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Andreas Fischer Beamerfolien fur WS 2018/2019 Grundlagen Mathematik fur Fakultat Maschinenwesen Version vom 2. 11. 2018

Grundlagen Mathematik

für die Fakultät Maschinenwesen

Wintersemester 2018/2019

Diese Folien enthalten nicht alle Teile des behandelten Stoffes.

Allgemeine Informationen

Vorlesender: Prof. Dr. Andreas Fischerwww.math.tu-dresden.de/~fischer

Kursassistent: Dr. Reiner Vanselowwww.math.tu-dresden.de/~vanselow

Dort finden sie (zu gegebener Zeit) u.a.

• Zuordnung der Übungsgruppen zu Zeiten und Räumen

• Übungsaufgaben (Nummern in Übungsheften) oder ggf. als PDF

• Literaturhinweise

• Angaben zur Prüfungsklausur inklusive Hilfsmittel, Zeit, Räume

• Links zu OPAL

Die Übungen beginnen in der 2. Vorlesungswoche.

Natürliche Zahlen

N := {1, 2, 3, . . .}

Prinzip der vollständigen Induktion

Sei n0 ∈ N. Weiter bezeichne A(n) für jedes n ∈ N mit n ≥ n0 eineAussage. Wenn

• A(n0) wahr ist und

• [A(k) ist wahr⇒ A(k + 1) ist wahr] für alle k ∈ N mit k ≥ n0 gilt,dann ist die Aussage A(n) für alle n ∈ N mit n ≥ n0 wahr.

Seien m,n ∈ N gegeben. Die Gleichung

n + x = m

hat nur dann eine Lösung in N, wenn n < m.

⇒ Erweiterung des Zahlbereichs N wünschenswert

Ganze Zahlen

Z := {0, +1, −1, +2, −2, +3, −3, . . . }

• Addition, Subtraktion und Multiplikation in Z wohldefiniert.

• Seien m,n ∈ Z gegeben. Dann hat die Gleichung

n + x = m

in Z die Lösung x := m− n.

• Die Gleichungn · x = m

hat nur dann eine Lösung in Z, wenn n Teiler von m ist.

⇒ Erweiterung des Zahlbereichs Z wünschenswert

Rationale Zahlen

Q := {q | q =a

b, a, b ∈ Z, b 6= 0, a, b teilerfremd}

• Z ⊂ Q (man betrachte b := 1).

• Addition, Subtraktion, Multiplikation in Q wohldefiniert.

• Seien p, q ∈ Q mit q 6= 0 gegeben. Dann hat die Gleichung

q · x = p

die Lösung x := pq . Also auch Division in Q wohldefiniert.

• Kein Quadrat mit Flächeninhalt 2 hat rationale Seitenlänge,d.h. die Gleichung

x2 = 2hat keine Lösung in Q.

⇒ Erweiterung des Zahlbereichs Q wünschenswert

Reelle Zahlen

R := {x | x ist unendlicher Dezimalbruch}

• Q enthält genau die periodischen Dezimalbrüche.

• Die nichtperiodischen Dezimalbrüche bilden die Menge R \Q derirrationalen Zahlen. Beispielsweise sind

√2, π, e irrational.

• Beim numerischen Rechnen mit nichtperiodischen Dezimalbrüchenbenutzt man im Allgemeinen Näherungswerte in Form endlicherDezimalbrüche. Zum Beispiel sind

1, 41 ; 1, 414 ; 1, 4142 ; 1, 41421 ; . . .

Näherungen für√

R ist nicht algebraisch abgeschlossen

Nicht jede algebraische Gleichung mit reellen Koeffizienten hat eineLösung in R.

x2 + 2x− 3 = 0 ⇒ x1 = 1, x2 = −3

aberx2 + 2x + 3 = 0 ⇒ keine Lösung in R

⇒ Erweiterung des Zahlbereichs R wünschenswert

Komplexe Zahlen

Definition

Eine komplexe Zahl ist ein Ausdruck der Form

z := a + b i,

wobei a ∈ R Realteil von z,

b ∈ R Imaginärteil von z und

i imaginäre Einheit heißt.

Man schreibt auch Re(z) anstelle von a und Im(z) anstelle von b.Mit

C := {a + b i | a, b ∈ R}wird die Menge der komplexen Zahlen bezeichnet.

Rechenoperationen in C

Definition

Seien z = a + b i ∈ C, w = c + d i ∈ C gegeben. Dann heißt

• z + w := (a + c) + (b + d) i Summe von z und w,

• z · w := ac− bd + (bc + ad) i Produkt von z und w.

• z := a− b i heißt konjugiert komplexe Zahl zu z = a + b i.

• |z| :=√a2 + b2 heißt Betrag der komplexen Zahl z = a + b i.

Folgerungen

i2 = −1

z · z = |z|2αz = αa + (αb) i für α ∈ R

Das Tripel (C,+, ·) ist ein Körper

• Die Operationen + und · sind kommutativ und assoziativ

• 0 := 0 + 0i ist das neutrale Element der Addition

• 1 := 1 + 0 i ist das neutrale Element der Multiplikation

• z + (−1 · z) = 0 gilt für alle z ∈ C, d.h.−z := −1 · z ist das inverse Element von z bzgl. der Addition

• z · z−1 = 1 mit z−1 :=1

|z|2gilt für alle z ∈ C \ {0}, d.h.

z−1 ist das inverse Element von z bzgl. der Multiplikation

• Es gelten die Distributivgesetze (z1, z2, z3 ∈ C)

z1 · (z2 + z3) = z1 · z2 + z1 · z3, (z1 + z2) · z3 = z1 · z3 + z2 · z3

Analog zu (C,+, ·) sind auch (R,+, ·) und (Q,+, ·) Körper

Darstellung einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten

(a, b) heißen kartesische Koordinaten der Zahl z = a + b i

Damit kann z als Punkt (a, b) in der Gaußschen Zahlenebenedargestellt werden.

Schreibweise

• Anstelle von 0 + b i schreibt man kurz bi.

• Anstelle von a + 0 i schreibt man kurz a.

Darstellung einer komplexen Zahl in Polarkoordinaten

(r, φ) heißen Polarkoordinaten der Zahl z = a + b i, wenn

z = r(cosφ + i sinφ) (∗)Dabei gilt r = |z|. Weiter heißt arg z := φ Argument zu z.

Dreht man in der Gaußschen Zahlenebene die positive reelle Achse umden Winkel φ entgegen dem Uhrzeigersinn, so geht sie durch (a, b).

(∗) heißt auch trigonometrische Darstellung von z

Das Argument z ist nicht eindeutig.

Zum Beispiel führen Drehungen von z um den Winkel

φ = π/2 (Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn um 90o),φ = −3π/2 (Drehung im Uhrzeigersinn um 270o),φ = π/2 + 2kπ (für jedes k ∈ Z)

zum gleichen Ergebnis.

Unter der zusätzlichen Bedingung

−π < φ ≤ π

gibt es genau ein Argument zu z. Das nennt man Hauptwert von zund bezeichnet es mit Arg z.

Eulersche Formel

eiφ := cos φ + i sin φ

Folgerungen

Seien z ∈ C mit Argument φ und w ∈ C mit Argument ψ gegeben.Dann gilt

• z = |z|eiφ (Exponentialdarstellung von z)

• |ei φ| = 1

• z · w = |z||w|ei(φ+ψ)

• zw =|z||w|e

i(φ−ψ) w 6= 0

• zn = |z|neinφ (n-te Potenz von z, n ∈ Z)

De Moivresche Formeln

Seien n ∈ N und z = r(cosφ + i sinφ) = rei φ gegeben.Dann gilt

zn = rn(cos(nφ) + i sin(nφ)) = rnei nφ.

De Moivresche Formeln

SatzSeien n und w = rei φ 6= 0 gegeben. Dann hat die Gleichung

zn = w

genau n verschiedene Lösungen (n-te Wurzeln), nämlich

zk = n√r

)+ i sin

))= n√r ei

(φn + 2kπ

)mit k = 0, 1, . . . , n− 1 und es gilt

|zk| = n√r,

d.h. jede Lösung liegt in der Gaußschen Zahlenebene auf einem Kreisum 0 mit dem Radius n

Polynom n-ten Grades über C

Seien a0, a1, . . . , an ∈ C und n ∈ N ∪ {0} gegeben.Dann heißt die durch

pn(z) := anzn + an−1z

n−1 + · · · + a1z + a0

gegebene Abbildung pn : C→ C Polynom n-ten Grades über C und

z ∈ C heißt Nullstelle von pn, wenn pn(z) = 0 gilt.

Fundamentalsatz der Algebra

Seien n ∈ N und pn ein beliebiges Polynom über C. Dann besitzt pnmindestens eine Nullstelle in C.

⇒ C ist algebraisch abgeschlossen.

Fundamentalsatz der Algebra(äquivalente Formulierung)

Seien n ∈ N und pn ein beliebiges Polynom über C.

Dann besitzt pn genau n Nullstellen z1, . . . , zn ∈ C von pn und es giltdie folgende Zerlegung in Linearfaktoren

pn(z) = an

n∏j=1

(z − zj).

Seien die Nullstellen z1, . . . , zn des Polynoms pn so geordnet, dass dieersten r Nullstellen paarweise verschieden sind.Weiter bezeichne mi (i = 1, . . . , r) die Anzahl wie oft die Nullstelle ziunter den Nullstellen z1, . . . , zn vorkommt. Dann gilt m1 + · · ·+mr = nund

pn(z) = an

r∏i=1

(z − zi)mi.

Die Zahl mi heißt Vielfachheit der Nullstelle zi (i = 1, . . . , r).

Polynome mit reellen Koeffizienten

Sei p ein Polynom mit reellen Koeffizienten.Weiter sei z∗ := a∗ + b∗ i mit b 6= 0 Nullstelle von p.

Dann ist auch z∗ := a∗ − b∗ i Nullstelle von p.

D.h. “echt” komplexe Nullstellen eines reellen Polynoms treten immerpaarweise auf. Für das Produkt der zugehörigen Linearfaktoren ergibtsich

(z − z∗)(z − z∗) = z2 − 2a∗z + (a2∗ + b2∗)

Horner-Schema

SatzDas Polynom p : C→ C sei gegeben durch

p(z) := anzn + · · · + a1z + a0.

Für z0 ∈ C sei das Polynom s : C→ C durch

s(z) := bnzn−1 + · · · + b2z + b1

definiert, wobei bn := an und bi := ai + bi+1z0. Dann gilt

p(z) = s(z)(z − z0) + b0, p(z0) = b0, p′(z0) = s(z0).

an an−1 an−2 . . . a1 a0+ 0 bn ∗ z0 bn−1 ∗ z0 . . . b2 ∗ z0 b1 ∗ z0

z0 ∗ bn bn−1 bn−2 . . . b1 b0 = p(z0)

F U N K T I O N E N

Definition

Seien A und B beliebige nichtleere Mengen. Dann heißt jede MengeR ⊆ A×B := {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B} (binäre) Relation.

Eine Relation R ⊆ A×B heißt

• linksvollständig, wenn es zu jedem a ∈ A mindestens ein b ∈ Bgibt mit (a, b) ∈ R,

• rechtseindeutig, wenn es zu jedem a ∈ A höchstens ein b ∈ B gibtmit (a, b) ∈ R,

• Funktion, wenn sie linksvollständig und rechtseindeutig ist.

Schreibweise

Sei f ⊆ A×B eine Funktion.

• Anstelle von f schreiben wir meistens f : A→ B.

• A heißt Definitionsbereich und B Zielbereich der Funktion f .

• Anstelle des Begriffs Funktion sagt man auch Abbildung.

• In (a, b) ∈ f heißt– a Argument und– f (a) := b Funktionswert zum Argument a.

• f (a) wird auch als Bild von a unter der Abbildung f bezeichnet.

• Für C ⊆ A heißt f (C) := {f (a) | a ∈ C} Bild oder Bildmenge.

• f (A) heißt Wertebereich oder Wertevorrat der Funktion f : A→ B.

• Für Y ⊆ B heißt f−1(Y ) := {a ∈ A | f (a) ∈ Y } Urbild von Y .

DefinitionEine Funktion f : A→ B heißt

• injektiv (eineindeutig), falls

a 6= b ⇒ f (a) 6= f (b)

für beliebige a, b ∈ A gilt,

• surjektiv (Abbildung auf), falls

f (A) = B,

• bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist.

Eine Funktionf : A→ B

heißt reellwertige Funktion einer reellen Veränderlichen, fallsA und B Teilmengen von R sind.

Umkehrfunktion

DefinitionSei f : A→ B bijektiv. Zu jedem b ∈ B bezeichne f−1(b) das a ∈ A mitb = f (a). Die so definierte Abbildung

f−1 : B → A

heißt Umkehrfunktion, Umkehrabbildung oder inverse Funktionvon f .

Folgerungen

• Die Umkehrfunktion f−1 von f ist bijektiv.

• Die Umkehrfunktion von f−1 ist identisch zu f .

