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Mathematik – I, Prof. Dr. Julia Kallrath
2.1 Mengenbegriff. Darstellung von Mengen
inkl. Peano-Axiome und vollständige Induktion
2.2 Mengenrelationen und Mengenoperationen
2.3 Einfache Zählformeln
2.4 Permutationen und Kombinationen
2. Grundbegriffe der Mengenlehre und Kombinatorik
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2. Grundbegriffe der Mengenlehre und Kombinatorik
Definition 2.1 (Cantor, 1879)
„Unter einer ‚Menge‘ verstehen wir
jede Zusammenfassung M von
bestimmten wohl unterschiedenen
Objekten m unserer Anschauung
oder unseres Denkens (welche die
‚Elemente‘ von M genannt werden)
zu einem Ganzen“. Georg Cantor, 1845 - 1918
2.1 Mengenbegriff. Darstellung von Mengen
Bildquelle: en.wikipedia.org
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2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Beispiel 2.1:
a) A = {4,5,7}
b) B = {1,3,5,7,…}
c) C = Menge aller Buchstaben.
d) D = Menge aller Studierenden an der h-da zu einem Stichtag.
e) F = { } = Ø – leere Menge.
|A| = 3
|B| =
Beispiel 2.2:
A1 = {4,4,5,7} – keine Menge
A2 = {5,4,7} – gleiche Menge wie im Beispiel 2.1 a).
Bezeichnungen:
A, B, …, X, … – Mengen;
a, b, c, .., x,… – Elemente einer Menge
|N| – Anzahl der Elemente der Menge N, Mächtigkeit der Menge
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2. Grundbegriffe der Mengenlehre
xM bedeutet „x ein Element der Menge M“ oder „x liegt in M“
xM bedeutet „x ist kein Element der Menge M“
Reservierte Buchstaben:
N = {1,2,3,…} – Menge der natürlichen Zahlen.
N0= {0,1,2,3,..} = N U {0} – erweiterte Menge der natürlichen
Zahlen. Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} – Menge der ganzen Zahlen.
Q – Menge der rationalen Zahlen,
R – Menge der reellen Zahlen,
C – Menge der komplexen Zahlen
Beispiel 2.3: 0.5 N; 0.5 Q
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2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Darstellung von Mengen
• Vollständiges Aufzählen ihrer Elemente,
z.B. M = {m, e, n, g, l, h, r} – die Buchstaben des Wortes
„Mengenlehre“; C = {a, b, c, d, …, z}
• Aufzählen der ersten Elemente einer Menge, z.B. N = {1,2,3,…} oder B = {1,2,3,…,100}.
• Beschreibung der Menge M mit einer gemeinsamen
Eigenschaft A(x), z.B. M = {x I A(x)} – Menge aller x, für die
die Eigenschaft A(x) erfüllt ist.
G = {2,4,…} oder P = {2,4,8,16, …}
X= {x : x N und x < 5 } = {1,2,3,4}.
G = {2,4,6,…}
K= {nN : k N : k2 = n} = {1,4,9,16,25…}
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2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Darstellung von Mengen
• Graphische Darstellung (VENN-Diagramme)
z.B. Menge der Fachbereiche der h-da
F = {Architektur, Bauingenieurwesen, Informatik, …}
Bauingenieurwesen
Media
Informatik
Wirtschaft
Chemie- und Biotechnologie
Elektrotechnik
Soziale Arbeit
Gestaltung
Maschinenbau
Mathematik
Architektur
F
Jura
Jura F
M
Bildende Kunst
Produkt Design
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2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Bauingenieurwesen
Media
Informatik
Wirtschaft
Chemie- und Biotechnologie
Elektrotechnik
Soziale Arbeit
Gestaltung
Maschinenbau
Mathematik
Architektur
F
Jura
M Bildende Kunst
Produkt Design
Definition 2.2 Es seien F und M zwei Mengen (F liegt im M).
