Markovketten und Mischzeiten

Matthias Birknerhttps://www.staff.uni-mainz.de/birkner/

Hauptseminar, WS 2020/21

MarkovkettenI wichtiges stochastisches ModellierungswerkzeugI in vielen Anwendungskontexten nutzlichI kommen in der ”Einfuhrung in die Stochastik“ vorI ... und auch in der gymnasialen Oberstufe:

Lehrplan Mathematik Grund- und Leistungsfach Jahrgangsstufen 11 bis 13 der gymnasialen Oberstufe, S. 62;https://lehrplaene.bildung-rp.de/

Die Themen des Hauptseminars lassen sich gut mitdem Begriffsapparat der Einfuhrung in die Stochastik(und der Grundvorlesungen Analysis und lineare Algebra)verstehen.

MarkovkettenI wichtiges stochastisches ModellierungswerkzeugI in vielen Anwendungskontexten nutzlichI kommen in der ”Einfuhrung in die Stochastik“ vorI ... und auch in der gymnasialen Oberstufe:

Lehrplan Mathematik Grund- und Leistungsfach Jahrgangsstufen 11 bis 13 der gymnasialen Oberstufe, S. 62;https://lehrplaene.bildung-rp.de/

Die Themen des Hauptseminars lassen sich gut mitdem Begriffsapparat der Einfuhrung in die Stochastik(und der Grundvorlesungen Analysis und lineare Algebra)verstehen.

Markovketten mit endlichem ZustandsraumX0, X1, X2, . . . Markovkette, Wertebereich S, |S| <∞

P(Xk+1 = y

∣∣ Xk = x,Pfad bis Zeit k)

= P(Xk+1 = y

∣∣ Xk = x)= axy,

A = (axy)x,y∈S die Ubergangsmatrix

k-Schritt-Ubergangswahrscheinlichkeiten

P(Xk = y

∣∣ X0 = x)=

∑x1,x2,...,xk−1∈S

ax,x1ax1,x2 · · ·axk−2,xk−1axk−1,x

= Akx,y

(k-te Potenz der Ubergangsmatrix)

Markovketten mit endlichem ZustandsraumX0, X1, X2, . . . Markovkette, Wertebereich S, |S| <∞

P(Xk+1 = y

∣∣ Xk = x,Pfad bis Zeit k)

= P(Xk+1 = y

∣∣ Xk = x)= axy,

A = (axy)x,y∈S die Ubergangsmatrix

k-Schritt-Ubergangswahrscheinlichkeiten

P(Xk = y

∣∣ X0 = x)=

∑x1,x2,...,xk−1∈S

ax,x1ax1,x2 · · ·axk−2,xk−1axk−1,x

= Akx,y

(k-te Potenz der Ubergangsmatrix)

Konvergenz ins Gleichgewicht

P(Xk = y

∣∣ X0 = x)= Akx,y −→k→∞

π({y})

(unter gewissen, relativ milden Bedingungen)wo π die Gleichgewichtsverteilung von X ist:

πA = π, X0 ∼ π ⇒ X1 ∼ π ⇒ · · · ⇒ Xk ∼ π ∀ k

Zentrale Frage: Wie schnell ist diese Konvergenz?

Konvergenz ins Gleichgewicht

P(Xk = y

∣∣ X0 = x)= Akx,y −→k→∞

π({y})

(unter gewissen, relativ milden Bedingungen)wo π die Gleichgewichtsverteilung von X ist:

πA = π, X0 ∼ π ⇒ X1 ∼ π ⇒ · · · ⇒ Xk ∼ π ∀ k

Zentrale Frage: Wie schnell ist diese Konvergenz?

Beispiel: Kartenmischen per Riffle-Shuffle

basierend auf https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Riffle shuffle.jpg,(c) Johnny Blood, CC-by-sa 2.0

Beispiel: Kartenmischen per Riffle-ShuffleS = Sn = {Permutationen von 1, . . . ,n},Xk = Permutation nach k-maligem Mischen

0 5 10 15

0.00.20.40.60.81.0

d(k)

d(k) = 12∑γ∈Sn

∣∣∣P(Xk = γ | X0 = id)− 1n!

∣∣∣ fur n = 52

Beispiel: Kartenmischen per Riffle-ShuffleS = Sn = {Permutationen von 1, . . . ,n},Xk = Permutation nach k-maligem Mischen

0 5 10 15

0.00.20.40.60.81.0

d(k)

d(k) = 12∑γ∈Sn

∣∣∣P(Xk = γ | X0 = id)− 1n!

∣∣∣ fur n = 52

Quelle(n)David A. Levin, Yuval Peres, Markov Chains and MixingTimes, 2nd ed., AMS 2017.http://pages.uoregon.edu/dlevin/MARKOV/

Ggfs. weitere Artikel oder Buchkapitel aus dermathematischen Fachliteratur

VorbesprechungDi., 7.7.2020, 9:00

auf bbb.rlp.net, dem BigBlueButton-Server des ZDV(Teilnehmer erhalten den genauen Link per Email.)

Quelle(n)David A. Levin, Yuval Peres, Markov Chains and MixingTimes, 2nd ed., AMS 2017.http://pages.uoregon.edu/dlevin/MARKOV/

Ggfs. weitere Artikel oder Buchkapitel aus dermathematischen Fachliteratur

VorbesprechungDi., 7.7.2020, 9:00

auf bbb.rlp.net, dem BigBlueButton-Server des ZDV(Teilnehmer erhalten den genauen Link per Email.)