1

VorlesungMathematik fur Ingenieure(WS 11/12, SS 12, WS 12/13)

Kapitel 4: Matrizen

Volker Kaibel

Otto-von-Guericke Universitat Magdeburg

(Version vom 10. November 2011)

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Matrizen

Definition 4.1

Eine m × n-Matrix ist ein rechteckiges Schema

A =

a1,1 a1,2 · · · a1,n

a2,1 a2,2 · · · a2,n...

... . . . ...am,1 am,2 · · · am,n

mit m Zeilen und n Spalten. Die Menge derm × n-Matrizen mit Eintragen aus K ist Km×n (hierimmer K = R oder K = C).

3

Bemerkungen

I ai ,j ist also der Eintrag in Zeile i und Spalte j .

I Schreibweisen: A = (ai ,j) = (ai ,j) i = 1, . . . ,mj = 1, . . . , n

I Menge Rm×n der reellen Matrizen:ai ,j ∈ R fur alle i , j

I Menge Cm×n der komplexen Matrizen:ai ,j ∈ C fur alle i , j

I Hier: Beschrankung auf reelle Matrizen(komplexe Matrizen analog)

4

BeispieleI

A = (ai ,j) =

(1 0 −32 1 4

)∈ R2×3

Z.B.: a1,1 = 1, a2,3 = 4

I Die Matrix

In =

1 0 · · · 00 1 · · · 0...

... . . . ...0 0 · · · 1

= (ci ,j)

(mit ci ,j = 1 fur i = j und ci ,j = 0 fur i 6= j)heißt die n × n-Einheitsmatrix.

5

Beispiele

I Die Matrix O = Om,n ∈ Km×n mit lauterNullen ist die m × n-Nullmatrix.

I B = (b1,1) ∈ K1×1 ist eine 1× 1-Matrix; wirkonnen K1×1 mit K identifizieren.

I Vektoren aus Kk kann man als einspaltigek × 1-Matrizen oder als einzeilige1× k-Matrizen auffassen.

I Konvention: Im Kontext der Matrizenrechnungidentifizieren wir Kk mit Kk×1

(Spaltenvektoren)

6

Transponierte

Definition 4.2

Die Transponierte einer Matrix A = (ai ,j) ∈ Km×n

ist die Matrix AT = (bk,l) ∈ Kn×m mit bk,l = al ,kfur alle k ∈ {1, . . . , n}, l ∈ {1, . . . ,m}(Vertauschung der Rollen von Zeilen und Spalten).

A =

(1 0 32 1 4

)∈ R2×3 AT =

1 20 13 4

∈ R3×2

7

Addition und skalare Multiplikation

Definition 4.3

Fur A = (ai ,j) ∈ Km×n, B = (bi ,j) ∈ Km×n undλ ∈ K definieren wir

A + B := (ai ,j + bi ,j) ∈ Km×n

(Matrizenaddition) und

λA := (λaij) ∈ Km×n

(skalare Multiplikation).

8

Beispiele

I (2 −4 10 3 2

)+

(3 2 −10 5 1

)=

(5 −2 00 8 3

)

I

(−2)

(2 −4 10 3 2

)=

(−4 8 −2

0 −6 −4

)

9

Rechenregeln

Fur A,B ,C ∈ Km×n und λ, µ ∈ K gelten:

I (A + B) + C = A + (B + C )

I A + B = B + A

I A + O = A

I λ(µA) = (λµ)A

I λ(A + B) = λA + λB

I (λ + µ)A = λA + µA

Wie Kk bildet auch Km×n einen Vektorraum.

10

Zeilen und SpaltenFur A ∈ Km×n:

I Ai ,? ∈ Kn ist der aus der i -ten Zeile von Agebildete Vektor (der Lange n).

i

I A?,j ∈ Km ist der aus der j-ten Spalte von Agebildete Vektor (der Lange m).

j

11

MatrizenmultiplikationDefinition 4.4

Fur zwei Matrizen A = (ai ,j) ∈ Km×n undB = (bj ,k) ∈ Kn×p definiere AB = (cik) ∈ Km×p mit

ci ,k =n∑

j=1

ai ,jbj ,k = 〈Ai ,?,B?,k〉

fur alle i ∈ {1, . . . ,m}, k ∈ {1, . . . , p}.

i

k

i

k

* =Länge: n

Läng

e: n

12

Beispiel

3 20 5−1 0

· ( 2 −11 2

)

=

3 · 2 + 2 · 1 3 · (−1) + 2 · 20 · 2 + 5 · 1 0 · (−1) + 5 · 2

(−1) · 2 + 0 · 1 (−1) · (−1) + 0 · 2

=

8 15 10−2 1

13

Formate mussen passen

A =

3 20 5−1 0

und B =

2 0 3 21 5 2 20 2 6 1

kann man nicht multiplizieren (A hat 2 Spalten,aber B hat 3 Zeilen).