Als Komplement von F in M bezeichnet man die Menge
CM(F) = {x | x M und x F } = {Bildende Kunst, Jura, Produkt Design}
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2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Beispiel Komplementmenge:
Sei G = {2k : k N} und U = {2k – 1 : k N}.
Die Mengen G und U sind komplementär zueinander in N:
CN
(G) = U
und
CN
(U) = G.
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2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Vergleich der Zahlenmengen:
• Es gilt N Z Q R C.
• Die Menge Q\Z enthält Brüche, wie z.B. ⅓, - ⅞, 2⅔ etc.
Diese können als endliche oder periodische Dezimalbrüche
dargestellt werden z.B. ⅓ = 0,333333333…; - 2 ½ = - 2,5
• Elemente R\Q heißen irrationale Zahlen,
Beispiele sind 2 und die mathematischen Konstanten
= 3,14159… und e = 2,71828… Irrationale Zahlen werden
durch unendliche nichtperiodische Dezimalbrüche dargestellt.
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Peano-Axiome
2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Natürliche Zahlen und vollständige Induktion.
Bildquelle: famous-mathematicians.com
Giuseppe Peano, 1858 - 1932
(P.1) 1 ist eine natürliche Zahl.
(P.2) Jede natürliche Zahl besitzt
einen Nachfolger S(n) = n+1.
(P.3) Es gibt keine natürliche Zahl n
mit S(n) = 1.
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Peano-Axiome (Fortsetzung)
2. Grundbegriffe der Mengenlehre
(P.4) Gilt für m und n die Beziehung S(n) = S(m), so
ist m = n.
(P.5) Von allen Mengen M, welche:
i. die Zahl 1 und
ii. mit jeder natürlichen Zahl n deren Nachfolger
S(n) enthalten, ist die Menge der natürlichen
Zahlen die kleinste.
Bemerkung: (P.5) nennt man auch Induktionsaxiom.
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Folgerungen:
2. Grundbegriffe der Mengenlehre
• N hat unendlich viele verschiedene Elemente:
wegen P.1 gibt es mindestens eine natürliche Zahl: 1
wegen P.2 gibt es zu 1 einen Nachfolger S(1), der
wegen P.3 ungleich 1 ist (sei es S(1)=2)
wegen P.2 gibt es zu 2 einen Nachfolger zu S(2), der
wegen P.3 ungleich 2 ist (sei es S(2) = 3) …
• N lässt sich in einer bestimmten Reihenfolge anordnen:
1,2, …, n, n+1, …
Nachfolger von n
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Das Prinzip der vollständigen Induktion
2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Um eine Aussage A(n) für alle n N zu beweisen,
genügt es nach Axiom (P.5) zu zeigen:
Induktionsanfang: Für n = n0 N ist A(n) erfüllt.
Induktionsschritt (n n+1): Ist die Aussage A(n) für
ein beliebiges nN erfüllt, dann gilt sie auch für den
Nachfolger, also A(n+1)
A(n) gilt für alle n N.
Anmerkung: Meist verwendet man n0=1, muss aber nicht sein.
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Beispiel 2.4 a) (Mitschrift)
Für alle n N gilt: 1+2+...+n=n(n+1)/2
2. Grundbegriffe der Mengenlehre
i. Induktionsanfang: 1 = 1(1+1)/2 – richtig
ii. Induktionsschritt (n n+1):
Induktionsvoraussetzung: 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2
Zu beweisen: Formel für n+1: 1 + 2 + ... n +(n+1) = (n+1)(n+2)/2.
1 + 2 + ... n +(n+1) = n(n+1)/2 + (n+1) = (n2 +n +2n +2)/2 =
= (n(n +1) +2(n +1))/2 = (n+1)(n+2)/2, q.e.d.
(I.V.)
(I.V.)
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Beispiel 2.4 b)
Für alle n N gilt: 2n n+1
2. Grundbegriffe der Mengenlehre
i. Induktionsanfang: 21 1+1; 2 2– richtig
ii. Induktionsschritt (n n+1):
Induktionsvoraussetzung: 2n n+1
Zu beweisen: Formel für n+1: 2n+1 (n+1)+1; 2n+1 n+2
2n+1 = 2n 2 (n+1) 2 = 2n + 2 > n+2, q.e.d.