Verkettung von Funktionen

DefinitionSeien die Funktionen f : A → B und g : C → D mit B ⊆ C gegeben.Die durch

h(a) := g(f (a)) für alle a ∈ Adefinierte Abbildung h : A → D wird als Verkettung oder Nachein-anderausführung oder Zusammensetzung der Funktionen f und gbezeichnet. Kurz schreibt man

h := g ◦ f.

Einige elementare Eigenschaften von Funktionen

• Beschränktheit

•Monotonie

• Konvexität und Konkavität

• Gerade und ungerade Funktionen

• Periodizität

Beschränktheit

DefinitionSei f : D → R gegeben. Dann heißt f auf der Menge M ⊆ D be-schränkt, wenn es eine reelle Zahl b ≥ 0 (Schranke) gibt, so dass

|f (x)| ≤ b für alle x ∈M.

f heißt auf M nach oben beschränkt, wenn bo ∈ R (obere Schranke)existiert, so dass

f (x) ≤ bo für alle x ∈M.

f heißt auf M nach unten beschränkt, wenn bu ∈ R (untere Schranke)existiert, so dass

f (x) ≥ bu für alle x ∈M.

Monotonie

DefinitionSei D ⊆ R. Dann heißt f : D → R•monoton wachsende Funktion, falls

x < y ⇒ f (x) ≤ f (y),

• streng monoton wachsende Funktion, falls

x < y ⇒ f (x) < f (y),

•monoton fallende Funktion, falls

x < y ⇒ f (x) ≥ f (y),

• streng monoton fallende Funktion, falls

x < y ⇒ f (x) > f (y)

jeweils für alle x, y ∈ D gilt.

Konvexe und konkave Funktionen

Definition

Sei I ⊆ R ein Intervall und f : I → R. Dann heißt f konvex, wenn

f (αx + (1− α)y) ≤ αf (x) + (1− α)f (y)

für alle x, y ∈ I und alle α ∈ (0, 1) gilt

Die Funktion f heißt konkav, wenn −f konvex ist.

Gerade und ungerade Funktionen

DefinitionSei D ⊆ R symmetrisch bezüglich 0, d.h. x ∈ D impliziert −x ∈ D füralle x ∈ D.

• gerade Funktion, falls

f (x) = f (−x) für alle x ∈ D,

• ungerade Funktion, falls

f (x) = −f (−x) für alle x ∈ D.

Folgerung

Sei D ⊆ R symmetrisch um 0. Jede Funktion f : D → R kann als Sum-me einer geraden Funktion g : D → R und einer ungeraden Funktionu : D → R geschrieben werden.

Setzt man nämlich

g(x) :=1

2(f (x) + f (−x)), u(x) :=

2(f (x)− f (−x)),

so ist g gerade, u ungerade und

f (x) = g(x) + u(x) für alle x ∈ D.

Periodische Funktionen

Definition

Eine Funktion f : R→ R heißt periodisch, falls p > 0 existiert, so dass

f (x + p) = f (x) für alle x ∈ R.

Die Zahl p heißt Periode der Funktion f .Die Periode einer Funktion f nennt man primitive Periode, falls eskeine kleinere Periode gibt.

Elementare Funktionen

• Rationale Funktionen

• Exponential- und Logarithmusfunktion

• Potenzfunktionen

•Winkelfunktionen und ihre Umkehrfunktionen

•Hyperbelfunktionen und ihre Umkehrfunktionen

Rationale Funktionen

DefinitionSeien p, q Polynome mit p 6≡ 0 und grad(q) ≥ 1.Dann heißt f : D → R mit

f (x) :=p(x)

q(x)für alle x ∈ D

gebrochen rationale Funktion, wobei D := {x ∈ R | q(x) 6= 0}.

• grad(q) > grad(p), so heißt f echt gebrochen,

• grad(p) ≥ grad(q), so heißt f unecht gebrochen.

Polynome werden als ganzrationale Funktionen bezeichnet.

Exponentialfunktion

Sei a > 0 gegeben.

f (x) := ax für alle x ∈ R

Die e-Funktion

e := 2.71828 . . . Eulersche Zahl

f (x) := ex für alle x ∈ R

Logarithmusfunktionals Umkehrfunktion der Exponentialfunktion

Sei 0 < a 6= 1 gegeben.

loga x := y, wobei ay = x

für alle x ∈ (0,∞)

Der natürliche Logarithmus

lnx := loge x

für alle x ∈ (0,∞)

Potenzgesetze

ax · ay = ax+y

ay= ax−y

(ax)y = ax·y

(a · b)x = ax · bx

für a > 0, b > 0, x ∈ R, y ∈ R

Logarithmengesetze

loga(u · v) = loga u + loga v

loga(uv ) = loga u − loga v

loga(uα) = α · loga u

loga u = loga b · logb u

für 0 < a 6= 1, 0 < b 6= 1, u > 0, v > 0, α ∈ R

Winkelfunktionenund ihre Umkehrfunktionen (Arcusfunktionen)

Funktion umkehrbar in Umkehrfunktion Definitionsbereichder Umkehrfunktion

sin [−π2 ,π2 ] arcsin [−1, 1]

cos [0, π] arccos [−1, 1]

tan (−π2 ,π2) arctan R

cot (0, π) arccot R

Hyperbelfunktionen

Sinus hyperbolicus Cosinus hyperbolicus

sinhx :=ex − e−x

2coshx :=

ex + e−x

für x ∈ R

Tangens hyperbolicus tanhx := sinhxcoshx für x ∈ R

Cotangens hyperbolicus cothx := coshxsinhx für x ∈ R \ {0}

Hyperbel und hyperbolische Funktionen

Eine Hyperbel besteht aus allen Punkten (x, y) ∈ R× R, die

a2− y2

b2= 1 (Hyperbelgleichung)

genügen, wobei a > 0 und b > 0 gegeben sind.

Die Hyperbeläste lassen sich durch die Parameterdarstellungen

(x(t), y(t)) := (−a cosh t, b sinh t) −∞ < t <∞bzw.

(x(t), y(t)) := (a cosh t, b sinh t) −∞ < t <∞beschreiben.

cosh2 t− sinh2 t = 1 für alle t ∈ R

Areafunktionensind die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen

Funktion Darstellung der DefinitionsbereichUmkehrfunktion der Umkehrfunktion

sinh arsinhx = ln(x +√x2 + 1

cosh arcoshx = ln(x +√x2 − 1) [1,∞)

x ≥ 0

tanh artanhx = ln√

1+x1−x (−1, 1)

coth arcothx = ln√

x+1x−1 R \ [−1, 1]

x 6= 0

Grenzwerte und Stetigkeit

δ–Umgebung

Sei x ∈ R und δ > 0. Dann heißt die Menge

Uδ(x) := {z ∈ R | |z − x| < δ} = (x− δ, x + δ)

δ–Umgebung von x.

Innerer Punkt

x ∈ D heißt innerer Punkt der Menge D ⊆ R, wenn es ein δ > 0 gibt,so dass

Uδ(x) ⊆ D.

Häufungspunkt

x ∈ R heißt Häufungspunkt der Menge D ⊆ R, falls in jederδ–Umgebung von x mindestens ein y ∈ D mit y 6= x enthalten ist.

Randpunkt

x ∈ R heißt Randpunkt der Menge D ⊆ R, falls in jeder δ–Umgebungvon x mindestens ein y ∈ R mit y /∈ D und mindestens ein z ∈ Denthalten ist.

Isolierter Punkt

x ∈ D heißt isolierter Punkt von D, falls es eine δ–Umgebung von xgibt, so dass

D ∩ Uδ(x) = {x}.

Offene und abgeschlossene Mengen

D ⊆ R heißt

• offene Menge, wenn sie nur innere Punkte enthält.

• abgeschlossene Menge, wenn sie alle ihre Randpunkte enthält.

Zahlenfolgen

Definition

Sei N ⊆ N ∪ {0}mit unendlich vielen Elementen.Jede Abbildung f : N → R heißt Zahlenfolge bzw. kurz Folge.

Man schreibt dafür (a1, a2, . . . , an, . . .) oder kurz

(an) oder (an)N ,

wobei an := f (n) für n ∈ N .

Enthält N nur endlich viele Elemente, so heißt (an)N endliche Folge.

Teilfolgen

Definition

Die Folge (an)N sei durch f : N → R gegeben.Die Menge K ⊂ N enthalte unendlich viele Elemente.

Jede Abbildung f : K → R mit f (k) := ak für alle k ∈ K heißt Teilfolgeder Folge (an)N und wird durch

(ak)K oder (an`)`∈N := (an1, an2, . . . , an`, . . .)

bezeichnet, wobei n1, n2, . . . , n` . . . die Zahlen in K durchläuft.

Ist K endlich, so spricht man von einer endlichen Teilfolge.

Grenzwert einer Zahlenfolge

DefinitionEine Zahl a heißt Grenzwert oder Limes der Zahlenfolge (an)N, wennes zu jedem ε > 0 ein n0 ∈ N gibt, so dass

|a− an| < ε

für alle n ≥ n0 gilt. Man sagt die Folge (an)N konvergiert gegen a undschreibt

a = limn→∞

an oder an→ a für n→∞.

Nullfolge

DefinitionEine Zahlenfolge (an)N heißt Nullfolge, wenn lim

n→∞an = 0.

Analog definiert man diese und andere Begriffe für (an)N anstelle von (an)N.

Divergente Folgen

Wenn eine Folge (an)N nicht konvergiert, dann heißt sie divergent.Falls (an)N• nicht nach oben beschränkt ist (es gibt also kein M ∈ R mit an ≤M

für alle n ∈ N), so heißt die Folge bestimmt divergent gegen∞ undman schreibt

limn→∞

an =∞,

• nicht nach unten beschränkt ist (es gibt also keinM ∈ R mit an ≥Mfür alle n ∈ N), so heißt die Folge bestimmt divergent gegen −∞und man schreibt

limn→∞

an = −∞.

In diesem Zusammenhang bezeichnet man∞ bzw. −∞ auch alsuneigentlichen Grenzwert der Folge.

Cauchy-Folge

Definition

Eine Zahlenfolge (an)N heißt Cauchy-Folge, wenn es zu jedem ε > 0ein n0 ∈ N gibt, so dass

|an − am| < ε für alle m,n ≥ n0

Cauchysches Konvergenzkriterium

SatzEine Zahlenfolge (an) ist genau dann konvergent, wenn (an) eineCauchy-Folge ist.

Infimum und Supremum

Definition

Sei (an)N eine Zahlenfolge. Wenn es Zahlen a, b gibt, so dass

a ≤ an ≤ b für alle n ∈ N,so heißt (an)N beschränkt, wobei man a eine untere Schranke undb eine obere Schranke nennt.

Die größte mögliche untere Schranke heißt Infimum der Folge (an)Nund wird mit inf

n∈Nan

bezeichnet.

Die kleinste mögliche obere Schranke heißt Supremum der Folge(an)N und wird mit sup

n∈Nan

bezeichnet.

Der Satz von Bolzano-Weierstrass

SatzJede beschränkte Zahlenfolge besitzt eine konvergente Teilfolge.

Monotonieeigenschaften von Zahlenfolgen

Definition

Eine Zahlenfolge (an)N heißt

•monoton wachsend, wenn an ≤ an+1 für alle n ∈ N,

• streng monoton wachend, wenn an < an+1 für alle n ∈ N,

•monoton fallend, wenn an ≥ an+1 für alle n ∈ N,

• streng monoton fallend, wenn an > an+1 für alle n ∈ N.

Satz zur Konvergenz monotoner Folgen

SatzEine beschränkte Zahlenfolge ist konvergent, wenn sie monotonwachsend oder monoton fallend ist.

Gesetze zum Rechnen mit Grenzwerten

Seien (an)N, (bn)N Zahlenfolgen und α ∈ R.

Wenn limn→∞

an und limn→∞

bn in R existieren, dann gilt

• limn→∞

(an + bn) = limn→∞

an + limn→∞

• limn→∞

(an · bn) = limn→∞

an · limn→∞

• limn→∞

=limn→∞

limn→∞

bn, falls lim

n→∞bn 6= 0,

• limn→∞

(αan) = α limn→∞

• an ≤ bn für alle n ∈ N ⇒ limn→∞

an ≤ limn→∞

Die Rechengesetze gelten auch für bestimmte Kombinationenuneigentlicher Grenzwerte (mit c ∈ R):

∞ +∞ =∞, ∞ · ±∞ = ±∞, c

±∞= 0

Die Rechengesetze gelten jedoch insbesondere in folgenden Fällennicht:

′′∞−∞′′, ′′0 · ∞′′,′′∞∞′′,′′0

′′

Grenzwerte von Funktionswerten

DefinitionSeien D, V ⊆ R, f : D → V , x ∈ D und y ∈ R.

Für jede Folge {xn} ⊂ D \ {x}mit limn→∞

xn = x gelte

limn→∞

f (xn) = y.

Dann heißt y Grenzwert der Funktionswerte von f für x gegen x oderkurz Grenzwert von f in x.

