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mittelgewichtige RestverfahrenVollständigkeit und Randbedingungen
Skalarprodukt & OrthogonalitätGalerkin Verfahren
InterpolationPolynom-Interpolation
Gauß-IntegrationGalerkin-Verfahren über Gauss Quadratur
Trigonometrische & Chebychev Interpolation
Interpolation, Collocation & Galerkin Methods
Daniel De Agazio
09.06.2015
Daniel De Agazio Interpolation, Collocation & Galerkin Methods
mittelgewichtige RestverfahrenVollständigkeit und Randbedingungen
Skalarprodukt & OrthogonalitätGalerkin Verfahren
InterpolationPolynom-Interpolation
Gauß-IntegrationGalerkin-Verfahren über Gauss Quadratur
Trigonometrische & Chebychev Interpolation
Gliederung
1 mittelgewichtige Restverfahren2 Vollständigkeit und Randbedingungen3 Skalarprodukt & Orthogonalität4 Galerkin Verfahren5 Interpolation6 Polynom-Interpolation7 Gauß-Integration8 Galerkin-Verfahren über Gauss Quadratur9 Trigonometrische & Chebychev Interpolation
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Trigonometrische & Chebychev Interpolation
Definition (Restfunktion)
R(x ;a0,a1, . . . ,an) = HuN − f
uN =N∑
n=0
anφn(x)
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Definition (Skalarprodukt)
(u, v)ω =
∫ b
au(x)v(x)ω(x)dx
(N + 1) Bedingungen die Spektralkoeffizienten an zubestimmen
(wi ,R(x ,a0, . . . ,aN))ω = 0, i = 0, . . . ,N
wi(x) geeignete Testfunktionen
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Beispiele für Testfunktionen ω(x)
Pseudospektral (Kollokation)
wi(x) = δ(x − xi)
Momentenmethode
wi(x) = x i , i = 0,1, . . . ,N
(x i , f (x)) der i-te Moment von f (x)
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kleinste Quadrate
wi(x) = Hφi(x)
Definition (Norm)
‖R‖ =√(R,R)
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kleinste Quadrate
SatzIst wi(x) = Hφi(x), H linear, so gilt:
(R,R) ≤ (Hv − f ,Hv − f )
für alle v(x) der Form
v(x) =N∑
n=0
dnφn(x), dn beliebig
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Galerkin Verfahren
wi(x) = φi(x)
φn(x) Basisfunktionen
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Nützliche Kombination aus Basisfunktionen sollten eine Reihevon Eigenschaften haben
1 müssen leicht zu berechnen sein2 Vollständigkeit
z.b. Fourier-Reihe, Tschebyscheff Polynome, HermiteFunktionen, Kugelflächenfunktionen
Randbedingung homogen: z.b. u(−1) = u(1) = 0. ZweiOptionen
1∑∞
n=0 anTn(±1) = 02 Basisfunktionen wählen, die die Randbedingungen erfüllen
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Definition (Skalarprodukt)
f (x) und g(x) zwei beliebige Funktionen, ω(x) Gewichtsfunktion
(f ,g)ω =
∫ b
af (x)g(x)ω(x)dx
Definition (Orthogonalität)
(φm, φn)ω = δmnv2n
vn heißen Normalisierungskonstanten
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Vorteil der Orthogonalität
f (x) wird dargestellt als
f (x) =∞∑
n=0
anφn(x)
Das Skalarprodukt von f und φm ist dann
(f , φm)ω =∞∑
n=0
an(φm, φn)ω
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Satz (Skalarprodukt für die Spektralkoeffizienten)
f (x) dargestellt als eine Reihe von orthogonalen Funktionen
f (x) =N∑
n=0
anφn(x)
für an gilt
an =(φn, f )ω(φn, φn)ω
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Definition (Orthonormal)
{φ1, . . . , φm} Basismenge, φi , i = 1, . . . ,m Basisfunktionen
(φn, φn)ω = 1
an dargestellt als
an = (φn, f )ω
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SatzR(x ;a0, . . . ,aN) kann dargestellt werden als
R(x ;a0, . . . ,aN) =∞∑
n=0
rn(a0, . . . ,aN)φn(x)
rn gegeben durch
rn = (R, φn)ω
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Im folgenden H ein linearer OperatorH (N + 1)× (N + 1) quadratische Matrixf Spaltenmatrixa Spaltenvektor
Hij = (φi ,Hφj), i , j = 1,2, . . . , (N + 1)
fi = (φi , f ), i = 1,2, . . . , (N + 1)
Ha = f
R(x ;a0,a1, . . . ,aN) = −f (x) +N∑
j=0
ajHφj
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Erinnerung