(I.V.)
(I.V.)
da n > 0 (siehe Mitschrift)
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2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Es existieren im Wesentlichen zwei Aufgabenarten:
Der Beweis der Richtigkeit von Aussagen bzw. Formeln mit
1. „≤“ oder ≥“:
Im Induktionsschritt benötigen wir eine Abschätzung, z.B.:
2. „=“ werden nur mit Äquivalenzumformungen bewiesen,
wie im Beispiel 2.4 a):
n(n+1)/2 + (n+1) = (n2 +n +2n +2)/2 = (n+1)(n+2)/2
Hinweis:
2n+1 = 2n 2 (n+1) 2 = 2n + 2 > n + 2 für n > 0
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Übung (Zuhause):
2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Berechnen Sie die folgende Summe: 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1)
Alternativer Beweis für Beispiel 2.4 a) „kleiner Gauss“
1 + 2 + 3 + 4 + … + (n-1) + n
n + (n-1) + (n-2) + (n-3) + … + 2 + 1
(n+1)+(n+1) + (n+1) + (n+1) + … + (n+1) + (n+1)
Die Summe in den beiden Zeilen n mal (n+1), also n(n+1)
Die Summe in einer Zeile: n(n+1)/2
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Vorgehensweise:
2. Grundbegriffe der Mengenlehre
1. Induktionsanfang: Aussage bzw. Formel beweisen für eine Anfangszahl n0 N (nicht notwendigerweise die Zahl 1).
2. Induktionsvoraussetzung formulieren:
Formel für die Zahl n aufschreiben (I.V.)
3. Induktionsschritt vorbereiten:
Formel für die Zahl n+1 aufschreiben
4. Induktionsschritt durchzuführen:
a) Was haben wir? Formel für n (LS = RS, LS ≤ RS…).
b) Was brauchen wir? Formel für n+1 beweisen:
beginnend mit der linken Seite der Formel für n+1 (LS) mit
Hilfe von Umformungen und Formel in 4a) die rechte Seite
(RS) der Formel für n+1 erhalten.
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Übung:
2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Beweisen Sie mit dem Prinzip der vollständigen Induktion,
dass die Summe der ersten n ungeraden Zahlen n2 ist, d.h.
Ʃ (2k – 1) = n2
oder
1 + 3 + 5 + 7+ … + (2n-1) = n2
Hinweis: jede gerade Zahl hat die Form 2k, k N
jede ungerade Zahl hat die Form (2k-1), k N
k = 1
n
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Dezimalzahlen:
234,56 = 2102 + 3101 + 4100 + 510-1 + 610-2
Die Zahl 10 heißt Basis des Zahlensystems.
Darstellung der Zahl zur Basis B (B-adische Darstellung):
Z1Bn + Z2B
n-1 + … + Zn+1B0 + Zn+2B
-1 + Zn+3B-2 +…+ Zn+k+1B
-k,
wobei Zi {0,…,B-1}, i={1,…,n+k+1}.
2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Andere Darstellungen der reellen Zahlen
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Beispiel: Darstellung zur Basis 7 (B = 7)
Jede Zahl wird mit Siebener-Potenzen dargestellt.
Als Koeffizienten stehen nur die Ziffern 0,1,2,3,4,5,6
zur Verfügung. 234 = 2102 + 3101 + 4100 = 200 + 30 + 4 = 234
Z.B. 2347 =
2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Beispiel: Darstellung zur Basis 16 (Hexadezimale)
Jede Zahl wird mit 16-Potenzen dargestellt.
Als Koeffizienten stehen zur Verfügung die Ziffern: 0,1,2,…,9
und die Buchstaben A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15.
