Elementsteifigkeitsmatrizen I

Das Kontinuum wird durch gedachte Linien oder Flächen in kleinere Kontinua

in an sich beliebiger Form zerlegt.

Für jedes dieser kleinen „Sub“- Kontinua, die sog. finiten Elemente, werden

Näherungsansätze getroffen.

Die Elemente selbst sind jeweils durch eine Anzahl Knoten definiert, und die

Elemente sind durch die Knoten, die sich an den Elementrändern befinden,

miteinander verbunden.

Die Verschiebungen der Knotenpunkte sind die grundlegenden Unbekannten

des Gesamtproblems.

Die Verschiebungen innerhalb von jedem finiten Element werden durch

(willkürlich) gewählte Funktionen – die sog. Ansatz- bzw. Formfunktionen – in

Abhängigkeit der Knotenpunktverschiebungen angenähert.

Vorlesung Finite-Elemente Prof. Rieg

Elementsteifigkeitsmatrizen II

Da die Verschiebungen jetzt im Element bekannt sind, werden aufgrund der

Verschiebungs-Verzerrungsbeziehungen auch die Verzerrungen im Element

bekannt, und zwar in Abhängigkeit der Knotenverschiebungen.

Aus den Verzerrungen können mit Hilfe der Materialgesetze die Spannungen

im Element berechnet werden.

Linienlasten, Gleichstreckenlasten, Flächenlasten und Volumenkräfte werden

durch diskrete Knotenkräfte abgebildet, die eine Ersatzbelastung darstellen.

Elementsteifigkeitsmatrizen III

Z88-Element Nr.6 n/a Z88-Ele. Nr.7,8 u. 20

dSA

T BCBK e

Z88-Ele. Nr.14,15 u. 18 Z88-Ele. Nr.11 und 12

Scheiben

Platten

axialsym. Elemente = Torus-E.

Elementsteifigkeitsmatrizen IV

Z88-Element Nr. 1 Z88-Element Nr.10

Z88-Element Nr.17 Z88-Element Nr.16

C Materialmatrix

B Verzerrungs-

Verschiebungs-

Transformationsmatrix

dVV

BCBK T

e

Elementsteifigkeitsmatrizen V

Die Elemente sind jeweils durch eine Anzahl Knoten definiert.

Die Verschiebungen der Knotenpunkte sind die grundlegenden Unbekannten

des Gesamtproblems.

Die Verschiebungen innerhalb von jedem finiten Element werden durch

(willkürlich) gewählte Funktionen – die sog. Ansatz- bzw. Formfunktionen – in

Abhängigkeit der Knotenpunktverschiebungen angenähert.

Elementsteifigkeitsmatrizen VI

dSA

T BCBK e

),(),( yxyx i

i

i NUU

yxv

yxu(x,y)

,

,U

Elementsteifigkeitsmatrizen VII

Wir müssen die Verzerrungen durch die Verschiebungen ausdrücken. Aber

das ist leicht, denn wir wissen:

x

v

y

uy

vx

u

xy

yy

xx

ij

v

u

xy

y

x

xy

yy

xx

0

0

ULε

Elementsteifigkeitsmatrizen VIII

Wir nehmen einmal an, daß unser herzuleitendes Finites Element 4 Knoten

habe. Es gibt also 4 Funktion N1 bis N4 und es muß gelten:

44332211

44332211

vNvNvNvN

uNuNuNuN

x,yv

x,yu

),(),( yxyx i

i

i NUU

Elementsteifigkeitsmatrizen IX

4

4

3

3

2

2

1

1

4321

4321

,0,,0,,0,,0

0,,0,,0,,0,

v

u

v

u

v

u

v

u

NNNN

NNNN

Elementsteifigkeitsmatrizen X

4

4

3

3

2

2

1

1

4321

4321

0000

00000

0

v

u

v

u

v

u

v

u

NNNN

NNNN

xy

y

x

ij

)(iUNLε (i)UBε mit ΝLB

Elementsteifigkeitsmatrizen XI

für das Aufstellen der Elementsteifigkeitsmatrix:

Prinzip der virtuellen Verrückungen

U

ε

virtuellen Verschiebungen

virtuellen Verzerrungen

es muß gelten: Virtuelle innere Arbeit = vituelle äußere Arbeit

Dabei ist die innere Arbeit die gespeicherte potentielle Energie, und die

äußere Arbeit wird durch die äußeren Kräfte geleistet.

ai WW

Elementsteifigkeitsmatrizen XII

)()( i

T

i

V

T

a δdVδδW FUPU mit P= Volumenkräfte

und F(i) äußere Knotenkräfte

V

dVδW T

i σε spezifische Formänderungsarbeit

)()( i

T

i

T

V

T dVdV FUPUσε V

Elementsteifigkeitsmatrizen 13

wie kommt man auf die spezifische Formänderungsarbeit ?