14

Weitere Beispiele

I 3 20 5−1 0

· ( 1 00 1

)=

3 20 5−1 0

I 3 2

0 5−1 0

· ( 0 11 0

)=

2 35 00 −1

15

Weitere Beispiele

I (0 11 0

)·(

1 23 4

)=

(3 41 2

)I (

1 23 4

)·(

0 11 0

)=

(2 14 3

)

Bemerkung 4.5

Matrizenmultiplikation ist i.A. nicht kommutativ!

16

RechenregelnFur Matrizen A,B ,C jeweils passender Formate undλ ∈ K gelten:

I (AB)C = A(BC )

I A(B + C ) = AB + AC

I (A + B)C = AC + BC

I A(λB) = (λA)B = λ(AB)

I (AB)T = BTAT

I AIn = A = ImA

I Om,mA = Om,n = AOn,n

17

Multiplikation von Matrizen mit VektorenI Sei A = (ai ,j) ∈ Km×n.I Fasse x ∈ Kn mit Komponenten x1, . . . , xn als

n × 1-Matrix auf (Spaltenvektor).I Definiere Ax ∈ Km als den Vektor mit m

Komponenten, der als m× 1-Matrix aufgefasst

A ·

x1...

xn

=

〈A1,?, x〉...

〈Am,?, x〉

=

a1,1x1 + a1,2x2 + · · · + a1,nxn...

... . . . ...am,1x1 + am,2x2 + · · · + am,nxn

ist.

18

Lineare AbbildungenBemerkung 4.6

Die mittels einer Matrix A ∈ Km×n definierteAbbildung ϕA : Kn → Km , x 7→ Ax ist einelineare Abbildung.

Bemerkung 4.7

Wir werden spater sehen: Zu jeder linearenAbbildung f : Kn → Km gibt es auch eine MatrixA ∈ Km×n mit

f (x) = Ax fur alle x ∈ Kn .

19

Beispiel

f : R2 → R3 mit

f (x) =

2 35 00 −1

·( x1

x2

)=

2x1 + 3x2

5x1 + 0x2

0x1 + (−1)x2

fur alle x = (x1, x2) ∈ R2, also

f (x1, x2) = (2x1 + 3x2, 5x1,−x2) .

20

Bildmenge

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

-5

0

5-5

0

5-2-1

0

1

2

(Bild f (R) des Rechtecks R = [−1, 1]× [−2, 2]unter f .)

21

Koordinatenprojektion

g : R3 → R2 mit

g(x1, x2, x3) =

(1 0 00 1 0

)·

x1

x2

x3

=

(x1

x2

)

(Projektion auf die ersten beiden Koordinaten.)

22

Drehungen

Fur einen Winkel Φ ∈ [0, 2π]:(xy

)=

(cos(Φ) − sin(Φ)sin(Φ) cos(Φ)

)·(

xy

)entsteht durch Drehung (gegen Uhrzeigersinn) umden Winkel Φ um den Ursprung.

23

Beispiel mit Φ = π4

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4

24

Mit anschließender x-Streckung(2 cos(Φ) −2 sin(Φ)

sin(Φ) cos(Φ)

)·(

xy

)

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4

25

m = 1 und n = 1Lineare Funktionen f : R→ R mit

f (x) = (a) · (x) = ax

fur eine Konstante a ∈ R.

-4 -2 2 4

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

Graph der Funktion f (x) = 13x

Die Graphen von linearen Funktionen R→ R sindGeraden durch den Ursprung.

26

m = 1 und n beliebig

Lineare Funktionen f : Kn → K mit

f (x) = f (x1, . . . , xn)

= (a1, . . . , an) ·

x1...

xn

= a1x1 + · · ·+ anxn= 〈a, x〉

fur einen konstanten Vektor a = (a1, . . . , an) ∈ Kn.

