EXAMEN FINAL ALGEBRA LINEAL Y GEOMETRIA 5/09/2015

PARTE 1

EJERCICIO 1 (2 PUNTOS) Despeja X de las siguientes ecuaciones reduciendo al maximo posible y suponiendo que las

matrices que intervienen son todas cuadradas del mismo orden y poseen matriz inversa:

(a) 5XA+ 2I � 6B = C

(b) A(X +B) = CX

EJERCICIO 2 (4 PUNTOS) Discute y resuelve si es posible el siguiente sistema:8>>>>>><

>>>>>>:

2x� y � z � 3t = 2

x+ 2y � 3z + t = 1

7x� y � 6z � 8t = 7

4x+ 3y � 7z � t = 4

EJERCICIO 3 (4 PUNTOS) Dada la matriz A =

0

BBBB@

1 2 ↵ 0

2 4 ↵ 1

2 3 ↵ 0

0 1 0 1

1

CCCCA

(a) Calcula el rango en funcion del parametro (2 p)(b) Para ↵ = 2 calcula la forma escalonada reducida de la matriz A (2 p)

PARTE 2

EJERCICIO 1 Sean S y T subespacios vectoriales de R4generados por S = {(x, y, z, t)/x� y = 0}y T = {(1, 1, 2, 1), (2, 3,�1, 1)}(a) Obtener una base del subespacio S + T (2 p)(b) Estudiar si la suma S+T es directa (0.5 p)(c) Si la suma anterior no es directa, calcular una base del subespacio S \ T (2 p)

EJERCICIO 2 Sea W el subespacio de R4W = {(↵,↵� �,�,↵+ �}

(a) Determinar una base para W

?(1.5 p)(b) Hallar una base ortonormal de W

? (1.75p)(c) Hallar la matriz de proyeccion (2.25 p)

PARTE 3

EJERCICIO 1 Sea f : V ! W una aplicacion lineal con matriz asociada A en base canonica A =

0

B@1 1 0 0

0 0 1 1

1 0 1 0

1

CA

(a) Cual es la dimension de V? y de W? (0.25 p)(b) Clasifica en inyectiva, suprayectiva o biyectiva la aplicacion teniendo en cuenta la matriz asociada y deduce las

dimensiones de la Imagen y del Ker (sin calcular el Ker ni la imagen) (0.75)(c) Calcular las ecuaciones de la aplicacion (0.5)(d) Calcular una base del Ker f (1p.)(e) Calcular una base de la Im f (0.5p.)

EJERCICIO 2 Dada la aplicacion

f : R

3 �! R2

(x, y, z) ! (x+ y, y � z)Ademas sea S = {(1, 1, 0), (0, 1, 0), (�1, 1, 1)} y T = {(�1, 1), (1, 2)} bases de R3y R2respectivamente(a) Hallar la matriz respecto a las bases canonicas (0.5 p)(b) Hallar la matriz respecto a las bases S y T (1.75 p)

EJERCICIO 3 (ENTREGAR EN UNA HOJA SEPARADA) Un operador lineal definido en un espacio vectorial de

dimension tres esta caracterizado por la matriz simetrica A =

0

@0 1 11 0 11 1 0

1

A

Calcular:(a) Valores propios y vectores propios de f (0.75 p)(b) Estudiar la Diagonalizacion de , ası como calcular la matriz de f respecto de esta base de vectores propios. (Llamarla

D). Relacion entre las matrices A y D (1.75 p).(c) Calcular las ecuaciones implıcitas de los subespacios invariantes (1 p)(d) Calcular A17(0.75 p)(e) Calcular la traza de la matriz A y ver que coincide con la de la matriz diagonal (0.5 p)

1

A =

0

BB@

1 0 2 02 1 3 00 0 4 30 0 1 1

1

CCA

8>>><

>>>:

mx� y + z = 0

x+ 2y �mz = 0

x+ 2y � z = 0

R4S = {(1, 0, 1, 1), (1,�1,�1, 0), (0, 1, 2, 1)} T =

{(x, y, z, t)/x� z � t = 0, y + z = 0}

S+T S \T

S \ T

S

?

S

?

S

?

f : R3 �! R4

f(x, y, z) �! (x+ 2z,�x� y � z, 2y � 3z, x� z)

B = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} B

0 = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}

g : R4 �! R2

g(x, y, z, t) �! (x� t, y � z)h = g � f

A =

0

@1 0 20 �1 02 0 1

1

A

A

17

W1 = {(x, y, z, t)✏R4/x = 1}

W2 = {(x, y)✏R2/x� 3y = 0}

R3S1 = {(1, 0,�1), (1,�1, 0)}

S2 = {(2, 1, 0), (�2, 0, 1)}

S1 + S2

S1 \ S2

B1 = {(1, 0), (0, 1)} B2 = {(2, 1), (�1, 3)}B2

T = {(2a, b, b� a) : a, b✏R}

��������

x a b c

x x b c

x x x c

x x x x

��������= x(x� a)(x� b)(x� c)

��������

4 6 8 90 2 4 51 1 1 11 3 5 6

��������

M =

0

@1 2 3 �3 �40 0 4 2 41 2 5 �2 �2

1

A

A =

0

@1 0 0 32 1 0 �41 �2 1 0

1

AB =

0

@1 0 0 30 1 0 20 0 1 1

1

A

8>>><

>>>:

2x� y + z = 3

x� y + z = 2

3x� y � az = b