Elemente der Algebra - Universität Koblenz · Elemente der Algebra 1 Programm &...

Dr. Jürgen RothFachbereich 6: AbteilungDidaktik der Mathematik

Dr. Jürgen Roth

Elemente der Algebra

1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

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4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Inhaltsverzeichnis

1 Programm & Argumentationsgrundlagen

2 Funktionen

3 Lineare Funktionen, Gleichungen & Gleichungssysteme

4 Quadratische Funktionen und Gleichungen

5 Exponentialfunktionen

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5 Exponen-tialfkt.

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1 Program & Grund-lagen

5 Exponen-tialfkt.

2 Funktionen

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5 Exponen-tialfkt.

Inhaltsverzeichnis

Kapitel 2: Funktionen

2.1 Der Funktionsbegriff

2.2 Injektive, surjektive und bijektive Funktionen

2.3 Monotonie

2.4 Umkehrfunktion

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5 Exponen-tialfkt.

Dr. Jürgen Roth

5 Exponen-tialfkt.

2.1 Der Funktionsbegriff

2 Funktionen

Dr. Jürgen Roth

5 Exponen-tialfkt.

Funktionale Zusammenhänge

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5 Exponen-tialfkt.

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5 Exponen-tialfkt.

Kubikzahlen

Summe der Sechseckzahlen

K(1) = 1K(2) = 1 + 7 = 8K(3) = 1 + 7 + 19 = 27K(4) = 1 + 7 + 19 + 37 = 64

K(n) = n + (n − 1)·n·(n + 1) = n³

http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/figz2.htm

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Tankenhttp://www.juergen-roth.de/dynama/AKGeoGebra/tankstelle/

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Bußgeldhttp://www.juergen-roth.de/dynama/AKGeoGebra/bussgeld/

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5 Exponen-tialfkt.

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5 Exponen-tialfkt.

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5 Exponen-tialfkt.

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5 Exponen-tialfkt.

Aspekte des Funktionsbegriffs

Aspekte desFunktionsbegriffs

Zuordnung

Änderungsverhalten (Kovariation)

Sicht als Ganzes

Vollrath, Weigand: Algebra in der Sekundarstufe. Spektrum Akademischer Verlag, 20073, S. 140 Malle: Zwei Aspekte von Funktionen: Zuordnung und Kovariation. In: ml, Heft 103, 2000, S. 8-11

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5 Exponen-tialfkt.

Beispiel: Dreieckssehne

Zuordnung

Änderungsverhalten(Kovariation)

Sicht als Ganzes

Roth: Kurvenerzeugende Sehnen. In: Mathematik lehren, Heft 130, 2005, S. 8-10http://www.juergen-roth.de/dynageo/sehne_aenderung/sehne_aenderung.html

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5 Exponen-tialfkt.

Figuren verändern - Funktionen verstehen

Modellierung!

ZuordnungÄnderungsverhalten

(Kovariation)

Eigenschaften einesFunktionsgraphen

Entstehung einesFunktionsgraphen

Sicht als Ganzes

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5 Exponen-tialfkt.

Darstellungen in Beziehung setzenRoth: Systematische Variation – Eine Lernumgebung vernetzt Geometrie und Algebra. In: Mathematik lehren, Heft

146, Februar 2008, S. 17-21 – http://www.juergen-roth.de/dynama/vierecke/trapezflaeche_funktional.html

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5 Exponen-tialfkt.

Was ist eigentlich eine Funktion?

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5 Exponen-tialfkt.

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5 Exponen-tialfkt.

Definitions-menge D

Werte-menge W

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5 Exponen-tialfkt.

Was ist eine Funktion?

Definition:

A und B sind zwei nicht-leere Mengen. Ist jedemx ∈ A genau ein y ∈ B zugeordnet, so nennt man diese Zuordnung eine Funktion mit Definitions-menge A und Zielmenge B

(bzw. eine Abbildung von der

Menge A in die Menge B).

