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Otto-von-Guericke-Universität MagdeburgLehrstuhl Mikrosystemtechnik

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Finite Elemente Modellierung• Modellerstellung• Diskretisierung des Kontinuums• Methode der Finite Elemente• Anwendungsbeispiele der FEM• Zugstab: Kraftmethode• Zugstab: Energiemethode• Zugstab: Ansatzfunktion

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FEMWesentliche Schritte für eine Berechnung:• Aufstellung eines hinreichend genauen

Modells• Mathematisch korrekte Bearbeitung des

Modells• Richtige Interpretation der Ergebnisse

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Modellerstellung1. Geometrie:• Beschreibung des Raumes, in dem der

physikalische Prozess abläuft• Übernahme der Geometrie in das

Berechnungsmodell, so dass alle wesentlichen Effekte, die von der Geometrie abhängen, berücksichtigbar sind

• Setzt Erfahrung voraus (zu grob, zu fein)

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Modellerstellung2. Werkstoffeigenschaften:• Gesamtheit der Gesetze der Stoffe, aus

denen sich die betrachtete Struktur zusammensetzt

• Oft stark vereinfachte Modelle der komplexen atomaren oder molekularen Vorgänge in den Stoffen

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Modellerstellung3. Randbedingungen:• Alle Einflüsse der Umgebung auf das zu

berechnende Bauelement• Wirkung meist auf die Oberfläche oder den

Rand des zu untersuchenden Gebietes• Zwei Arten von Randbedingungen:

physikalische Grössen, Änderung dieser physikalischen Grössen

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Diskretisierung

Beispiele von Kontinua: a) 1-D: Schnur, Fadenb) 2-D: Platte, c) 3-D: Würfel

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Diskretisierung

Beispiele diskreter Strukturen: a) 1-D: Zugstab unterLast, b) 2-D: ebenes Getriebe, c) 3-D: räumliches Fachwerk unter Last

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Grundidee der FEM• Ein reales Bauteil wird aus einfachen Teilen

(Elementen) zusammengesetzt, deren Verhalten bekannt ist. Dies bezeichnet man als Diskretisierung des Kontinuums.

• Das Verhalten des Bauteils unter Belastung ist die Summe des Verhaltens seiner Elemente

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Diskretisierung des Kontinuums• Diskretisierung einer

ebenen Platte: a) regelmässiges Netz 8x6, b) regelmässigesNetz 16x12, c) lokal modifiziertes Netz, 47 Viereckelemente, d) unregelmässiges Netz, 18 Drei- und Viereckelemente

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Elementformen

• Elementformen kommerzieller Programmsysteme: a) 1-dimensional (Stab), b) 2-dimensional, c) 3-dimensional

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Ansatzfunktionen

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Ansatzfunktionen• Die Funktion ist auf dem ganzen Element definiert• Jede Funktion ist einem Knoten des Elements

zugeordnet• An diesem Knoten habe die Funktion den Wert 1,

an anderen Knoten verschwindet sie• Die Summe der Näherungsfunktionen auf einem

Element ist 1• An gemeinsamen Flächen oder Kanten haben die

Näherungsfunktionen der jeweiligen Knoten gemeinsame Werte

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Ansatzfunktionen

• 2-D Ansatzfunktionen und darstellbare Funktionsverläufe: a) linear, b) quadratisch, c) kubisch

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FEMFinites Element:• Ein Finites Element ist ein durch endlich

viele Knoten beschriebener Teilbereich des Kontinuums mit einer dazu passenden Ansatzfunktion

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Methode der FE

• Elementeinteilung einer Platte mit Einzellast und Einspannung

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Methode der FE

• Ersatzfedermodell: a) unverzerrtes und verzerrtes Modell, b) Ersatzfedern der Elementsteifigkeit

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Methode der FE

• Zusammenbau der Gesamtsteifigkeit aus den Elementbeiträgen

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Methode der FE

• Berechnete Verformungen der Platte a) 6x8 QUAD4-Elemente, b) 6x8 QUAD8-Elemente, c) 12x16 QUAD4-Elemente, d) 12x16 QUAD8-Elemente

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Methode der FE

3,670,2191192633QUAD8d

1,450,1749192221QUAD4c

1,020,186748173QUAD8b

0,510,14204863QUAD4a

RechenzeitVerschiebung Krafteinleitungsknoten

Anzahl Elemente

AnzahlKnoten

Element-Typ

Modell

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Anwendungsgebiete der FEM

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Anwendungsgebiete der FEM

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Zugstab: KraftmethodeElementare Gleichungen:

