Post on 06-Apr-2015
Didaktik der Physik
Thema: Geometrische OptikLinsen, Fernrohr und Mikroskop
Vortragender: Markus Kaldinazzi
GliederungAllgemeines zur geometrischen Optik Aufbau des Strahlenganges an dünnen Linsen;
Arten von Linsen Die Linsengleichung Linsensysteme Linsenmachergleichung Vergrößerungsgläser; WinkelvergrößerungFernrohreMikroskopeAbbildungsfehler
Geometrische Optik (auch Strahlenoptik)
• Näherung der Optik; Welleneigenschaften des Lichtes werden vernachlässigt da die mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen (Spiegel, Linsen) groß im Verhältnis zur Wellenlänge des Lichtes sind.
• Wellenlänge von sichtbarem Licht ca. 400 – 750nm << Maße von Alltagsgegenständen und optischen Bauteilen
• Licht wird als aus Lichtstrahlen zusammengesetzt betrachtet
• Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsgesetz, d.h. sie können sich gegenseitig durchdringen, ohne sich zu stören
• Geradlinige Ausbreitung im homogenen Medium
• Reflexion an verspiegelten Flächen
• Brechung an Grenzflächen zwischen Medien unterschiedlicher Brechzahl nach Snellius
Allgemein gilt das Fermat`sche Prinzip:
Das Licht wählt auf dem Weg von einem
Punkt P1 zu einem Punkt P2 immer den
zeitlich kürzesten Weg.
Was versteht man unter einer Linse?
Als Linse bezeichnet man ein optisch wirksames Bauelement mit zwei lichtbrechenden Flächen, von denen mindestens eine Fläche konvex oder konkav gewölbt ist.
Linsenformen
•Einfache Linsen: beide optisch aktiven Flächen sind sphärisch
(Oberflächenausschnitt einer Kugel)
Unterschied Sammellinsen/Zerstreuungslinsen
Im Bereich der optischen Achse sind
Sammellinsen dicker als Zerstreuungslinsen.
• Asphärische Linsen:
• meist rotationssymmetrisch
• Flächen sind nicht Ausschnitte von Kugeloberflächen
• Form wird durch Kegelschnitt plus eine Potenzreihe für Deformationen höherer Ordnung bestimmt
R...Scheitelradius, k...konische Konstante,
A4,A6... Asphärische Parameter
...
)1(11
)( 66
44
2
2
hAhA
Rh
kR
hhfz
Anwendung asphärischer Linsen
• Ziel: Abbildungsfehler reduzieren
• Ersatz: 2 – 3 sphärische Linsen
• Nachteil: teure Herstellungskosten
• Kurzbrennweitige Objektive und Okulare
• Flachbettscanner
• Linsen in Projektoren und Scheinwerfern
• Ideale Linse
- Paraboloidform
- Parallel einfallende Lichtstrahlen werden in einem Punkt (Fokus) gebündelt
- Zu den Rändern hin weniger stark gekrümmt als sphärische Linse
- Achsennahe Bereiche der sphärischen Linse können für Sammellinsen verwendet werden
Strahlengang für Sammel- bzw. Zerstreuungslinsen
Sammellinsen
• Auf Grund des Snellius´schen Brechungs-gesetzes werden Strahlen in Richtung der optischen Achse abgelenkt.
F...Brennpunkt
f...Brennweite
• Die von einem Punkt eines weit entfernten Objekts ausgehenden Strahlen verlaufen nahezu parallel.
• Der Brennpunkt kann somit als Bild eines unendlich weit auf der optischen Achse entfernten Objektes aufgefasst werden.
• Parallele Strahlen unter beliebigem Winkel
werden in Fa fokussiert.
• Die Menge aller Fa bilden die Brennebene.
Bestimmung des von einer Sammellinse
erzeugten Bildes durch Strahlverfolgung
• Entstehen eines realen, invertierten Bildes
• Auf Schirm projizierbar (a)
• Dieses reale Bild ist auch für das Auge sichtbar (b)
Zerstreuungslinsen
• Parallel einlaufende Lichtstrahlen divergieren.
• Brennpunkt als derjenige Punkt, von dem die gebrochenen Lichtstrahlen scheinbar ausgehen.
