Diskrete Mathematik

Angelika Steger

Institut für Theoretische Informatik

steger@inf.ethz.ch

Graphentheorie

Kapitel 2:

Szenario

Gegeben:

Flugplan einer Airline

Aufgabe:

Schreibe ein Programm, das Anfragen der Form

„Kann man von A nach B mit höchstens

einmal umsteigen gelangen?“

beantwortet.

Modellierung

etc.

Graph

Ein Graph G ist ein Tupel (V,E), wobei V eine (endliche) nichtleere Menge von Knoten ist.

Die Menge E ist eine Teilmenge der zweielementigen Teilmengen von V, also E ⊆ { {x,y} : x,y V, x≠y}.

Die Elemente der Menge E bezeichnet man als Kanten.

Einige spezielle Graphenklassen (I)

• Vollständiger Graph Kn

• Kreis Cn

• Pfad Pn

K5

C6

P4

#edges(Kn) = n(n-1)/2

#edges(Cn) = n

#edges(Pn) = n #vertices(Pn) = n+1

Einige spezielle Graphenklassen (II)

• Vollständiger bipartiter Graph Kn,n

• Hyperwürfel Qd

K3,3

Q3

Nachbarschaft, Grad

• Nachbarschaft: (v) = {uV | {u,v}E }

• Grad: deg(v) = | (v) |

• G heisst k-regulär, wenn deg(v)=k vV

• Sprechweise für e={u,v}E:

- u und v sind adjazent, und

- u und e sind inzident.

Definitionen: Graph G=(V,E), vV

Drei einfache Resultate

• Für jeden Graphen G=(V,E) gilt:

deg(v) = 2 |E|.vV

• In jedem Graphen G=(V,E) ist die Anzahl der

Knoten mit ungeradem Grad gerade.

• In jedem Graphen G=(V,E) gibt es einen Knoten

v mit Grad deg(v) £ 2|E|/|V| und einen Knoten v’

mit Grad deg(v‘) ³ 2|E|/|V|.

Summe der Grade

Lemma:

Für jeden Graphen G=(V,E) gilt

deg(v) = 2 |E|vV

Beweis:

„Doppeltes Abzählen“

Anzahl Knoten mit ungeradem Grad

Korollar: Für jeden Graphen G=(V,E) gilt:

Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist gerade.

Beweis: Wir haben eben gezeigt:

deg(v) = 2 |E| vV

Ein Summe von ganzen Zahlen ist aber genau dann gerade, wenn die Anzahl ungerader Summanden gerade ist.

Durchschnittsgrad

Aus deg(v) = 2 |E| folgt: vV

Der Durchschnittsgrad ist 2|E| / |V|.

Korollar:

Für jeden Graphen G=(V,E) gilt:

Es gibt Knoten v, v‘ mit

deg(v) £ 2|E|/|V| und deg(v‘) ³ 2|E|/|V|.

Wege, Pfade, Kreise

• Ein Weg in G ist eine Folge (v0,…,vn) mit {vi,vi+1}E

• Ein Pfad in G ist eine Folge (v0,…,vn) mit {vi,vi+1}E und vivj

• Ein Kreis in G ist eine Folge (v0,…,vn) mit {vi,vi+1}E und vivj und {v0,vn}E und n³2

Einen Weg (Pfad) mit Anfangsknoten u und

Endknoten v nennt man u-v-Weg (u-v-Pfad).

Definition: Sei G=(V,E) Graph

Wege, Pfade, Kreise - Beispiele

(a,c,d,c,b) ist ein a-b-Weg(a,c,b) ist ein a-b-Pfad

(a,c,b) und (f,g,i,h) sind Kreise der Länge 3 bzw 4

Wege vs. Pfade

Lemma

Beweisidee:

Auslassen von Umwegen!

Teilgraphen

Definition: Sei G=(VG,EG) Graph.

Gilt VH Í VG und EH Í EG so nennt man

H = (VH,EH) einen Teilgraphen von G.

Gilt sogar EH = EG Ç ( ) so nennt man H einen

induzierten Teilgraphen von G.

VH

2

Teilgraphen - Beispiele

G:

Teilgraphen - Sprechweise

Sind G=(VG,EG) und H = (VH,EH) zwei Graphen.

So sagt man, dass G den Graphen H enthält,

wenn es eine Teilmenge V‘ Í VG gibt und eine

Bijektion φ: V‘ → VH so dass

{x,y} ÎEH Þ {φ(x), φ(y)} ÎEG

Teilgraphen - Beispiel

… enthält Kreise der Länge 3, 5 und 6; aber keinen Kreis der Länge 4.

Zusammenhang

• G heisst zusammenhängend, wenn für alle u,vV ein u-v-Pfad existiert.

• Die zusammenhängenden Teile von G heissen seine Komponenten.

Definition: Sei G=(V,E) Graph

Zusammenhang - Beispiel

Eigenschaften

Lemma: Jeder Graph G=(V,E) enthält mindestens |V|- |E| viele Komponenten.

Beweis:

Induktion über |E|:

• Der Graph G0=(V, ) besitzt |V| Komponenten.

• Das sukzessive Hinzufügen von Kanten verringert die Anzahl der Komponenten jeweils um höchstens 1.

Eigenschaften

Lemma: Jeder Graph G=(V,E) enthält mindestens |V|- |E| viele Komponenten.

Korollar: Jeder zusammenhängende Graph G=(V,E) enthält mindestens |V|- 1 viele Kanten.

Beweis:

Es muss gelten: |V|- |E| £ 1.

Eigenschaften

Lemma: G=(V,E) zshgd. Graph, C Kreis in G

Dann gilt: Ge=(V,E\e) zshgd. eC

Beweisidee:

Betrachte die Definition von Zusammenhang!

Lemma: Sei G=(V,E) und vÎV beliebiger Knoten.

Dann gilt:

G zshgd. ÜÞ $ u-v-Pfad in G " uÎV

Beweis:

Þ: klar

Ü: Idee: für x,yÎV setze x-u-Pfad und u-y-Pfad zu einen x-y-Weg zusammen.

k-Zusammenhang

Definition: Sei G=(V,E) Graph.

G heisst k-zusammenhängend, wenn – |V| ³ k+1 und– "XÍV mit |X| < k gilt: G[V \ X] ist zusammenhängend

Satz von Menger: Sei G=(V,E) Graph. Dann gilt:

G k-zsghd ÜÞ " u,v ÎV:

$ k intern-knotendiskunkte

u-v-Pfade in G