Entwurf von CamCarpets mit Projektionsmatrizen Eine anwendungsorientierte Unterrichtsreihe

aus der Analytischen Geometrie

„Geometrie heißt schauen!“

MNU-Tagung des Landesverbands Nordrhein Köln, 8. September 2009

Klaus Gerber

Entwurf von CamCarpets mit Projektionsmatrizen

Bandenwerbung

Film 1 / Film 2 / Film 3

Entwurf von CamCarpets mit Projektionsmatrizen

Experimentelle Annäherung

Entwurf von CamCarpets mit Projektionsmatrizen

Aufgabe für eine Werbeagentur:Entwerfen Sie einen Werbeteppichfür das RheinEnergie-Stadionin Köln-Müngersdorf. Dieser Teppich soll in der rechten Spielfeldhälfte rechtsneben dem Tor liegen(gesehen von derHaupttribüne oberhalb derersich die Kamera befindet).

Spielfeldmaße: 105m x 68m

Entwurf von CamCarpets mit Projektionsmatrizen

Koordinaten im Stadion

Entwurf von CamCarpets mit Projektionsmatrizen

Bearbeitung als Schnittproblem:

Richtungsvektor:

Koordinaten eines Eckpunktes des Buchstabens: P(2,8|0|1)

ergibt

Der gesuchte Schnittpunkt hat also die Koordinaten:

31

53

53

v

031

53

53

1

0

8,2

y

x

pvp 311

00

0

8,2

31

53

53

1

0

8,2

3153

155169

31533153

311p

0|7,1|1,1T1

Entwurf von CamCarpets mit Projektionsmatrizen

Allgemeine Berechnungsmethode:

Der Punkt soll in Richtung des Vektors in die xy-Ebene und

dort auf den Punkt mit abgebildet werden.

ergibt

Der gesuchte Punkt hat also die Koordinaten:

03

2

1

y

x

v

v

v

z

y

x

pvp 3vz

03

2

3

1

3

2

3

1

3

3

2

1

zy

zx

z

z

z

z

y

x

v

v

v

z

y

x

pvvvv

vvvv

vz

0||3

2

3

1 zyzxPvv

vv

zyxP ||

3

2

1

v

v

v

v

zyxP || 0z

Entwurf von CamCarpets mit Projektionsmatrizen

Einführung der Matrizenschreibweise:

Berechnungsvorschrift:

Projektionsmatrix:

z

y

x

zyx

zyx

zyx

zy

zx

vv

vv

vvvv

vvvv

000

10

01

000

10

01

03

2

3

1

3

2

3

1

3

2

3

1

pA

z

y

x

ihg

fed

cba

ziyhxg

zfyexd

zcybxa

000

10

01

000

10

01

31533153

3

2

3

1

vv

vv

A

Entwurf von CamCarpets mit Projektionsmatrizen

Graphische Darstellung

mit dem TI89:

vollständiger Befehl zum Zeichnen

Entwurf von CamCarpets mit Projektionsmatrizen

Definitionen und Sätze:

Hauptsatz über Abbildungsmatrizen

Die Spalten der Abbildungsmatrix sind die Bilder der

Einheitsvektoren.

Parallelprojektionssatz

Die Matrix beschreibt die Parallelprojektion in die

xy-Ebene in Richtung des Projektionsvektors .

31

21

11

333231

232221

131211

11

0

0

1

a

a

a

aaa

aaa

aaa

eAe

000

10

01

3

2

3

1

vv

vv

xyA

v

Entwurf von CamCarpets mit Projektionsmatrizen

!!!! Übungsaufgaben !!!!

Entwurf von CamCarpets mit Projektionsmatrizen

Der Modellierungskreislauf

Realmodell mathematisches Modell

mathematischeLösung

interpretierteLösung

reale Situation

mathematisieren

interpretieren

bearbeiten

vereinfachen

validieren

REALITÄT MATHEMATIK

Projektionsmatrizen - Einblicke in die Raumgeometrie

Projektionsmatrizen - Einblicke in die Raumgeometrie

2-dimensionale Darstellung räumlicher Objekte:

Projektionsmatrix:

10

011

22

22

PRO

)45sin(

)45cos(

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

Projektionsmatrizen - Einblicke in die Raumgeometrie

Drehungen im Raum um eine Koordinatenachse:

Drehmatrix:

Blick „von oben“ auf die xy-Ebene

0

sin

cos

0

0

1

0

cos

sin

0

1

0

1

0

0

1

0

0

100

0cossin

0sincos

RotZ

Projektionsmatrizen - Einblicke in die Raumgeometrie

Platonische Körper:

Projektionsmatrizen - Einblicke in die Raumgeometrie

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