FW

AF

V

WWVAAW spez

Diese Betrachtung kann man für alle drei Koordinatenachsen anstellen und

integrieren, womit dann entsteht:

V

dVδWdVV

WW T

i

V

T

spez σεσε

Elementsteifigkeitsmatrizen 14

wir können wie folgt substituieren mit TTT ABAB )(

TT

i

T

i

T

i

TT

i

T

i

T

i

δδδδδ

δδδδδ

NUUNUUNU

BUUBεUBε

)()()(

)()()(

)(

)(

V

(i)

TT

i

TT

i dVδdVδ FPNUσBU )(

V

)(

)()( i

T

i

T

V

T dVdV FUPUσε V

Elementsteifigkeitsmatrizen 15

Da diese Beziehung für jeden beliebigen Wert von T

iδ )(U gelten muß,

zeigt ein Faktorenvergleich:

V V

(i)

TT dV dV FPNσB εCσ

V

T dV εCB(i)UBε

(i)

T

V

dV UBCB

Wenn wir zunächst auf der rechten

Seite das Integral der

Volumenkräfte weglassen:

V

(i)(i)

T dV FUBCB

(i)(i) FUK

Materialmatrizen I

ebener

Spannungszustand ktionszahlQuerkontra,

2

100

01

01

1 2

EC

1011

0)1(2

2100

101

1

10

11

)21)(1(

)1(

EC axialsymmetrischer

Spannungszustand

Materialmatrizen 2

Kirchhoff-Platte

Reissner-Mindlin-Platte

2

100

01

01

)1(12 2

3

EhC

10

01

)1(2,

2

100

01

01

)1(12 2

3

EhkEhsb CC

E

EI

Stab

Bernoulli-Balken

SB

S

wwGA

Qdxw

Timoshenko-Balken

Materialmatrizen 3

räumlicher

Spannungs-

zustand

)1(2

2100000

0)1(2

210000

00)1(2

21000

000111

0001

11

00011

1

)21)(1(

)1(

E

B-Matrix I

Verzerrungs-Verschiebungs-

Transformationsmatrix = B-Matrix

x

iN

y

iN

y

iN

x

iN

i0

0

B

)(iUNLε ΝLB

B-Matrix II

| 1.Knoten | 2.Knoten | 3.Knoten | 4.Knoten |

... wer sind die Ni ??

x

N

y

N

x

N

y

N

x

N

y

N

x

N

y

N

y

N

y

N

y

N

y

Nx

N

x

N

x

N

x

N

44332211

40302010

04030201

B

Ansatz- oder Formfunktionen I

Die Formfunktionen sind meist Polynome:

ycxcc 321

2

65

2

4321 ycyxcxcycxcc

yxcycxcc 4321

linear

quadratisch

bilinear

Sie sollen das Verschiebungsfeld

in einem Finiten Element durch die Verschiebungen seiner Knoten beschreiben:

),( yxU

),(),( yxNUyxUi

ii

Ansatz- oder Formfunktionen II

),( yxU

Ansatz- oder Formfunktionen III

am Knoten 1 muß gelten:

111441133

1122111111

),(),(

),(),(),(

UyxNUyxNU

yxNUyxNUyxU

Diese Bedingung ist dann erfüllt, wenn die "eigene" Formfunktion

1),( 111 yxN

0),(bis),( 114112 yxNyxNist und die anderen Formfunktionen

9. Regel FEA:

Eine Formfunktion Ni hat die Fundamentaleigenschaft,

daß sie am Knoten i zu 1 wird und an allen anderen

Knoten 0.

Ansatz- oder Formfunktionen IV

][

21

bxay

cxcy

32

2

1 cxcxcy

43

2

2

3

1

cxc

xcxcy

„linear“ „quadratisch“ „kubisch“

Ansatz- oder Formfunktionen V

Ansatz- oder Formfunktionen VI

Kubische Ansätze sind eigentlich der höchste Polynomgrad bei FEA-

Programmen, die mit dem h-Verfahren arbeiten.