Ff (x) = a0 +∞∑
n=1
ancos(nx) +∞∑
n=0
bnsin(nx)
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Beispiel 1:
uxx −12
u = −32
cos(x)− 92
cos(2x)
periodische Randbedingungen, Diese Gleichung hat die FormHu = fH und f haben die Form
H = ∂xx −12; f (x) = −3
2cos(x)− 9
2cos(2x)
mit der Basis {cos(x), cos(2x)} ergibt sich((cos[x ],H cos[x ]) (cos[x ],H cos[2x ])(cos[2x ],H cos[x ]) (cos[2x ],H cos[2x ])
)(a1a2
)=
((cos[x ], f )(cos[2x ], f )
)Daniel De Agazio Interpolation, Collocation & Galerkin Methods
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wobei
(g,h) =∫ π
−πg(x) h(x)dx
Es gilt:
H cos(nx) = [cos(nx)]xx −12
cos(nx) = −[n2 +12]cos(nx), ∀n
(cos[mx ], cos[nx ]) = πδmn, ∀m,n > 0(−3
2 00 −9
2
)(a1a2
)=
(−3
2−9
2
)u(x) = cos(x) + cos(2x)
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Beispiel 2:
uxx + (cos(x) + cos2(x))u = exp(−1 + cos(x))
periodische Randbedingungen. Sei
u(x) = a0 + a1cos(x) + a2cos(2x) + a3cos(3x)
H = ∂xx + cos(x) + cos2(x), f (x) = exp(−1 + cos(x))
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1/2 1/2 1/4 01 −1/4 1/2 1/4
1/2 1/2 −7/2 1/20 1/4 1/2 −17/2
a0a1a2a3
=
f0f1f2f3
Die Matrixelemente sind gegeben durch
Hij = (cos(jx), (−k2 + cos(x) + cos2(x))cos(kx))
fj = (cos(jx),exp(−1 + cos(x)))
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n Exakt N = 1 N = 2an an Errors an Errors
0 0.4658 0.5190 -0.0532 0.4702 -0.00441 0.4158 0.4126 0.0032 0.4159 0.00322 0.0998 - - 0.0976 0.00223 0.0163 - - - -4 0.0020 - - - -
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[N = 1] [N = 2]ED 0.0564 0.0098ET 0.1181 0.0183L∞ 0.153 0.021
ED =∑N
n=0 |aexactn − aapprox .
n |ET =
∑∞n=N+1 |an|
L∞ fehler = maxx∈[−π,π]|u(x)− uN(x)|
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Definition (Interpolation)Es bezeichne PN−1 den Interpolanten zu f , der an N Stellen mitf übereinstimmt, also
PN−1(xi) = f (xi), i = 1,2, . . . ,N
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Lineare Interpolation
f (x) ≈ (x − x1)
(x0 − x1)f (x0) +
(x − x0)
(x1 − x0)f (x1) [Lineare Interpolation]
P1(x) Interpolationspolynom mit ben beiden Bedingungen
P1(x0) = f (x0) ; P1(x1) = f (x1)
Lineare Interpolation ist nicht sehr genau, aber man kann dieseIdee zu höherer Ordnung erweitern
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quadratische Interpolation
quadratisches Polynom P2(x) approximert f(x) wenn es die dreiBedingungen erfüllt
P2(x0) = f (x0) ; P2(x1) = f (x1) ; P2(x2) = f (x2)
P2(x) =(x − x1)(x − x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)f (x0) +
(x − x0)(x − x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)f (x1)
+(x − x0)(x − x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)f (x2)
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Quadratische Interpolation
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Lagrange Interpolation
PN(x) =N∑
i=0
f (xi)Ci(x) [Lagrange Interpolations Formel]
Ci (x) Cardinal Funktionen, die die bedingungen erfüllen
Ci(xj) = δij
Ci(x) =N∏
j=0,j 6=i
x − xj
xi − xj[Cardinal Funktionen]
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Erinnerung
Tn(t) = cos(n arccos(t))
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Satz (Cauchy Interpolation Error Theorem)
f (x) (N + 1)-mal differenzierbar, PN(x) ihreLagrangeinterpolation, dann gilt für ein ξ
f (x)− PN(x) =1
(N + 1)!f (N+1)(ξ)
N∏i=0
(x − xi)
Satz (Chebyshev Minimal Amplitude Theorem)Sei PN ein beliebiges normiertes Polynom vom Grad N
maxx∈[−1,1]
|PN(x)| ≥ maxx∈[−1,1]
|TN(x)2N−1 | =
12N−1
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Tschebyscheff Polynome
xi die Nullstellen des Polynoms, insbesondere
12N TN+1(x) =
N+1∏i=1
(x − xi).
Die optimalen Stützpunkte sind die Nullstellen der ChebyshevPolynome, da man den Fehler im Cauchy Theorem Minimierenwill
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Einführung
∫ b
af (x)dx ≈
N∑i=0
ωi f (xi).
