Informatik III

Albert-Ludwigs-Universität FreiburgRechnernetze und Telematik

Prof. Dr. Christian Schindelhauer

Informatik III

Christian Schindelhauer

Wintersemester 2006/07

9. Vorlesung

22.11.2006schindel@informatik.uni-freiburg.de

Albert-Ludwigs-Universität FreiburgInstitut für Informatik

Rechnernetze und TelematikProf. Dr. Christian Schindelhauer

Informatik III 9. Vorlesung - 2

Turing-maschinen

Turingmaschinen

DFA mit – unbeschränktem Band

Eingabe steht zu Beginn am Anfang des BandsAuf dem Rest des Bandes steht _ (Blank)Position auf dem Band wird durch Lesekopf beschrieben

Turingmaschinen

Beispiel einer Turingmaschine

Teste, ob ein Wort in der folgenden Sprache liegt:– L = {w#w | w {0, 1} }

Vorgehensweise:– Von links nach rechts über das Wort laufen– Erstes Zeichen links merken und markieren– Erstes Zeichen rechts von # vergleichen und markieren– Für alle Zeichen wiederholen bis erreicht– Links dürfen dann nur noch Blanks folgen– Falls Zeichen an einer Stelle nicht übereinstimmen ablehnen,

sonst am Ende akzeptieren

Beispielrechnung einer Turingmaschine

0 1 1 0 0 0 # 0 1 1 0 0 0 _ _ _ …

x 1 1 0 0 0 # 0 1 1 0 0 0 _ _ _ …

x 1 1 0 0 0 # x 1 1 0 0 0 _ _ _ …

x x 1 0 0 0 # x 1 1 0 0 0 _ _ _ …

x x x x x x # x x x x x x _ _ _ …

Turingmaschinen

Eine (deterministische 1-Band) Turingmaschine (DTM) wird beschrieben durch ein 7-Tupel

– M = (Q, q0, qaccept, qreject).

Dabei sind Q, endliche, nichtleere Mengen und es gilt:– F Q, , q0 Q– _ ist das Blanksymbol.

Q ist die Zustandsmengeist das Eingabealphabetdas Bandalphabet.

Zustände– q0 Q ist der Startzustand.– qaccept Q ist der akzeptierende Endzustand– qreject Q ist der ablehnende Endzustand

: Q Q {L, R} ist die (partielle) Übergangsfunktion– ist nicht definiert für q {qaccept, qreject} definiert

Arbeitsweise einer Turingmaschine

Initial: – Eingabe steht links auf dem Band– Der Rest des Bands ist leer– Kopf befindet sich ganz links

Berechnungen finden entsprechend der Übergangsfunktion statt

Wenn der Kopf sich am linken Ende befindet und nach links bewegen soll, bleibt er an seiner Position

Wenn qaccept oder qreject erreicht wird, ist die Bearbeitung beendet

Konfiguration

Momentaufnahme einer TM– Bei Bandinschrift uv

• dabei beginnt u am linken des Bandes und hinter vstehen nur Blanks

– Zustand q,– Kopf auf erstem Zeichen von v

Konfiguration C = uqv

Aufeinanderfolgende Konfigurationen

Gegeben: Konfigurationen C1, C2

Wir sagen: – Konfiguration C1 führt zu C2, falls die TM von C1 in einem

Schritt zu C2 übergehen kann.

Formal:– Seien a, b, c , u, v * und Zustände qi , qj gegeben

Wir sagen – u a qi b v führt zu u qj a c v,

• falls (qi,b) = (qj,c,L) und– u a qi b v führt zu u a c qj v,

• falls (qi,b) = (qj,c,R)

Konfigurationen

Startkonfiguration:

– q0w, wobei w die Eingabe ist

Akzeptierende Konfiguration:

– Konfigurationen mit Zustand qaccept

Ablehnende Konfiguration:

– Konfigurationen mit Zustand qreject

Haltende Konfiguration: – akzeptierende oder ablehnende Konfigurationen

Akzeptanz von Turingmaschinen

Eine Turingmaschine M akzeptiert eine Eingabe w, falls es eine Folge von Konfigurationen C1, C2, …, Ck gibt, so dass