Wenn y Grenzwert von f in x ist, so schreibt man an Stelle von y auch

limx→x

DefinitionSeien D, V ⊆ R, f : D → V , x ∈ D und y ∈ R.

Für jede Folge {xn} ⊂ D ∩ (−∞, x) mit limn→∞

xn = x gelte

limn→∞

f (xn) = y.

Dann heißt y linksseitiger Grenzwert von f in x.

Gilt das für jede Folge {xn} ⊂ D ∩ (x,∞) mit limn→∞

xn = x, so heißt yrechtsseitiger Grenzwert von f in x.

Wenn y linksseitiger bzw. rechtsseitiger Grenzwert von f in x ist, soschreibt man an Stelle von y auch

limx→x−0

f (x) bzw. limx→x+0

Falls eine der vorangegangenen Definitionen für y := −∞ bzw. y :=∞anwendbar ist, so heißt y

• uneigentlicher Grenzwert von f in x bzw.

• uneigentlicher linksseitiger Grenzwert von f in x bzw.

• uneigentlicher rechtsseitiger Grenzwert von f in x.

Für das Rechnen mit Grenzwerten lim f (x) und lim g(x) gelten analogeRechengesetze wie für Zahlenfolgen.

Stetigkeit

DefinitionSeien D ⊆ R und a ∈ D. Eine Funktion f : D → R heißt stetig in a,wenn

limx→a

f (x) = f (a)

oder wenn a isolierter Punkt von D ist. Andernfalls heißt f unstetig ina oder nicht stetig in a.

f heißt stetig auf D, falls f in allen Punkten aus D stetig ist.

Links- und rechtsseitige Stetigkeit

DefinitionSeien D ⊆ R und a ∈ D. Eine Funktion f : D → R heißt

• linksseitig stetig in a, wenn

limx→a−0

f (x) = f (a),

• rechtsseitig stetig in a, wenn

limx→a+0

f (x) = f (a).

SatzSeien D ⊆ R und a ein innerer Punkt von D.Dann ist f : D → R genau dann stetig in a, wenn f in a links- undrechtsseitig stetig ist.

SatzSeien D ⊆ R. Die Funktion f : D → R ist genau dann stetig in a ∈ D,wenn zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dass

x ∈ D und |x− a| < δ ⇒ |f (x)− f (a)| < ε

Klassifikation von Unstetigkeitsstellen

Seien D ⊆ R und f : D → R.Falls f in a ∈ D unstetig ist, so heißt a

• hebbare Unstetigkeit, falls

limx→a−0

f (x) = limx→a+0

f (x) ∈ R,

• Unstetigkeitsstelle 1. Art oder Sprungstelle, falls der links- undrechtsseitige Grenzwert von f in a existieren und

limx→a−0

f (x) 6= limx→a+0

f (x),

• Unstetigkeitsstelle 2. Art, falls der links- oder rechtsseitige Grenz-wert von f in a nicht existiert.

Unstetigkeitsstellen 2. Art

• a ist eine Polstelle, d.h.der links- oder rechtsseitige Grenzwert von f in a ist uneigentlich.

• a ist eine oszillatorische Unstetigkeit, d.h.der links- oder rechtsseitige Grenzwerte von f in a existiert nichtund es gibt b ∈ R gibt, so dass|f (x)| ≤ b <∞ für alle x in einer Umgebung von a

Auch wenn a nicht zum Definitionsbereich D gehört, verwendet man meist obigeSprechweise zur Chrakteriserung des Verhaltens von f in oder in der Nähe von a.

Eigenschaften stetiger Funktionen

Zwischenwertsatz

SatzSei f : [a, b] → R stetig. Weiter sei y eine beliebige Zahl zwischen f (a)und f (b). Dann gibt es mindestens ein x ∈ [a, b] mit

f (x) = y.

Eine stetige Funktion f : [a, b]→ R nimmt also alle Wertezwischen f (a) und f (b) an.

Existenz von Nullstellen

SatzIst f : [a, b] → R stetig und gilt f (a) · f (b) < 0, so besitzt f mindestenseine Nullstelle in (a, b).

Intervallhalbierungsverfahren

Sei f : [a, b]→ R stetig mit f (a) · f (b) < 0.

1. Wähle tol ≥ 0.Setze a0 := a, b0 := b, i := 0.

2. Wenn |ai − bi| ≤ tol, dann STOPP (Nullstelle liegt in (ai, bi)).

3. Setze x := 12(ai + bi).

4. Wenn dannf (x) · f (ai) < 0 ai+1 := ai, bi+1 := xf (x) · f (ai) > 0 ai+1 := x, bi+1 := bif (x) = 0 STOPP (x ist Nullstelle)

5. Setze i := i + 1 und gehe zu 2.

Stetigkeit elementarer Funktionen

Die Funktionen

sin, cos, tan, cot arcsin, arccos, arctan, arccot

sinh, cosh, tanh, coth arsinh, arcosh, artanh, arcoth

ax loga x

xa a√x

sowie Polynome und gebrochen rationle Funktionen

sind stetig auf ihrem jeweiligen Definitionsbereich (für jeweils zu-lässige Parameter a).

“Vererbung” der Stetigkeit

Sind f : D → R und g : D → R stetig im Punkt a ∈ D, so sind

f + g, f − g, f · g undf

g(falls g(a) 6= 0)

auch stetig in a.

Seien f : A→ B und g : B → C gegeben.Wenn f in a ∈ A und g in f (a) ∈ B stetig sind, dann ist die verketteteFunktion

g ◦ f : A→ Cstetig in a.

Extremalstellen

Sei D ⊆ R und f : D → R.x0 ∈ D heißt Maximalstelle von f , wenn

f (x0) ≥ f (x) für alle x ∈ D.Falls eine Maximalstelle existiert, so heißt f (x0) das Maximum von fauf D, kurz schreibt man dafür

maxx∈D

f (x).

x0 ∈ D heißt Minimalstelle von f , wenn

f (x0) ≤ f (x) für alle x ∈ D.Falls eine Minimalstelle existiert, so heißt f (x0) das Minimum von fauf D, kurz schreibt man dafür

minx∈D

f (x).

Satz von Weierstraß

SatzSei f : [a, b] → R stetig. Dann ist f beschränkt und besitzt Maximumund Minimum, d.h. es existieren x0 ∈ [a, b] und x1 ∈ [a, b] mit

f (x0) ≤ f (x) ≤ f (x1) für alle x ∈ [a, b].

Eine auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall stetigeFunktion nimmt dort Maximum und Minimum an.

Allgemeiner gilt:Sei D ⊂ R abgeschlossenen und beschränkt. Dann nimmt jede stetigeFunktion f : D → R auf D Maximum und Minimum an.

Differenzierbarkeit

Differenzenquotient

DefinitionSeien f : D → R mit D ⊆ R und x, x0 ∈ D mit x 6= x0.Dann heißt

f (x)− f (x0)

x− x0

Differenzenquotient von f bezüglich der Punkte x und x0.

Kurz schreibt man dafür auch∆y

wobei∆y := f (x)− f (x0) und ∆x := x− x0.

Differenzierbarkeit und Differenzialquotient

DefinitionSei f : D → R mit D ⊆ R und x0 sei innerer Punkt von D.

f heißt differenzierbar im Punkt x0, wenn der Grenzwert

limx→x0

f (x)− f (x0)

x− x0

existiert. Der Grenzwert wird dann mit

f ′(x0) oderd f

d x(x0) oder

d x|x=x0

bezeichnet und Ableitung oder Differenzialquotient von f in x0 ge-nannt.

SatzSei f : D → R mit D ⊆ R in x0 ∈ D differenzierbar.Dann ist f stetig in x0.

DefinitionSei D ⊆ R offen und f : D → R sei in jedem Punkt von D differenzier-bar. Dann heißt f differenzierbar.

Die durch x 7→ f ′(x) definierte Abbildung f ′ : D → R heißt dann Ab-leitung von f .

Falls f ′ in x0 ∈ D stetig ist, heißt f stetig differenzierbar in x0.

Rechts- und linksseitige Differenzierbarkeit

DefinitionSeien f : D → R mit D ⊆ R und x0 ∈ D.

Falls [x0, x0 + δ) ⊆ D für ein δ > 0 und der Grenzwert

limx→x0+0

f (x)− f (x0)

x− x0

existiert, so heißt f rechtsseitig differenzierbar in x0.

Falls (x0 − δ, x0] ⊆ D für ein δ > 0 und der Grenzwert

limx→x0−0

f (x)− f (x0)

x− x0

existiert, so heißt f linksseitig differenzierbar in x0.

SatzEine Funktion f : D → R mit D ⊆ R ist in einem inneren Punkt x0von D genau dann differenzierbar, wenn rechts- und linksseitigerGrenzwert des Differenzenquotienten in x0 existieren und gleich sind.

Regeln zum Differenzieren

Seien D ⊆ R offen und α ∈ R.Weiter seien f, g : D → R differenzierbar.

• (f + g)′ = f ′ + g′ Summenregel

• (α · f )′ = α · f ′

• (f · g)′ = f ′ · g + f · g′ Produktregel

•(fg

)′=f ′ · g − f · g′

g2 , g(x) 6= 0 Quotientenregel

• (f ◦ g)′ = (f ′ ◦ g) · g′ Kettenregel

Ableitung mittels Umkehrfunktion

SatzSei D ⊆ R offen. Weiter sei f : D → R bijektiv und differenzierbar.Dann gilt für alle x ∈ D

(f−1)′(f (x)) · f ′(x) = 1.

Logarithmisches Differenzieren

SatzSei D ⊆ R offen. Weiter sei f : D → (0,∞) differenzierbar.Dann gilt für alle x ∈ D

(ln f (x))′ =f ′(x)

f (x).

(ln f )′ heißt auch logarithmische Ableitung von f .

Ableitung von Grundfunktionen

(xa)′ = a · xa−1 (a ∈ R, a 6= 0)

(sinx)′ = cosx

(cosx)′ = − sinx

(sinhx)′ = coshx

(coshx)′ = sinhx

(ex)′ = ex

(ax)′ = ax · ln a (a > 0)

(lnx)′ = 1x (x > 0)

(loga x)′ = 1x·ln a (x > 0, 1 6= a > 0)

Höhere Ableitungen

DefinitionSei D ⊆ R offen. Weiter sei f : D → R differenzierbar.Ist f ′ differenzierbar so heißt f zweimal differenzierbar und

f ′′ := (f ′)′

zweite Ableitung von f .

Ist die n-te Ableitung f (n) von f differenzierbar, dann heißt f(n + 1)-mal differenzierbar und

f (n+1) := (f (n))′

(n+1)-te Ableitung von f .

Für f (n) schreibt man auch dnfd xn

. Anstelle f (3) schreibt man f ′′′.

DefinitionEine n-mal differenzierbare Funktion f : D → R heißt n-mal stetigdifferenzierbar, falls f (n) : D → R stetig ist.

Lineare Approximation und Ableitung

SatzSeien D ⊆ R, x0 innerer Punkt von D und f : D → R.Dann ist f in x0 genau dann differenzierbar, wenn es g ∈ R gibt, so dass

limx→x0

f (x)− f (x0)− g · (x− x0)

x− x0= 0.

Im Falle der Differenzierbarkeit gilt

g = f ′(x0).

Die Funktion L : R→ R mit

L(x) := f (x0) + f ′(x0) · (x− x0)

heißt Linearisierung oder lineare Approximation von f in x0.

Fehlerrechnung und -fortpflanzung

Wie wirken sich Fehler in Eingangsdaten auf Ergebnis aus?

x Näherungswert für x

f (x) Näherungswert für f (x)

Absoluter Fehler

f (x)− f (x) ≈ f ′(x)(x− x)

Relativer Fehler

f (x)− f (x)

f (x)≈ f ′(x)(x− x)

Der Mittelwertsatz

SatzSei f : [a, b]→ R stetig und in (a, b) differenzierbar.Dann gibt es mindestens ein x0 ∈ (a, b) mit

f ′(x0) =f (b)− f (a)

b− a.

Folgerung (Satz von Rolle)

Zusätzlich zu den Voraussetzungen den Mittelwertsatzes sei f (a) =f (b) = 0. Dann gibt es mindestens ein x0 ∈ (a, b) mit

f ′(x0) = 0.

Verallgemeinerter Mittelwertsatz

Seien f, h : [a, b] → R stetig und in (a, b) differenzierbar und es gelteh′(x) 6= 0 für alle x ∈ (a, b).

Dann existiert ein x0 ∈ (a, b) mit

f ′(x0)

h′(x0)=f (b)− f (a)

h(b)− h(a).

Die Regel von Bernoulli-l’Hospital

SatzSeien f, g : (a, b)→ R differenzierbar und x0 ∈ [a, b].Weiter sei g′(x) 6= 0 für alle x ∈ (a, b) und es gelte

limx→x0

f (x) = limx→x0

g(x) ∈ {0,∞,−∞}.

limx→x0

f ′(x)

g′(x)∈ R ∪ {−∞,∞},

folgt dann

limx→x0

g(x)= limx→x0

f ′(x)

g′(x).

