Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Geoinformation I Vorlesung 4 WS...

Institut für Kartographie und GeoinformationProf. Dr. Lutz Plümer

Geoinformation IVorlesung 4

WS 2000/2001

Modellierung des Raumes

Neuer Abschnitt:Modellierung des

Raumes

Bisher: Modellierung von Objekten

Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 4 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 4

Übersicht I

• Räume I• Räume II• Topologische Räume• Topologische Invarianten (Beispiele)• Nicht-topologische Eigenschaften• Punktmengentopologie• Beispiele• Weitere (teilweise „pathologische“) Beispiele• Die „Fahrtzeittopologie“

Übersicht II

• Nähe, Offen + Geschlossen• Der Rand oder die Grenze• Beispiele• Zusammenhang• Diskret und indiskret• Topologische Eigenschaften

Räume I

• Nach I. Kant ist der Raum eine grundlegende Form unserer Anschauung

• anders ausgedrückt: eine bestimmte Weise, wie wir unsere Wahrnehmung organisieren

• die Vorstellung von Raum geht somit der Erfahrung (Messung) voraus

• eine Messung ist die Bestimmung einer Invariante• ohne das Konzept einer Invariante wäre die strafrechtliche

Verfolgung von Geschwindigkeitsübertretungen nicht zu vertreten

• Geschwindigkeit Invariante gegenüber– Tachometer

– Radarmessung der Polizei

• Interessanterweise gibt es nicht einen, sondern mehrere Räume

• abhängig von der Fragestellung

• 4 große Bereiche– Betrachungen auf der Erdoberfläche

• Geometrie auf dem Ellipsoid (geodätisches Rechnen)– Abbildung der Erdoberfläche auf die Ebene (Karte)

• Netzentwürfe, Kartographie– Abbildungen im Raum und in der Ebene

• euklidische Geometrie, lineare Algebra– Projektion auf das Bild– Verzerrende Abbildungen, Topologie

Räume II

Projektivität

Affinität

Ähnlichkeit

Translation Rotation

Bewegung

Invarianten

Geradentreue

Parallelentreue

Winkeltreue

Abstandstreue

Koordinaten-differenzen

Richtungswinkel-differenzen

Operationen

Rotation r (um 0)Verschiebung t

Zoom + r + t

... + Parallelenkonvergenz

... + Scherung

Abbildungen

Topologische Räume

• In der Praxis sinnvolle Transformationen, die – alle „geometrischen“ Invarianten verletzen können– trotzdem „strukturelle“ räumliche Eigenschaften erhalten

• Paradigma: elastische Verformung– Metapher: Gummihauttransformation– anderes Beispiel: Tätowierung

• (kartographisches) Beispiel:– Übersichtskarte Hamburg (aus einem Tourenplaner)– Liniennetzplan des Hamburger Verkehrsverbundes

Übersichtskarte Hamburg und Umgebung

Schnellbahnen Hamburg undUmgebung

ElastischeVerformung

Ausgangs-punkt

Topologische Invarianten (Beispiele)

• Ein Knoten ist Endpunkteiner Kante

• Zwei Kanten kreuzen sich /sind kreuzungsfrei

• Ein Punkt liegt im Innereneiner Fläche

• Ein Punkt liegt auf demRand einer Fläche

• Eine Fläche hat ein Loch

• Eine Fläche ist zusammenängend / nichtzusammenhängend

• Zwei Flächen sindbenachbart

Nicht-topologische Eigenschaften

• Abstand• Fläche• Winkel• Umfang• Durchmesser

Mathematik

Nachbarschaft

Punktmengentopologie

• Ausgangspunkt: Eine Menge S und die Menge aller Teilmengen von S (die Potenzmenge P(S) )

• Ein topologischer Raum besteht aus einer Menge S und einer Menge von Teilmengen von S (nicht notwendig aller), den Nachbarschaften. Dabei gilt:

T1: Jeder Punkt x S liegt in einer Nachbarschaft von S.

T2: Der Durchschnitt zweier Nachbarschaften eines Punktes x S enthält eine Nachbarschaft von x.