Erzeugung des Bildes einer Zerstreuungslinse durch Verfolgung des Strahlenverlaufs
Strahl1: Parallel zur optischen Achse, scheint von F auszugehenStrahl2: zeigt in Richtung F`, parallel zur optischen AchseStrahl3: direkt durch den Mittelpunkt der Linse
• Virtuelles, aufrechtes Bild
• Virtuell, da die Strahlen nicht durch das Bild gehen (nur Verlängerungen, strichliert)
• Nicht auf einen Schirm projizierbar ABER
• sichtbar!
• Das Gehirn interpretiert alle Strahlen, die das Auge erreichen so, als hätten sie einen geradlinigen Weg zurückgelegt.
• Auge unterscheidet nicht zwischen realen und virtuellen Bildern! Beide sichtbar!
Herleitung der Linsengleichung:
a) Sammellinse
dO...Objektweite
dB...Bildweite
hO...Höhe Objekt
hB...Höhe Bild
FI‘I ~ FBA hB/hO =(dB-f)/f
OAO‘ ~ IAI‘ hB/hO =dB/dO
Gleichsetzen und dividieren durch dB liefert
die Linsengleichung: fdd BO
111
b) Zerstreuungslinsen:
IAI‘ ~ OAO‘ hB/hO = dB/dO
IFI‘~ AFB hB/hO = (f – dB)/f
Daraus resultiert: fdd BO
111
Vorzeichenkonventionen
f > 0 für Sammellinsen, f < 0 für Zerstreuungslinsen
dO > 0: Objekt auf lichteinfallenden Seite der Linse
dB > 0: Bild auf gegenüberliegenden Seite bzgl. Lichteinfall
hO > 0 (immer), hB > 0: aufrecht; hB < 0: invertiert
bzgl. h0
fdd BO
111
fdd BO
111
• Optiker und Augenärzte verwenden anstelle
der Brennweite deren Kehrwert um die Stärke
von Brillengläsern oder Kontaktlinsen
anzugeben.
• Brechkraft B =1/f
• Einheit: 1 Dioptrie = 1m-1
• Brechkraft einer Sammellinse positiv
Brechkraft einer Zerstreuungslinse negativ
Lateralvergrößerung einer Linse
Verhältnis von Bildhöhe zu Objekthöhe
v = hB/hO = -dB/dO
Aufrechtes Bild: v > 0
Invertiertes Bild: v < 0
Linsensysteme
Das durch die erste Linse erzeugte Bild wird
zum Objekt für die zweite Linse.
Beispiel: Messung von f für
Zerstreuungslinsen
• Sammellinse wird in unmittelbaren Kontakt mit Zerstreuungslinse gebracht.
• Beispiel: Sonnenstrahlen werden 28,5cm hinter der Linse fokussiert. Brennweite der Sammellinse fC = 16cm.
Linsengleichung (Zerstreuungslinse):
-1/f = 1/dO – 1/dB
-1/f = 1/(16cm) – 1/(28,5cm) = 0,0274cm-1
f = -36,5cm
Linsenmachergleichung
• Zusammenhang zwischen der Brennweite
einer Linse und den Krümmungsradien ihrer
beiden Oberflächen.
• Näherung für dünne Linsen und Winkel zwischen Strahlen und der Achse sehr klein
1 = n2, 4 = n3
1 sin1=h1/r1, h2/r2, h2/f = 1 - 2, = 3 - , 4 = + = 3 - = 4/n – (1- 2) = /n + /n - 1 + 2
h2/r2 = h2/(nr2) + h2/(nf) – h1/r1 + h1/(nr1)
h1 h2:
21
11)1(
1
rrn
f
• LMG setzt die Brennweite einer Linse mit den Krümmungsradien ihrer beiden Oberflächen und ihrem Brechungsindex in Beziehung.
• f hängt nicht von h1 oder h2 ab.
Daher werden alle Strahlen die parallel zur
optischen Achse verlaufen in F fokussiert.
• LMG gilt auch für konkave Flächen
Vergrößerungsgläser (Lupen)
• Eine Lupe ist eine Sammellinse
• Wie groß Objekt erscheint, abhängig von Größe des Bildes auf der Netzhaut.
• Allerdings kann Auge nur bis 25cm akkommodieren (Nahpunkt)
• Lupe:Bild wird erzeugt, das min. 25cm vom Auge entfernt sein muss, dass es vom Auge fokussiert werden kann.
Winkelvergrößerung v
v:= ‘/
‘...Winkel, der bei Verwendung
der Lupe überdeckt wird
... Winkel, der ohne Verwendung der Lupe
überdeckt wird; Objekt im Nahpunkt!
