäßigen n-Ecks / Diedergruppe der Ordnung 2n

Zusammenhänge / Graphen

Bedeutung der Aspekte für den Geometrieunterricht (Holland, 19962; 2001)

Geometrie als Lehre vom Anschauungsraum ist für alle Schülerinnen und Schüler der Sekundarstufe I von Bedeutung

Geometrie als Beispiel einer deduktiven Theorie ist im Wesentlichen für das Gymnasium, eher geringer für die Realschule relevant.

Geometrie als Übungsfeld für Problemlösen hat für alle Schülerinnen und Schüler eine zentrale Bedeutung.

Geometrie als Vorrat mathematischer Strukturen bleibt allenfalls dem Gymnasium vorbehalten.