Leitidee Zufall Montag, den 14. Januar 200814.30 - 17.00 Uhr

1. Grundbegriffe und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung - Präsentation –

Zufallsgeräterelative Häufigkeit und WahrscheinlichkeitErgebnisse und EreignisseSummen- und Produktregelzweistufige Zufallsexperimente und Baumdiagramme

2. Übungen

3. Simulationen in Excel

4. Mathematik interaktivSoftware zur Simulation; Zeichnen von Baumdiagrammen

Leitidee Zufall

Bildungsstandards BW

Klasse 10

Leitidee Zufall Leitidee Daten und Zufall

Die Schülerinnen und Schüler- werten graphische Darstellungen und Tabellen von statistischen Erhebungen aus,- planen statistische Erhebungen,-sammeln systematisch Daten, erfassen sie in Tabellen und stellen sie graphisch dar, auch unter Verwendung geeigneter Hilfsmittel (wie Software),- interpretieren Daten unter Verwendung von Kenngrößen,- reflektieren und bewerten Argumente, die auf einer Datenanalyse basieren,- beschreiben Zufallserscheinungen in alltäglichen Situationen,- bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei Zufallsexperimenten.

Bildungsstandards national

Mittlerer Bildungsabschluss

Leitidee Zufall

Zufallsgeräte, Zufallsversuch, Ergebnisse, relative Häufigkeit, Wahrscheinlichkeit, Ereignis, Summenregel, sicheres Ereignis, unmögliches Ereignis, Gegenereignis

Zufallsgeräte

Einstufige Zufallsversuche

Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Bei vielen Zufallsversuchen (Ziehen einer Kugel aus einem Behälter, Werfen eines Würfels, …) lassen sich die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Ergebnisse durch

- die Annahme gleicher Chancen (bedingt z. B. durch die Symmetrie der Zufallsgeräte) für die möglichen Ergebnisse

bestimmen.

Wie groß ist aber die Wahrscheinlichkeit mit dem Reißnagel „Seite“ zu werfen?

Hier müssen Sie ein Experiment durchführen.

Leitidee Zufall – Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Relative Häufigkeit... Anzahl „Bauchlage“ / Anzahl der Würfe

Anzahl der Würfe5 10 15 20 25 30 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Anzahl "Bauchlage"2 6 10 15 18 21 25 40 53 65 75 87 100 110 125

relative Häufigkeit "Bauchlage" 0,4 0,6 0,67 0,75 0,72 0,7 0,625 0,67 0,66 0,65 0,625 0,621 0,625 0,611 0,625

Das Experiment mit dem Reißnagel legt für die Definition der Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses folgende Definition nahe:

Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses=

relative Häufigkeit des Ergebnisses (n gegen unendlich)

------------------------------------------------------------------------------------------------

Die Definition

Anzahl der günstigen Fälle / Anzahl der möglichen Fälle

führt mit der Annahme der Gleichwahrscheinlichkeiten zum gleichen Ergebnis.

Leitidee Zufall – Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Leitidee Zufall

Beispiel

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine gerade Zahl zu ziehen?

Wir betrachten mehrere Ergebnisse.

Mehrere Ergebnisse bilden ein Ereignis.

6 3 1 2

5 1 2 1

1 2 3 4

Ergebnisse und Ereignisse

Leitidee Zufall

Summenregel

Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die das Ereignis bilden.

6 3 1 2

5 1 2 1

1 2 3 4

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „gerade Zahl“?günstige F/ mögliche F = 5/12

Wahrscheinlichkeiten fürErgebnis 2: Ergebnis 4: Ergebnis 6:

3/121/121/12

Ergebnisse und Ereignisse

Leitidee Zufall

Ergebnis: Ausgang eines Zufallsversuchs

Ein Ereignis setzt sich aus mehreren Ergebnissen zusammen.

Summenregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet sich aus der Summe der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse.

Das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 1.

Das unmögliche Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 0 .

Alle ungünstigen Ergebnisse bilden das Gegenereignis.

Ist p die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, so ist die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses ist (1- p).