27

Graphen

-2

-1

0

1

2 -2

-1

0

1

2

-10

-5

0

5

10

f : R2 → R mit f (x , y) = −2x + 4y

Die Graphen von linearen Funktionen Rn → R sind(Hyper-)Ebenen im Rn+1 durch den Ursprung.

28

Kerne von Matrizen

Definition 4.8

Der Kern einer Matrix A ∈ Km×n ist

ker(A) = {x ∈ Kn |Ax = Om} = ker(ϕA)

(also der Kern der linearen Abbildung x 7→ A).

29

Zeilen- vs. Spaltenvektoren

Im Kontext von Matrizenmultiplikationen sindVektoren v ∈ Kq immer als Spaltenvektoren

v =

v1...

vq

∈ Kq×1

aufzufassen. Der zugehorige Zeilenvektor ist

vT = (v1, . . . , vq) ∈ K1×q.

30

Lineare GleichungssystemeDefinition 4.9

Ein lineares Gleichungssystem (LGS) in denVariablen x1, . . . , xn hat die Form

a11x1 + . . . + a1nxn = b1...

......

am1x1 + . . . + amnxn = bm

mit (konstanten) Koeffizienten aij ∈ K und(konstanten) rechten Seiten bi ∈ K (furi ∈ {1, . . . ,m} und j ∈ {1, . . . , n}). Es heißthomogen, wenn b1 = · · · = bm = 0 ist, sonst heißtes inhomogen.

31

Aquivalenz von LGS

I Die Losungsmenge von Ax = b ist

{z ∈ Kn |Az = b}.

I Zwei lineare Gleichungssysteme

Ax = b und Ax = b

(mit A ∈ Km×n, b ∈ Km, A ∈ Km×n, b ∈ Km)heißen aquivalent, wenn sie die gleicheLosungsmenge haben.

32

Zeilenoperationen

I Die folgenden elementarenZeilenoperationen uberfuhren ein LGSAx = b in ein aquivalentes LGS Ax = b:

(a) Vertauschung von Zeilen(b) Addition des λ-fachen einer Zeile Ai ,? zu einer

anderen Zeile Ak,? (mit k 6= i) fur ein λ ∈ KI Das gleiche gilt fur die Multiplikation einer

Zeile mit einem Skalar λ 6= 0 (Skalierung).

I Strategie: Bringe Ax = b durch elementareZeilenoperationen (und evtl. Skalierung) in eineForm, an der man die Losungen leicht ablesenkann.

33

Kopfe

Definition 4.10

Sei A ∈ Km×n eine Matrix und i ∈ {1, . . . ,m}. FallsAi ,? 6= On, so heißt (i , j) mit

ai ,1 = · · · = ai ,j−1 = 0 und aij 6= 0

der Kopf der i -ten Zeile von A; die Zahl aij ∈ K istdann die Kopfzahl der i -ten Zeile. Ist Ai ,? = On, sohat die i -te Zeile keinen Kopf.

34

Zeilenstufenform

Definition 4.11

Eine Matrix A ∈ Rm×n hat Zeilenstufenform(ZSF) wenn fur ein p ∈ {1, . . . ,m}A1,?, . . . ,Ap,? 6= On und Ap+1,? = · · · = Am,? = On

gilt und fur alle i , k ∈ {1, . . . , p} mit i < k derKopf der k-ten Zeile weiter rechts als der Kopf deri -ten Zeile steht (insbesondere stehen unter jedemKopf nur Nullen).Die Spalten, die Kopfe enthalten,heißen Basis-Spalten.Sind zusatzlich alle Kopfzahlen gleich 1 und stehenauch uber allen Kopfen nur Nullen, so hat dieMatrix A normierte Zeilenstufenform (NZSF).

35

Zeilenstufenform

(#: Zahl 6= 0, ?: beliebige Zahl)

0 · · · 0 # ? · · · ? ? ? · · · ? ? ? · · · ? ? ? · · · ?0 · · · 0 # ? · · · ? ? ? · · · ? ? ? · · · ?0 · · · 0 # ? · · · ? ? ? · · · ?...

...0 · · · 0 # ? · · · ?0 · · · 0... . . . ...0 · · · 0

36

Normierte Zeilenstufenform

0 · · · 0 1 ? · · · ? 0 ? · · · ? 0 ? · · · ? 0 ? · · · ?0 · · · 0 1 ? · · · ? 0 ? · · · ? 0 ? · · · ?0 · · · 0 1 ? · · · ? 0 ? · · · ?...