Die Aussage gilt analog, falls x→ x0 ersetzt wird durch

x→∞, x→ −∞, x→ x0 + 0 oder x→ x0 − 0.

Der Taylorsche Satz

Vorbereitung

SatzSeien pn : R→ R ein Polynom und x0 ∈ R.Dann gilt

pn(x) = a0 + a1(x− x0) + · · · + an(x− x0)n =

n∑k=0

ak(x− x0)k

ak :=p

(k)n (x0)

k!(k = 0, 1, . . . , n).

Das Taylorsche Polynom

DefinitionSeien D ⊆ R offen. Weiter sei f : D → R n-mal differenzierbar inx0 ∈ D. Dann heißt das Polynom Tn : R→ R mit

Tn(x) :=

n∑k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)k

Taylorsches Polynom n−ten Grades zur Funktion f für die Entwick-lungsstelle x0.

Der Taylorsche Satz

Sei D ⊆ R ein offenes Intervall. Die Funktion f : D → R sei (n+ 1)-malstetig differenzierbar. Weiter sei x0 ∈ D. Dann gibt es zu jedem x ∈ Deine Zahl θ ∈ (0, 1), so dass

f (x) = Tn(x) + Rn(x) =

n∑k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)k + Rn(x),

Rn(x) :=f (n+1)(x0 + θ(x− x0))

(n + 1)!(x− x0)n+1

Restglied (in der LAGRANGE-Form) heißt.

Charakterisierung von Konvexität und Monotoniebei differenzierbaren Funktionen

Sei D ⊆ R ein offenes Intervall und f : D → R zweimal differenzier-bar. Dann gilt:

f ist konvex ⇔ f ′ ist monoton wachsend ⇔ f ′′(x) ≥ 0 auf D

f ist konkav ⇔ f ′ ist monoton fallend ⇔ f ′′(x) ≤ 0 auf D

Lokale Extremalstellen

DefinitionSeien D ⊆ R und f : D → R. Dann heißt x0 ∈ D lokale Maximalstellevon f , wenn es δ > 0 gibt, so dass

f (x0) ≥ f (x) für alle x ∈ D ∩ Uδ(x0).

x0 heißt lokale Minimalstelle von f , wenn es δ > 0 gibt, so dass

f (x0) ≤ f (x) für alle x ∈ D ∩ Uδ(x0).

Der Funktionswert f (x0) heißt dann entsprechend lokales Maximumbzw. lokales Minimum.

Statt ”lokal” sagt man auch ”relativ”.

Notwendige Optimalitätsbedingung erster Ordnung

SatzSeien D ⊆ R und f : D → R. Weiter sei x0 ∈ D eine lokale Extremal-stelle von f .

Falls x0 kein Randpunkt von D ist und f ′(x0) existiert, so gilt

f ′(x0) = 0.

Notwendige Optimalitätsbedingung zweiter Ordnung

SatzSeien D ⊆ R und f : D → R. Weiter sei x0 ∈ D eine lokale Extremal-stelle von f .

Falls x0 kein Randpunkt von D ist und f in einer δ-Umgebung von x0zweimal stetig differenzierbar ist, so gilt

f ′′(x0)

≥ 0, falls x0 lokale Minimalstelle,

≤ 0, falls x0 lokale Maximalstelle.

Hinreichende Optimalitätsbedingungenfür lokale Extremalstellen

SatzSeien D ⊆ R, f : D → R und x0 innerer Punkt von D. Weiter sei-en f zweimal stetig differenzierbar in einer δ-Umgebung von x0 undf ′(x0) = 0. Dann gilt:

f ′′(x0) > 0 ⇒ x0 ist lokale Minimumstelle von f

undf ′′(x0) < 0 ⇒ x0 ist lokale Maximalstelle von f.

Hinreichende Optimalitätsbedingungenfür globale Extremalstellen

SatzSeien D ⊆ R ein Intervall, f : D → R konvex und x0 ∈ D. Dann gilt:

a) Wenn x0 lokale Minimalstelle von f ist, dann ist x0 auch globale Mi-nimalstelle von f .

b) Wenn f stetig differenzierbar und f ′(x0) = 0, dann ist x0 auch glo-bale Minimalstelle von f .

Fixpunkte

Fixpunkt einer Funktion

DefinitionSeien D ⊆ R und f : D → R. Wenn x∗ ∈ D die Gleichung

x = f (x)

löst, dann heißt x∗ Fixpunkt der Funktion f .Die vorstehende Gleichung wird Fixpunktgleichung genannt.

Banachscher Fixpunktsatz

Seien D ⊆ R und f : D → R und es gelte:

• f bildet D in sich ab, d.h. f (D) ⊆ D,•D ist abgeschlossen,• f ist kontraktiv, d.h. es gibt q < 1, so dass

|f (x)− f (y)| ≤ q|x− y| für alle x, y ∈ D.

Dann besitz f genau einen Fixpunkt x∗ ∈ D und die durch

xk+1 := f (xk)

definierte Folge (xk) konvergiert für jeden Startwert x0 ∈ D gegen denFixpunkt x∗ und es gilt

|xk − x∗| ≤qk

1− q |x1 − x0| a-priori Abschätzung,

|xk − x∗| ≤q

1− q |xk+1 − xk| a-posteriori Abschätzung.

Das Newton-Verfahren

zur Lösung von Gleichungen (Nullstellenbestimmung)

f (x) = 0

Newton-Verfahren

Seien D ⊆ R offen und f : D → R stetig differenzierbar.

1. Wähle x0 ∈ D. Setze k := 0.

2. Bestimme (falls möglich) xk+1 als Lösung der Gleichung

f (xk) + f ′(xk)(x− xk) = 0.

3. Setze k := k + 1 und gehe zu Schritt 2.

In einer Implementierung wird zu Beginn von Schritt 2 ein Abbruchtest verwendet.

Lokale Konvergenz des Newton-Verfahrens

SatzSeien D ⊆ R offen und f : D → R stetig differenzierbar.Weiter sei x∗ ∈ D eine Nullstelle von f mit f ′(x∗) 6= 0.

Dann gibt es δ > 0, so dass das Newton-Verfahren für jeden Startpunktx0 ∈ Uδ(x∗) wohldefiniert ist und eine gegen x∗ konvergente Folge (xk)erzeugt.

Ist f ′ auch Lipschitz-stetig auf Uδ(x∗), d.h. es gibt L > 0, so dass

|f ′(x)− f ′(y)| ≤ L|x− y| für alle x, y ∈ Uδ(x∗),dann konvergiert die Folge (xk) sogar Q-quadratisch gegen x∗, d.h. esgibt C > 0 so dass

|xk+1 − x∗| ≤ C|xk − x∗|2 für k = 0, 1, 2, . . .

Unbestimmtes Integral

DefinitionSeien I ⊆ R ein Intervall und f : I → R, F : I → R Funktionen, sodass F differenzierbar ist und

F ′ = f.

Dann heißt F Stammfunktion von f .

Die Menge aller Stammfunktionen von f wird mit∫f (x) dx

bezeichnet und heißt unbestimmtes Integral des Integranden f .Man schreibt auch ∫

f (x) dx = F (x) + C

mit einer unbestimmten Konstanten C ∈ R.

Jede stetige Funktion f : I → R besitzt eine Stammfunktion.

Einige unbestimmte Integrale

Funktion Stammfunktionf (x) = F (x) =

xn 1n+1x

n+1 (n ∈ Z, n 6= −1)

xa 11+ax

a+1 (a ∈ R, a 6= −1, x > 0)1x ln |x| (x 6= 0)

lnx −x + x lnx (x > 0)sinx − cosxcosx sinxsinhx coshxcoshx sinhx

11+x2 arctanx

Integrationregeln und -techniken

Linearität des unbestimmten Integrals

SatzSeien α, β ∈ R und f, g : I → R Funktionen, die Stammfunktionenbesitzen. Dann gilt∫

(αf (x) + βg(x)) dx = α

∫f (x) dx + β

∫g(x) dx.

Substitutionsregel

SatzSeien I, J Intervalle, f : J → R stetig mit Stammfunktion F : J → Rund ϕ : I → Wϕ ⊆ J stetig differenzierbar.

Falls die Umkehrfunktion ϕ−1 : Wϕ→ I existiert, gilt∫f (ϕ(x))ϕ′(x) dx = F (ϕ(x)) + C.

Partielle Integration

Seien u, v : I → R stetig differenzierbare Funktionen. Dann gilt∫u′(x) · v(x) dx = u(x) · v(x)−

∫u(x)v′(x) dx.

Partialbruchzerlegung undIntegration gebrochen rationaler Funktionen

Polynome mit reellen Koeffizienten

Sei z∗ := a∗ + b∗ i mit b 6= 0 Nullstelle eines Polynoms mit reellen Koef-fizienten.

Dann ist auch z∗ := a∗ − b∗ i Nullstelle dieses Polynoms.

Echt komplexe Nullstellen eines reellen Polynoms treten also immerpaarweise auf.

Für das Produkt der zugehörigen Linearfaktoren ergibt sich derquadratische Faktor

(z − z∗)(z − z∗) = z2 − 2a∗z + (a2∗ + b2∗)

Zerlegung eines reellen Polynomsin Linearfaktoren und quadratische Faktoren

Das Polynom q : C→ C mit q(z) :=m∑j=1

besitze nur reelle Koeffizienten a0, . . . , am mit am 6= 0.Weiter seien x1, . . . , xr ∈ R Nullstellen von q mit den Vielfachheitenµ1, . . . , µr und (z1, z1), . . . , (zs, zs) ∈ C komplexe Nullstellenpaare vonq mit den Vielfachheiten ν1, . . . , νs.

Dann gilt µ1 + · · · + µr + 2(ν1 + · · · + νs) = m und

q(z) = am

r∏k=1

(z − xk)µks∏k=1

(z2 + αkz + βk)νk

mit αk := −2Re(zk) und βk := |zk|2.

Partialbruchzerlegung

Sei q ein reelles Polynom vom Gradm. Weiter sei p ein reelles Polynomvom Grad n mit n < m. Dann gibt es eindeutig bestimmte Koeffizien-ten akj, bkj, ckj , so dass

p(z)q(z)

=r∑k=1

µk∑j=1

akj(z − xk)j

+s∑k=1

νk∑j=1

bkjz + ckj(z2 + αkz + βk)j

z − x1+ · · ·+ a1µ1

(z − x1)µ1+ · · ·+ ar1

z − xr + · · ·+ arµr(z − xr)µr

+b11z + c11

z2 + α1z + β1+ · · · + b1ν1

z + c1ν1

(z2 + α1z + β1)ν1+ · · ·+

+bs1z + cs1

z2 + αsz + βs+ · · · + bsνsz + csνs

(z2 + αsz + βs)νs.

Schritte zur Partialbruchzerlegung

Gegeben seien reelles Zählerpolynom p vom Grad n und ein reellesNennerpolynom q vom Grad m.

• Falls n ≥ m, dann liefert Polynomdivision

q(z)= g(z) +

Dabei ist der Grad des Polynoms g gleich n −m und der Grad desPolynoms p kleiner als m.

• Zerlegen des Nennerpolynoms q in Linearfaktoren und/oder qua-dratische Faktoren

• Aufstellen des Ansatzes für die Partialbruchzerlegung für p(z)q(z)

• Bestimmung der Koeffizienten der Partialbrüche

Integration von Partialbrüchen

(z − ξ)µdz =

a ln |z − ξ| falls µ = 1

a1− µ(z − ξ)−µ+1 falls µ 6= 1

∫bz + c

z2 + αz + βdz =

2ln(z2 + αz + β) +

c− αβ2√

β − α2

arctanz + α

2√β − α2

∫bz + c

(z2 + αz + β)νdz → Formelsammlungen u. Lehrbücher

Das bestimmte Integral

Sei f : [a, b]→ R beschränkt.

Teilung T des Intervalls [a, b] in Teilintervalle

∆1 := [x0, x1], ∆2 := [x1, x2], . . . ,∆n := [xn−1, xn]

Schranken für Höhe der Streifenflächen

Mi := supx∈∆i

f (x) bzw. mi := infx∈∆i

Obere und untere Schranken für Inhalte der Streifenflächen

Mi(xi+1 − xi) bzw. mi(xi+1 − xi)

Obersumme bzw. Untersumme

O(T ) :=

n∑i=1

Mi(xi+1 − xi) bzw. U(T ) :=

n∑i=1

mi(xi+1 − xi)

Oberintegral bzw. Unterintegral

O := infTO(T ) bzw. U := sup

TU(T )

Das Riemannsche Integral

DefinitionSei f : [a, b]→ R eine beschränkte Funktion.Dann heißt f auf [a, b] Riemann-integrierbar, falls das Unter- und dasOberintegral von f in R existieren und übereinstimmen (U = O).Der gemeinsame Wert wird bestimmtes Riemannsches Integral vonf über [a, b] genannt und mit ∫ b

af (x) dx

bezeichnet.Dabei heißen a bzw. b untere bzw. obere Integrationsgrenze,[a, b] Integrationsintervall, x Integrationsvariable und f Integrand.

