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Einführung in die Inversionstheorie Einführung in die Inversionstheorie und Regularisierungund Regularisierung
Daniel KöhnDaniel Köhn
Kiel, den 17. Januar 2005Kiel, den 17. Januar 2005
Was ist Inversion ?Was ist Inversion ?
Was ist Inversion ?
Physiker
Was ist Inversion ?
Physikalische Messung
Was ist Inversion ?
Physikalisches Modell
Test des ModellsTest des Modells
Was ist Inversion ?
Was ist Inversion ?
Was ist Inversion ?
Was ist Inversion ?
Was ist Inversion ?
Meßdaten
Modellparameter
VorwärtsmodellierungVorwärtsmodellierung
Vorwärtsmodellierung
Rate Modellparameter
Vorwärtsmodellierung
Vorwärtsmodellierung
Vorwärtsmodellierung
Vorwärtsmodellierung
Vorwärtsmodellierung
Lange Iterationszeit beigroßem Parameterraum
InversionInversion
Inversionsproblem
Inversionsproblem
Inversionsproblem
Inversionsproblem
Inversionsproblem
Inversion
Meßdaten: bModell-
parameter: m
Vorwärtsmodellierung: bmod = g(m)
Inversion: m = g-1(bobs)
Physikalisches Modell: g
Lösung von Inversionsproblemen
Typen von Linearen Typen von Linearen InversionsproblemenInversionsproblemen
Beispiel: Bestimmung des Temperaturverlaufes in einem Bohrloch
Physikalisches Modell:
Beispiel: Bestimmung des Temperaturverlaufes in einem Bohrloch
Setze Messwerte in Modell ein:
Messdaten Modellparameter
Beispiel: Bestimmung des Temperaturverlaufes in einem Bohrloch
Lösung:
Lineare Inversionsprobleme
Exakt bestimmtes Problem:
Es existieren exakt soviele Messungen, wie unbekannte Modellparameter =>
Quadratische Koeffizientenmatrix
Physikalische Realität
Lineare Inversionsprobleme
Überbestimmtes Problem:
Es existieren mehr Messungen, als unbekannte Modellparameter =>
Koeffizientenmatrix ist nicht quadratisch
Lineare Inversionsprobleme
Lösung eines Überbestimmten Problems:
Residuum e = Abweichung zwischen gemessenen und modellierten Daten
Gauss: “Minimiere Summe der Quadrate des Residuums”
Objektfunktion E(mE(m)
Lineare Inversionsprobleme
Lineare Inversionsprobleme
Damit folgen die optimalen Lösungsparameter x zu:
Gauss-Newton Verfahren
Gauss-Newton: Beispiel 1
Gauss-Newton: Beispiel 2
1D Love-Wellen Inversion
Gauss-Newton: 1D Love-Welleninversion
Ausbreitung von Love-Wellen
Gauss-Newton: 1D Love-Welleninversion
Entstehung von Love Wellen
Gauss-Newton: 1D Love-Welleninversion
Bestimmung von vs(z) aus den gemessenen
Phasengeschwindigkeiten vph
(T)
UntergrundmodellUntergrundmodellPhasengeschwindigkeits-Phasengeschwindigkeits-
residuenresiduen
S-Wellengeschwindigkeits-S-Wellengeschwindigkeits-residuenresiduen
A vs = vph
Gauss-Newton: 1D Love-Welleninversion
Startmodell vs(z)
Asthenosphäre
MOHO
Oberer Mantel
VorwärtsmodellierungVorwärtsmodellierung
Avs = vph
Gauss-Newton: 1D Love-Welleninversion
Startmodell vph
(z)
vvphph
Inversion mit Gauss-NewtonInversion mit Gauss-Newton
vs = (ATA)-1ATvph
Gauss-Newton: 1D Love-Welleninversion
Lösung vs(z) nach einem Iterationsschritt
Gauss-Newton: 1D Love-Welleninversion
Problem: Schlecht konditioniertes Gleichungssystem.
RegularisierungRegularisierung
Regularisierung
Regularisierung:
Die Untersuchung des Lösungsverhaltens und die anschließende Lösung eines schlecht
konditionierten Problems.
Regularisierung
Singulärwertzerlegung (SVD):
V = Matrix aus den Eigenvektoren von AAT U = Matrix aus den Eigenvektoren von ATA
= Eigenwerte von A
Orthogonalität der Matrizen V und U impliziert:VT=V-1 UT=U-1
Lösung des linearen Inversionsproblems:
Lösung des Inversionsproblems mit SVD:
Regularisierung
Regularisierung
Verteilung der Singulärwerte für die Beispiele 1 und 2
SVD: 1D Love-Welleninversion
Marquardt-Levenberg Verfahren
Definiere Variabilität der Modellparameter:
Minimiere modifizierte Objektfunktion
Es folgt:
Marquardt-Levenberg Verfahren
Beurteilung der Inversion
Modellkovarianzmatrix Datenresolutionsmatrix Modellresolutionsmatrix
Mathematische VerfahrenMathematische Verfahren
Bewertung der Modelle nur nach mathematischen und Bewertung der Modelle nur nach mathematischen und nicht physikalischen Gesichtspunktennicht physikalischen Gesichtspunkten
Besser: Besser: VorwärtsmodellierungVorwärtsmodellierung
SVD: Vorwärtsmodellierung
Marquardt-Levenberg Verfahren: Vorwärtsmodellierung
Beurteilung der Inversion
Man beachte:
Finden wir eine Lösung ? Wenn ja, ist diese Lösung eindeutig ? Wie beeinflußen Fehler in den gemessenen Daten die Lösung ?
Zusammenfassung
Es existieren 2 Vorgehensweisen aus gemessenen Daten Modellparameter abzuleiten: Vorwärtsmodellierung und Inversion.
Die linearen Inversionsprobleme lassen sich grob in 3 Gruppen unterteilen: exakte, überbestimmte, sowie schlecht konditionierte Probleme.
Zur Analyse und Lösung von schlecht konditionierten Problemen können das SVD, bzw. Marquardt-Levenberg Verfahren herangezogen werden.
Die Beurteilung eines Modells sollte nach physikalischen und nicht ausschließlich nach mathematischen Gesichtspunkten erfolgen.