Definition (alternativ):

Eine Funktion ist eine Teil-menge der Produktmenge A × B zweier nichtleerer Mengen A und B, für die gilt:

∀x ∈ A ∃!y ∈ B (x, y) ∈ A × B

(Für jedes x ∈ A existiert genau ein y ∈ B, so dass das Paar (x, y) Element der Produktmenge A × B ist.)

Bemerkung

Für eine Funktion mit Definitionsmenge A und Zielmenge B gilt:

(1) ∀x ∈ A ∃y ∈ B y = f(x) „Linkstotal“

(2) ∀f(x1), f(x2) ∈ B f(x1) ≠ f(x2) ⇒ x1 ≠ x2 „Rechtseindeutig“

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5 Exponen-tialfkt.

Bemerkungen:

Um auszudrücken, dassf eine solche Funktion (Abbildung) ist, schreibt man f : A → B.

Das dem Element x∈Azugeordnete Element y∈Bwird mit f(x) bezeichnet. Damit erhält man y = f(x).

Man schreibt auch:f : A → B, x f(x)

f(x) heißt Funktionswertvon f an der Stelle x(oder Bild von xbei der Abbildung f).

x heißt Argumentder Funktion f(oder Urbild von f(x)bei der Abbildung f).

Die Definitionsmenge einer Funktion f wird auch mit Df bezeichnet.

Bei einer Kurve im zweidimensionalen kartesischen Koordinaten-system handelt es sich genau dann um den Graph einer Funktion f : R → R, wenn jede vertikale Gerade den Graphen Gf genau einmal schneidet.

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5 Exponen-tialfkt.

f : R → R, x → x2

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5 Exponen-tialfkt.

Bei einer Funktion f : A → B interessiert man sich auch für die Menge der Funktionswerte, d.h. für die Menge der Elemente der Zielmenge, die als Bilder der Abbildung vorkommen.

Definition:

Die Wertemenge der Funktion f : A → B ist die Menge

W = {y ∈ B | ∃x∈A f(x) = y } = {f(x) | x ∈ A}

Bemerkung:

Es gilt: W ⊆ B

Die Wertemenge einer Funktion f wird auch mit Wf bezeichnet.

f1 = f2 ⇔ ( A1 = A2 = D ∧ ∀x∈D f1(x) = f2(x) )

f1 ≠ f2 ⇔ ( A1 ≠ A2 ∨ ∃x∈A1∩A2f1(x) ≠ f2(x) )

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Präsenzübung

Funktion oder nicht?

(1) f : R → R, x 7x2 + 5x – 4

(2) f : R → R, x

(3) f : N → N, x 3x – 5

(4) f : N → R, n

(5) f : N → N, n Anzahl der Teiler von n

(6) Achsenspiegelung an der Geraden y = –xf : R × R → R × R, (x, y) (–y, –x)

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5 Exponen-tialfkt.

Polynomfunktionen

Polynomfunktion

Die Aussageform

heißt Polynom.

Eine Funktion

mit ∀k∈N ak ∈ R und an ≠ 0 heißt Polynomfunktion.

Die natürliche Zahl n heißt Grad des Polynoms und wird mit deg p bezeichnet.

Die festen reellen Zahlen an, … , a0 heißen Koeffizienten des Polynoms.

...)(,: axaxaxaxaxpxp nn

kk ++++==→ −

−=∑aRR

...)( axaxaxaxaxp nn

kk ++++== −

−=∑

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5 Exponen-tialfkt.

Exkurs: Polynomdivision

Schriftliche Division

56088 : 456 =

–456

– 912

–1368

Polynomdivision

(4x6 + 7x5 + 5x4 + 2x3) : (x + 1)

–(4x6 + 4x5)

–(3x5 + 3x4)

–(2x4 + 2x3)

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/9/polynomdivision.htm

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5 Exponen-tialfkt.

