Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Diskrete Mathematik II...

Institut für Kartographie und GeoinformationProf. Dr. Lutz Plümer

Diskrete Mathematik IIVorlesung 4

SS 2002

Dijkstra-Erweiterungen zur Behandlung realer Straßennetze

Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4 Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4

2 2

Überblick: zwei Dijkstra - Erweiterungen

• Dijkstra: Finden kürzester Wege in Graphen• Reale Netze stellen besondere Anforderungen

– Größe des Netzwerkes (Effizienz)• Dijkstra-Erweiterung "Dijkstra mit Geometrie"

– Straßenverkehrsordnung (Abbiege- und Wendeverbote)• Übergang von Netzen zu Graphen• Ansätze:

– Modifikation des Graphen

– Modifikation von Dijkstra

• nur kurzer Ausblick

Do

Ha

W

Du

K

D

15

8015

80

20

3020


4 4

Do

Ha

W

Du

K

D

20

15

80

80

20 30

15

Beispiel


5 5

Do

Ha

W

Du

K

D

20

15

80

80

20 30

15

Algorithmus von Dijkstra: Beispiel


6 6

Do

Ha

Du 20

80

20 30

W

K

D

8015

15

Do

Du

Ha

Do


MinimalerAbstand von Do

Du

80

Ha

20


7 7

Do

Ha

W

Du

K

D

20

80

80

20 30

15

15

W


Do

Du Ha

80 20

W

15

MinimalerAbstand von DO

Do

Ha

W

Du

K

D

20

80

80

20 30

15

15

W


abgearbeitet

noch in Arbeit

noch nicht betrachtet


9 9

Do

Du Ha

W

80 20

15

15

Do

Ha

W

Du

K

D

20

80

80

20 30

15

Bereits vorhanden Du

Kürzester Weg



10 10

Du

Do

Ha

W

20

15

15

Do

Ha

W

Du

K

D

20

80

80

20 30

15

K

D

Du


30

K

80

D


11 11

Du D K

Do

Ha

W

20

15

30 80

D

Do

Ha

W

Du

K

D

20

80

80

20 30

15

15

Bereits vorhanden

kürzester Weg



12 12

Du K

Do

Ha

W

D

20

15

30 80

D

Do

Ha

W

Du

K

D

20

80

80

20 30

15

15


20


13 13

20

Do

Ha

W

Du

K

D

80

80

20 30

15

15

Bereits vorhanden


kürzester WegDu K

Do

Ha

W

D

20

15

30 80

20


14 14

Do

Ha

W

Du

K

D

20

80

80

20 30

15

15

D

K


KDu

Do

Ha

W

D

20

15

30 80

20


15 15

Do

Ha

W

D

K

Du

20

15

30

20

K

Do

Ha

W

Du

D

20

80

80

20 30

15

15

D

KK


15


16 16

Algorithmus von Dijkstra - Wiederholungalgorithmus Dijkstra (S)BLAU = ; GRÜN = {S}; dist(S) = 0;while( GRÜN )

wähle Knoten K aus GRÜN mit kleinstem dist(K)nimm K aus GRÜN heraus und färbe ihn BLAU;

für jeden Nachfolger Ki von K

wenn Ki noch nicht besucht

färbe Kante von K zu Ki rot und Ki grün;

dist(Ki) = dist(K) + dist(K,Ki)

wenn Ki GRÜN (erneut erreicht)wenn neuer Weg kürzer als alter Weg

setze neuen Weg rot und alten grün

setze dist(Ki) auf neuen Wert

färbe Ki BLAU

wenn Ki bereits BLAU färbe Kante von K zu Ki grün


17 17

Eigenschaften von Dijkstra - Wiederholung

• Ermittelt kürzeste Wege von einem Startknoten zu allen anderen

• Praxis: kürzester Weg von Startknoten zu einem Zielknoten

• man kann aufhören, sobald Zielknoten blau ist(kürzester Weg gefunden)

• dennoch ....