Die Gewichtsfunktionen ωi sind gegeben durch
ωi =
∫ b
aCi(x)dx . [Quadratur gewicht ]
Ci (x) Cardinal Funktionen mit
Ci(x) =N∏
j=0,j 6=i
x − xj
xi − xj
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Satz (Gauss-Jacobi Integration)
Sei ρ eine Gewichtsfunktion, {PN}N+1n=0 orth. Polynome, xi
Nullstellen von PN+1, dann gilt:∫ b
af (x)ρ(x)dx =
N∑i=0
ωi f (xi) [Quadratur Formel]
exakt für Polynome bis zum Grad (2N + 1)
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Definition (Diskretes Skalarprodukt)
(f ,g)G =N∑
i=0
ωi f (xi)g(xi)
Satz (Orthogonalität unter dem diskreten Skalarprodukt)
(φi , φj) = δij , i , j = 0,1, . . . ,N
⇒ (φi , φj)G = δij , i , j = 0,1, . . . ,N
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Satz (Interpolation by Quadratur)
PN(x) ein Polynom vom Grad N das an eine Funktion finterpoliert wird
PN(xi) = f (xi), i = 0,1, . . . ,N
PN(x) =N∑
n=0
anφn(x)
an =(f , φn)G
(φn, φn)G.
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Satz (Trigonometrische Interpolation)
Seien die Kollokationspunkte xk gegeben durch
xk = −π +2πkN
, k = 1,2, . . . ,N.
f (x) dargestellt als eine exakte, unendliche Fourier-Reihe
f (x) =12α0 +
∞∑n=1
αncos(nx) +∞∑
n=1
βnsin(nx).
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Trigonometrische Interpolation
Sei SN ein trigonometrisches Polynom, dass an f in NKollokationspunkten interpoliert wird
SN(x) =12
a0 +
N/2−1∑n=1
ancos(nx) +N/2−1∑
n=1
bnsin(nx) +12
aMcos(Mx)
wobei M = N2 gilt und
SN(xk ) = f (xk ), k = 1,2, . . . ,N
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Trigonometrische & Chebychev Interpolation
Trapezregel
an =2N
N∑k=1
f (xk )cos(nxk )
bn =2N
N∑k=1
f (xk )sin(nxk )
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Trigonometrische & Chebychev Interpolation
exakte Fourier Koeffizienten
an = αn +∞∑
j=1
(αn+jN + α−n+jN), n = 0,1, . . . ,N2
bn = βn +∞∑
j=1
(βn+jN − β−n+jN), n = 0,1, . . . ,N2− 1
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Trigonometrische & Chebychev Interpolation
Fehler: Fourier Interpolation
SN(x) das interpolierte trigonometrische Polynom, fN(x) dieinterpolierte exakte Fourier-Reihe
|f (x)− fN(x)| ≤ |b N2|+
∞∑n=1+N
2
(|an|+ |bn|)
|f (x)− SN(x)| ≤ 2(|b N2|+
∞∑n=1+N
2
(|an|+ |bn|))
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Gauß-IntegrationGalerkin-Verfahren über Gauss Quadratur
Trigonometrische & Chebychev Interpolation
Satz (Chebyshev Interpolation für das Polynom PN(x))
xk = −cos(kπN
), k = 0,1, . . . ,N [Chebyshev Extrema Gitter ]
PN(x) =12
b0T0(x) +N−1∑n=1
bnTn(x) +12
bNTN(x)
bn =2N(12
f (x0)Tn(x0) +N−1∑n=1
f (xk )Tn(xk ) +12
f (xN)Tn(xN))
Daniel De Agazio Interpolation, Collocation & Galerkin Methods
mittelgewichtige RestverfahrenVollständigkeit und Randbedingungen
Skalarprodukt & OrthogonalitätGalerkin Verfahren
InterpolationPolynom-Interpolation
Gauß-IntegrationGalerkin-Verfahren über Gauss Quadratur
Trigonometrische & Chebychev Interpolation
Satz (Chebyshev Interpolation für das Polynom QN(x))
xk = −cos((2k + 1)π2(N + 1)
), k = 0,1, . . . ,N
QN(x) =12
c0T0(x) +N∑
n=1
cnTn(x)
cn =2
N + 1
N∑k=0
f (xk )Tn(xk )
Daniel De Agazio Interpolation, Collocation & Galerkin Methods
mittelgewichtige RestverfahrenVollständigkeit und Randbedingungen
Skalarprodukt & OrthogonalitätGalerkin Verfahren
InterpolationPolynom-Interpolation
Gauß-IntegrationGalerkin-Verfahren über Gauss Quadratur
Trigonometrische & Chebychev Interpolation
Satz (Chebyshev Interpolation)
αn die exakten Spektralkoeffizienten, dann gilt für f (x)
f (x) =12α0T0(x) +
∞∑n=1
αnTn(x)
Daniel De Agazio Interpolation, Collocation & Galerkin Methods
mittelgewichtige RestverfahrenVollständigkeit und Randbedingungen
Skalarprodukt & OrthogonalitätGalerkin Verfahren
InterpolationPolynom-Interpolation
Gauß-IntegrationGalerkin-Verfahren über Gauss Quadratur
Trigonometrische & Chebychev Interpolation
Fehler: Chebyshev Interpolation
Für alle N und x ∈ [−1,1] gilt:
|f (x)− PN(x)| ≤ 2∞∑
n=N+1
|αn|
|f (x)−QN(x)| ≤ 2∞∑
n=N+1
|αn|
Daniel De Agazio Interpolation, Collocation & Galerkin Methods