– C1 ist die Startkonfiguration von M bei Eingabe w

– Ci führt zu Ci+1

– Ck ist eine akzeptierende Konfiguration

Die von M akzeptierten Worte bilden die von M akzeptierte Sprache L(M)

Eine Turingmaschine entscheidet eine Sprache, wenn jede Eingabe in einer haltende Konfiguration Ck resultiert

Rekursive und rekursiv aufzählbare

Sprachen

Eine Sprache L heißt rekursiv aufzählbar, falls es eine Turingmaschine M gibt, die L akzeptiert

Eine Sprache L heißt rekursiv oder entscheidbar, falls es eine Turingmaschine M gibt, die L entscheidet

Beispiel für eine Turingmaschine

Gesucht: Turingmaschine, die

– L = {02n | n {0,1,2,...}} entscheidet

Arbeitsweise:1. Gehe von links nach rechts über die Eingabe und ersetze

jede zweite 0 durch x2. Wenn nur eine 0 auf dem Band ist, akzeptiere3. Falls die Anzahl der 0en ungerade ist, lehne ab4. Bewege den Kopf zurück an das linke Ende

Beispiel

Definition der Turingmaschine:

– Q = {q1, q2, q3, q4, q5, qaccept, qreject} = {0} = {0, x, t}

Besondere Zustände:

– Startzustand q1

– Akzeptierender Endzustand qaccept

– Ablehnender Endzustand qreject

Übergangsfunktion

Darstellung von als Diagramm

q1 (q2, t, R) (qreject, x, R) (qreject, t, R)

q2 (q3, x, R) (q2, x, R) (qaccept, t, R)

q3 (q4, 0, R) (q3, x, R) (q5, t, L)

q4 (q3, x, R) (q4, x, R) (qreject, t, R)

q5 (q5, 0, L) (q5, x, L) (q2, t, R)

Abarbeitung eines Beispielworts

Beispiel für dasWort: 0000

Startkonfiguration:q10000

0 0 0 0 t t

Konfiguration:tq2000

t 0 0 0 t t

Konfiguration:txq300

t x 0 0 t t

Konfiguration:tx0q40

t x 0 0 t t

Konfiguration:tx0xq3t

t x 0 x t t

t x x x t t

Endkonfiguration:txxxtqaccept

t x x x t t

qaccept

Mehrband Turingmaschinen

Eine Mehrband oder k-Band Turingmaschine (k-Band DTM) hat k Bänder mit je einem Kopf.

Die Übergangsfunktion ist dann von der Form : Q k Q k {L, R}k

Die Arbeitsweise ist analog zu 1-Band-DTMs definiert.

– Zu Beginn steht die Eingabe auf Band 1,

– sonst stehen überall Blanks.

Äquivalenz von 1-Band und Mehrband

TuringmaschinenSatz:

– Zu jeder Mehrband Turingmaschine gibt es eine äquivalente 1-Band Turingmaschine

Beweis: – Idee: Simuliere Mehrband DTM M auf 1-Band DTM S

Beweis Fortsetzung

Schreibe k Bänder hintereinander auf ein BandSei # zusätzliches Symbol

–Verwende # um Bänder zu trennenFür füge zum Alphabet hinzuDer Punkt repräsentiert die aktuelle Position des Kopfes auf dem Band

Beweis Fortsetzung

Bei Eingabe w = w1, … , wn:1. S bildet Startkonfiguration von M ab:

2. Simulation eines Schrittes:• Gehe von links nach rechts über das Band und suche die

Markierungen # und finde die Zeichen unter den virtuellen Köpfen• Gehe von links nach rechts über das Band und führe die

Änderungen entsprechend der Übergangsfunktion von M durch

3. Falls ein virtueller Kopf rechts auf ein # bewegt wird, schreibe ein t und bewege alle folgenden Zeichen eine Position nach rechts

Äquivalenz von 1-Band und Mehrband Turingmaschinen

Korollar:– Eine Sprache L ist genau dann rekursiv aufzählbar, wenn es

eine Mehrband-Turingmaschine gibt, die L akzeptiert

Albert-Ludwigs-Universität FreiburgRechnernetze und Telematik

Prof. Dr. Christian Schindelhauer

Ende der9. Vorlesung

Dank an Michael Kortenjan für die Folienvorlage

Informatik III

Christian Schindelhauerschindel@informatik.uni-freiburg.de

Informatik III

Documents

Transcript of Informatik III

1 Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Rechnernetze und Telematik Prof. Dr. Christian Schindelhauer Informatik III Arne Vater Wintersemester 2006/07 10.