18 18

Dijkstra: RichtungslosHamburg

Frankfurt

BrüsselPrag

Berlin

Mailand

München

• kürzester Weg von Frankfurt nach Hamburg

Wien


19 19


Frankfurt

BrüsselPrag

Berlin

Mailand

München


Wien


20 20


Frankfurt

BrüsselPrag

Berlin

Mailand

München


Wien


21 21


Frankfurt

BrüsselPrag

Berlin

Mailand

München


Wien


22 22


Frankfurt

BrüsselPrag

Berlin

Mailand

München


Wien


23 23

Dijkstra: Richtungslos


• Alle Knoten innerhalb des Kreises werden bearbeitet

Hamburg

Frankfurt

BrüsselPrag

Berlin

Mailand

München

Wien


24 24

Schön wäre ...

Hamburg

Frankfurt

BrüsselPrag

Berlin

Mailand

München



25 25

Erweiterung von Dijkstra

• Dijkstra nutzt die Geometrie der Knoten/Kanten nicht aus

• richtungslos: Die Richtung von Start- zum Zielknoten wird nicht berücksichtigt

• Erweiterung von Dijkstra "Dijkstra mit Geometrie"


26 26

390

330

Dijkstra mit Geometrie: Idee

D

K

HH

20BN

30

• Gesucht: kürzester Weg von K nach HH

• Dijkstra wählt BN aus (Weg zu K minimal)

• Dijkstra mit Geometrie wählt D aus (Summe von Weg zu K und Abstand zu HH minimal)

• Richtung: minimaler Abstand zu Zielknoten

30+330=360

20+390=410

30

20


27 27

Von Dijkstra zu "Dijkstra mit Geometrie"

• Nur eine Änderung: Auswahl des nächsten zu bearbeitenden (grünen) Knotens– Dijkstra: Knoten mit minimalem besten bisher gefundenen Weg– Dijkstra mit Geometrie: Knoten, bei dem Summe aus

• besten bisher gefundenem Weg und • Euklidscher Abstand des Knotens zu Zielknoten

minimal ist

• Beispiel ....