Z.B. 12F16 = 1162 + 2161 + 15160 = 256 + 32 + 15 = 30310
272 + 371 + 470 = 249 + 37 + 4 = 12310
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Dualzahlen (Binärzahlen): 0 und 1
11012 =
Ganze Dezimalzahl Binärzahl (Divisionsmethode):
13 : 2 = 6 R 1
6 : 2 = 3 R 0
3 : 2 = 1 R 1
1 : 2 = 0 R 1
STOP
Die Reste von unten nach oben aufschreiben:
1101
2. Grundbegriffe der Mengenlehre
123 + 122 + 021 + 120 = 8 + 4 + 1 = 13
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„Komma-“Dezimalzahl Binärzahl (Multiplikationsmethode):
0,625 2 = 1,25
0,25 2 = 0,5
0,5 2 = 1,0
STOP
Ganze Zahlen als
NACHKOMMAZAHLEN von oben nach
unten aufschreiben: 0,101
Periodische Binärzahlen:
0,3 2 = 0,6
0,6 2 = 1,2
0,2 2 = 0,4
0,4 2 = 0,8
0,8 2 = 1,6
0,6 2 = 1,2
0,2 2 = 0,4
…………….
0,3 = 0,010011001… = 0,0(1001)
2. Grundbegriffe der Mengenlehre
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Übungen (Mitschrift):
1. Stellen Sie die Zahl 81,75 als Binärzahl dar.
2. Welche Dezimalzahl entspricht der binären Darstellung
10101,101?
3. Erklären Sie den Mathematiker-Witz:
Warum können amerikanische Mathematiker Weihnachten (wird dort erst am 25. Dezember gefeiert) nicht von Halloween (31. Oktober) unterscheiden?
1010001,11
10101,101 = 21,625
2. Grundbegriffe der Mengenlehre
31(oct) = 25(dec)
Witzquelle:http://zahlwort.blogger.de/stories/424273
3·81 + 1·80 = 25
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2. Grundbegriffe der Mengenlehre
2.2 Mengenrelationen und Mengenoperationen
Definition 2.3
Zwei Mengen A und B heißen gleich (A=B), wenn beide
Mengen die gleichen Elemente besitzen. Ansonsten heißen
sie ungleich.
Definition 2.4 Für zwei Mengen A und B sind definiert:
• Teilmenge
A B := {x | (x A) (x B) }
A ist echte Teilmenge von B: A B := {x| (A B) und (A B)}
B heißt Obermenge (bzw. echte Obermenge) von A:
BA (BA)
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2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Definition 2.4 (Fortsetzung)
• Schnittmenge
A B:= {x | (x A) und (x B) }
Ist A B = Ø, dann heißen A und B disjunkt oder punktfremd.
• Vereinigungsmenge
A B:= {x | (x A) oder (x B) }
• Differenzmenge
A\B:= {x | (x A) und (x B) }
Venn-Diagramme in der Mitschrift
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2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Beispiel 2.5 Sei A = {2,4,6} und B = {1,2,3}
• Schnittmenge: A B = {2}
• Vereinigungsmenge: A B = {1,2,3,4,6}
• Differenzmenge: A\B = {4,6}; B\A = {1,3};
• Komplement: Komplement von A im M, CAM
Sei M = {1,2,3,4,5,6}, dann: CAM= {1,3,5}
CBM= {4,5,6}
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2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Sei A = {1,2,3}, B = {2,3,4} und C = {3,4,5,6}, dann
A B C = {3};
A B C = {1,2,3,4,5,6};
Mit Hilfe von Quantoren kann man dies auch so formulieren:
X {A, B, C}: 3X
X {A, B, C}, x {1,2,3,4,5,6}: xX
Verallgemeinerung Schnittmenge und Vereinigungsmenge
(motivierendes Beispiel):
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Verallgemeinerung Schnittmenge:
Ist F eine sog. Familie (Menge) von Mengen, so
definieren wir X:= { x: (XF : xX ) }
2. Grundbegriffe der Mengenlehre
X F
Verallgemeinerung Vereinigungsmenge:
Ist F eine Familie von Mengen, so definieren wir
X:= { x: (XF : xX ) } X F