FEA-Programme, die das p-Verfahren nutzen, gehen bis zum 9.Grad

(Pro/MECHANICA)

Ansatz- oder Formfunktionen VII

Die genaue Wahl der Formfunktionen (die der Fundamentaleigenschaft

genügen müssen) ist Spezialistensache! Es werden teilweise vollständige

Polynome, aber auch unvollständige Polynome, aus denen bestimmte

Terme gestrichen werden, benutzt. Es spielen Erfahrung, numerische

Stabilität und Rechenaufwand eine große Rolle. Hier sollte man keinen

großen Ehrgeiz entwickeln und dieses Feld den Mathematikern und den

auf FE-Anwendungen spezialisierten Statikern überlassen.

Ein besonderer Elementtyp sind Elemente der Serendipity-Klasse.

Hierbei werden unvollständige Polynomansätze verwendet, die

mathematisch eigentlich eine „Kriminalität“ darstellen. Überraschender-

weise arbeiten diese Elemente in der Praxis jedoch ausgezeichnet. Sie

sind benannt nach dem Märchen „Die drei Prinzen von Serendip“ eines

gewissen Horace Walpole. Diese Prinzen hatten die Eigenschaft,

unverhoffte und glückliche Entdeckungen durch Zufall zu machen.

Ansatz- oder Formfunktionen VIII

8765

2

4

2

3

2

2

2

1

22

0

cycxcxycxyc

yxcycxcyxcy

Pascal’

sches

Dreieck für

die

Herleitung

von

Lagrange-

Polynomen

Ansatz- oder Formfunktionen IX

O.C.Zienkiewicz/R.L.Taylor

Ansatz- oder Formfunktionen X

O.C.Zienkiewicz/R.L.Taylor

Ansatz- oder Formfunktionen XI

Serendipity Serendipity Lagrange

Ansatz- oder Formfunktionen XII

Unterscheide:

Typ der Ansatzfunktion: Polynom, trigonometrische Funktion ...

Grad der Ansatzfunktion: bei Polynom linear, quadratisch, kubisch...

Vollständikeit der Ansatzfunktion: Serendipity, Lagrange

Berandung der Elemente: geradlinig, krummlinig

Ansatz- oder Formfunktionen 13

rsN

srN

rsN

srN

rssrsrN

srrssrN

rssrsrN

rssrsrN

112

1

112

1

112

1

112

1

114

111

4

111

4

1

114

111

4

111

4

1

114

111

4

111

4

1

114

111

4

111

4

1

2

8

2

7

2

6

2

5

22

4

2

3

22

2

22

1

2

Beispiel:Serendipity-Element mit

quadratischem Ansatz

Ansatz- oder Formfunktionen 14

011)1(14

1

11)1(14

11111

4

1

111114

1

11114

11111

4

1

114

111

4

111

4

1

2

2

1

2

2

1

22

1

:1,1mit

:1,1mit

N

N

rssrsrN

sr

sr

Ansatz- oder Formfunktionen 15

1333444222 222

1 tsrstrtrstsrH

3444

3444

3444

1

1

1

srtt

H

trss

H

tsrr

H

Beispiel:Serendipity-Element mit

quadratischem Ansatz

Ansatz- oder Formfunktionen 16

rrH 2

2 2

0

0

14

2

2

2

t

H

s

H

rr

H

ssH 2

3 2

0

14

0

3

3

3

t

H

ss

H

r

H

ttH 2

4 2

14

0

0

4

4

4

tt

H

s

H

r

H

rtrsrrH 4444 2

5

rs

H

tsrr

H

4

4484

5

5

Integration I

Hermite -Gauß)()(

ewTschebysch-Gauß)(1

1)(

Laguerre-Gauß)()(

Legendre-Gauß)()(

1

1 0

1

1 02

0 0

1

1 0

2

n

i

ii

x

n

i

ii

n

i

ii

x

n

i

ii

xfwdxexf

xfwdxx

xf

xfwdxexf

xfwdxxf

Integration II

b

dyds

/byys

a

dxdr

/axxr

c

c

)()(

1

1 0

n

i

ii xfwdxxf

Integration III

irFdrrFI

n

1

i

1

1

die Gauß-Punkte sind die Nullstellen der

Legendre-Polynome

Integration IV

1

1

1

1

),(),(i j

jiji srFdsdrsrFI

1

1

1

1

1

1

),,(),,(i j

kji

k

kji tsrFdtdsdrtsrFI

irFdrrFI

n

1

i

1

1

für den ein-,2- und 3-dimensionalen Fall gilt:

Integration V für Dreiecke gilt:

i

iii srF

dsdrsrFI

),(2

1

),(

1

0

1

0

Integration VI für Tetraeder gilt:

),,(6

1),,(

1

0

1

0

1

0

iii

i

i tsrFdtdsdrtsrFI

Integration VII wir mußten für die Integration in natürlichen Koordinaten r,s,t arbeiten. Wieder

auf x,y,z transformieren. Es gilt wie für die Verschiebungen:

i

i

i

i

i

i

i

ii

zNz

yNy

xNx

tsrfz

tsrfy

tsrfx

,,

,,

,,

3

2

1

zNyNxN iii /und/,/

für B brauchen wir die partiellen

Ableitungen

t

z

zt

y

yt

x

xt

s

z

zs

y

ys

x

xs

r

z

zr

y

yr

x

xr

Kettenregel:

Integration VIII

Die Kettenregel in Matrixform: in symbolischer Form:

z

y

x

t

z

t

y

t

xs

z

s

y

s

xr

z

r

y

r

x

t

s

r xr

J

dabei ist J die sog. Jacobi-Matrix

Integration IX

Die Jacobi-Matrix bildet die Beziehung natürliche Koordinaten – kartesische

Koordinaten ab:

Leider brauchen wir wegen B die inverse Jacobi-Matrix:

ii

ii

ii

ii

ii

ii

ii

ii

ii

zt

Ny

t

Nx

t

N

zs

Ny

s

Nx

s

N

zr

Ny

r

Nx

r

N

J

rx

1JzNyNxN iii /und/,/

Integration X

Normalerweise existiert die inverse Jacobi-Matrix, wenn eine ein-eindeutige

Beziehung zwischen den natürlichen und den kartesischen (oder Polar- oder

Zylinderkoordinaten) existiert. Wann gibt‘s Stress?

Integration XI

Integration XII

dtdsdrdV Jdet Substitutionsregel für Mehrfachintegrale

dVKV

BCBT

B ist Funktion von r,s,t

r sn

i

n

j

jijiji

T

T

A

Te

srsrsr

drdssrsrsrdxdy

1 1

1

1

1

1

),(det),(),(

),(det),(),(

JBCB

JBCBBCBK

Damit wird die Elementsteifigkeitsmatrix für 2-dimensionale Elemente:

Integration 13

Damit wird die Elementsteifigkeitsmatrix für 3-dimensionale Elemente:

r s kn

i

n

j

n

k

kjikjikji

T

T

V

Te

tsrtsrtsr

dtdrdstsrtsrtsr

dzdxdy

1 1 1

1

1

1

1

1

1

),,(det),,(),,(

),,(det),,(),,(

JBCB

JBCB

BCBK

Aufbringen von Lasten I

Steifigkeitsmatrix Massenmatrix

V

T dVBCB K V

T dVNNρ M

dVB

V

T

B fN R

dST

S qNRS

dVI

V

T

I σB R

Volumenkräfte

Oberflächenkräfte

Anfangsspannungen

Aufbringen von Lasten II

Streckenlasten

dydxdSS

T

S

T

S qNqNR

y

x

q

qq

0

0q

q

q

y

xq .const0 q

syrx und

Aufbringen von Lasten III

dydxA

T

S NqR

dxdyNNN

NNN

q

S

T

1

1

1

1 632

632

0000000000000

0000000000000

00R

drdsdxdy

hier:

Aufbringen von Lasten IV

Die Formfunktionen für die Knoten 2, 3 und 6:

rssrsrN 114

111

4

111

4

1 22

2

srrssrN 114

111

4

111

4

1 22

3

rsN 112

1 2

6

Aufbringen von Lasten V

Die Lastkomponente für den Knoten 2 wird:

xyyxyxN 114

111

4

111

4

1 22

2

1x 2

22

1yyN

3

1))

3

1

2

1(

3

1

2

1(

2

11

1322

1

)(2

1

00

32

0

1

1

2

1

1

0202

qqyy

q

dyyyqdyNqF

Aufbringen von Lasten VI

Die Lastkomponente für den Knoten 6 wird:

1x

xyN 112

1 2

6

2

6 1 yN

3

4))

3

11(

3

11(

1

13

)1(

00

3

0

1

1

2

1

1

0606

qqy

yq

dyyqdyNqF

Aufbringen von Lasten VII

Die Lastkomponente für den Knoten 3 wird:

3

103 qF

Die Seitenlänge ist 2, weil von -1 bis +1, also:

2006

12:

3

1Fqq

6003

22:

3

4Fqq

3006

12:

3

1Fqq

Lastkomponente am Knoten 2 Lastkomponente am Knoten 3

Lastkomponente am Knoten 6

Aufbringen von Lasten VIII

Aufbringen von Lasten IX

Aufbringen von Lasten X