Integrierbarkeit stetiger Funktionen

SatzFalls f : [a, b] → R stetig oder stückweise stetig ist, dann ist f auf [a, b]integrierbar.

DefinitionEine Funktion f : [a, b] → R heißt stückweise stetig, wenn f für allex ∈ [a, b] mit Ausnahme endlich vieler hebbarer Unstetigkeitsstellenoder Unstetigkeitsstellen 1. Art (Sprungstellen) stetig ist.

Mittelwertsatz der Integralrechnung

SatzSei f : [a, b]→ R stetig. Dann existiert ein ξ ∈ (a, b) mit∫ b

af (x) dx = f (ξ)(b− a).

Verallgemeinerter Mittelwertsatz

Seien f : [a, b]→ R und g : [a, b]→ R stetig.Falls g(x) ≥ 0 für alle x ∈ (a, b), so existiert ein ξ ∈ (a, b) mit∫ b

af (x)g(x) dx = f (ξ)

ag(x) dx.

Rechenregeln für bestimmte Integrale

Seien f, g : [a, b] → R integrierbar sowie c ∈ (a, b) und α, β ∈ R. Danngilt:

•∫ b

a(αf (x) + βg(x)) dx = α

af (x) dx + β

ag(x) dx,

∣∣∣∣∣∫ b

af (x) dx

∣∣∣∣∣ ≤∫ b

a|f (x)|dx,

•∫ b

af (x) dx =

af (x) dx +

cf (x) dx.

Seien f : [a, b]→ R integrierbar und f (x) ≥ 0 für alle x ∈ (a, b).Dann gilt ∫ b

af (x) dx ≥ 0.

Ist f außerdem stetig, dann gilt∫ b

af (x) dx = 0 ⇔ f = 0.

Erster Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

Sei f : [a, b]→ R stetig. Dann ist die Funktion F : [a, b]→ R mit

F (x) :=

af (t) dt für alle x ∈ [a, b]

eine Stammfunktion von f .

Für jede andere Stammfunktion F1 von f gilt

F1(x) = F (x) + C für alle x ∈ [a, b]

mit einem passenden C > 0.

Zweiter Hauptsatz der Differenzial-und Integralrechnung

Sei f : [a, b]→ R stetig und F : [a, b]→ R Stammfunktion von f .Dann gilt ∫ b

af (x) dx = F (b)− F (a).

Man schreibt dafür auch

F (x)|ba oder [F (x)]ba .

Volumen und Mantelflächeninhalt von Rotationskörpern

Rotationskörper

Sei f : [a, b]→ R eine stetige Funktion.Rotiert der Funktionsgraph

{(x, f (x)) |x ∈ [a, b]}um die x−Achse, so entsteht der durch die Funktion f erzeugteRotationskörper

∣∣∣∣x ∈ [a, b], y2 + z2 ≤ f (x)2

Entsprechend modifizierte Definition bei Rotation um andere Achsen.

Volumen und Mantelflächeninhalt von Rotationskörpern

SatzSei f : [a, b] → R stetig. Dann besitzt der von f (bei Rotation um diex-Achse) erzeugte Rotationskörper das Volumen

V := π

af2(x) dx.

Falls f stetig differenzierbar und f (x) ≥ 0 für alle x ∈ [a, b], dann hatder Rotationskörper den Mantelflächeninhalt

AM := 2π

af (x)

√1 + f ′(x)2 dx.

Parameterintegrale und ihre Differenziation

Parameterintegral

DefinitionSeien f : [a, b]× R→ R sowie g, h : [a, b]→ R.Weiter sei f (x, ·) : R→ R für alle x ∈ [a, b] integrierbar.

Dann heißt die Funktion F : [a, b]→ R mit

F (x) :=

∫ h(x)

g(x)f (x, y) dy für x ∈ [a, b]

Parameterintegral mit dem Parameter x.

Differenziation des ParameterintegralsLeibnizsche Regel

SatzSeien f : [a, b]× R→ R und g, h : [a, b]→ R. Weiter seien– f (x, ·) : R→ R integrierbar für alle x ∈ [a, b],– f (·, y) stetig differenzierbar für alle y ∈ R und– g, h stetig differenzierbar.

Dann ist F stetig differenzierbar mit

F ′(x) = ddx

h(x)∫g(x)

f (x, y) dy

=h(x)∫g(x)

∂ f (x,y)∂x dy + f (x, h(x))h′(x)− f (x, g(x))g′(x).

Uneigentliche Integrale erster Art

Jeder der Grenzwerte

•∞∫af (x) dx := lim

v→∞

v∫af (x) dx,

•b∫−∞

f (x) dx := limu→−∞

b∫uf (x) dx,

•∞∫−∞

f (x) dx := limu→−∞

c∫uf (x) dx + lim

v→∞

v∫cf (x) dx

heißt (falls er in R existiert) uneigentliches Integral erster Art.

Uneigentliche Integrale zweiter Art

Jeder der Grenzwerte

•b∫af (x) dx := lim

u→a+0

b∫uf (x) dx (mit a Polstelle von f )

v→b−0

v∫af (x) dx (mit b Polstelle von f )

u→a+0

c∫uf (x) dx + lim

v→b−0

v∫cf (x) dx

(mit a, b Polstellen von f und c ∈ (a, b))

heißt (falls er in R existiert) uneigentliches Integral zweiter Art.

Kriterien für Konvergenz bei uneigentlichen Integralen

Notwendige Bedingung

SatzSei f : I → R mit I := [a,∞) bzw. I := (−∞, b].Weiter sei f nichtnegativ und monoton fallend auf I .

Falls der Grenzwert ∫ ∞a

f (x) dx

in R existiert, dann giltlimx→∞

f (x) = 0.

Majoranten- und Minoranten-Kriterium

Seien f, g : [a,∞)→ R stetig mit g(x) ≥ f (x) ≥ 0 auf [a,∞).Dann gilt:

•∞∫a

g(x) dx konvergiert ⇒∞∫a

f (x) dx konvergiert

(g ist konvergente Majorante von f )

•∞∫a

f (x) dx divergent ⇒∞∫a

g(x) dx divergent.

(f ist divergente Minorante von g)

Analoge Aussagen gelten für die anderen uneigentlichen Integrale.

Potenzfunktionen als Majoranten

Seien f : [a,∞)→ R, g : (0, b]→ R stetig und M > 0.

• Falls α > 1 und |f (x)| ≤ M

xαfür alle x ≥ a,

dann konvergiert

∞∫a

f (x) dx.

• Falls 0 < α < 1 und |g(x)| ≤ M

xαfür alle x ∈ (0, b],

dann konvergiert

g(x) dx.

Potenzfunktionen als Minoranten

Seien f : [a,∞)→ R, g : (0, b]→ R stetig und M > 0.

• Falls α ≤ 1 und f (x) ≥ M

xαfür alle x ≥ a,

dann divergiert

∞∫a

f (x) dx.

• Falls α ≥ 1 und g(x) ≥ M

xαfür alle x ∈ (0, b],

dann divergiert

g(x) dx.

Absolute Konvergenz

∞∫a

|f (x)|dx konvergiert ⇒∞∫a

f (x) dx konvergiert.

Analoge Aussagen gelten für die anderen uneigentlichen Integrale.

Interpolation

Stützstellen und Stützwerte

Gegegben seien Paare

(x0, f0), (x1, f1), . . . , (xn, fn)

von paarweise verschiedenen Stützstellen xi und Stützwerten fi

Interpolationsaufgabe

Gesucht ist eine Funktion f : [x0, xn]→ R, die dieInterpolationsbedingungen

f (x0) = f0, f (x1) = f1, · · · , f (xn) = fn

erfüllt.Eine solche Funktion heißt Interpolierende oder Interpolationsfunk-tion.

Es gibt unendlich viele Interpolierende⇒ Einschränkung erforderlich!

Polynominterpolation

SatzFür (x0, f0), . . . , (xn, fn) mit paarweise verschiedenen Stützstellen gibtes genau ein Polynom p (höchstens n-ten Grades), so dass

p(xi) = fi für i = 0, . . . , n.

Dieses Polynom heißt Interpolationspolynom zu den gegebenen n+ 1Paaren aus Stützstellen und Stützwerten.

Form des Interpolationspolynoms nach Lagrange

p(x) :=

n∑j=0

fjLj(x)

Lagrange Basispolynome

Lj(x) :=

n∏k=0,k 6=j

x− xkxj − xk

Damit gilt Lj(xi) =

{1 falls i = j,0 sonst.

Newtonsche Form des Interpolationspolynoms

pn(x) :=b0 + b1(x−x0) + b2(x−x0)(x−x1) + · · · + bn(x−x0) · · · (x−xn−1)

Bestimmung der Koeffizienten b0, . . . , bn

mit Hilfe der Interpolationsbedingungen:

f0 = pn(x0) = b0f1 = pn(x1) = b0 + b1(x1−x0)f2 = pn(x2) = b0 + b1(x2−x0) + b2(x2−x0)(x2−x1)

...fn = pn(xn) = b0 + b1(xn−x0) + b2(xn−x0)(xn−x1) + · · ·+

+bn(xn−x0) · · · (xn−xn−1)

Gestaffeltes lineares Gleichungssystem zur Bestimmung vonb0, . . . , bn

Fehler bei Polynominterpolation

SatzSeien x0 < x1 < · · ·< xn−1 < xn und f : [x0, xn] → R (n + 1)-mal stetigdifferenzierbar. Weiter seien die Stützwerte durch

f0 := f (x0), . . . , fn := f (xn)

gegeben und pn bezeichne das zugehörige Interpolationspolynom.Dann gilt

f (x)− pn(x) =f (n+1)(ξx)

(n + 1)!(x− x0) · · · (x− xn)

für alle x ∈ [x0, xn] mit einem von x abhängigen ξx ∈ (x0, xn).

Eine Erhöhung der Stützstellenzahl führt aber nicht unbedingt zueiner Verbesserung der Approximationsgüte

max{|f (x)− pn(x)| |x ∈ [x0, xn]}.

Runge-Funktion zur Interpolation

f (x) :=1

1 + (5x)2für x ∈ [−5, 5]

Interpolation mit Splines

Polynom-Splines

DefinitionSeien x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn gegebene Stützstellen.Eine Funktion s : [x0, xn] → R heißt Polynom-Spline vom Grad m,wenn s

• auf jedem Intervall [xi, xi+1] für i = 0, . . . , n − 1 ein Polynom höch-stens m-ten Grades ist und

• (m− 1)-mal stetig differenzierbar ist.

Interpolation mit kubischen Polynom-Splines

SatzSeien (x0, f0), . . . , (xn, fn) mit x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn gegeben.Dann gibt es dazu mindestens einen Polynom-Spline s : [x0, xn] → Rvom Grad 3, der die Interpolationsbedingungen

s(xi) = fi, (i = 0, . . . , n)

erfüllt.

Eindeutigkeit des kubischen Interpolationssplines

Unter geeigneten zusätzlichen Bedingungen ist der kubische Interpo-lationsspline eindeutig, so genügt z.B. eine der folgenden Randbedin-gungen:

• s′(x0) = α, s′(xn) = β mit beliebig gegebenen α, β ∈ R(vollständige Spline-Interpolation)

• s′′(x0) = s′′(xn) = 0 (natürliche Spline-Interpolation)

• s′(x0) = s′(xn), s′′(x0) = s′′(xn)(periodische Spline-Interpolation)

Minimale Krümmung kubischer Interpolationssplines

SatzSeien (x0, f0), . . . , (xn, fn) mit x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn gegeben.Es bezeichne s einen zugehörigen kubischen Interpolationsspline undy : [x0, xn] → R eine zweimal stetig differenzierbare Interpolierende.Sowohl Interpolationsspline als auch Interpolierende mögen dieselbeder Randbedingungen erfüllen. Dann gilt∫ xn

s′′(x)2 dx ≤∫ xn

y′′(x)2 dx.

Fehler bei Interpolation mit kubischen Polynom-Splines

SatzSeien x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn und f : [x0, xn] → R viermal stetigdifferenzierbar und es liege einer der frei Fälle

• f ′(x0) = α, f ′(xn) = β (vollständige Spline-Interpolation),

• f ′′(x0) = f ′′(xn) = 0 (natürliche Spline-Interpolation) oder

• f (k)(x0) = f (k)(xn), k = 0, 1, 2 (periodische Spline-Interpolation).

vor. Mit s werde der zugehörige kubische Polynom-Spline bezeichnet.

Dann gilt für k = 0, 1, 2∫ xn

(f (k)(x)− s(k)(x))2 dx ≤ xn − x0

120|f (4)(ξk)|h4−k

mit einem ξk ∈ [a, b], wobei h := max{xi+1 − xi | i = 0, . . . , n− 1}.