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2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Beispiel Vereinigungsmenge:
Sei F = { Mn: nN } eine Familie der Mengen:
nN definiere Mn := { xQ : x 1/n }
Dann: X = Mn = Mn { xQ : x > 0) } = Q+
X F
Beispiel Schnittmenge:
Analog: Ist F eine Familie von Mengen, so definieren wir
Mn = Mn {xQ : x 1} = M1
nN n = 1
nN n = 1
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2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Beispiel Vereinigungsmenge:
nN definiere Mn := { xQ : x 1/n }
Dann: Mn = Mn { xQ : x > 0) }
Beispiel Schnittmenge:
Analog definieren wir
Mn = Mn {xQ : x 1}
nN n = 1
nN n = 1
= Q+
= M1
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2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Satz 1 (Mengengesetze)
Seien A, B und C Mengen. Dann gelten die folgenden
mengenalgebraischen Rechenregeln:
• Kommutativgesetz: A B = B A
A B = B A
• Assoziativgesetz: A (B C) = (A B) C
A (B C) = (A B) C
• Distributivgesetz: A (B C) = (A B) (A C)
A (B C) = (A B) (A C)
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2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Satz 1 (Mengengesetze)
Beweis (Distributivgesetz)
A (B C) = (A B) (A C);
A B
C
A B
C
VENN - Diagramms
Übung: Zweites Distributivgesetz A (B C) = (A B) (A C)
mit Hilfe des VENN-Diagramms beweisen!
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2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Definition 2.5
Die Menge aller Teilmengen einer Menge A heißt P
Potenzmenge von A, P(A) = {X | X A}
Bemerkung:
• | P (A) | = 2n – die Anzahl der Elemente in Potenzmenge von A,
wobei A – eine endliche Menge mit n Elementen, |A| =n
• Ø und die Menge selbst gehören immer zur Potenzmenge
Beispiel 2.6 M={2,3,5}. Dann gilt:
P(M) = { Ø, } {2},{3},{5}, {2,3},{2,5},{3,5}, {2,3,5}
| P (M) | = 8 = 23
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2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Beweis (mittels vollständiger Induktion): | P (A) | = 2n
(1) Induktionsanfang: n = 1: linke Seite: |P(A)| = |{Ø, {A}}| = 2
rechte Seite: 21 = 2
(2) I.V.: | P (A) | = 2n , mit |A| = n
Zu beweisen : | P (A*) | = 2n+1, mit |A*| = n+1
(3) Induktionsschritt: Teile Teilmengen von {1, …, n + 1} in
zwei Gruppen ein:
(a) solche, die {n + 1} nicht enthalten (nach I.V.) es gibt
genau 2n Stück (Teilmengen von {1, …, n}),
(b) solche, die {n + 1} enthalten: auch genau 2n Stück
(Mengen aus (a) vereinigt mit {n + 1}).
Insgesamt: 2n + 2n = 2 2n = 2n+1 Teilmengen.
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2. Grundbegriffe der Mengenlehre
2.3 Einfache Zählformeln
In diesem Abschnitt werden die Anzahl der Elemente einer
Menge gezählt.
• Summenregel
Sei A und B zwei beliebige Mengen, dann
|A B| = |A| + |B| - |A B|.
Beispiel 2.7 (Fortsetzung Beispiel 2.5)
A = {2,4,6} und B ={1,2,3}
(1) direkt berechnen: A B = {1,2,3,4,6}, also |A B| =5
(2) nach Formel: |A B| = A B = {2}
3 + 3 – 1 = 5
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2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Beispiel 2.8
In einer Stadt mit 1,000,000 Einwohner werden zwei
Sprachen gesprochen. Es ist bekannt, dass 90% davon
Deutsch und 20% Französisch sprechen. Wie viele
Einwohner sprechen beide Sprachen?
