FHM 04 EI - Elektrische Messtechnik - Prof. Dr. Mayr

Zeitfunktionen

• Dreieck

• Puls

(Navigation durch Mausklick bzw. Cursortasten!)

• Sinus

• Rechteck

Häufige Zeitfunktionen:Allgemeine Betrachtung:

• Wechselspannung• Mischspannung

• Kenngrößen

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Kenngrößen U

T

0

22 dtt)(uT

1t)(u U

Effektivwert oder RMS-Wert U:

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Der Effektivwert ist der Wert einer Gleichspannung, die an einem ohmschen Verbraucher im zeitlichen Mittel die selbe Wirkleistung hervorruft, wie die zeitabhängige Spannung u(t).Formel:

Der Name RMS-Wert kommt von Root Mean Square t)(u 2

Bedeutung:

Zeitliche Reihenfolge: 1. Quadrieren; 2. Mittelwertbildung3. Radizieren

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Kenngrößen <|u(t)|>

T

0

dt|)t(u|T

1|)t(u|

Gleichricht(mittel)wert <|u(t)|>:

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Der Gleichrichtwert eines Stromes ist mit dem Ladungstransport korreliert. In der Messtechnik ist <|i(t)|> bzw. <|u(t)|> die wirksame Größe bei sinuskalibrierten Strom- und Spannungsmessgeräten.Formel:

Die Betragsstriche um u(t) berücksichtigen in mathematischer Formdie (ideale) Gleichrichtung.Zeitliche Reihenfolge: 1. Gleichrichtung;

2. Mittelwertbildung

Bedeutung:

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Kenngrößen kF

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Kurvenformfaktor kF:

|)t(u|

UkF

Bedeutung:

Bei Kenntnis des Kurvernformfaktors kF,X einer nicht sinusförmigem Messgröße kann der Effektivwert auch aus einer Messung mit sinuskalibriertem Messgerät ermittelt werden.

Formel:

AnzSinus,F

X,FX U

k

kU

Hinweis:Je „peak-förmiger“ der Zeitverlauf,desto größer wird der Kurvernformfaktor.

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Kenngrößen kC

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Spitzenfaktor oder crest factor kC:

Bedeutung:

Die Garantiefehlergrenzen gelten bei einem Messgerät zur echten Effektivwertmessung nur, wenn der Spitzenfaktor der Messgröße einen maximal zulässigen Wert nicht überschreitet.

Formel:

maxC

|u(t)|k =

U|u(t)|max = maximaler Betrag des Zeitverlaufs

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Wechselspannung

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t0

û

T

-û

u(t)

2T

Eine Wechselspannung zeichnet sich dadurch aus, dass kein linearer Mittelwert U0 (Gleichanteil) existiert.

T

0

0 0dt)t(uT

1)t(uU

t0

T

u(t)

2T+ +

- -t0

u(t)

+ +- -positive Fläche = negative Fläche

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Mischspannung U0, uW(t)

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Eine Mischspannung u(t) ist eine zeitlich veränderliche Spannung, deren linearer Mittelwert U0 (Gleichanteil) existiert.

T

0

0 0dt)t(uT

1)t(uU

-

positive Fläche > negative Fläche

+t0

T

u(t)

2T0

U0

u(t) = U0 + uW(t)

, uW(t)

bzw. uW(t) = u(t) - U0

Liegt eine Periode von u(t) in numerischer Form im Rechner mit N Abtastwerten ui vor, so kann U0 und uW numerisch bestimmt werden:

0ii,W

N

1ii0 Uuuundu

N

1U

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Mischspannung U = f(U0, UW)

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Welcher Zusammenhang besteht zwischen:U2 = <u2(t)>; U0

2 und UW2 = <uW

2(t)>

t0

T

u(t)

2T0

U0

, uW(t)

u(t) = U0 + uW(t)< u2(t) > = < (U0 + uW(t))2 >U2 = < U0

2 + 2U0uW(t) + uW2(t) >

U2 = < U02 > + < 2U0uW(t) > + < uW

2(t) >U2 = U0

2 + 0 + UW2

2W

20 UUU

Bedeutung: Sind nur zwei der drei Größen bekannt oder können gemessen werden, so kann die dritte berechnet werden.

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Effektivwert U:

t)(uU.bzwt)(u U 222

Sinus U

t0

û

T

-û

u(t)

t0

û2

T

u2(t)

mit u2(t) = û2sin2(t)

und sin2 = (1-cos(2)) wird

U2 = <u2(t)> = <û2 (1-cos(2t))>

U2 = <u2(t)> = û2/2

U2=û2/2

2

ûU

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2/T

0

W dt)tsin(û2/T

1|)t(u|

Sinus <|uW(t)|>

t0

û

T

-û

u(t)

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Gleichricht(mittel)wert < |u(t)| >:

t0

û

T

|u(t)|

T/2

mit |u(t)| = ûsin(t) in 0 t T/2

wird

0

W dx)xsin(û1

|)t(u|

0 2

<|u(t)|>

<|u(t)|> = (2/û

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Sinus kF, kC

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Kurvenformfaktor kF:

mit|)t(u|

UkF

2

û|)t(u|und2

ûU

Spitzenfaktor (crest factor) kC:

mitU

|)t(u|k max

C

2

ûUundû|)t(u| max

2kC 11,122

kF

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t)(u U 2

Rechteck U

t0

û

T

-û

u(t)

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t0

û2

T

u2(t)

mit u2(t) = û2, d.h. <u2(t)> = û2

U

wird: U = û

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Rechteck <|u(t)|>, kF, kC

t0

û

T

-û

u(t)

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<|u(t)|> = û

Kurvenformfaktor kF:

û

û

|)t(u|

UkF

kF = 1

|u(t)| |u(t)| = û = const.

