info2

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Einführung in die Systemtheorie

Definition System:

Ein in sich geschlossenes, geordnetes und gegliedertes Ganzes; Gesamtheit, Gefüge von Teilen, die voneinander abhängig sind, ineinander greifen oder zusammenwirken

z.B. in der Physik

Gesamtheit von Körpern, Feldern u.s.w. die voneinander abhängig sind und als Ganzes betrachtet werden

z.B. Biologie

z.B. Informationsübertragungssysteme

z.B. Energieübertragungssysteme

info2

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Theorie

Wissenschaftl., rein gedankliche Betrachtungsweise, Lehrmeinung Erkenntnis von gesetzlichen Zusammenhängen

USA Signals and Systems Signale und Systeme

info2

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Aufgabenstellung Systemanalyse

Systemanalyse:Für ein gegebenes System wird bei gegebener Eingangssignalfunktion x(t) die Ausgangsfunktion y(t) gesucht. Hierzu ist das Übertragungsverhalten des Systems zu ermitteln!

Systemx(t) y(t) ?

info2

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Aufgabenstellung Systemsynthese

Systemsynthese:Es ist ein System zu entwerfen, das für eine gegebene Eingangssignalfunktion eine gewünschte Ausgangssignalfunktion y(t) liefert

System ?x(t) y(t)

info2

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Aufgabenstellung Systemidentifikation

Es ist für ein vorhandenes System durch geeignete Wahl der Eingangsgröße und Messen der Ausgangsgröße das Übertragungsverhalten des Systems zu ermitteln.

System g(t)x(t) y(t)

info2

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Bezeichnungsweisen

Übertragungsfunktion G(s) • Systemeigenschaft im Frequenzbereich • H(s), T(s) in amerikanischer Literatur

info2

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Bezeichnungsweisen

Eingangssignal• x(t) Bezeichnung im Zeitbereich• X(s) Bezeichnung im FrequenzbereichImpulsantwort• Systemeigenschaft im Zeitbereich g(t)• Systemeigenschaft im Frequenzbereich G(s)Ausgangssignal• y(t) Beschreibung im Zeitbereich• Y(s) Beschreibung im Frequenzbereich

info2

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Mathematisches Modell

Das System wird durch ein mathematisches Modell beschrieben

•bei kontinuierlichen Signalen Differentialgleichungen

•bei diskreten Signalen Differenzengleichungen

info2

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Kontinuierliche Signale

• periodische Funktionen Verwendung der Fourier-Reihe

• allgemeine Signale Fourier-Integral Laplace

info2

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Diskrete Signale

Verwendung von• DFT• FFT• Z-Transformation

info2

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• Kontinuierliche Signale• Lineare zeitinv. Systeme

Behandlung von nichtlinearen Systemen durch Linearisierung

numerische Lösung nichtlinearer DGL

Beschränkung zunächst:

info2

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Kausale Systeme

• Kausale SystemeUrsache Wirkung

• Stabile Systeme

Keine Selbsterregung

t

info2

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Mathematische Beschreibung

Linearität:Mehrere gleichzeitig auftretende Eingangssignale durchlaufen das System unabhängig voneinander und überlagern sich auf Ausgangsseite ungestört.

lineares System

k1x1(t)+k2x2(t) k1y1(t)+k2y2(t)

info2

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Mathematische Beschreibung

Zeitinvarianz:

x(t) y(t)

x(t-t0) y(t-t0)

t

t0

info2

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Stabilität

Stabilität:

wenn! dann!