...0 · · · 0 1 ? · · · ?0 · · · 0... . . . ...0 · · · 0

37

Gauß-Algorithmus fur ZSF

Eingabe: A ∈ Rm×n

Ausgabe: A ∈ Rm×n in ZSF,die durch elementare Zeilenoperationenaus A entstanden ist

(1) Falls A = O : A← A (fertig)

(2) Sonst suche eine Zeile, deren Kopf amweitesten links steht und vertausche diese Zeilemit der ersten Zeile.

38

Gauß-Algorithmus fur ZSF

(3) Ist (1, j) der Kopf der ersten Zeile, so addierefur alle i ∈ {2, . . . ,m} das(

− aija1j

)-fache der ersten zur i -ten Zeile

(unter (1, j) stehen in der j-ten Spalte jetzt nurnoch Nullen).

(4) Sei A ∈ R(m−1)×(n−j) die entstandene Matrixohne die erste Zeile und die ersten j Spalten;wende das Verfahren rekursiv auf A an.

39

ZSF-Transformation

Bemerkung 4.12

I Mit dem Gauß-Algorithmus kann man jedeMatrix A in eine Matrix A in ZSFtransformieren.

I Diese ZSF-Matrix A ist aber durch A i. A.nicht eindeutig bestimmt (wegen derWahlmoglichkeiten in Schritt 2).

I Die Anzahl der Rechenoperationen ist dabeibeschrankt durch

const ·mn ·min{m, n}.

40

Gauß-Algorithmus fur NZSF

Eingabe: A ∈ Km×n in ZSF

Ausgabe: ˜A ∈ Km×n in NZSF,die durch elementare Zeilenoperationen

und Skalierung aus A entstanden ist.

(1) Dividiere jede Nicht-Null-Zeile durch ihreKopfzahl.

(2) Fur i = m,m − 1, . . . , 1 (falls Ai ,? 6= On):Subtrahiere geeignetes Vielfaches der i -tenZeile von den Zeilen 1, . . . , i − 1, so dass uberdem Kopf der i -ten Zeile nur noch Nullenstehen.

41

NZSF-Transformation

Bemerkung 4.13

I Mit dem Gauß-Algorithmus kann man jedeMatrix A ∈ Km×n, die in ZSF ist, in eineMatrix in NZSF transformieren.

I Die Anzahl der Rechenoperationen ist dabeibeschrankt durch

const ·mn ·min{m, n}.

42

Erweiterte Koeffizientenmatrix

Definition 4.14

Fur ein LGS Ax = b mit A ∈ Km×n, b ∈ Km heißt

(A, b) ∈ Km×(n+1)

die erweiterte Koeffizientenmatrix von Ax = b.Das LGS Ax = b hat NZSF, wenn (A, b) NZSF hat.

43

Losungsstruktur bei NZSFSatz 4.15

Sei Ax = b ein LGS in NZSF; sei r die Anzahl derNicht-Null-Zeilen von A.

(1) Falls br+1 6= 0 (oder bi 6= 0 fur i ≥ r + 1), sohat Ax = b keine Losung.

(2) Ansonsten (d. h. br+1 = · · · = bm = 0):0.1 Falls r = n (jede Spalte ist Basisspalte): Ax = b

hat die eindeutige Losung x1 = b1 , . . . , xn = bn.0.2 Falls r < n: Ax = b hat unendlich viele Losungen,

die man erhalt, indem man denNicht-Basis-Variablen beliebige Werte zuweist unddie Werte der Basis-Variablen anschließend jeweilsmit Hilfe der Zeile ausrechnet, deren Kopf in derzugehorigen Spalte steht.

44

Losungen von allgemeinen LGS

Bemerkung 4.16

I Ein allgemeines LGS Ax = b kann man alsolosen, indem man es zunachst viaGauß-Algorithmus in NZSF bringt und dannSatz 4.15 anwendet.

I Hat man eine beliebige Losung z mit Az = b,so erhalt man alle anderen Losungen vonAx = b, indem man zu z beliebige Losungendes homogenen Systems Ax = O addiert.

45

Der Rang

Definition 4.17

Der Rang rang(A) einer Matrix A ∈ Km×n ist:

I Die Dimension des von den Zeilen bzw. Spaltenerzeugten Unterraums von Kn bzw. Km.