D = {Menge der Deutsch sprechenden Einwohner}
F = {Menge der Französisch sprechenden Einwohner}
E = {Menge aller Einwohner} = D F
Gesucht ist |D F|.
|DF| = |D| + |F| – |DF| = 900000 + 200000 –1000000 =
= 100000. Einfacherer Weg: 10% von 1000000 = 100000.
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2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Bemerkung: für disjunkte Mengen A und B gilt:
|A B| = |A | + |B|, da |A B| = 0.
Beispiel 2.9
Auf der Tastatur eines Kinder-PC sind nur Ziffern und
Buchstaben (inkl. Umlaute) abgebildet. Wie viele Tasten gibt
es insgesamt?
Z = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,0} – Menge der Ziffern
B = {A, B, C,…, Z, Ä, Ö, Ü} – Menge der Großbuchstaben
Gesucht |Z B|.
Da Z B = Ø, dann |Z B| = 0 und
|Z B| = |Z | + |B| = 10 + 29 – 0 = 39
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2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Kartesisches Produkt oder Produktmenge
Seien A und B zwei beliebige Mengen, dann ist die
Produktmenge A x B definiert als
A x B = { (x,y) : (x A) und (y B) }.
Beispiel 2.10
(a) A = {1,2,3} und B ={x,y}, dann
A x B = {(1,x), (1,y), (2,x), (2,y), (3,x), (3,y)}
(b) S = {die Menge aller Studierenden}
K= {die Menge aller Klausuren}
S x K = {die Menge aller geschriebenen Klausuren}
(c) R2 = R x R – die Menge aller Punkte in der Ebene
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2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Beispiel 2.11 (Fortsetzung Beispiel 2.10)
A = {1,2,3} und B ={x,y}
(1) direkt berechnen: |A x B| = 6
(2) nach Formel:
|A x B| = |A||B| = 32 = 6
AxB nennt man das kartesische
Produkt der Mengen A und B
Bildquelle: math.utep.edu
René Descartes, 1596 - 1650
• Produktformel
Sei A und B zwei nichtleere
Mengen, dann |A x B| = |A | |B|
Bemerkung: |A x B|=|B x A|, obwohl A x B B x A.
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2. Grundbegriffe der Mengenlehre
• Verallgemeinerung der Produktformel:
Sei M1, M2,…, Mn – nichtleere Mengen, dann
| M1 x M2 x … x Mn | = | M1 | | M2 | … | Mn |
Beispiel 2.12
Die Matrikelnummer der h-da Studirenden besteht aus 6
Ziffern: X X X X X X, wobei an der ersten Stelle darf keine 0
stehen. Wie viele Matrikelnummern gibt es?
Lösung: 9 10 10 10 10 10 = 900000
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Übung:
Ist es besser, zwei 3-stellige Zahlenschlösser oder ein 6-
stelliges zu benutzen? Wie viele 3-stellige Schlösser
ersetzen ein 6-stelliges?
Lösung:
2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten beim 3-stelligen
Schloss ist 10 10 10 = 103 = 1000 (Produktregel);
Zwei Schlösser haben 103 +103 = 2.000 verschiedene
Möglichkeiten für eine Zahlen-Kombination
(Summenregel);
Die Anzahl der Zahlen-Kombinationen beim 6-stelligen
Schloss ist 10 10 10 10 10 10 = 106 =1.000.000
(Produktregel);
106/ 103 = 1.000
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2.4 Permutationen und Kombinationen
Permutationen bzw. Kombinationen sind geordnete bzw.
ungeordnete Auswahlen von Objekten aus einer Menge.
2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Definition 2.6
Eine Auswahl von k Objekten aus einer Menge von n
Elemente, bei der die Reihenfolge die Rolle spielt, nennt
man geordnete Auswahl. Wenn k = n, d.h. alle Elemente
ausgewählt werden, spricht man von Permutation.
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Beispiel 2.13
1) Wie viele unterschiedliche Wörter lassen sich aus
allen fünf Buchstaben des Wortes MATHE bilden? Jeder
Buchstabe darf höchstens einmal verwendet werden.
