Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Diskrete Mathematik II...

Institut für Kartographie und GeoinformationProf. Dr. Lutz Plümer

Diskrete Mathematik IIVorlesung 8

08.06.00

Voronoi-Diagramme

Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.00Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.00

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Konstruktion des Voronoi-Diagramms

„Divide and Conquer“

1. Input: Gegeben ist eine Menge P von mindestens 2 Punkten

2. Divide: Zerlege P in zwei etwa gleich große Teilmengen P1 und P2

3. Rekursiv: Berechne Voronoi-Diagramme von P1 und P2

4. Merge: Verknüpfe die beiden in Schritt 3 gebildeten Diagramme

5. Halt: Der Abschluß ist erreicht, wenn das Voronoi-Diagramm eines Punktes zu bilden ist; dies ist die ganze Ebene

Wie oft ist dieser Zyklus zu durchlaufen?

log n mal

O(n * log n)wenn „Divide“ and „Merge“ nicht mehr als n Schritte benötigen,


33

P1

P2

Aufteilung der Menge P in P1 und P2

P


44

Voronoi-Diagramm von P1


55

Voronoi-Diagramm von P2


66

Was ist das schwierigste Teilproblem? - Merge


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Konstruktion des trennenden Kantenzuges

Was wissen wir über den trennenden Kantenzug?• monoton in Nord-Süd-Richtung• jede Kante ist Grenze (Mittelsenkrechte)

zwischen einer roten und einer grünen Region• Problem: sukzessive Identifikation der

benachbarten roten und grünen Punkte• die nördlichsten und südlichsten Teilstücke sind

unbeschränkt, also Halbgeraden • die benachbarten roten und grünen Punkte bilden

dort unbeschränkte Voronoi-Regionen• sie liegen also jeweils auf der roten bzw. grünen

konvexen Hülle• beginnen wir also mit den beiden Tangenten


88

Tangente


99

Tangente – konvexe Hülle


1010

Konvexe Hülle


1111

Eine Tangente T an die Punktmenge P

• geht durch zwei Punkte von P• teilt die Ebene in zwei Halbebenen so, daß alle

Punkte in der gleichen Halbebene liegen• die Tangenten bestimmen die Lage der Kanten für

die neue konvexe Hülle beider Punktmengen• Konstruktion der Tangenten im Detail:

– später


1212

Vereinigung

Mittelsenkrechte bilden


1313

Vereinigung


1414

Vereinigung

Aktive Voronoi-Regionen

Schnittpunkte mit Seg-menten suchen


1515

Vereinigung



Neue aktive VR (Voronoi-Region)


1616

Vereinigung



Neue aktive VR

Mittelsenkrechte zuwischenden aktiven VR


1717

Vereinigung

Schnittpunkte suchen


1818

Vereinigung


Neue aktive VR suchen


1919

Vereinigung




2020

Vereinigung



Mittelsenkrechte deraktiven VR


2121

Vereinigung



2222

Vereinigung




2323

Vereinigung





2424

Vereinigung

Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen



2525

Vereinigung





2626

Vereinigung




2727

Vereinigung





2828

Vereinigung




2929

Vereinigung





3030

Vereinigung




3131

Vereinigung





3232

Vereinigung




3333

Vereinigung



Verknüpfung mit der Mittel-senkrechten vom Anfang


3434

Vereinigung


3535

Löschen der überflüssigen Segmente


3636

Löschen der überflüssigen Segmente


3737

Ergebnis: Voronoi-Diagramm von P


3838

Datenstruktur für Voronoi-Diagramm

• Doppelt verkettete Kantenliste• Durchlaufen des Kantenumrings in linearer Zeit• Direkter Zugriff auf die benachbarten Maschen


3939

Kosten

• wie lange dauert die Konstruktion des trennenden Kantenzuges?

• Zahl der Teilkanten / Knoten des Kantenzuges• Zahl Berechnungen von Schnittpunkten mit den

benachbarten Voronoi-Regionen


4040

Länge des Kantenzuges im Worst Case

O(n)


4141

Größenordnung des Kanten-Umrings im worst case

O(n)


4242

O(n) * O(n) = O(n2) ?

Voronoi-Regionen sind konvex

Kantenzug ist monoton

war jetzt alles umsonst?


4343

O(n) * O(n) = O(n2) ?

Voronoi-Regionen sind konvex

Kantenzug ist monoton

Keine Kante öfter als zwei mal anfassen!

„Investitionen müssen sich amortisieren“

• Ziel: keine Kante mehr als zwei mal „anfassen“• Es gibt insgesamt höchstens 3* n – 6 Kanten O(n)• Konvexität der Voronoi-Regionen höchstens

zwei Schnittpunkte mit der aktiven Halbgeraden• Es genügt, die linken (grünen) Kantenumringe im

Uhrzeigersinn und die rechten (roten) Kantenumringe gegen den Uhrzeigersinn zu durchlaufen und den zuletzt gefundenen und verworfenen Schnittpunkt als Haltepunkt zu merken!


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