Ursache verschwindet Wirkung geht auf 0

0)}({lim

txt

0)}({lim

tyt

info2

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Kausalität

aus x(t)=0 für t<t0 folgt

y(t)=0 für t<t0

info2

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Signalklassen

• Deterministisch - stochastisch• digital-analog

Abtasttheorem

info2

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Beschreibung von Systemen

g(t)x(t) y(t)

G(s)X(s) Y(s)

Beschreibung im Zeitbereich

Beschreibung im Frequenzbereich

Eingang AusgangSystem

Strukturbild - Strukturplan

info2

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Erweiterung auf mehrere Ein-Ausgangsgrößen

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

y4

Ursache

Eingangs-signal

Erregung

Wirkung

Ausgangs-signal

Antwort

[A]x y

Vektor Matrix Vektor

y=[A]x

info2

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Behandlung im Zeit-oder Frequenzbereich möglich

• Übergang mit Fourier- oder Laplace-Transformation

Bei Fouriertrf. Frequenz

komplexe Frequenz

Ermöglicht Auf-abklingende Schwingungen zu behandeln

)()( jFF

js

info2

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Fourier-Transformation

dfd

deFtfF

dtetfF

tj

tj

2

)(2

1)()(

)()(

1

Orginalraum(in t) Bildraum (in ω)Abbildung

f(t) Objektfunktion Resultatfunktion )(F

f(t)

f(t)

im allgemeinen Komplex)(F

)(F

)(F

info2

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Einseitige Laplacetransformation

Voraussetzung f(t)=0 für t<0

dsesLj

tfsLL

js

tfLdtetfsL

j

j

st

st

0

0

)(2

1)()}({

)}({)()(

1

0

info2

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Einseitige Laplacetransformation

f(t)

f(t)

)(sL

)(sL

tjttj eee

)(

0 :

für große t gegen 0

)(sL konvergiert besser als )(F

info2

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Beispiel

dtetasL

tatf

st

)cos()(

)cos()(

0

0

0

info2

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Zweimalige partielle Integration oder Maple

20

2)(

''

s

sasL

uvuvvu

info2

Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 26

Übertragungsfunktion s

g(t)

G(s)

x(t) y(t)

X(s) Y(s)Strukturplan

Ursache

Wirkung

sX

sYsG

)(

)()(

info2

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Übertragungsfunktion

erationFaltungsop

dtxgty

txtgty

sXsGsY

t

*

)()()(

)(*)()(

)()()(

0

Numerische Lösung

info2

Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 28

Zusammenfassen von Strukturplänen bei zeitinvarianten(linearen) Gliedern

G1(s)G1(s)+G2(s)

G2(s)

x y x y=

Parallelschaltung:

y(s)=G1(s)x(s)+G2(s)x(s)=[G1(s)+G2(s)]*x(s)

info2

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G1(s) G1(s) G2(s)xy

G2(s) yx

Reihenschaltung:

Y(s)=G1(s) [G2(s) x(s)]=G1(s) G2(s) x(s)

info2

Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 30

Gegenkopplung:

xGGGyy

GGyxGy

GyxGy

121

211

21 )(G1(s)

G2(s)

x y

21

1

1 GG

G

x

y

21

1

1 GG

G

x y

-

info2

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Mitkopplung:

G1(s)

G2(s)

x y21

1

1 GG

G

x y+ =

info2

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Vertauschen zweier Blöcke

G1(s) G2(s) yx G2(s) G1(s) yx=

Y(s)=G2(s) G1(s) X(s)=G1(s) G2(s) X(s)

info2

Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 33

Verlegung eines Blocks vor eine Summationsstelle

x1y

x2

G yG

G=

x1

x2

y=G (x1+x2)=G x1+G x2

info2

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Verlegung eines Blocks hinter die Summationstelle

yGx1

x2

yG

G-1

x1

x2

=

Y=GX1+X2 = G (X1+G-1 X2)

info2

Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 35

Verlegung eines Blockes vor eine Verzweigungsstelle

G

x G=y

x G-1

x

y

x

info2

Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 36

Verlegung eines Blockes hinter eine

Verzweigungsstelle

G

xG =y

y G

x

info2

Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 37

Die gedämpfte Schwingung

•Physikalisch völlig verschiedene Systeme können identische Systemstrukturen haben. •Bsp.: gedämpfte Schwingung