I Die Anzahl der Nicht-Nullzeilen in einer NZSFvon A.

I n − dim (ker A).

Bemerkung 4.18

Fur jede Matrix A ∈ Km×n ist rang(A) = rang(AT).

46

Quadratische MatrizenDefinition 4.19

Eine Matrix heißt quadratisch, wenn sie genau soviele Zeilen wie Spalten hat.

Definition 4.20

Eine Matrix A = (aij) ∈ Kn×n hat obere bzw.untere Dreiecksform, wenn aij = 0 fur alle j < ibzw. fur alle j > i gilt.

Definition 4.21

Die Hauptdiagonale einer n × n Matrix bestehtaus den Positionen (i , i) (fur i ∈ {1, . . . , n}).

47

Dreiecksmatrizen und LGS

Bemerkung 4.22

Sei A = (aij) ∈ Kn×n eine obere oder untereDreiecksmatrix.

1. Ist aii 6= 0 fur alle i , so sind fur alle b, c ∈ Kn

die Systeme

Ax = b und y TA = cT

eindeutig losbar.

2. Ist aii = 0 fur irgendein i , so ist Ax = ei nichtlosbar.

48

Invertierbarkeit

Definition 4.23

Eine quadratische Matrix A ∈ Kn×n heißtinvertierbar (oder regular), falls eine MatrixB ∈ Kn×n existiert mit AB = In.Eine solche MatrixB ist eindeutig bestimmt (wenn sie existiert); siewird mit A−1 (Inverse von A) bezeichnet.Eine nichtinvertierbare quadratische Matrix heißt singular.

Korollar 4.24

Eine Dreiecksmatrix ist genau dann invertierbar,wenn sie auf der Hauptdiagonalen keine Null hat.

49

Rechenregeln

Seien A,B ∈ Kn×n invertierbar. Dann gelten:

I AA−1 = A−1A = InI (A−1)−1 = A

I (AT )−1 = (A−1)T

I (AB)−1 = B−1A−1

Sind A1, . . . ,Ak ∈ Kn×n invertierbar, so istA1 · A2 · · · · · Ak invertierbar mit

(A1 · A2 · · · · · Ak)−1 = A−1k · · · · · A

−12 · A−1

1 .

50

Invertierbarkeit und LGSBemerkung 4.25

Ist A ∈ Kn×n invertierbar, so hat fur jedes b ∈ Kn

das LGS Ax = b genau eine Losung: x = A−1b.

Satz 4.26

Eine Matrix A ∈ Kn×n ist genau dann invertierbar,wenn das LGS Ax = On nur die Losung x = On hat.

Korollar 4.27

Elementare Zeilen- und Spaltenoperationen anderndie Invertierbarkeit einer Matrix nicht. (Achtung:Die Inverse andert sich i.a. aber schon.)

51

Kriterien fur Invertierbarkeit

Korollar 4.28

Eine Matrix A ∈ Kn×n ist genau dann invertierbar,wenn ihre Spalten linear unabhangig sind.

Korollar 4.29

Eine Matrix A ∈ Kn×n ist genau dann invertierbar,wenn ihre Zeilen linear unabhangig sind.

52

Invertierbarkeit und lineare Abbildungen

Satz 4.30

Eine durch ϕ(x) = Ax (mit A ∈ Kn×n) definiertelineare Abbildung ϕ : Kn → Kn ist genau dannumkehrbar, wenn A invertierbar ist. DieUmkehrabbildung ist dann definiert durchϕ−1(y) = A−1y fur alle y ∈ Kn.

53

Elementarmatrizen

Definition 4.31

Eine Elementarmatrix ist eine Matrix, die auseiner Identitatsmatrix durch eine elementareZeilenoperation oder eine Zeilenskalierung (mitλ 6= 0) hervorgeht.

54

Invertierung von ElementarmatrizenBemerkung 4.32

I Elementarmatrizen sind invertierbar. IhreInversen sind die Elementarmatrizen, die zu denjeweiligen ”Umkehroperationen” (Vertauschen,Subtraktion des λ-fachen, Multiplikation mitKehrwert) gehoren.

I Entsteht A aus A ∈ Km×n durch eine Folge vonelementaren Zeilenoperationen undZeilenskalierungen mit zugehorigenElementarmatrizen E1, . . . ,Ek ∈ Km×m, so istA = PA mit der invertierbaren Matrix

P = Ek · · · · · E2 · E1 ∈ Km×m.