Spitzenfaktor (crest factor) kC:

û

û

U

|)t(u|k max

C

kC = 1

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Effektivwert U:

t)(uU.bzwt)(u U 222

Dreieck U

t0

û

T

-û

u(t)

3

ûU

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t0

û2

T

u2(t)

mit u2(t) = Parabelabschnitte

Mittelung über 0 t T/4 (Symmetrie)222 t)

T/4

û()t(u.bzwt

T/4

û u(t)mit

.dtt)T/4

û(

T/4

1dt)t(u

T/4

1 U

4/T

0

224/T

0

22

U2=û2/3 3

û

3

)4/T(

(T/4)

ûdtt

(T/4)

û U

23

3

24/T

0

23

22

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Dreieck <|u(t)|>, kF, kC

<|u(t)|>

T/2

0

dtu(t)T/2

1

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, |u(t)|

t0

û

T

-û

u(t)

T/2

T/2

1FlächeFläche

T/2

1T/2û/2

<|u(t)|> = û/2

Kurvenformfaktor kF:

2/û

3/û

|)t(u|

UkF

155,13

2kF

Spitzenfaktor (crest factor) kC:

3/û

û

U

|)t(u|k max

C

3kF

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Dreieck verallgemeinert

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t0

û

T

-û

u(t)

Die Formeln für U, <|u(t)|>, kF und kC gelten auch für folgende Wechselspannungen:

„schiefes“ Dreieck

„schiefes“ Dreieck

Sägezahn

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Puls U0, <|u|>

Gleichanteil U0:

U0 = <u(t)> T

0

dtu(t)T

1

T

1 Rechteckfläche

T

1 T û

= û

t

u(t)

0 T

û

T

Tastgrad (0 < < 1)

U0 = <u(t)> = û

U0

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Da u(t) stets > 0 gilt: <|u|> = U0 = û

, <|u|>

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Puls U

T

0

22 dtt)(uT

1t)(u U

Effektivwert (RMS-Wert) U:

t

u(t)

0 T

û

T

Tastgrad (0 < < 1)

t

u2(t)

0 T

û2

T

U2 = < u2(t) > T

1 Rechteckfläche

T

1 T û2

= û2

U = δût)(u 2

U

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Puls UW

Effektivwert (RMS-Wert) des Wechselanteils UW:

t

u(t)

0 T

û

TTastgrad (0 < < 1)

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mitUUU 20

2W

U0

ûUundûU 0

U

wird 222W ûûU

)1(ûUW bzw.

0 0.5 1

U w( )

0.5û

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Puls <|uW(t)|>

Gleichricht(mittel)wert des Wechselanteils < |uW(t)| >

< |uW(t)| > T

0

W dt|(t)u|T

1

T

1 Tû(1-) + T(1-)·û

u(t)Tastgrad (0 < < 1)

t0 T

û

T

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U0 = û· uW(t) = u(t) - U0

(Fläche 1 + Fläche 2) T

1

Fläche 2Flä

che

1

< |uW(t)| > = 2 û (1 - )

t0 T

û(1-)

T

uW(t)

-û

û

, |uW(t)|

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Puls kF (Mischspannung)

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Kurvenformfaktor der Mischspannung kF:

F

Uk = mit

<|u(t)|>

U = û δ

0und <|u(t)|> = U δ û

F

1k =

δ

t

u(t)

0 T

û

T

Tastgrad (0 < < 1)

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Puls kF (Wechselanteil)

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t0 T

û(1-)

T

uW(t)

-û

Kurvenformfaktor des Wechselanteils kF:

mit|)t(u|

Uk

W

WF

)1(ûUW

)1(2û|)t(u|und W

)1(2

1kF

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Puls kC (Mischspannung)

Spitzenfaktor (crest-factor) der Mischspannung kC:

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maxC

|u(t)|k = mit

U

und U = û δ

max|u(t)| = û

C

1wird k =

t

u(t)

0 T

û

T

Tastgrad (0 < < 1)

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Puls kC

Spitzenfaktor (crest-factor) des Wechselanteils kC:

zurück zu Zeitfunktionen nächste Folievorherige Folie Präsentation beenden

t0 T

û(1-)

T

uW(t)

-û

mitU

|)t(u|k

W

maxwC

)1(ûUund W

))1(û;û(Max|)t(u| maxW

)1

;1

(Maxkwird C