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5 Exponen-tialfkt.

2.2 Injektive, surjektive und bijektive Funktionen

2 Funktionen

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5 Exponen-tialfkt.

Injektive Funktionen

Definition:

Eine Funktion f : A → B heißt injektiv oder linksein-deutig, genau dann wenn

∀x1,x2∈A x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)

d. h. genau dann wenn

∀x1,x2∈ A f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2.

Für die Funktion f bedeutet die Eigenschaft injektiv:

An verschiedenen Stellen hat die Funktion f immer verschieden Werte.

Für eine injektive Funktionf : A → B gilt: |A| ≤ |B|

Für jedes y ∈ B hat die Gleichung f(x) = yhöchstens eine Lösung.

In der Wertetabelle kommt in der Spalte der Funktions-werte kein Wert mehrfach vor (falls kein Wert von A

mehrfach auftritt).

Man kann von einem Funktionswert f(x) auf das Argument x schließen.

Eine Funktion f : R → R ist genau dann injektiv, wenn jede horizontale Gerade den Graphen Gf höchstenseinmal schneidet.

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5 Exponen-tialfkt.

Injektive Funktionen

f : R → R, x → ex

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Surjektive Funktionen

Definition:

f : A → B heißt surjektiv oder rechtstotal bzgl. B genau dann wenn

∀y∈B ∃x∈A f(x) = y .

Bemerkung:

Jede Funktion f : A → B ist surjektiv bzgl. ihrer eigenen Wertemenge W ⊆ B.

Für die Funktion f : A → B bedeu-tet die Eigenschaft surjektiv:

Für jedes y ∈ B hat die Glei-chung f(x) = y mindestenseine Lösung x ∈ A.

In der Wertetabelle kommt in der Spalte der Funk-tionswerte jedes Element von B vor, d. h. B = W

Im Fall B = A heißt eine surjektive Funktion eine Abbildung von A auf sich.

Eine Funktion f : R → Rist genau dann surjektiv, wenn jede horizontale Gerade den Graphen Gfmindestens einmal schneidet.

Für eine surjektive Funktion f : A → B gilt:|A| ≥ |B|

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5 Exponen-tialfkt.

Surjektive Funktionen

fA B = W

f : R → R, x → 0,2⋅x5 + x4 + x3 − 0,5⋅x2

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5 Exponen-tialfkt.

Bijektive Funktionen

Definition:

f : A → B heißt bijektivgenau dann wenn sie surjektiv und injektiv ist.

Für die Funktion f : A → B bedeutet die Eigenschaft bijektiv:

Für jedes y ∈ B hat die Gleichung f(x) = y genaueine Lösung.

Eine bijektive Funktion f : A → B ist eine eineindeutige Zuordnung zwischen A und B.

Die Funktion f : R → R ist genau dann bijektiv, wenn jede horizontale Gerade den Graphen Gfgenau einmal schneidet.

Für eine bijektive Funktion f : A → B gilt: |A| = |B|

Definition:Zwei Mengen A und B heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektiveFunktion f : A → B gibt.

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5 Exponen-tialfkt.

Bijektive Funktionen

fA B = W

f : R → R, x → x3

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5 Exponen-tialfkt.

Funktion f : R → R surjektiv injektiv bijektiv

f(x) = ax + b (a ≠ 0) ja ja ja

f(x) = ax + b (a = 0) nein nein nein

f(x) = x2 nein nein nein

x + 1 für x < −1f(x) = 0 für −1 ≤ x ≤ 1

x − 1 für x > 1ja nein nein

f(x) = x3 ja ja ja

f(x) = ex ≡ exp(x) nein ja nein

f(x) = sin x nein nein nein

f(x) = [x] := max {k ∈ Z | k ≤ x} nein nein nein

Präsenzaufgabe

x + 1 für x < −1f(x) = 0 für −1 ≤ x ≤ 1

f(x) = x3 ja ja ja

f(x) = sin x nein nein nein

f(x) = [x] := max {k ∈ Z | k ≤ x}

x + 1 für x < −1f(x) = 0 für −1 ≤ x ≤ 1

f(x) = x3 ja ja ja

f(x) = sin x

f(x) = [x] := max {k ∈ Z | k ≤ x}

x + 1 für x < −1f(x) = 0 für −1 ≤ x ≤ 1

f(x) = x3 ja ja ja

f(x) = ex ≡ exp(x)