Bei entspanntem Auge:• Objekt liegt im Brennpunkt• Bild erscheint bei unendlich
v = ‘/ = = N/f N = 25 cm
Bei Fokussierung auf den Nahpunkt:
dB = -N, 1/dO = 1/f – 1/dB = 1/f + 1/N
‘ = h/dO
v = ‘/ = = N/dO = N(1/f + 1/N)v = N/f + 1
Nh
fh
/
/
Nh
dh O
/
/
Fernrohre
Linsenfernrohre (Refraktoren)
• weit entfernte Objekte werden vergrößert1. Kepler- Fernrohr: (astronomisches FR) Kepler beschrieb 1611 den
Strahlengang, hat es aber nicht selbst gebaut Aufbau: Langes Rohr, an beiden Enden sind Sammellinsen Objektiv: näher am Objekt Okular: zweite S – Linse
Strahlengang durch ein Kepler – Fernrohr undWinkelvergrößerung
Auge entspannt:
I1 in Fe‘, I2 bei
h/fO h... Höhe I1 ‘ h/fe
v = ‘/ = -fO/fe
Terrestrische Fernrohre
• Objekte auf der Erde werden beobachtet
• Erwünscht: Aufrechtes Bild
Zwei Arten von Fernrohren
1. Galilei Fernrohr od. holländisches FR:
Okular =Zerstreuungslinse, Objektiv = Sammellinse Okular innerhalb der Brennweite des
Objektivs Kein Zwischenbild
2. Fernglas od. Feldlinsentyp:
• Insgesamt 3 Sammellinsen
• Grund: Bild soll aufrecht sein
• Nachteil: Fernglas muss lang sein
Daher Verwendung des binokularen Prismas:
• Objektiv und Okular sind Sammellinsen
• Prismen: Totalreflexion -> Verkürzung der Bauweise und aufrechtes Bild
Spiegelteleskop (= Reflektor)
Prinzipieller Aufbau:
• Hauptspiegel und Fangspiegel
• Einfallendes Licht wird nicht am Objektiv gebrochen
• Einfallendes Licht wird vom Hauptspiegel reflektiert
• Vermeidung von Farbfehlern
• Vorteil der Reflektoren gegenüber Refraktoren: Spiegel in fast jeder beliebigen Größe anfertigbar
• Derzeit größter Spiegeldurchmesser: 10m (Keck-Teleskop auf Hawaii)
Kerzenlicht in mehreren millionen km noch Entfernung wahrnehmbar
1. Newton - Teleskop
• von Isaac Newton 1668 entwickelt
• besteht aus konkavem Hauptspiegel (Rotationsparaboloid) und
einem flachen Fangspiegel (lenkt Licht unter 90° ins Okular)
• Blick von der Seite ins Teleskop
2. Cassegrain – Teleskop
• 1672 entwickelt
• einfallendes Licht auf konkav-parabolischen Hauptspiegel
• Reflexion zum konvex-hyperbolischen Fangspiegel
Mikroskop:
• Betrachten sehr naher Objekte: dO klein• Platzieren des Objekts unmittelbar hinter dem
Brennpunkt• I1 real, stark vergrößert• I2 sehr groß, virtuell, invertiert
Vergrößerung eines Mikroskops:
Gesamtvergrößerung = vOve
Auge entspannt: I1 in Fe
vO = hB/hO = dB/dO = (l – fe)/dO
l...Abstand der Linsen
Okular wirkt wie Lupe: ve = N/fe
vges = N(l – fe)/(fedO) Nl/(fefO), da
l – fe l und dO fO
Abbildungsfehler von Linsen
1. Sphärische Aberration
• Achsenparallele Strahlen oder Strahlen von einem Punkt der opt. Achse haben nach Durchgang durch Linse nicht die gleiche Schnittweite
• Abweichung am Rand stärker als in der Mitte• Korrigierbar durch asphärischen Linsen• Einschränken der SA durch Verwendung des
zentralen Teils
2. Bildfeldwölbung
• ebenes Objekt wird nicht auf einer Ebene, sondern auf einer gewölbten Fläche abgebildet
• Mit ebenen Film Bild nicht überall scharf auffangbar
• Netzhaut gekrümmt: Kompensierung dieses Effekts
3. Chromatische Aberration
• Entsteht durch Dispersion (d.h. durch unterschiedliche Brechungsindizes eines transparenten Mediums für verschiedene Wellenlängen)
• Farbige Streifen im Bild
• Behebung: Zweiteiliger Achromat
Sammellinse mit Zerstreuungslinse kombiniert