Numerische Integration

Idee zur Gewinnung von Quadraturformeln

Das bestimmte Integral

I(f ) :=

af (x) dx

wird ersetzt durch die Näherung

Q(f ) :=

ap(x) dx.

Dabei ist p : [a, b]→ R eine geeignete Näherung von f ,zum Beispiel ein Interpolationspolynom

Beispiele für Quadraturformeln

Trapezregel

Q(f ) :=f (a) + f (b)

2(b− a)

zugehöriges Interpolationspolynom

p(x) := f (a)x− ba− b

+ f (b)x− ab− a

Zusammengesetzte Trapezregel

Stützstellen

a =: x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn := b

Q(f ) := h

2f (x0) + f (x1) + f (x2) + · · · + f (xn−1) +

2f (xn)

Äquidistante Stützstellen

a =: x0 < x1 < · · · < xn := b,

xj := a + jh für j = 0, 1, . . . , n mit h :=b− an

Simpson-Formel

Q(f ) :=b− a

(f (a) + 4f

(a + b

)+ f (b)

)zugehöriges Interpolationspolynom hat Höchstgrad 2

Zusammengesetzte Simpson-Formel

äquidistante Stützstellen

Q(f ) :=h

(f (x0) + 4f (x1) + 2f (x2) + 4f (x3) + · · · + 4f (xn−1) + f (xn)

Fehler der zusammengesetzten Trapezregel

Sei f : [a, b] zweimal stetig differenzierbar. Die Stützstellen seien äqui-distant. Dann gibt es ξ ∈ (a, b), so dass

|I(f )−Q(f )| = |f ′′(ξ)|(b− a)h2

Fehler der zusammengesetzten Simpson-Formel

Sei f : [a, b] → R viermal stetig differenzierbar. Die Stützstellen seienäquidistant. Dann gibt es ξ ∈ (a, b), so dass

|I(f )−Q(f )| = |f (4)(ξ)|(b− a)h4

Vektorräume

Beispiele zur Motivation

)|x1, x2 ∈ R

}Addition von Elementen x,y ∈ R2(

(x1 + y1x2 + y2

)Multiplikation eines Elements x ∈ R2 mit einem Skalar λ ∈ R

λ ·(x1x2

(λx1λx2

Πn := {p : C→ C | p ist Polynom vom Höchstgrad n}

Addition von Elementen p, q ∈ Πn

(p + q)(z) := p(z) + q(z)

Multiplikation eines Elements p ∈ Πn mit einem Skalar λ ∈ C

(λp)(z) := λp(z)

MengeC[a, b] := {f : [a, b]→ R | f ist stetig}

Addition von Elementen f, g ∈ C[a, b]

(f + g)(x) := f (x) + g(x)

Multiplikation eines Elements f ∈ C[a, b] mit einem Skalar λ ∈ R

(λf )(x) := λf (x)

Definition eines Vektorraumes über R oder C

Sei V eine nichtleere Menge und K der Körper C oder R.

Für beliebige x,y ∈ V und λ ∈ K seien folgende Verknüpfungendefiniert:

x + y ∈ V die Addition (Summe) undλ · x ∈ V die Multiplikation mit einem Skalar aus K.

Dann heißt das Tripel (V,+, ·) Vektorraum oder linearer Raum überK und die Elemente von V heißen Vektoren, wenn nachfolgendeVektorraumaxiome gelten:

Vektorraumaxiome (Teil 1)

1) Kommutativgesetz der Additionx + y = y + x für alle x,y ∈ V

2) Assoziativgesetz der Additionx + (y + z) = (x + y) + z für alle x,y, z ∈ V

3) Neutrales Element der AdditionEs gibt o ∈ V (Nullvektor), so dass

x + o = x für alle x ∈ V

4) Inverse Elemente bzgl. der AdditionZu jedem x ∈ V gibt es ein −x ∈ V , so dass

x + (−x) = o

Vektorraumaxiome (Teil 2)

5) 1 ∈ K ist das neutrale Element der skalaren Multiplikation, d.h.

1 · x = x für alle x ∈ V

6) Assoziativgesetz der skalaren Multiplikation

λ(µ · x) = λµ · x für alle x ∈ V und alle λ, µ ∈ K

7) Erstes Distributivgesetzλ(x + y) = λx + λy für alle x,y ∈ V und alle λ ∈ K

8) Zweites Distributivgesetz(λ + µ)x = λx + µx für alle x ∈ V und alle λ, µ ∈ K

Es kann u.a. gezeigt werden, dass

• es genau ein neutrales Element der Addition gibt,• es zu jedem x ∈ V genau ein inverses Element −x gibt und• −x = (−1) · x.

Linearkombination

DefinitionSeien v1, . . . ,vk Vektoren aus dem Vektorraum V über K und λ1, . . . , λkZahlen aus dem Körper K. Dann wird der Vektor

λ1v1 + λ2v2 + · · · + λkvkals eine Linearkombination der Vektoren v1, . . . ,vk bezeichnet.

Lineare Hülle

DefinitionSeien v1, . . . ,vk Vektoren aus dem Vektorraum V über K. Dann heißt

lin(v1, . . . ,vk) := {v = λ1v1 + λ2v2 + · · · + λkvk | λ1, . . . , λk ∈ K}lineare Hülle der Vektoren v1, . . . ,vk.

Lineare Abhängigkeit – Lineare Unabhängigkeit

DefinitionVektoren v1, . . . ,vk ∈ V heißen linear abhängig, wenn wenigstens ei-ner von ihnen als Linearkombination der übrigen dargestellt werdenkann.Andernfalls heißen die Vektoren v1, . . . ,vk linear unabhängig.

SatzVektoren v1, . . . ,vk ∈ V sind genau dann linear unabhängig, wenn aus

λ1v1 + λ2v2 + · · · + λkvk = o

folgt, dassλ1 = λ2 = · · · = λk = 0.

Dimension eines Vektorraumes

DefinitionFalls es in einem Vektorraum V höchstens n < ∞ linear unabhängigeVektoren gibt, dann heißt V endlichdimensional und n wird Dimen-sion von V genannt (in Zeichen dimV = n).

Andernfalls heißt V unendlichdimensional.

Dimension des Rn

SatzDer Vektorraum Rn hat die Dimension n.

DefinitionEs sei V ein Vektorraum der Dimension n. Dann wird jedes n-Tupel

(v1, . . . ,vn)

von linear unabhängigen Vektoren v1, . . .vn aus V Basis desVektorraums V genannt.

SatzEs sei V ein Vektorraum der Dimension n. Dann sind mehr als n Vek-toren aus V immer linear abhängig.

Koordinatendarstellung eines Vektors

Sei V ein Vektorraum über K. Weiter sei

(a1, . . . , an)

eine Basis von V . Dann existieren für jeden Vektor a ∈ V eindeutigbestimmte Zahlen α1, . . . , αn ∈ K, so dass

n∑i=1

αiai.

Die Zahlen α1, . . . , αn heißen Koordinaten des Vektors a bezüglichder Basis (a1,. . . , an).

Unterraum

DefinitionSeien V ein Vektorraum und U ⊆ V . Ist U selbst wieder einVektorraum, so heißt U Unterraum oder Teilraum von V .

Skalarprodukt

Sei V ein Vektorraum über dem Körper R .Dann heißt eine Abbildung

〈·, ·〉 : V × V → R

Skalarprodukt oder inneres Produkt in V , wenn sie folgendenBedingungen für beliebige x,y, z ∈ V und λ ∈ R genügt:

• Symmetrie 〈x,y〉 = 〈y,x〉• Additivität (bzgl. des ersten Arguments)

〈x + y, z〉 = 〈x, z〉 + 〈y, z〉•Homogenität (bzgl. des ersten Arguments)

〈λx,y〉 = λ〈x,y〉• Positive Definitheit

x 6= o ⇔ 〈x,x〉 > 0

Euklidischer Raum

DefinitionEs sei V ein Vektorraum über R und 〈·, ·〉 ein Skalarprodukt inV . Dann heißt das Paar (V, 〈·, ·〉) Euklidischer Vektorraum oderEuklidischer Raum.

Der Rn als Euklidischer Raum

Sei V := Rn der Vektorraum der reellen n-Tupel über R.Dann ist durch

〈x,y〉 := x · y :=

n∑i=1

xiyi für alle x,y ∈ Rn

ein Skalarprodukt in Rn definiert. Dieses Skalarprodukt wird auchStandardskalarprodukt in Rn genannt. Der Rn ist zusammen mit demStandardskalarprodukt ein Euklidischer Raum.

Norm und Betrag eines Vektors

DefinitionSei V ein Euklidischer Vektorraum mit dem Skalarprodukt 〈·, ·〉. Dannheißt

‖x‖ :=√〈x,x〉

Norm des Vektors x ∈ V .Falls ‖x‖ = 1, so heißt x Einheitsvektor.

Für den Rn mit dem Standardskalarprodukt wird

√√√√ n∑i=1

auch als Betrag des Vektors x ∈ Rn bezeichnet.

Der Winkel zwischen zwei Vektoren

DefinitionSei V ein Euklidischer Vektorraum mit dem Skalarprodukt 〈·, ·〉.Für beliebige x,y ∈ V \ {o} ist der nichtorientierte Winkel ∠(x,y)zwischen x und y als eindeutige Lösung der Gleichung

cos∠(x,y) =〈x,y〉‖x‖ · ‖y‖

im Intervall [0, π] erklärt.

Orthogonalität

DefinitionSei V ein Euklidischer Vektorraum mit dem Skalarprodukt 〈·, ·〉. Dannheißen Vektoren x,y ∈ V orthogonal, wenn

〈x,y〉 = 0.

Orthogonales Komplement

DefinitionSei V ein Euklidischer Vektorraum mit dem Skalarprodukt 〈·, ·〉. Weitersei U ein Untervektorraum von V . Dann heißt

U⊥ := {x ∈ V | 〈x,u〉 = 0 für alle u ∈ U}orthogonales Komplement von U .

(U⊥ ist selbst wieder ein Unterraum von V .)

SatzSeien V ein Euklidischer Vektorraum und U ein Unterraum von V .Dann gibt es zu jedem Vektor x ∈ V eindeutige Vektoren u ∈ U undu⊥ ∈ U⊥, so dass

x = u + u⊥.

Orthogonal- und Orthonormalsysteme

Sei V ein Euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt 〈·, ·〉. Sind dieVektoren v1, . . . ,vn aus V \ {o} paarweise orthogonal, gilt also

〈vi,vj〉 = 0 (i 6= j),

so heißt (v1, . . .vn) Orthogonalsystem.

Gilt zusätzlich

‖vi‖ :=√〈vi,vi〉 = 1 (i = 1, . . . , n),

dann spricht man von einem Orthonormalsystem.

Ist (v1, . . .vn) eine Basis von V , so wird das System dann Orthogonal-basis bzw. Orthonormalbasis genannt.

Orthogonalisierungsverfahren nach Schmidt

Es seien V ein Euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt 〈·, ·〉 und(v1, . . . ,vn) ein System linear unabhängiger Vektoren aus V .Weiter sei ‖ · ‖ :=

√〈·, ·〉

Setze e1 := v1‖v1‖

Für r := 2, . . . , n setze

er := vr −r−1∑k=1

< vr, ek > ek und er :=er‖er‖

Dann bildet (e1, . . . , en) ein Orthonormalsystem und es gilt

lin(e1, . . . , en) = lin(v1, . . . ,vn).

Matrizen

DefinitionGegeben seien die Koeffizienten

aij ∈ K für i = 1, 2, . . . ,m und j = 1, 2, . . . , n.

Dann heißt das Koeffizientenschema

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n... ... ...am1 am2 . . . amn

Matrix über K.Matrizen mit m Zeilen und n Spalten werden als m × n – Matrizenbezeichnet. Mit

benennt man die Menge aller Matrizen dieses Typs. Ist der Typ derMatrix klar, so verwendet man auch die Kurzbezeichnung

A := (aij).

Quadratische Matrizen

Eine Matrix mit genau soviel Zeilen wie Spalten heißt quadratischeMatrix. Speziell bezeichnet also

Rn×ndie Menge aller n× n – Matrizen über R.

Transponierte Matrix

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n... ... ...am1 am2 . . . amn

∈ Km×n

a11 a21 . . . am1a12 a22 . . . am2... ... ...a1n a2n . . . amn

∈ Kn×m

A> wird als die transponierte Matrix von A bezeichnet.

Symmetrische Matrizen

Eine quadratische Matrix A heißt symmetrisch, wenn

A = A>.

Adjungierte Matrizen

Sei A = (aij) eine Matrix über C. Dann heißt

AH := A>

die zu A adjungierte Matrix, wobei A := (aij).

Selbstadjungierte Matrizen

Sei A eine Matrix über C. Dann heißt A selbstadjungiert, wenn

AH = A.

Nullmatrix

Eine Matrix (aij) über K, deren Elemente aij alle gleich Null sind, heißtNullmatrix, in Zeichen O bzw. Omn ∈ Km×n.