55

Invertierung mittels Gauß-AlgorithmusI Sei A ∈ Kn×n.I Forme (A, In) ∈ Kn×2n mittels elementarer

Zeilenoperationen und Zeilenskalierungen in(A,B) um, so dass A in NZSF ist.

I Ist P ∈ Kn×n das Produkt der zugehorigenElementarmatrizen (wie in Bem. 4.32), so ist

(A,B) = P · (A, In) = (PA,P),

also B = P und A = PA = BA.I Falls A = In ist, so ist also In = BA, folglich

A−1 = B .I Falls A 6= In (A hat NZSF), so hat A

wenigstens eine Null auf der Hauptdiagonalen,also ist A nicht invertierbar.

56

Darstellungsmatrizen. . .

Definition 4.33

Seien V und W zwei endlich-dimensionaleK-Vektorraume mit zwei geordneten BasenB = (b(1), . . . , b(n)) von V und C = (c (1), . . . , c (m))von W . Die Darstellungsmatrix einer linearenAbbildung ϕ : V → W bzgl. B und C

CM(ϕ)B =(Cϕ(b(1)), . . . , Cϕ(b(n))

)∈ Km×n

hat als Spalten die Koordinatenvektoren der Bilderϕ(b(1)), . . . , ϕ(b(n)) der Basis B bzgl. der Basis C .

57

. . . stellen lineare Abbildungen dar

Satz 4.34

Sind V und W endlich-dimensionaleK-Vektorraume mit zwei geordneten Basen B vonV und C von W , so gilt fur jede lineare Abbildungϕ : V → W fur alle v ∈ V :

Cϕ(v) = CM(ϕ)B · Bv

58

Verkettung linearer Abbildungen

Satz 4.35

Sind V ,W ,U endlich-dimensionale K-Vektorraumemit geordneten Basen B ,C bzw. D, so gilt

DM(ψ ◦ ϕ)B = DM(ψ)C · CM(ϕ)B

fur alle linearen Abbildungenϕ : V → W , ψ : W → U.

59

Darstellungsmatrizen und Basiswechsel

Satz 4.36

Sind B und C zwei geordnete Basen desendlich-dimensionalen K-Vektorraumes V , so giltfur jede lineare Abbildung ϕ : V → V

CM(ϕ)C = S−1 · BM(ϕ)B · S

mit S = BM(idV )C (die Matrix, deren Spalten dieKoordinatenvektoren von C bzgl. B sind).

60

Wechsel von der Standardbasis

Bemerkung 4.37

Ist A ∈ Kn×n und ist C = (c (1), . . . , c (n)) einegeordnete Basis von Kn, so gilt fur ϕA : Kn → Kn

mit ϕA(v) = Av:

CM(ϕA)C = S−1AS ,

wobei S ∈ Kn×n die Matrix mit Spaltenc (1), . . . , c (n) ist.

61

Ahnlichkeit von Matrizen

Definition 4.38

Zwei Matizen A,A′ ∈ Kn×n heißen ahnlichzueinander, wenn es eine invertierbare MatrixS ∈ Kn×n gibt mit

A′ = S−1AS .

62

Parallelogramm

63

Spate/Parallelepipede

64

Streichungsmatrizen

Definition 4.39

Fur A ∈ Kn×n und i , j ∈ {1, . . . , n} seiA(i ,j) ∈ K(n−1)×(n−1) die Matrix, die aus A entsteht,wenn man die i -te Zeile und die j-te Spalte herausstreicht.

65

Definition der Determinante

Definition 4.40

Fur beliebige n ≥ 1 definieren wir dieDeterminante det(A) ∈ K einer quadratischenMatrix A = (aij) ∈ Kn×n rekursiv:

I Falls n = 1: A = (a11) und det(A) := a11

I Falls n ≥ 2:

det(A) :=n∑

i=1

(−1)i+1ai1 · det(A(i ,1))

= a11 · det(A(1,1))− a21 · det(A(2,1))+ · · ·+ (−1)n+1an1 · det(A(n,1))

66

Permutationen

Definition 4.41

Eine Permutation von {1, . . . , n} ist ein bijektiveAbbildung σ : {1, . . . , n} −→ {1, . . . , n}. EinePermutation σ reprasentiert also eine Reihenfolge

(σ(1), σ(2), . . . , σ(n))der Zahlen 1, 2, . . . , n. Eine Fehlstellung von σ istein Paar i < j mit σ(i) > σ(j). Das Signum von σist

sign(σ) :=

{+1 , gerade viele Fehlstellungen−1 , ungerade viele Fehlstellungen

.