m

x

k

v

d

Ruhelage

Fd=-d*v

info2

Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 38

Die gedämpfte Schwingung

0

kxxdxm

kxvdam

FFam Fd

ist Kraft u(t) vorhanden gilt

)(tukxxdxm

info2

Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 39

RLC-Glied

Ursache

Wirkung

u

i

qC

dttqC

tqCj

qLqC

qRu

iLjiCj

iRu

1

)(1

)(1

*1

1

iq

idtq

R LC

u

)(1

tuqC

qRqL

info2

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Systemstruktur - identisch

)(tukxxdxm

)(1

tuqC

qRqL

Mechanik

Elektronik

)()(1

)()(2 sUsQC

sQsRsQsL

info2

Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 41

Übertragungsfunktion R,L,C-System

R LCU

i=Ursache

LR

ss

LCR

Cs

Rs

sI

sUsG

2

2

)(

)()(

info2

Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 42

R,L,C Reihenschaltung

R LC

u

LCs

LR

s

sL

LCssRC

sC

sLsC

RsG

sLsC

RsG

sU

sIsG

1

1

111

)(

1

)(

1

)(

)()(

22

info2

Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 43

Echt gebrochen rationale Funktion

• G(s) ist bei linearen zeitinvarianten Systemen als gebrochene rationale Funktion darstellbar

• beliebige R,L,C-Netzwerke m<n echt gebrochen rationale Funktion

011

1

011

1

...1

...)(

bsbsbs

asasasasG

nn

n

mm

mm

Nenner im NullstelleˆPoleˆ...

nNullstelleˆ...

)(*))...((*)(

)(*))...((*)()(

1

001

121

0102100

xnx

m

xxxnxn

mmm

ss

ss

ssssssss

ssssssssasG

info2

Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 44

Beispiel

)4()5(20 :Ergebnis

4

52

8011

12

)20(14²11

2

4

0

?20

2

2

1

2,1

2

2,1

2

2

xxxx

x

x

x

a

acbbx

cbxax

xx

info2

Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 45

Ermittlung der Übertragungsfunktion G(s) bei RLC-Netzwerken

R LCu

iIi wird eingespeist

u Wirkung

LR

ss

LCR

CsRs

LCssRC

RLCssLR

sLR

sRL

sCLjR

LjR

Cji

usG

²1

1²

²

²

11)(

jω durch s ersetzen!

Vorsicht!

höchste Potenz Faktor1

Nennerpolynom

info2

Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 46

Polstellen

Definition Polstelle:Klammerausdruck in Nenner wird 0

G(s) wird ∞

Untersuchung der Funktion G(s)

info2

Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 47

Einfach reelle Polstelle, Partialbruchzerlegung

tsn

ii

xi

i

ssxii

xn

xini

x

xixi

xi

xn

n

xx

xi

xi

eAtg

ss

A

sGssA

ss

ssAA

ss

ssAsGss

ss

ss

A

ss

A

ss

AsG

1

1

1

2

2

1

1

)(

)(*)(

)(

)(......

)(

)()()(

)(

...)(

iA von Bestimmung

tsi

xieA

info2

Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 48

S-Ebene - Zeitbereich

σ

jω

sxi=-σ0

sxi=-σ0

t

Ai

gi(t)

tii eAtg 0)(

info2

Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 49

S-Ebene – aufklingende Funktion

σ

jω

sxi=+σ0

sxi=σ0t

Aigi(t)

tii eAtg 0)(

info2

Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 50

S-Ebene – Realteil = 0

σ

jω

sxi=0

sxi=0 t

Aigi(t)

info2

Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 51

k-fach reelle Polstelle

)!1()(

1

1

n

tBetg

nk

nn

tsi

xi

nxi

n

ss

B

)( ts

nn xien

tB

)!1(

1

σ

jω

k-fach

-σ0t

gi(t)

info2

Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 52

Einfach konjugiert komplexe Polstelle

tC

tCetg

tAetg

t

t

00

01

01

sin2

cos*1)(

)sin()(

0

0

σ

jω0sx1

-σ0

-jω0sx2

gx(t)

t

info2

Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 53

Einfach konjugiert komplexe Polstelle

σ

jω0 sx1

+σ0

-jω0 sx2

gx(t)

t

info2

Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 54

Einfach konjugiert komplexe Polstelle

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 1 2 3 4 5σ

jω0sx1

-jω0sx2

gx(t)

t