Leitidee Zufall

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse:

Die gewürfelte Zahl ist

a) geradeb) ungerade

c) eine Primzahld) eine Quadratzahle) kleiner als 5

f) größer als 2 und kleiner als 5

g) kleiner als 7

h) größer als 6

0,5

0,50,5

0,333…

0,333…0,666…

01

Leitidee Zufall

Zweistufige ZufallsversucheZweistufige Zufallsversuche,

Baumdiagramm, Pfadregel

Mögliche Ergebnisse:

aa, an, na, nn

P(aa) = 3/5 * 3/5 = 9/25

P(an) = 3/5 * 2/5 = 6/25

P(na) = 2/5 * 3/5 = 6/25

P(nn) = 2/5 * 2/5 = 4/25

2-mal Ziehen mit Zurücklegen

a n

a a a n n a n n

2/53/5

2/53/52/53/5

Leitidee Zufall

Produktregel:

Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades im Baumdiagramm erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multipliziert.

Leitidee Zufall 2-mal Ziehen ohne Zurücklegen

Mögliche Ergebnisse:

aa, an, na, nn

P(aa) = 3/5 * 1/2 = 3/10

P(an) = 3/5 * 1/2 = 3/10

P(na) = 2/5 * 3/4 = 3/10

P(nn) = 2/5 * 1/4 = 1/10

a n

a a a n n a

2/53/5

1/43/41/21/2

n n

Leitidee Zufall

Die Todesstrafe in Zelophanien

Wer in Zelophanien zum Tode verurteilt wird, erhält eine letzte Chance.Mit verbundenen Augen darf er einen der drei Behälter wählen und aus diesem Behälter eine Kugel ziehen. Eine weiße Kugel rettet sein Leben.Wie groß sind die Überlebenschancen?

P(L) = 1/3*5/6 + 1/3*2/3 + 1/3*1/2 = 2/3

= 67%

Leitidee Zufall

Hölzchen

ziehen

Leitidee Zufall

Hölzchen

Ziehen

Lösung

Jemand bietet dir ein Würfelspiel an. Dazu sollen zwei Würfel gleichzeitig geworfen und die Augensumme gezählt werden. Du darfst dir vorher aussuchen, ob du mit der Augensumme 5, 6, 7, 8 oder mit allen anderen Augensummen gewinnen möchtest.

Begründe deine Wahl.

Ergebnisse und Ereignisse

1, 1

1, 2

1, 3

1, 4

1, 5

1, 6

2, 1

2, 2

2, 3

2, 4

2, 5

2, 6

3, 1

3, 2

3, 3

3, 4

3, 5

3, 6

4, 1

4, 2

4, 3

4, 4

4, 5

4, 6

5, 1

5, 2

5, 3

5, 4

5, 5

5, 6

6, 1

6, 2

6, 3

6, 4

6, 5

6, 6

1, 1

1, 2

1, 3

1, 4

1, 5

1, 6

2, 1

2, 2

2, 3

2, 4

2, 5

2, 6

3, 1

3, 2

3, 3

3, 4

3, 5

3, 6

4, 1

4, 2

4, 3

4, 4

4, 5

4, 6

5, 1

5, 2

5, 3

5, 4

5, 5

5, 6

6, 1

6, 2

6, 3

6, 4

6, 5

6, 6

Augensumme 2: 1,1

Augensumme 3 1,2 2,1

Augensumme 4 1,3 2,2 3,1

Augensumme 5 1,4 2,3 3,2 4,1

Augensumme 6 1,5 2,4 3,3 4,2 5,1

Augensumme 7 1,6 2,5 3,4 4,3 5,2 6,1

Augensumme 8 2,6 3,5 4,4 5,3 6,2

Augensumme 9 3,6 4,5 5,4 6,3

Augensumme 10 4,6 5,5 6,4

Augensumme 11 5,6 6,5

Augensumme 12 6,6

Wenn du eine gewöhnliche Münze sechsmal hintereinander wirfst, welche der folgende Ausgänge wirst du am wahrscheinlichsten nicht beobachten?

□ WZW ZWZ

□ WWZ ZWW

□ WWW WWW

□ ZZW ZWZ

□ Alle angegebenen Möglichkeiten sind gleich wahrscheinlich

Wenn du eine gewöhnliche Münze sechsmal hintereinander wirfst und die Folge

ZZZ ZZZ

beobachtest, was würdest du dann beim nächsten Wurf erwarten?