f(x) = sin x

f(x) = [x] := max {k ∈ Z | k ≤ x}

x + 1 für x < −1f(x) = 0 für −1 ≤ x ≤ 1

f(x) = x3

f(x) = sin x

f(x) = [x] := max {k ∈ Z | k ≤ x}

x + 1 für x < −1f(x) = 0 für −1 ≤ x ≤ 1

x − 1 für x > 1

f(x) = x3

f(x) = sin x

f(x) = [x] := max {k ∈ Z | k ≤ x}

f(x) = x2

x + 1 für x < −1f(x) = 0 für −1 ≤ x ≤ 1

x − 1 für x > 1

f(x) = x3

f(x) = sin x

f(x) = [x] := max {k ∈ Z | k ≤ x}

f(x) = ax + b (a = 0)

f(x) = x2

x + 1 für x < −1f(x) = 0 für −1 ≤ x ≤ 1

x − 1 für x > 1

f(x) = x3

f(x) = sin x

f(x) = [x] := max {k ∈ Z | k ≤ x}

f(x) = ax + b (a ≠ 0)

f(x) = ax + b (a = 0)

f(x) = x2

x + 1 für x < −1f(x) = 0 für −1 ≤ x ≤ 1

x − 1 für x > 1

f(x) = x3

f(x) = sin x

f(x) = [x] := max {k ∈ Z | k ≤ x}

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5 Exponen-tialfkt.

f(x) = x2 surjektiv injektiv bijektiv

nein nein nein

nein ja nein

ja nein nein

ja ja ja

Präsenzaufgabe

nein nein nein

nein ja nein

ja nein nein

ja ja ja

nein nein nein

nein ja nein

ja nein nein

nein nein nein

nein ja nein

nein nein nein

RR→:f

++ → 00: RRf

RR →+0:f

+→ 0: RRf

+− → 00: RRf

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5 Exponen-tialfkt.

Exkurs: Äquivalenzumformungen

Äquivalenzumformungen von Gleichungen und Ungleichungen

Eine (Un-)Gleichung ist eine Aussageform.

Äquivalenzumformungen verändern die Erfüllungs-menge (Lösungsmenge) einer Aussageform nicht. Für die ursprüngliche Aussageform und die umgeformte Aussageform muss über der Grund-menge G also gelten:

Äquivalenzumformungen für Gleichungen :

Addition identischer Terme auf beiden Seiten der Gleichung

Subtraktion identischer Terme auf beiden Seiten der Gleichung

Multiplikation beider Gleichungsseiten mit identischen „von Null verschiedenen“ Termen

Division beider Gleichungsseiten durch identische „von Null verschiedene“ Termen

Vertauschung der Gleichungsseiten

)()( xBxAx ⇔∀ ∈G

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5 Exponen-tialfkt.

Exkurs: Äquivalenzumformungen

Äquivalenzumformungen für Ungleichungen, die das Ungleichungszeichen unverändert lassen:

Addition (bzw. Subtraktion) identischer Terme auf beiden Seiten der Ungleichung

Multiplikation beider Ungleichungsseiten mit identischen „von Null verschiedenen“ positiven Termen

Division beider Unglei-chungsseiten durch identische „von Null verschiedene“ positiveTermen

Äquivalenzumformungen für Ungleichungen, die zur Umkehrung des Unglei-chungszeichens führen:

Multiplikation beider Ungleichungsseiten mit identischen „von Null verschiedenen“ negativen Termen

Division beider Unglei-chungsseiten durch identische „von Null verschiedene“ negativeTermen

Vertauschung der Ungleichungsseiten

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5 Exponen-tialfkt.