Einheitsmatrix

Die quadratische Matrix

E := En :=

1 0 . . . 00 1 . . . 0... ... ...0 0 . . . 1

∈ Kn×n

heißt Einheitsmatrix.

Kronecker-Symbol

δij :=

{1 falls i = j,0 falls i 6= j

heißt KRONECKER-Symbol.

Also gilt E = (δij).

Hauptdiagonale

Sei A = (aij) eine n× n - Matrix.Dann bilden a11, . . . , ann die Hauptdiagonale von A.

Obere und untere Dreiecksmatritzen

Eine n× n - Matrix A = (aij) heißt obere Dreiecksmatrix, falls

aij = 0 für alle i > j , also

a11 a12 . . . a1,n−1 a1n

0 a22 . . . a2,n−1 a2n0 0 . . . a3,n−1 a3n... ... ... ...0 0 . . . 0 ann

Untere Dreiecksmatritzen sind analog erklärt.

Addition von Matrizen

Seien A = (aij) und B = (bij) Matrizen gleichen Typs.Dann heißt die Matrix C = (cij) die Summe der Matrizen A und B,in Zeichen C := A + B, wenn

cij = aij + bij.

C hat denselben Typ wie die Matrizen A und B.

Multiplikation einer Zahl mit einer Matrix

Seien λ ∈ K und A = (aij) eine Matrix über K.Dann heißt die Matrix C := (cij) das Produkt der Zahl λ mit A,in Zeichen C = λA, wenn

cij = λaij.

SatzMit den Verknüpfungen– Addition von Matrizen und– Produkt einer Zahl mit einer Matrixist die Menge

Kn×nein Vektorraum über K mit der Dimension n2.

Matrixmultiplikation

Es seienA = (aij) ∈ Km×p und B = (bij) ∈ Kp×n,

d.h. A besitzt genau so viele Spalten wie B Zeilen hat.Dann heißt die Matrix

C := (cij) ∈ Km×n

cij :=

p∑k=1

aikbkj i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n

das Produkt der Matrizen A und B, in Zeichen

C = A ·B.

Merkregel für Matrixmultiplikation C = A ·B

Zeile × Spalte

Das Element cij der Produktmatrix C entsteht also durch“Multiplikation” der i-ten Zeile von A mit der j-ten Spalte von B.

Regeln für die Matrixmultiplikation

• Die Matrizenmultiplikation ist assoziativ und distributiv, d.h.

A ·B · C = (A ·B) · C = A · (B · C),

A · (B + C) = A ·B + A · C,(A + B) · C = A · C + B · C.

gilt für beliebige Matrizen A,B,C passenden Typs.

• Für beliebige Matrizen A ∈ Km×p und B ∈ Kp×n gilt

(A ·B)> = B> · A>.

• Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ, d.h. i. Allg. gilt

A ·B 6= B · A.

Multiplikation mit Null- und Einheitsmatrizen

SatzFür eine Matrix A mit jeweils passendem Typ gilt

• E · A = A,

• A · E = A,

•O · A = O,

• A ·O = O.

Inverse Matrix

DefinitionSei A ∈ Kn×n. Wenn es eine Matrix B ∈ Kn×n mit der Eigenschaft

B · A = A ·B = E

gibt, so heißt B Inverse oder inverse Matrix von A.Für die inverse Matrix von A schreibt man dann auch

A−1.

Falls A eine inverse Matrix besitzt, so wird A invertierbar oderregulär genannt.Falls A keine Inverse besitzt, so heißt A nicht invertierbar odersingulär.

Rang einer Matrix

Sei A ∈ Km×n.

• Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen von A heißtZeilenrang von A.

• Die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten von A heißtSpaltenrang von A.

• Zeilenrang und Spaltenrang vonA sind gleich und werden als Rangder Matrix A bezeichnet, in Zeichen

rgA oder RangA.

•Man sagt, dass A Vollrang hat, wenn rgA = min{m,n}.• Stets gilt 0 ≤ rgA ≤ min{m,n}.

Umformungen mit Rangerhaltung

Der Rang einer Matrix A über K bleibt bei

• der Vertauschung von Zeilen,

•Multiplikation einer Zeile mit λ ∈ K, λ 6= 0,

• Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile,

• Transponieren von Aunverändert.

Lineare Gleichungssysteme

Ax = b

A ∈ Km×n und b ∈ Km sind gegeben.

Die Lösungsmenge L(A,b) := {x ∈ Kn |Ax = b} ist gesucht.

Gaußscher AlgorithmusGegeben sei

a11 a12 · · · a1,r−1 a1r · · · a1n0 a22 · · · a2,r−1 a2r · · · a2n0 0 · · · a3,r−1 a3r · · · a3n... ... . . . ... ... ...0 0 · · · 0 arr · · · arn0 0 · · · 0 ar+1,r · · · ar+1,n... ... ... ... ...0 0 · · · 0 amr · · · amn

b1b2b3...brbr+1...bm

mit arr 6= 0

Eliminationsschritt

(Zeile i) := (Zeile i) + (Zeile r) ·(−airarr

)für i > r

Ergebnis des Eliminationsschrittes

a11 a12 · · · a1,r−1 a1r a1,r+1 · · · a1n0 a22 · · · a2,r−1 a2r a2,r+1 · · · a2n0 0 · · · a3,r−1 a3r a3,r+1 · · · a3n... ... . . . ... ... ... ...0 0 · · · 0 arr ar,r+1 · · · arn0 0 · · · 0 0 ar+1,r+1 · · · ar+1,n... ... ... ... ... ...0 0 · · · 0 0 amr · · · amn

b1b2b3...brbr+1

Rang A = RangA

Produktdarstellung des Eliminationsschrittes

lir :=−airarr

für i = r + 1, . . . ,m

Eliminationsmatrix

1 . . .

1lr+1,r 1... . . .lm,r 1

A = LrA

b = Lrb

Spaltenpivotisierung

asr := max{|air| | i > r}Vertausche die Zeilen r und s in A und b.

Falls A invertierbar ist, dann garantiert diese Zeilenvertauschung vorjedem Eliminationsschritt dessen Durchführbarkeit (arr 6= 0).

Gaußscher Algorithmusfür Gleichungssysteme mit regulärer Matrix

seien A ∈ Kn×n regulär und b ∈ Kn gegeben

(A,b) → Spaltenpivotisierungu. Eliminationsschritt → (A(1),b(1))

(A(1),b(1)) → Spaltenpivotisierungu. Eliminationsschritt → (A(2),b(2))

···(A(n−2),b(n−2)) → Spaltenpivotisierung

u. Eliminationsschritt → (A(n−1),b(n−1))

(A(n−1),b(n−1)) → Rückrechnung → x∗

RückrechnungLösung eines regulären oberen Dreieckssystems

u11 u12 u13 · · · u1n0 u22 u23 · · · u2n0 0 u33 · · · u3n... ... . . . ...0 0 · · · 0 unn

r1r2r3...rn

Von der letzten Gleichung an aufwärts bestimmt man nacheinanderx∗n,x

∗n−1, . . . ,x

Lösung rechteckiger linearer Gleichungssysteme(bei exakter Rechnung)

• Alle vom Gaußschen Algorithmus erzeugten Gleichungssystemebesitzen dieselbe Lösungsmenge.

• A ∈ Km×n mit m > n:Gaußscher Algorithmus mit Zeilen- und Spaltenpivotisierung en-det nach Rang A Eliminationsschritten

• A ∈ Km×n mit m ≤ n:Gaußscher Algorithmus mit Zeilen- und Spaltenpivotisierung en-det nach min{m− 1,RangA} Eliminationsschritten.

• A ∈ Kn×n regulär:Gaußscher Algorithmus mit Zeilenpivotisierung endet nachn − 1 Eliminationsschritten und liefert ein eindeutig lösbares Glei-chungssystem mit oberer Dreiecksmatrix.

LU-Faktorisierung einer regulären Matrix A ∈ Kn×n

Gaußsches Verfahren (falls ohne Pivotisierung durchführbar) liefert

A(n−1) = Ln−1Ln−2 · · ·L2L1AWegen

1 . . .1

lr+1,r 1... . . .lnr 1

1 . . .1

−lr+1,r 1... . . .−lnr 1

A = L−11 L−1

2 · · ·L−1n−1A

(n−1) bzw. A = LU

mit der linken unteren Dreiecksmatrix L := L−11 L−1

2 · · ·L−1n−1

und der rechten oberen Dreiecksmatrix U := A(n−1).

Lösung linearer Gleichungssysteme mittels LU-Faktorisierung

Gegeben sei Ax = b mit regulärer Matrix A ∈ Kn×n.

• Bestimme L,U , so dass A = LU Aufwand ≈ n3/3

• Bestimme z, so dass Lz = b Aufwand ≈ n2/2

• Bestimme x, so dass Ux = z Aufwand ≈ n2/2

Aufwandsgünstig für die Lösung mehrerer Gleichungssysteme mitderselben Koeffizientenmatrix A

Lösbarkeit und Lösungsmengelinearer Gleichungssysteme

Homogene und inhomogene lineare Gleichungssysteme

DefinitionSeien A ∈ Km×n und b ∈ Km gegeben. Das lineare Gleichungssystem

Ax = bheißt homogen, wenn b = o.Andernfalls, wenn b 6= o , wird es inhomogen genannt.

Erweiterte Koeffizientenmatrix

Die Matrix

(A|b) :=

a11 a12 . . . a1n b1a21 a22 . . . a2n b2

... ... ... ...am1 am2 . . . amn bm

heißt erweiterte Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungs-systems Ax = b.

Allgemeines Lösbarkeitskriterium

SatzDas lineare Gleichungssystem Ax = b ist genau dann lösbar, wenn

Rang (A|b) = RangA,d.h. wenn der Rang der Koeffizientenmatrix und der Rang dererweiterten Koeffizientenmatrix gleich sind.

Lösungsmenge homogener linearer Gleichungssystems

Sei A ∈ Km×n und bezeichne

L(A,o) := {x ∈ Kn |Ax = o}die Lösungsmenge des homogenen Systems Ax = o. Dann gilt:

• o ∈ L(A,o),

• L(A,o) ist ein Unterraum des Kn,

• dimL(A,o) = n− RangA.

Lösungsmenge inhomogener linearer Gleichungssysteme

Seien A ∈ Km×n, b ∈ Km und bezeichne

L(A,b) := {x ∈ Kn |Ax = b}die Lösungsmenge des inhomogenen Systems Ax = b. Weiter seixs ∈ L(A,b) eine spezielle Lösung. Dann gilt:

L(A,b) = {xs} + L(A,o).

D.h. jede Lösung des inhomogenen Systems lässt sich als Summe auseiner speziellen Lösung des inhomogenen Systems und einer passen-den Lösung des homogenen Systems schreiben.

Anzahl von Lösungen

SatzSeien A ∈ Km×n und b ∈ Km gegeben. Weiter sei das Gleichungssy-stem Ax = b lösbar.Falls

• RangA = n, dann gibt es genau eine Lösung,

• RangA < n, dann gibt es unendlich viele Lösungen.

Determinanten

DefinitionJeder quadratischen Matrix A = (aij) ∈ Kn×n ist durch

detA := |A| := a11A11 + a12A12 + · · · + a1nA1n

die Zahl detA ∈ K zugeordnet. Sie heißt Determinante von A.Dabei ist Aij ∈ K die Adjunkte (oder das algebraische Komplement)des Elements aij.

Adjunkte

Die Adjunkten sind für i, j ∈ {1, . . . , n} durch

Aij := (−1)i+j

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 · · · a1,j−1 a1,j+1 . . . a1n... ... ... ...

ai−1,1 · · · ai−1,j−1 ai−1,j+1 . . . ai−1,nai+1,1 · · · ai+1,j−1 ai+1,j+1 . . . ai+1,n

... ... ... ...an1 · · · an,j−1 an,j+1 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣definiert.Aij ist also die mit (−1)i+j multiplizierte Determinante der Matrix, dieaus A durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht.

Entwicklungssatz

Die Determinante detA der Matrix A ∈ Kn×n kann durch eine Ent-wicklung nach einer beliebigen Zeile k oder Spalte l berechnet werden.Genauer gilt

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n. . . . . . . . .an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

n∑µ=1

akµAkµ =

n∑µ=1

aµlAµl .

Spaltenvektoren einer Matrix

Die Vektoren

a11a21

...an1

, · · · , aj =

a1ja2j

...anj

, · · · , an =

a1na2n

...ann

werden als Spaltenvektoren der Matrix A = (aij) bezeichnet. Damitkann A auch in der Form

A = (a1, · · · , aj, · · · , an)

und die Determinante in der Form

det A = det(a1, · · · , aj, · · · , an)

geschrieben werden.

Linearität der Determinante bezüglich einer Spalte

SatzSeien A ∈ Kn×n und λ, µ ∈ K. Dann gilt

det(a1, . . . , ai−1, λai + µbi, ai+1, . . . , an)

= λ det(a1, . . . , ai−1, ai, ai+1, . . . , an) +

µ det(a1, . . . , ai−1,bi, ai+1, . . . , an).