Die Menge der Permutationen von {1, . . . , n} ist Πn.

67

Leibniz-Formel

Satz 4.42

Fur die Determinante von A = (aij) ∈ Kn×n gilt:

det(A) =∑σ∈Πn

sign (σ) ·n∏

j=1

aσ(j),j

68

Die Determinante der Transponierten

Satz 4.43

Fur jede Matrix A ∈ Kn×n gilt:

det(A) =∑τ∈Πn

sign (τ)n∏

i=1

ai ,τ(i) = det(AT )

69

Nullzeilen und Nullspalten

Bemerkung 4.44

Hat A ∈ Kn×n eine Zeile oder eine Spalte mit lauterNullen, so ist

det (A) = 0.

70

Multilinearitat der Determinanten

Satz 4.45

Ist A = (aij) ∈ Kn×n mit Ak,? = a′ + λa′′

(a′, a′′ ∈ Kn, λ ∈ K), so ist det(A) gleich

det

A1,?

...a′ + λa′′

...An,?

= det

A1,?

...a′...

An,?

+λ·det

A1,?

...a′′...

An,?

.

Analoges gilt fur Spalten.

71

Die Determinante ist alternierendSatz 4.46

Entsteht A ∈ Kn×n aus A ∈ Kn×n durchVertauschung zweier Zeilen (oder zweier Spalten),so ist

det (A) = − det(A).

Korollar 4.47

Hat A ∈ Kn×n zwei gleiche Zeilen (oder zwei gleicheSpalten), so ist

det (A) = 0.

72

Laplace-Entwicklung

Satz 4.48

Fur A = (aij) ∈ Kn×n (n ≥ 2), k , ` ∈ {1, . . . , n} gilt:

det (A) =n∑

i=1

(−1)i+`ai` · det (A(i ,`))

(Entwicklung nach der `-ten Spalte)

det (A) =n∑

j=1

(−1)k+jakj · det (A(k,j))

(Entwicklung nach der k-ten Zeile)

73

Zeilen-/Spaltenadditionen

Satz 4.49

Entsteht A ∈ Kn×n aus A ∈ Kn×n durch Additiondes λ-fachen der i -ten Zeile zur k-ten Zeile miti 6= k (oder des µ-fachen der j-ten Spalte zur `-tenSpalte mit j 6= `), so ist

det (A) = det (A).

74

Determinanten-Berechnung mit Gauß

I Sei A ∈ Kn×n gegeben.

I Bestimme mit elementaren Zeilen- undSpaltenoperationen aus A eine DreiecksmatrixA = (aij) ∈ Kn×n.

I Sei t die Anzahl der durchgefuhrten Zeilen-und Spaltenvertauschungen.

I Dann ist

det (A) = (−1)t ·n∏

i=1

aii .

75

Determinante und Kern

Satz 4.50

Fur alle A ∈ Kn×n gilt:

det (A) 6= 0⇔ ker A 6= {On}

76

Determinanten-Multiplikationssatz

Satz 4.51

Fur A,B ∈ Kn×n gilt

det (AB) = det (A) det (B)

Vorsicht: Im Allgemeinen ist aber det (A + B) nichtgleich det (A) + det (B)!

77

Rechenregeln

Seien A,B ∈ Kn×n.

I det (AT ) = det (A)

I det (A) 6= 0⇔ A invertierbar

I det (A−1) = 1det (A) , falls A invertierbar

I det (AB) = det (A) det (B) = det (BA)

I det (Ak) = (det (A))k fur alle k ∈ NI det (λ · A) = λn · det (A) fur alle λ ∈ KI det (In) = 1

I det (On×n) = 0

78

Cramers Regel

Satz 4.52

Ist A ∈ Kn×n invertierbar und b ∈ Kn, so gilt fur dieeindeutige Losung von Ax = b fur allej ∈ {1, . . . , n}:

xj =1

det Adet(A?,1, . . . ,A?,j−1, b,A?,j+1, . . . ,A?,n

)

79

Diagonalisierbarkeit

Definition 4.53

Eine Matrix A ∈ Kn×n heißt diagonalisierbar, wennes eine invertierbare Matrix S ∈ Kn×n gibt, so dassD = S−1AS eine Diagonalmatrix ist.