Beispiele

• Die offene Kreisscheibe in der euklidischen Ebene– Menge aller Punkte, die durch

einen Kreis begrenzt werden, aber nichtauf demselben liegen

• punktierte Linie: offen• durchgezogene Linie:

geschlossen

• Beachte: T2 ist erfüllt– Der Durchschnitt zweier

Nachbarschaften eines x S enthält eine Nachbarschaft von x.

OffeneKreisscheibe

Weitere (teilweise „pathologische“) Beispiele

• Die diskrete Topologie von S:– S und die Menge aller Teilmengen von S– die kleinste Nachbarschaft von x ist {x}

(„Einzimmerappartment“, daher der Name „diskret“)

• Die indiskrete Topologie– S selbst ist die einzige Nachbarschaft von S

• die offenen Intervalle (a,b) in der Menge S der reellen Zahlen als Nachbarschaften (S = R)

• die offenen Kugeln in S = R3

Die „Fahrtzeittopologie“

• Gegeben sei ein Gebiet, das durch ein Verkehrsnetz erschlossen ist. S sei die Menge aller Punkte des Gebiets.

• Sei (x,y) die Fahrtzeit auf der kürzesten Verbindung zwischen x und y.

• Annahme Für alle x, y S gilt: (x,y) = (y,x) – Symmetrie, keine Einbahnstraßen

• t-Zone: die Menge aller Punkte, die in weniger als t Minuten erreichbar ist.

• S mit der Menge aller t-Zonen ist eine Topologie.

Die 1-Stunden-Zone um Liége

Jetzt kommen mehrere auf den ersten Blick recht

abstrakte Definitionen

Zielbegriff:Der Rand oder die Grenze

Teilziel:Offene und geschlossene

Flächen

Nähe, Offen + Geschlossen

Im folgenden stets: S sei ein topologischer Raum, X S, x S

x ist nahe an X, falls jede Nachbarschaft von x einen Punkt von X enthält.

X ist offen, wenn jeder Punkt y X eine Nachbarschaft hat, die ganz in X ist.

X ist geschlossen, wenn X alle nahen Punkte enthält.

C = {(x,y) | x2 + y2 < 1} sei die offene Kreisscheibe um den Ursprung mit Radius 1.

Nicht nahe

geschlossen

Der Rand oder die Grenze

Der Abschluß einer Teilmenge X S ist die Vereinigung von X mit allen nahen Punkten.Notation: X¯

Komplement: X‘

Das Innere von X ist die Menge aller Punkte von X, die nicht zugleich nahe Punkte von X‘ sind. Notation: X°

Die Grenze (oder der Rand) von X ist die Menge aller Punkte, die nahe zu X und zugleich zu X‘ sind.

Notation: X

Es gilt:X = X¯ \ X° (mengentheor. Diff.)

Der „Rand“ einer offenen Kreisscheibe ist der Kreis (wie zu erwarten)

Beispiele

Die Menge S Das Innere von S

Abschluß von S Rand von S

Zusammenhang

Ein Punktmenge X heißt zusammenhängend, wenn für jede Partition (disjunkte Zerlegung) in nichtleere Teilmengen A und B gilt: Entweder enthält A einen Punkt nahe an B oder umgekehrt.

Nicht zusammenhängend

zusammen

hängend

Diskret und indiskret

Übung 1:

Zeigen Sie: In der diskreten Topologie ist jede nichtleere Menge gleichzeitig offen und geschlossen.

Übung 2:Zeigen Sie:In der indiskreten Topologie ist jede nichtleere Menge weder offen noch geschlossen.

Euklidische Topologie

äquivalent

nicht äquivalent

Topologische Eigenschaften

Eine topologische Transfor-mation (Homeomorphismus) oder eine elastische Verformung bildet Nachbar-schaften auf Nachbarschaften ab.

Ferner ist jede Nachbarschaft Bild eine Nachbarschaft.

Topologische Eigenschaften sind die Invarianten topologischer Abbildungen.

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