Beispiel

Untersuchen Sie, ob

surjektiv oder injektiv ist.

Surjektivität:

Es gibt also für jedes y ∈ R ein x ∈ R, so dass y = f(x) ist.

Damit ist f surjektiv.

Injektivität:

Damit ist f injektiv und, weil es auch surjektiv ist, sogar bijektiv.

baxy += b−

axby =− ( )0: ≠aa

=−⋅1

x −⋅=1

2121, xxxx ≠∧∈R

)()( 12 xfxf −⇒)( 12 baxbax +−+=

)( 12 xxa −⋅={0≠

434210≠

)()( 21 xfxf ≠⇒

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5 Exponen-tialfkt.

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5 Exponen-tialfkt.

2.3 Monotonie

2 Funktionen

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5 Exponen-tialfkt.

Intervalle

Definition:

Ein Intervall ist eine zusammenhängende Teilmenge von R.

heißt abgeschlossenes Intervall.

heißt offenes Intervall.

heißt linksseitig offenes Intervall.

heißt rechtsseitig offenes Intervall.

Bemerkung:

Es gilt:

[ ] { }bxaxba ≤≤∈= R:;

] [ { }bxaxba <<∈= R:;

] ] { }bxaxba ≤<∈= R:;

[ [ { }bxaxba <≤∈= R:;

] [ { } RR =∞<<∞−∈=∞∞− xx:;

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5 Exponen-tialfkt.

Monotonie

Definition:

Es sein Ι ein Intervall. Eine Funktion f : Ι → R heißt

monoton steigend, wenn gilt:

monoton fallen, wenn gilt:

streng monoton steigend, wenn gilt:

streng monoton fallen, wenn gilt:

Bemerkung: In der Literatur findet man synonym statt

„monoton steigend“ auch „monoton wachsend“oder „monoton zunehmend“,

„monoton fallend“ auch „monoton abnehmend“.

)()( 2121, 21xfxfxxxx ≤⇒<∀ Ι∈

)()( 2121, 21xfxfxxxx ≥⇒<∀ Ι∈

)()( 2121, 21xfxfxxxx <⇒<∀ Ι∈

)()( 2121, 21xfxfxxxx >⇒<∀ Ι∈

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5 Exponen-tialfkt.

Beispiele

f : R → R, x → e–x

f : R → R, x → [–x]

x + 1 für x > 1f : R → R, x → 0 für −1 ≤ x ≤ 1

x − 1 für x > 1

f : R → R, x → x3

monoton fallend

monoton steigend

streng monoton fallend

streng monoton steigend

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5 Exponen-tialfkt.

Beispiele

f : R → R, x → x2

f : R → R, x → sin(x)

f : R → R, x → 0,2⋅x5 + x4 + x3 − 0,5⋅x2

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5 Exponen-tialfkt.

Monotonie und Injektivität

Jede streng monoton steigende oder fallende Funktion f : Ι → R ist injektiv.

Bemerkung:

Auf „streng“ kann nicht verzichtet werden!

Beweis:

f sei streng monoton steigend oder fallend.

Sind x1, x2 ∈ Ι und x1 x2, dann gilt x1 x2 oder x1 x2.

Nach Voraussetzung ist dann entweder f(x1) f(x2) oder f(x1) f(x2), auf jeden Fall aber f(x1) f(x2).

Dies ist aber gerade die definierende Eigenschaft für die Injektivität von f.

Dr. Jürgen Roth

5 Exponen-tialfkt.

Monotonie und Injektivität

Jede streng monoton steigende oder fallende Funktion f : Ι → R ist injektiv.

Bemerkung:

Die Umkehrung ist im Allgemeinen falsch!

