Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Geoinformation I Vorlesung 6 WS...

Institut für Kartographie und GeoinformationProf. Dr. Lutz Plümer

Geoinformation IVorlesung 6

WS 2000/2001

Datenstrukturen für Landkarten

Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 6 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 6

2 2

Kanten mit Flügeln


3 3

P1

P8

P2

P3

P6P7

P9

A

BC

P5

P4

E1

E2

E3E4

E5

E6

E7

E8

E9

E10

E11

Außen

E1 P1 P2 A Außen E5 E2


E3 P3 P4 A B E2 E8

E4 P4 P5 A C E3 E11


E6 P3 P6 B Außen E3 E7

.....................................................

Kanten:

Wie bei Knoten-Kanten-

Struktur

Vorgängerim Umring derlinken Masche

Nachfolgerim Umring der

rechten MascheGeflügelte Kanten


4 4



E3 P3 P4 A B E2 E8

E4 P4 P5 A C E3 E11



.....................................................

Kanten:




P2

P3

P6P7

P9

A

BC

P5

P4

E1

E2

E3E4

E5

E6

E7

E8

E9

E10

E11

Außen

P1

P8


5 5



E3 P3 P4 A B E2 E8

E4 P4 P5 A C E3 E11



.....................................................

Kanten:




P2

P3

P6P7

P9

A

BC

P5

P4

E1

E2

E3E4

E5

E6

E7

E8

E9

E10

E11

Außen

P1

P8


6 6



E3 P3 P4 A B E2 E8

E4 P4 P5 A C E3 E11



.....................................................

Kanten:

Vorgängerim Umring der

linken Masche



P2

P3

P6P7

P9

A

BC

P5

P4

E1

E2

E3

E4

E5

E6

E7

E8

E9

E10

E11

Außen

P1

P8


7 7



E3 P3 P4 A B E2 E8

E4 P4 P5 A C E3 E11



.....................................................

Kanten:




P2

P3

P6P7

P9

A

BC

P5

P4

E1

E2

E3

E4

E5

E6

E7

E8

E9

E10

E11

Außen

P1

P8


8 8



E3 P3 P4 A B E2 E8

E4 P4 P5 A C E3 E11



.....................................................

Kanten:




P2

P3

P6P7

P9

A

BC

P5

P4

E1

E2

E3

E4

E5

E6

E7

E8

E9

E10

E11

Außen

P1

P8


9 9



E3 P3 P4 A B E2 E8

E4 P4 P5 A C E3 E11



.....................................................

Kanten:


Nachfolger im Umring der


P2

P3

P6P7

P9

A

BC

P5

P4

E1

E2

E3

E4

E5

E6

E7

E8

E9

E10

E11

Außen

P1

P8


10 10



E3 P3 P4 A B E2 E8

E4 P4 P5 A C E3 E11



.....................................................

Kanten:


Nachfolger im Umring der


P2

P3

P6P7

P9

A

BC

P5

P4

E1

E2

E3

E4

E5

E6

E7

E8

E9

E10

E11

Außen

P1

P8


11 11

Kanten mit Flügeln


12 12

Die Euler-Formel

• Für jede Landkarte mit – f Maschen (face)– e Kanten (edge)– v Knoten (vertex) gilt:

f - e + v = 2

• Euler-Charakteristik:– Landkarte: 2– Landkarte mit n Kontinenten: n + 1– Landkarte mit n Kontinenten und m Inseln : n + m + 1

• beachte: Außen zählt als eigene Masche!

Euler-Charakteristik


13 13

Topologische Fehler


14 14

Topologische Fehler I

Undershoot

Zwei Referenzpunkte (Namen)Fehlender Knoten

Overshoot

Fehlender Referenz-punkt (Name)


15 15

Topologische Fehler II

• Überlappung zweier Maschen ohne Überschneidung von Kanten


16 16

Topologische Fehler II

• Überlappung zweier Maschen ohne Überschneidung von Kanten


17 17

Integritätsbedingungen für Landkarten I

1. Schnittfreiheit der Kanten

2. Jede Kante hat zwei Maschenauf verschiedenen Seiten

3. Jede Masche wird von einemeinfachen Zyklus begrenzt

falsch richtig

4. Kein Mittelpunkt einer Kante liegt in einer Masche


18 18

Integritätsbedingungen für Landkarten II

1. Schnittfreiheit der Kanten

2. Jede Kante hat zwei Maschenauf verschiedenen Seiten

3. Jede Masche wird von einemeinfachen Zyklus begrenzt

falsch richtig

4. Kein Mittelpunkt einer Kante liegt in einer Masche

4. Es gibt genau eine unbeschränkte Masche


19 19

Zusammenfassung: „Geometrisch-Topologische Datenstrukturen“

• Spaghetti mit Koordinaten: redundante Geometrie• Spaghetti mit Punkten: redundante Geometrie• Spaghetti mit Punkten als Objekten: redundanzfreie

Geometrie• Knoten-Kanten-Struktur: redundanzfreie Geometrie,

explizite Topologie, Maschenumring muß berechnet werden

• geflügelte Kanten: redundanzfreie Geometrie, explizite Topologie, Maschenumring leicht zu berechnen


20 20

Aus Landkarten abgeleitete Strukturen

• quadratische Maschen gleicher Größe:Raster, Grid– kompakte Speicherung

– homogene Informationsdichte

• Maschen sind Dreiecke– Triangulation

– gut zur Modellierung des Geländes

• Verallgemeinerung– Simplizes

– Simpliziale Komplexe


21 21

Simplizes

• Ein 0-Simplex ist ein Punkt

• Ein 3-Simplex ist einTetraeder

• Ein 2-Simplex ist einDreieck (Inneres + 3 Kanten+ 3 Knoten)

• Ein 1-Simplex ist einegerade Kante

Beachte: Das Schwierige an den Simplexen ...

... ist der Plural


23 23

Teilsimplizes

Randeines Dreiecks

• Ein Knoten ist Teilsimplexeiner Kante

• Der Rand eines Simplexist die Menge allerTeilsimplizes.

• Der Teilsimplex T einesSimplex S ist ein Simplex,dessen Knoten alle in Svorkommen.

• Ein Dreieck ist Teilsimplexeines Tetraeders

• Eine Kante ist Teilsimplexeines Dreiecks


24 24

Simpliziale Komplexe

• Ein Simplizialer Komplex C ist eine Menge von Simplizes mit folgenden Eigenschaften:– jeder Teilsimplex in C ist

ebenfalls in C

– der Durchschnitt zweier Simplizes in C ist entweder leer oder ein Teilsimplex beider Simplizes

falsch:


25 25



ebenfalls in C


Korrektur:


26 26



ebenfalls in C


Korrektur:


27 27

Anwendungen

• Geländemodell• Computergraphik• Eisberge• ...


28 28

Resümee

• Landkarten– 2D– beliebige Polygone

• Simpliziale Komplexe– Dreiecke– auch 3D

• Gemeinsamkeiten– Konstruktion des Raumes durch Aggregation atomarer

Primitive– „algebraische“ oder „kombinatorische“ Topologie

• zurück zur „Punktmengentopologie“

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