□ W

□ Z

□ beides ist gleich wahrscheinlich

Leitidee Zufall

Aufgabe 1

Leitidee Zufall

Aufgabe 1

Lösung

Leitidee Zufall

Aufgabe 2

Leitidee Zufall

Aufgabe 2

Lösung

r w

r w r w

2/31/3

2/31/32/31/3

Mit Zurücklegen

P(r,w) + P(w,r) = 1/3*2/3 + 2/3*1/3 = 4/9

r w

r w r w

2/31/3

7/114/118/113/11

Ohne Zurücklegen

P(r,w) + P(w,r) = 1/3*8/11 + 2/3*4/11 = 16/33

1; 1

2; 1

3; 1

4; 1

5; 1

6; 1

1; 3

2; 3

3; 3

4; 3

5; 3

6; 3

Jedes Ergebnis hat die Wahrscheinlichkeit 1/12.

P(Produkt größer als 10): 1/4

P(Summe mindestens 4): 5/6

Leitidee Zufall

Kombinatorik

Produktregel

Mit ihr bestimmt man die Anzahl der (günstigen) Fälle

Wie viele verschiedene Wege führen über die drei Flüsse?

Eine Münze wird 6mal geworfen

a*b*c

1,0,1,0,0,0

1,1,0,0,0,0

…

26 = 64

Leitidee Zufall

Kombinatorik

Produktregel

In einer Urne sind 5 Kugeln mit den Nummern 1 bis 5. Drei Kugeln werden nacheinander ohne Zurücklegen gezogen.Wie viele Ergebnisse gibt es?

5*4*3 = 60

Produktregel der Kombinatorik

Besteht ein Zufallsexperiment aus r Stufen und haben die einzelnen Stufen n1, n2,... nr Ausgänge, so hat der Gesamtversuche n1*n2*...*nr mögliche Ausgänge.

Leitidee Zufall

Kombinatorik

Wie viele Möglichkeiten gibt es bei der 13er Wette?

313 = 1 594 323

TOTO

Produktregel

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit

12 Richtige zu haben?

13*2 / 1 594 323 = 0,000 016 3

Leitidee Zufall

Kombinatorik

Produktregel

Das Geburtstagsproblem

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 15 Personen mindestens2 am gleichen Tag Geburtstag haben?

365*364*363*…*351/36515 = 0,747

1- 0,747 = 0,253

Leitidee Zufall

Kombinatorik

Bilder sammeln

Eine Schokoladencremefirma hatte aus Werbezwecken in jeden Glasdeckel ein Sammelbild eines berühmten Popstars gepackt.Die Serie bestand aus 30 verschiedenen Bildern.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach dem Kauf von 5 Gläsern mindestens ein Bild doppelt auftritt?

30*29*28*27*26/305 = 0,704

1 – 0,704 = 29,6%

Produktregel

Leitidee Zufall

Kombinatorik

Produktregel, Fakultät

In einer Schale befinden sich vier verschiedenfarbige Kugeln. Sie werden zu einer Kette aufgezogen.Wie viele Möglichkeiten gibt es?

(Geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen)

4*3*2*1 = 4! = 24

Kombinatorik

Produktregel, Fakultät

Leitidee Zufall

Wie viele verschiedene Zahlen lassen sich aus den Ziffern 1, 2, 4, 6, 8 bilden?

5! = 5*4*3*2*1 = 120

Werden n Objekte der Reihe nach angeordnet, so hat man n*(n-1)*(n-2)*...*2*1 Möglichkeitendies zu tun.Es gibt n! Permutationen.

Kombinatorik

Produktregel, Fakultät, Permutationen

Leitidee Zufall

Aufgabe 8

Kombinatorik

Produktregel, Fakultät, Permutationen

Leitidee Zufall

Aufgabe 8

Lösung

Kombinatorik

Produktregel, Fakultät, Permutationen

Leitidee Zufall

Aufgabe 9

Kombinatorik

Produktregel, Fakultät, Permutationen

Leitidee Zufall

Aufgabe 9

Lösung