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Zugstab: Kraftmethode• Verlängerung eines

Stabes unter Last a) Ausgangslänge, b) Verlängerungerungdurch Kraft F: es gilt

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Zugstab: KraftmethodeDefinition der Steifigkeit:• Steifigkeit k ist der Quotient aus Kraft F und

Verlängerung ∆l

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Zugstab: Kraftmethode• An den Enden E1, E2

wirken die Kräfte F1, F2 in x-Richtung

• Es stellen sich die Verschiebungen u1und u2 ein

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Zugstab: KraftmethodeGedankenexperiment:• E1 wird festgehalten (u1=0), Verschiebung

bei E2 sei u2

• sei KiJ = (Kraft Fi auf Stabende i) / (Verschiebung uJ des Endes EJ) so ergibt sich:

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Zugstab: Kraftmethode• Um das Ende E2 um u2 zu verschieben (E1

fest), ist die Kraft F2 erforderlich:

• Bei dieser Verschiebung tritt am Ende E1 eine Lager-, Einspann- oder Reaktionskraft auf:

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Zugstab: Kraftmethode• Somit wird

• Entsprechend gilt bei der Verschiebung u1am Ende E1 bei u2=0:

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Zugstab: KraftmethodeAllgemeiner Fall:• Verschiebungen u1 und u2 an den Enden• Die Kräfte berechnen sich aus den

Steifigkeiten:

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Zugstab:Kraftmethode

• Für die beiden Gleichungen wählt man eine Matrixdarstellung; Felem ist der Element –Kraftvektor mit den Komponenten F1 und F2, uelemist der Element-Verschiebungsvektor mit den Komponenten u1 und u2

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Zugstab:Kraftmethode

• Diese Matrix heißt Elementsteifigkeitsmatrix des 1-dimensionalen, 2-knotigen Zugstabes (1-D ROD2-Element). Die meisten Elementmatrizen sind symmetrisch.

• Das lineare Gleichungssystem Kelem uelem = Felemist nur lösbar, wenn der Stab mindestens an einem Ende gelagert wird (sonst Det Kelem = 0).

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Zugstab: Energiemethode• Bestimmung der Steifigkeit mit Hilfe des

Energieerhaltungssatzes• Erhaltung der gespeicherten elastischen

Dehnungsenergie des Zugstabes• Die an den Enden wirkenden Kräfte leisten

die äußere Arbeit:

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Zugstab:Energiemethode• Elastische Energiedichte:

• Gespeicherte elastische Energie:

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Zugstab: EnergiemethodeMit der Dehnung

Ergibt sich:Matrixschreibweise:

Daraus kann die Steifigkeitsmatrix berechnet werden.

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Zugstab: Ansatzfunktion• Die Verschiebung u(x) längs des Zugstabes

wird linear interpoliert aus den Verschiebungen der beiden Enden E1 und E2

• Die Enden werden als Knoten bezeichnet (K1, K2)

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Zugstab: Ansatzfunktion

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Zugstab: Ansatzfunktion• Ansatzfunktionen h1(x)= (1-x/l), h2= x/l• Somit ist u(x) = u1 h1(x) + u2 h2(x)• Matrixform:

• Interpolationsmatrix H :

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Zugstab: Ansatzfunktion• Dehnung als Ableitung der Verschiebung:

• Matrixschreibweise:

• B heißt Verzerrungs-Verschiebungs-Transformationsmatrix

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Zugstab: Ansatzfunktion• Elastische Energiedichte in Matrixform:

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Zugstab: Ansatzfunktion• Diese Beziehung stellt die Dichte der

inneren elastischen Energie als Funktion der Verschiebung des den Stab definierenden Knotens dar. Dazu wurde das folgende Matrizenprodukt benötigt:

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Zugstab: Ansatzfunktion• Elastische Gesamtenergie erhält man durch

Integration über das Volumen; • Im vorliegenden Fall (elastischer Zugstab

mit konstanter Spannung und Dehnung entspricht die Integration über das Volumen der Multiplikation mit dem Volumen

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Zugstab: Ansatzfunktion

Daraus ergibt sich die Steifigkeitsmatrix Kelem

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