Strömung realer Flüssigkeiten

Laminare Strömung

Stokessches Gesetz

Hagen-Poiseuillesches Gesetz

Inhalt

• Strömung idealer Flüssigkeiten – Die Kontinuitätsgleichung – Die Gleichung von Daniel Bernoulli

• Strömung realer Flüssigkeiten– Laminare Strömung, Newtonsche Gleichung– Das Hagen-Poiseuillesche Gesetz – Reibungskraft auf eine Kugel: Das Gesetz von Stokes

• Die Grenzschicht und die Reynoldssche Zahl, Turbulenz

Die reale Flüssigkeit

• Bewegung zwischen Schichten erfordert Kraft wegen Reibung zwischen den Teilchen– innerhalb des Mediums– zwischen Medium und Wänden

Beachte: Trotz konstanter Kraft ist die Geschwindigkeit konstant!

Arbeit zur Bewegung innerhalb einer realen Flüssigkeit

• Zur Bewegung zwischen Schichten ist Arbeit erforderlich – diese Arbeit wird in Wärme verwandelt– nicht umkehrbar: „Irreversibler Vorgang“

Arbeit ist Kraft mal Weg: W = F · s [J]

Weg s

Kraft F

Modell für die laminare Strömung

D

Ein Objekt in Höhe D bewege sich mit der Geschwindigkeit vo

• Die Geschwindigkeit der an das Objekt angrenzenden Flüssigkeitsschicht ist vo,

• Die am Boden des Gefäßes anliegende Schicht steht still• In den dazwischen liegenden Schichten wächst die

Geschwindigkeit linear mit der Höhe von 0 zu vo

vo

Geschwindigkeit der „Lamellen“ bei laminarer Strömungvo

Einheit

1 m/sGeschwindigkeit einer Lamelle im Abstand x vom Boden

vo 1 m/s Geschwindigkeit des Objekts

x 1 m Abstand der Lamelle zum Boden

xD

vxv 0)(

x

D

Gradient der Geschwindigkeitvo

x

D

Einheit

1 m/s Gradient der Geschwindigkeit

vo 1 m/s Geschwindigkeit des Objekts

D 1 m Abstand des Objekts vom Boden

D

v

dx

dv 0

Kraft zur Bewegung bei laminarer Strömung

1 N Newtonsche Gleichungdx

dvAF

Die Kraft gegen die Reibung ist proportional zum Gradienten der Geschwindigkeit

vo

x

D

„Newtonsches Verhalten“

1 N Newtonsche Gleichung0vD

AF

Bei „Newtonschem Verhalten“ ist die Kraft proportional zur Geschwindigkeit

vo

x

D

Einheit

1 N

Kraft zur Bewegung einer Schicht in einer Strömung mit Geschwindigkeitsgradient dv/dx

1 Pa·s Viskosität der Flüssigkeit

1 m2 Fläche der Schicht

Die Newtonsche Gleichung

dx

dvAF

A

„Newtonsche Flüssigkeiten“: Flüssigkeiten, in denen dieses Kraftgesetz gilt

Nicht „Newtonsche Flüssigkeiten“: z. B: Polymere und Dispersionen

η Einheit

17 ·10-6

1 Pa ·s

Luft

1 · 10-3 Wasser

8 · 10-3 Blut in der Aorta

0,1 Olivenöl

10 Honig

1 · 1015 bis 0,1 · 1018 Glas bei Raumtemperatur

Beispiele für Werte der Viskosität

Aussage der Newtonschen Gleichung für die Reibung in viskosen Medien:

In viskosen Medien ist die Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit

• Folge: – Eine beliebig kleine Kraft führt zum „Kriechen“ – Bei konstanter Antriebskraft stellt sich - bei genügend

langer Fahrbahn - eine konstante Geschwindigkeit ein • denn die Bewegung ist „kräftefrei“, bei Gleichgewicht zwischen

zwei realen Kräften, der äußeren Zug- und der inneren Reibungskraft im viskosen Medium

– Beispiel: Treideln eines Schiffs in einem Fluss

Anwendung der Newtonschen Gleichung:

• Strömung in einem Rohr– Hagen-Poiseuillesches Gesetz

• Fallgeschwindigkeit einer Kugel in einem viskosen Medium– Stokessches Gesetz

Zusammenfassung

• Bei der Strömung realer Flüssigkeiten gibt es Reibung• Laminare Strömung: Die Geschwindigkeit benachbarter

zueinander paralleler Schichten eines Mediums ist proportional zum Abstand zwischen den Schichten

• Newtonsche Gleichung: Kraft zur Erzeugung laminarer Strömung F = η · A · dv/dx [N]– Viskosität η [Pa·s] – Gradient der Geschwindigkeit im Medium dv/dx [1/s] – Fläche der bewegten Lamelle A [m2]

• In „Newtonschen Flüssigkeiten“ ist die Kraft zur Erzeugung laminarer Strömung proportional zur Strömungsgeschwindigkeit

• Allgemein: Bei „Newtonschem Verhalten“ ist die Kraft proportional zur Geschwindigkeit

finis