2. Grundbegriffe der Mengenlehre
2) Wie viele aus drei Buchstaben bestehende,
unterschiedliche Wörter können aus MATHE gebildet
werden?
Permutation
k-Permutation
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Lösung:
1) X X X X X
für die erste Position gibt es 5 Möglichkeiten;
für die zweite – 4 Möglichkeiten;
für die dritte – nur 3 Möglichkeiten;
für die vierte – nur 2;
für die fünfte – nur 1.
Also insgesamt (nach Produktregel):
5 4 3 2 1= 5!=120
2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Allgemein: Anzahl der Permutationen in einer Menge mit
n Elemente ist n! = n (n-1) … 2 1
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Lösung:
2) X X X – für die erste Position gibt es 5
Möglichkeiten; für die zweite – 4 Möglichkeiten (ein
Buchstabe belegt die erste Position); für die dritte –
nur 3 Möglichkeiten. Also insgesamt (nach
Produktregel): 5 4 3 = 5! / 2! = 60
2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Allgemein: Anzahl der k-Permutationen in einer Menge
mit n Elemente ist n (n-1) … (n-k+1)= n!/ (n – k)!
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Beispiel 2.14:
Ein Geschäftsreisender besucht nacheinander n Orte
n! mögliche Reiserouten (Startpunkt – beliebig).
2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Geschäftsreisender möchte aus n vorhandenen Orten
nur k besuchen n!/(n – k)! mögliche Reiserouten.
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2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Definition 2.7
Eine Auswahl von k Objekten aus einer Menge von n
Elementen ohne Beachtung der Reihenfolge nennt man
Kombination oder ungeordnete Auswahl.
Bemerkung: Eine Kombination ist das gleiche wie eine
Teilmenge.
Binomialzahlen
Die Anzahl der Teilmengen der
Mächtigkeit k einer n-elementigen
Menge, „n über k“ Schreibweise n
k
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2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Beispiele:
Sei M = {a,b,c,d}, dann existieren die folgenden 6 zwei-
elementige Teilmengen : {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c},{b,d},{c,d}
jede Menge hat nur eine -Teilmenge
jede Menge hat nur eine n-elementige Teilmenge
jede Menge mit n Elementen hat genau
n Teilmengen mit einem Element
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2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Bildquelle: frustfrei-lernen.de
Definition 2.8
Sei k, nN mit 1 k n. Dann gilt:
0-te Zeile
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2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Definition 2.9 (explizite Formel)
Sei k, nN mit 1 k n. Dann gilt:
Bemerkung: Falls k > n ist, wird der Binomialkoeffizient gleich 0
gesetzt.
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Rechenregeln:
Symmetrie
Rekursive Formel
Beweis: Tafel (benutzen Sie die Formel auf Folie 53)
2. Grundbegriffe der Mengenlehre
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Beispiel 2.15:
Beim „Lotto 6 aus 49“ werden 6 der Zahlen 1, 2, …, 49
gezogen, wobei es auf die Reihenfolge nicht ankommt.
Wie viele Möglichkeiten gibt?
Lösung:
2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Wir suchen die Anzahl 6-elementiger Teilmengen aus
einer 49-elementigen Menge. Sie ist gleich
49 49!
6 6!43!
= = 13.983.816
1
13.983.816 Gewinnchance:
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Übung:
Auf den üblichen Dominosteinen sind die sieben Zahlen
0,1,2,…,6 abgebildet. Dabei kommen alle möglichen
Kombinationen aus zwei Zahlen vor. Aus wie vielen
Dominosteinen besteht ein vollständiges Spiel?
Lösung:
2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Anzahl aller Kombinationen „2 verschiedene Zahlen aus
7“ zu wählen ist 7 7!
2 2! 5!
Dazu kommen noch Steine mit gleichen Zahlen:
(0-0, 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5, 6-6), also + 7 Steine, und
damit insgesamt 28.