Beispiel:

Die Funktion

ist injektiv (sogar bijektiv), andererseits ist f weder monoton steigend noch fallend.

⎪⎩

⎪⎨

>≤≤−−

xfürx

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5 Exponen-tialfkt.

Monotoniekriterium

Bemerkung:

Zur Untersuchung der Monotonie einer Funktion f : Ι → Rist es gelegentlich hilfreich die Differenz f(x2) – f(x1) für alle x1, x2 ∈ Ι mit x1 x2 zu betrachten. f : Ι → R ist nämlich

monoton steigend, wenn gilt:

monoton fallen, wenn gilt:

streng monoton steigend, wenn gilt:

streng monoton fallen, wenn gilt:

0)()( 12, 2121≥−∀ <∧Ι∈ xfxfxxxx

0)()( 12, 2121≤−∀ <∧Ι∈ xfxfxxxx

0)()( 12, 2121>−∀ <∧Ι∈ xfxfxxxx

0)()( 12, 2121<−∀ <∧Ι∈ xfxfxxxx

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5 Exponen-tialfkt.

Beispiel

Untersuchen Sie auf Monotonie.

Sei und .

⇒ f ist folglich streng mononton steigend.

( ) ( ) ( ) ( )66 1212

2212 −−−−−=− xxxxxfxf

( ) ( )1221

22 xxxx −−−=

66 1212

22 ++−−−= xxxx

( ) ( )[ ]11212 −+⋅−= xxxx

[ [∞∈ ;5,0, 12 xx 21 xx <

44344210>

434210>

{5,0>{

5,0≥

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5 Exponen-tialfkt.

2.4 Umkehrfunktion

2 Funktionen

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5 Exponen-tialfkt.

Umkehrfunktion

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5 Exponen-tialfkt.

Umkehrfunktion

Definition:

Die Umkehrfunktion einer Funktion f : A → B ist die Funktion f –1 : B → A, für die gilt:

∀x∈A f –1(f(x)) = x ∀y∈B f (f –1(y)) = y

Bemerkungen:

Die Bezeichnung f –1 für die Umkehrfunktion der Funktion fdarf nicht mit (f(x))–1 verwechselt werden.

Beispiel: f(x) = x + 1 ⇒

Im Fall erhält man den Graph der Umkehrfunktion , indem man den Graph der Funktion f an der Geraden y = x (das ist Winkelhalbierende des I. und III. Quadranten) spiegelt.

xfxf =−

RR ⊆→⊆ AAf :RR ⊆→⊆− AAf :1

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Umkehrfunktion

Zu einer Funktion f existiert genau danneine Umkehrfunktion, wenn f bijektiv ist.

fA B = W

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5 Exponen-tialfkt.

Verkettung

Definition:

Seien P, Q und R nichtleere Mengen und f : P → Q sowie g : Q → R Funktionen, dann nennt man die durch

g f : P → R, x (g f )(x) := g(f(x))

definierte Funktion die Verkettung von f und g.

Für g f spricht man „g nach f “.

Definition:

Die Funktion idA : A → A, x x, die jedes Element der Menge A auf sich selbst abbildet, heißt identische Abbildung(oder Identität) auf A.

Bemerkung:

Für f : A → B, f –1 : B → Agilt f –1 f = idAund f f –1 = idB.

Für f : A → A gilt:f –1 f = f f –1Beispiel:

f : R → R, x x + 1; g : R → R, x x2

g f : R → R, x (g f )(x) = g(f(x)) = g(x+1) = (x + 1)2

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Funktionsterm der Umkehrfunktion

Geg.: f : R → R, x 2x – 1

Ges.: f –1 : R → R

Funktionsgleichung von f auflösen nach x:

x und y vertauschen:

Ergebnis:

12 += xyxy 21 =−

xy =−21

−= yx

−= xy

,:1 −→− xxf aRR

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Beispiele

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