1 Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Rechnernetze und Telematik Prof. Dr. Christian Schindelhauer Informatik III Christian Schindelhauer Wintersemester.

1 Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Rechnernetze und Telematik Prof. Dr. Christian Schindelhauer Informatik III Arne Vater Wintersemester 2006/07 11.

Entwurf und Implementierung eines ... - idb.uni-bonn.de · Rheinische riedricFh-Wilhelms-Universität Bonn Institut für Informatik III ... Kartographie unter Berücksichtigung von

XULU - Entwicklung einer generischen Plattform zur ...impetus.uni-koeln.de/fileadmin/content/... · RHEINISCHE FRIEDRICH-WILHELMS-UNIVERSITAT¨ BONN INSTITUT FUR¨ INFORMATIK III

Informatik III

Lehrstuhl Informatik III: Datenbanksysteme Anna Ira Hurnaus 29. Oktober 2009 Virtualisierung 1 Hochskalierbare betriebliche Datenbankanwendungen Adaptive.

I I I I I I I II IIII III IIII IIIIII III IIIII IIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII © Verein SSGI – 2010 Verein Schweizerische Städte- & Gemeinde-Informatik.

Modul Informatik III Softwaretechnologie Dateien/INFO III/skript0-2.pdf · • Ein Softwaresystem ist ein System, dessen Komponenten aus Software bestehen. • Softwaresysteme sind

Lehrstuhl Informatik III: Datenbanksysteme Achim Landschoof 28. April 2009 Strukturierte P2P Systeme 1 Achim Landschoof Betreuerin: Dipl.-Inf. Jessica.

Grundlagen von Informationssystemen, Seite 1-1© 2000, 2001 Institut für Informatik III, Universität Bonn Proseminar: Grundlagen von Informationssystemen.

wissenswertes für schülerinnen und schüler · Biologie, Chemie, Physik Informatik Sport aufgabenfeld i sprachlich-literarisch-künstlerisch ii gesellschafts-wissenschaftlich iii

Modulhandbuch - DHBW · 2020. 10. 2. · T3INF1006 Technische Informatik I 1. Studienjahr 5 T3INF2001 Mathematik II 2. Studienjahr 6 T3INF2002 Theoretische Informatik III 2. Studienjahr

Adaptive Physical Optimization in Hybrid OLTP & OLAP Main ... · Technische Universität München Fakultät für Informatik Lehrstuhl III – Datenbanksysteme Adaptive Physical Optimization

Technische Universität München Lehrstuhl Informatik III: Datenbanksysteme und Informatik VI: Echtzeitsysteme und Robotik Sportereignis Modellbeschreibung.

Lehrstuhl Informatik III: Datenbanksysteme 1 HiSbase – Informationsfusion in P2P Netzwerken Tobias Scholl, Bernhard Bauer, Benjamin Gufler, Richard Kuntschke,

Informationssysteme: Verteilte und Web-Datenbanken Prof. Alfons Kemper, Ph.D. Lehrstuhl für Informatik III: Datenbanksysteme TU München .

Informatik IIIarchive.cone.informatik.uni-freiburg.de/lehre/vorlesung/informatik-III...Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Institut für Informatik Rechnernetze und Telematik Prof.

1 Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Rechnernetze und Telematik Prof. Dr. Christian Schindelhauer Informatik III Arne Vater Wintersemester 2006/07 25.

Mathematik I - · PDF fileFormelsammlung zu den Vorlesungen Mathematik I - III in den Studiengängen Technische Informatik und Nachrichtentechnik der FHTE