28 28

54

3

22

4

Dijkstra mit Geometrie: Beispiel

2

3

6

2 1

4

55

S

43

89

10

7

1

E

2

Gesucht: Kürzester Weg von S nach E


29 29

54

3

22

4


2

3

6

2 1

4

55

S

43

89

10

7

1

E

2


30 30

6 54

3

22

4


2

3

6

2 1

4

55

S

43

89

10

7

1

E

2

1+6=7


31 31

54

3

22

4


2

3

6

2 1

4

55

S

43

89

10

7

1

E

2

1+6=72+6=8

6


32 32

54

3

22

4


2

3

6

2 1

4

55

S

43

89

10

7

1

E

2

1+6=72+6=8

3+2=5

2


33 33

54

3

22

4


2

3

6

2 1

4

55

S

43

89

10

7

1

E

2

1+6=72+6=8

3+2=5 4+2=6

Summe minimal

2


34 34

54

3

22

4


2

3

6

2 1

4

55

S

43

89

10

7

1

E

2

1+6=72+6=8

3+2=5 4+2=6


35 35

54

3

22

4


2

3

6

2 1

4

55

S

43

89

10

7

1

E

2

1+6=72+6=8

3+2=5 4+2=6


36 36

54

3

22

4


2

3

6

2 1

4

55

S

43

89

10

7

1

E

2

1+6=72+6=8

3+2=5 4+2=6

7+3=10 3


37 37

54

3

22

4


2

3

6

2 1

4

55

S

43

89

10

7

1

E

2

1+6=72+6=8

3+2=5 4+2=6

7+3=109+0=9


38 38

54

3

22

4


2

3

6

2 1

4

55

S

43

89

10

7

1

E

2

1+6=72+6=8

3+2=5 4+2=6

7+3=109+0=9

Summe minimal


39 39

54

3

22

4


2

3

6

2 1

4

55

S

43

89

10

7

1

E

2

1+6=72+6=8

3+2=5 4+2=6

7+3=109+0=9


40 40

54

3

22

4


2

3

6

2 1

4

55

S

43

89

10

7

1

E

2

1+6=72+6=8

3+2=5 4+2=6

7+3=109+0=9


41 41

54

3

22

4


2

3

6

2 1

4

55

S

43

89

10

7

1

E

2

1+6=72+6=8

3+2=5 4+2=6

7+3=106+0=6


42 42

54

3

22

4


2

3

6

2 1

4

55

S

43

89

10

7

1

E

2

1+6=72+6=8

3+2=5 4+2=6

7+3=106+0=6

9+4=13


43 43

54

3

22

4


2

3

6

2 1

4

55

S

43

89

10

7

1

E

2

1+6=72+6=8

3+2=5 4+2=6

7+3=106+0=6

9+4=13Summe minimal


44 44

54

3

22

4


2

3

6

2 1

4

55

S

43

89

10

7

1

E

2

1+6=72+6=8

3+2=5 4+2=6

7+3=106+0=6

9+4=13

Fertig, da Zielknoten E blaukürzester Weg gefunden


45 45

Dijkstra mit Geometrie: Abstand

• Euklidscher Abstand: Schätzung für den unbekannten noch zurückzulegenden Weg

• einfach zu ermitteln• Problem: berücksichtigt nicht

– tatsächlichen Verlauf von Wegen– Topographie (Flüsse, Gebirge, etc.)


46 46

Dijkstra mit Geometrie: Heuristik

• Einbeziehung der Geometrie/Richtung: "Heuristik"• Heuristik: Daumenregel, die beim Suchen hilft• findet oft keine optimale Lösung, sondern nur Annäherungen an

optimale Lösung• Dijkstra mit Geometrie: optimale Lösung, wenn

– Euklidscher Abstand zu Zielknoten kleiner als tatsächlicher kürzester Weg

• OK, wenn Kantenkosten = Weglänge• Kantenkosten = Fahrtzeit?

S

E


47 47

21

10

2

1S

3

E

Beispiel: Kann die Richtung auf den falschen Weg führen?

1010

10

Gesucht: kürzester Weg von S nach E


48 48

21

10

2

1S

3

E


1010

1010+20=30

10+10=20



49 49

21

10

2

1S

3

E


1010

1010+20=30

10+10=20


31+0=31


50 50

21

10

2

1S

3

E


1010

1010+20=30

10+10=20


31+0=31

20+10=30


51 51

10

2

1S

3

E


1010

10

21

10+20=30

10+10=20


31+0=31

20+10=30

30+0=30


52 52

10

2

1S

3

E


1010

10

21

10+20=30

10+10=20

Abstand von 3 zu E größer als Länge der Kante von 3 zu E E würde vor 3 ausgewählt (nicht optimal)

31+0=31

20+10=30

30+0=30


53 53

Resümee

• Algorithmus "Dijkstra mit Geometrie"• Erweiterung von Dijkstra durch Einbeziehung der

Richtung zum Ziel (Heuristik)• zielgerichtete Suche

• findet optimale Lösung, wenn Kantenkosten=Weglänge• Im Bereich Informatik/"Künstliche Intelligenz" unter dem

Namen A* („A Stern“) bekannt

Hamburg

Frankfurt

MailandMailand

Hamburg

Frankfurt


54 54

Teil 2: Dijkstra - Straßenverkehrsordnung


55 55

Abbiegeverbote

C

DAZ

S

B

1

1

1

1

1

1

Abbiegeverbot: Wenn man von S kommt, darf man bei A nicht links abbiegen


56 56

Abbiegeverbote und Dijkstra

C

DAZ

S

B

1

1

1

1

1

1


57 57


C

DAZ

S

B

1

1

1

1

1

1

1


58 58


C

DAZ

S

B

1

1

1

1

1

1

1

2


59 59


C

DAZ

S

B

1

1

1

1

1

1

Da A bereits abgearbeitet (blau) ist, bricht Algorithmus hier ab(findet keine Lösung)


60 60


C

DAZ

S

B

1

1

1

1

1

1

Problem 1: Dijkstra findet keine LösungProblem 2: Lösungspfad (rot) enthält Zyklus!


61 61

Lösungsansätze

• Änderung des Algorithmus• Änderung des Graphen

– Transformation des Graphen mit Abbiegeverbot in einen ohne

– dann Anwendung von Standard-Dijkstra

A A1

A2

Fortsetzung in der Übung .....

Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Diskrete Mathematik II...

Documents

Transcript of Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Diskrete Mathematik II...