= = (7 6)/2 = 21
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2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Definition 2.10
Die Anzahl der Möglichkeiten aus n Objekten k Objekte
auszuwählen, wobei jedes Objekt mehrfach in der Auswahl
vorkommen kann, ist nk, falls die Reihenfolge in der Auswahl
eine Rolle spielt, und , falls die Reihenfolge keine
Rolle spielt.
Beispiel: Wie viele Möglichkeiten gibt es, 4 Gummibärchen
zwischen 6 Kinder zu verteilen?
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Anwendung (Stichprobe):
2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Die Binomialkoeffizienten werden vor allem im Rahmen
der Qualitätssicherung bei Stichproben benötigt: Bei
einer Stichprobe wird nämlich gerade aus einer
Gesamtpopulation eine Teilmenge gewissen Umfanges
gezogen, sodass die Anzahl möglicher solcher
Ziehungen gerade durch den Binomialkoeffizienten
gegeben sind.
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In einer Lieferung von zehn Geräten sind drei defekt. Um
nicht jedes Gerät auf seine Funktionstüchtigkeit hin
überprüfen zu müssen, wollen wir dies nur für
jedes zweite Gerät tun und ziehen daher eine Stichprobe
von 5 Geräten aus den gelieferten 10. Dann haben wir nach
Definition des Binomialkoeffizienten gerade 10 über 5
Möglichkeiten diese 5 Teilmengen aus der Menge von 10
Geräten zu ziehen: 10 10! 109876
5 5! 5! 54321
2. Grundbegriffe der Mengenlehre
= = = 252
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Wie viele Stichproben enthalten genau zwei defekte
Geräte?
Insgesamt: 10 Geräte: 3 defekte und 7 intakte.
Stichprobe besteht aus 5 Geräte: 2 defekte und
2. Grundbegriffe der Mengenlehre
= 3 35 = 105.
3 intakte.
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Wie viele Stichproben enthalten mindestens ein defektes
Gerät?
Insgesamt 10 Geräte: 3 defekte, 7 intakte.
Stichprobe besteht aus 5 Geräte:
1 defektes Gerät
2 defekte Geräte
3 defekte Geräte
2. Grundbegriffe der Mengenlehre
und 4 intakte
und 3 intakte
und 2 intakte
Lösung:
Übung
231
anderer
Lösungsweg ?
(als Übung)
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Satz 2 (Binomialsatz):
Seien x,y R. Dann gilt nN die folgende Gleichung:
2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Beispiel 2.15:
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Anwendung:
Berechnen Sie (ohne Taschenrechner) 115.
Lösung:
2. Grundbegriffe der Mengenlehre
115=(10+1)5 =
= 1105 + 51041 + 1010312 + 1010213 + 510 14 + 115=
= 100000 + 510000 + 101000 + 10100 + 510 + 1 =
= 161051
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ohne
Zurücklegen
(ohne
Wiederholung)
mit
Zurücklegen
(mit
Wiederholung)
mit Berücksichtigung der
Reihenfolge
ohne Berücksichtigung der
Reihenfolge
Zusammenfassung:
die Anzahl der Möglichkeiten aus n Objekte k
auszuwählen:
2. Grundbegriffe der Mengenlehre
k
n
!!
kn
n
kn
k
kn 1
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2. Grundbegriffe der Mengenlehre
Beispiel:
a) Berechnen Sie die Anzahl der 4-stelligen hexadezimalen
Zahlen.
b) In einem IT-Wettbewerb haben 4 Informatikstudierende 3
Fachbücher gewonnen. Wie viele Möglichkeiten gibt es
für die Verteilung des Gewinns zwischen den Freunden.
c) Wie viele Möglichkeiten gibt es, 3 aus 5 Bilder
nebeneinander in der Reihe an der Wand aufhängen?
d) In einem Turnier kämpfen 8 Sportler um drei Medaillen
(G, S und B). Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt
es, die Gewinnergruppe zusammen zu stellen?
164
5! / (5-3)!
3
8
3
4+3-1