Determinante bei linear abhängigen Spalten

SatzIst eine Spalte einer Matrix A ∈ Kn×n eine Linearkombination aus an-deren Spalten dieser Matrix, so verschwindet die Determinante derMatrix, d.h.

det(a1, a2, . . . , ak−1,

n∑µ=1µ6=k

λµaµ, ak+1, . . . , an) = 0.

Invarianz der Determinante gegenüber Spaltenkombinationen

SatzSeien A ∈ Kn×n, λ ∈ K und i 6= k. Dann gilt

det(a1, . . . , an) = det(a1, . . . , ak−1, ak + λai, ak+1, . . . , an).

Addiert man also das λ-fache der i-ten Spalte von A zur k-ten Spaltevon A, so ändert sich der Wert der Determinante nicht.

Vorzeichenwechsel der Determinante bei Spaltentausch

SatzTauscht man zwei Spalten einer Matrix A miteinander, so wechselt dieDeterminante das Vorzeichen, es gilt also

det(a1, . . . , ai, . . . , ak, . . . , an)=− det(a1, . . . , ak . . . , ai, . . . , an)

det A = det A>

detE = 1

det O = 0

Determinante, Regularität und Rang

SatzSei A ∈ Kn×n. Dann gilt

detA 6= 0 ⇔ A ist reguär ⇔ RangA = n.

Determinantenmultiplikationssatz

Seien A,B ∈ Kn×n. Dann gilt

det(A ·B) = detA · detB.

Unterdeterminanten

DefinitionSei A ∈ Km×n. Eine Untermatrix von A entsteht durch Streichen vonZeilen oder Spalten der Matrix A.Die Determinante einer k × k - Untermatrix von A heißt k-reihige Un-terdeterminante von A.

SatzEine Matrix A ∈ Km×n hat genau dann den Rang p, wenn

•mindestens eine p-reihige Unterdeterminante von A nicht 0 ist und

• jede mehr als p-reihige Unterdeterminante von A verschwindet.

Eigenwertprobleme

DefinitionEine Zahl λ ∈ C heißt Eigenwert einer Matrix A ∈ Cn×n, wenn eseinen Vektor x ∈ Cn mit x 6= 0 gibt, so dass

A · x = λxJeder Vektor x 6= 0, der diese Gleichung erfüllt, heißt Eigenvektor zumEigenwert λ.

Charakteristische Gleichung

SatzEine Zahl λ ∈ C ist genau dann ein Eigenwert von A ∈ Cn×n, wenn

det(A− λE) = 0.

Charakteristisches Polynom

Das Polynom χA : C→ C mit

χA(t) := det(A− tE)

heißt charakteristisches Polynom der Matrix A ∈ Cn×n.

Algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes

Satzλ ist Eigenwert von A ⇔ χA(λ) = 0

DefinitionDie Vielfachheit m(λ) der Nullstelle λ des charakteristischenPolynoms χA einer Matrix A heißt algebraische Vielfachheit des Ei-genwertes λ der Matrix A.

SatzEs seien λ1, . . . , λp ∈ C alle paarweise verschiedenen Eigenwerte einerMatrix A ∈ Cn×n. Dann gilt

p∑i=1

m(λi) = n.

Eigenraum zum Eigenwert λ

DefinitionSei λ ∈ K ein Eigenwert der Matrix A ∈ Kn×n. Dann heißt die Menge

Vλ := {x ∈ Kn |A · x = λx}Eigenraum zum Eigenwert λ.

Vλ ist ein Untervektorraum des Kn.

Geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes

DefinitionSei λ ein Eigenwert der Matrix A. Dann heißt

g(λ) := dimVλ

geometrische Vielfachheit des Eigenwertes λ.

SatzSei λ ein Eigenwert der n–reihigen Matrix A. Dann gilt

g(λ) = n− Rang(A− λE)

sowie1 ≤ g(λ) ≤ m(λ) ≤ n.

SatzGehören die Eigenvektoren x1, ...,xr zu paarweise verschiede-nen Eigenwerten λ1, ..., λr der Matrix A, dann sind sie linearunabhängig.

SatzEine n–reihige Matrix A hat genau dann n linear unabhängigeEigenvektoren, wenn algebraische und geometrische Vielfachheit beijedem Eigenwert von A übereinstimmen.

Ähnlichkeitstransformation von Matrizen

DefinitionEs sei A ∈ Kn×n gegeben. Weiter sei C ∈ Kn×n eine reguläre Matrix.Dann heißen die Matrizen

C−1AC und A

ähnlich zueinander bzw. durch eine Ähnlichkeitstransformationauseinander hervorgegangen.

Invarianz des charakteristischen Polynoms beiÄhnlichkeitstransformation

SatzDas charakteristische Polynom χA einer Matrix A ∈ Kn×n bleibt beieiner Ähnlichkeitstransformation unverändert, d.h. für jede reguläreMatrix C ∈ Kn×n gilt

χA = χC−1AC

Eigenwerte spezieller Matrizen

• Bei Dreiecksmatrizen sind die Diagonalelemente die Eigenwerte.

• Ist λ Eigenwert von A mit der algebraischen Vielfachheit m(λ), sobesitzt die Matrix

A + εE

den Eigenwerte λ + ε mit der algebraischen Vielfachheit m(λ).

• Ist λ Eigenwert von A, so ist λm (m ∈ N) Eigenwert von Am.

• A und A> haben das gleiche charakteristische Polynom undsomit die gleichen Eigenwerte.

• Ist A regulär und ist λ Eigenwert von A, so ist λ−1 Eigenwert vonA−1.

Symmetrische reelle Matrizen und ihre Eigenwerte

SatzSei A ∈ Rn×n symmetrisch. Dann gilt

• Alle Eigenwerte von A sind reell.

• Eigenvektoren xj,xk, die zu verschiedenen Eigenwerten λj, λk vonA gehören, stehen senkrecht aufeinander, d.h. x>j xk = 0.

• Geometrische und algebraische Vielfachheit stimmen bei jedem Ei-genwert von A überein.

Orthonormalbasis

DefinitionEine Basis v1, . . . ,vn des Rn heißt Orthonormalbasis, wenn

|vi| = 1, v>i vj = 0

für alle i, j mit i 6= j gilt.

Orthonormalbasis aus Eigenvektoren

SatzZu jeder symmetrischen Matrix A ∈ Rn×n gibt es Eigenvektorenx1, ...,xn, die eine Orthonormalbasis des Rn bilden.

Diagonalisierung symmetrischer Matrizen

SatzZu jeder symmetrischen Matrix A ∈ Rn×n gibt es eine reguläre MatrixQ mit

Q>AQ = diag(λ1, ..., λn).

Dabei sind λ1, ..., λn ∈ R die Eigenwerte von A. Jeder Eigenwertkommt dabei so oft vor, wie seine algebraische Vielfachheit angibt. Au-ßerdem ist Q = (q1, . . . ,qn) eine orthogonale Matrix, d.h.

Q>Q = E.

Folglich bilden die Spalten von Q eine Orthonormalbasis des Rn. DieSpalte qj von Q ist ein zu λj gehörender normierter Eigenvektor vonA.

Quadratische Formen

Eine Funktion : Rn→ R mit

q(x) :=

n∑i,j=1(i≤j)

αijxixj für x := (x1, ..., xn)> ∈ Rn

heißt quadratische Form, wobei αij ∈ R für alle i, j gegeben sind.

Mit der symmetrischen Matrix A = (aij) ∈ Rn×n gegeben durch

aii := αii und aij := aji =αij2

(für i ≤ j).

kann man q(x) auch durch

q(x) = x>Ax

darstellen.

Hauptachsen quadratischer Formen

Die quadratische Form q : Rn → R sei durch die symmetrische MatrixA ∈ Rn×n gegeben.Die Spalten der orthogonalen Matrix Q = (q1, . . . ,qn) aus

Q>AQ = diag(λ1, ..., λn),

also die zu den Eigenwerten λ1, ..., λn von A gehörenden orthonorma-len Eigenvektoren q1, ...,qn, bezeichnet man als Hauptachsen der qua-dratischen Form q.

Hauptachsentransformation

Koordinatensysteme

Sei (c1, . . . , cn) eine Basis des Rn und u ∈ Rn. Dann heißt

(u; c1, . . . , cn)

Koordinatensystem mit dem Ursprung u.

Für einen Vektor x ∈ Rn gibt es dann stets eindeutig bestimmteα1, . . . , αn ∈ R, so dass

x = u +

n∑i=1

αici.

Die Zahlen α1, . . . αn heißen Koordinaten des Vektors x bzgl. des Ko-ordinatensystems (u, c1, . . . , cn).

Quadriken

Seien A ∈ Rn×n symmetrisch, b ∈ Rn und β ∈ R. Die Menge allerx ∈ Rn mit

x>Ax + b>x + β = 0bezeichnet man als Quadrik im Rn.

Transformation von Quadriken auf Normalform

Wichtige Klassen von Quadriken im R2

Normalform Bezeichnung

a2 + y2

b2− 1 = 0 Ellipse mit den Halbachsen a, b

a2 −y2

b2− 1 = 0 Hyperbel

x2 − 2py = 0 Parabel

Kern und Bild einer Matrix

DefinitionSei A ∈ Km×n. Dann heißt

• kerA := {x ∈ Kn |Ax = o} Kern der Matrix A,

• imA := {Ax |x ∈ Kn} Bild der Matrix A.

Rangkriterium

SatzSeien A ∈ Km×n. Dann gilt

rg(A) + dim(ker(A)) = n.

Geometrie im R3

axayaz

∈ R3, b =

bxbybz

∈ R3, c =

cxcycz

∈ R3

Das Standardskalarprodukt von a ∈ R3 und b ∈ R3 ist durch

a · b := a>b = axbx + ayby + azbz

gegeben. Der Betrag (oder die Länge) eines Vektors a ist durch

|a| :=√a · a

definiert und es gilta · b = |a||b| cos(a,b).

Das Vektorprodukt

DefinitionDas Vektorprodukt oder das äußere Produkt der Vektoren a ∈ R3 undb ∈ R3 ist definiert durch

a× b :=

aybz − azbyazbx − axbzaxby − aybx

∣∣∣∣∣∣i j kax ay azbx by bz

∣∣∣∣∣∣ ,| · | ist hiersymbolischzu verstehen

, j :=

, k :=

die kanonischen Basisvektoren des R3 bezeichnen.

Eigenschaften des Vektorproduktes

• a× b ∈ R3

• a× b steht senkrecht auf a und b

• |a× b| = |a||b| sin(a,b)(= Flächeninhalt des von a, b aufgespannten Parallelogramms)

• a× b = o gilt genau dann, wenn a,b parallel sind

• a× b = −(b× a)

• a,b und a× b bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem

• a× (b + c) = a× b + a× c, (a + b)× c = a× c + b× c

• (αa)× b = α(a× b) = a× (αb)

Spatprodukt

DefinitionDie Zahl

(a,b, c) := (a× b) · cheißt Spatprodukt der Vektoren a,b, c.

Die Zahl (a,b, c) ist gleich dem Volumen des durch a,b, c aufgespann-ten Parallelotops (Spates).

Gerade

DefinitionSeien p, r ∈ R3 gegeben. Dann heißt die Menge

G := G(p, r) := p + Rr := {p + αr |α ∈ R}Gerade mit dem Richtungsvektor r.Diese Darstellung wird auch Parameterdarstellung genannt.

Grundaufgaben

• Ermittlung einer Parameterdarstellung

• Lage von zwei Geraden zueinander

• Abstand Punkt zu Gerade, Gerade zu Gerade, Lotfußpunkte

DefinitionSeien p, r, s ∈ R3 gegeben mit r ∦ s. Dann heißt die Menge

E := E(p, r, s) := p + Rr + Rs := {p + αr + βs |α, β ∈ R}Ebene mit den Richtungsvektoren r und s.Diese Darstellung wird auch Parameterdarstellung genannt.

Eine Ebene E kann in parameterfreier Form durch eine Gleichung

nxx + nyy + nzz − c = 0

beschrieben werden. Dabei heißt der Vektor

nxnynz

Normalenvektor von E und ist senkrecht zu r und s.

Grundaufgaben

• Ermittlung der Parametdarstellung bzw. parameterfreien Form

• Umwandlung der paramterfreien Darstellung in die Parameterformund umgekehrt

• Lagebeziehungen zwischen Ebenen, Punkten und Geraden

• Abstand Punkt Ebene, Lotfußpunkt

Hessesche Normalform

Sei die Ebene E als Lösungsmenge der Gleichung

nxx + nyy + nzz − c = 0

gegeben (parameterfreie Darstellung). Dann heißt

(nxx + nyy + nzz)− c|n|

Hessesche Normalform der Ebenengleichung.

Die Zahld :=

(nxx + nyy + nzz)− c|n|

gibt den (vorzeichenbehafteten) Abstand von

zur Ebene E an.

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