80

Eigenwerte und -vektoren

Definition 4.54

Eine Zahl λ ∈ K heißt ein Eigenwert vonA ∈ Kn×n, wenn es (wenigstens) einen Vektorv ∈ Kn \ {On} gibt mit

Av = λv .

Diese Vektoren heißen dann Eigenvektoren zumEigenwert λ.

81

Kriterium fur Diagonalisierbarkeit

Satz 4.55

Eine Matrix A ∈ Kn×n ist genau danndiagonalisierbar, wenn es eine Basis von Kn auslauter Eigenvektoren von A gibt. Schreibt man dieseBasisvektoren als Spalten in eine Matrix S ∈ Kn×n,so ist S−1AS eine Diagonalmatrix, auf derenDiagonalen die zu den Basisvektoren gehorendenEigenwerte stehen.

82

Eigenraume

Definition 4.56

Fur einen Eigenwert λ ∈ K von A ∈ Kn×n heißt

EigA (λ) = {v ∈ Kn |Av = λv}

der Eigenraum zum Eigenwert λ.

83

Das charakteristische Polynom

Definition 4.57

Fur eine Matrix A ∈ Kn×n heißt

χA = det(A− x · In) ∈ K[x ]n

das charakteristische Polynom von A.

Satz 4.58

Die Eigenwerte von A ∈ Kn×n sind genau dieNullstellen des charakteristischen PolynomsχA ∈ K[x ]n von A.

84

Konsequenzen

Bemerkung 4.59

Eine Matrix A ∈ Kn×n hat also hochstens nEigenwerte (weil χA den Grad n hat).

Satz 4.60

Jede Matrix in Cn×n hat wenigstens einenEigenwert; wegen Rn×n ⊆ Cn×n hat also jede reelleMatrix wenigstens einen Eigenwert in C.

85

Nicht-reelle Eigenwerte reeller Matrizen

Bemerkung 4.61

Die nicht-reellen Eigenwerte reeller Matrizen tretenals Paare zueinander komplex-konjugierterkomplexer Zahlen auf.

86

Vielfachheiten von Nullstellen

I Jedes Polynom p(x) ∈ C[x ] vom Grad nzerfallt in n Linearfaktoren:

p(x) = α · (λ1− x)k1 · (λ2− x)k2 · · · · · (λr − x)kr

mitα ∈ C \ {O} , λi 6= λj , k1 + k2 + · · ·+ kr = n

I λ1, . . . , λr sind genau die Nullstellen von p(x),ihre Vielfachheiten sind k1, . . . , kr .

87

Vielfachheiten von Eigenwerten

Definition 4.62

Ist λ ∈ K ein Eigenwert von A ∈ Kn×n, so ist diealgebraische Vielfachheit von λ die Vielfachheitder Nullstelle λ des charakteristischen Polynoms χA

von A; die geometrische Vielfachheit von λ istdim (EigA (λ)).

88

Algebraische und geometrischeVielfachheit

Satz 4.63

Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts isthochstens so groß wie seine algebraischeVielfachheit; fur jeden Eigenwert gilt also:

1 ≤ geom. Vielf. ≤ alg. Vielf.

89

Diagonalisierbarkeit und Eigenwerte

Satz 4.64

Eine Matrix A ∈ Kn×n ist genau dann (uber K)diagonalisierbar, wenn ihr charakteristischesPolynom χA (uber K) in Linearfaktoren zerfallt undfur jeden Eigenwert die geometrische Vielfachheit sogroß wie die algebraische ist.

90

Determinante und Spur. . .

Satz 4.65

Sind λ1, . . . , λr ∈ C die Eigenwerte einer MatrixA ∈ Cn×n mit algebraischen Vielfachheitenk1, . . . , kr , so ist

I det (A) = λk11 · λk22 · · · · · λkrr

I Spur (A) = k1λ1 + k2λ2 + · · ·+ krλr

(Spur (A) =n∑

i=1

Aii)

91

. . . im charakteristischen Polynom

Bemerkung 4.66

Fur jede Matrix A ∈ Kn×n ist

χA = (−1)nxn+(−1)n−1 Spur (A)xn−1+· · ·+det (A),

Spur und Determinante findet man also in denKoeffizienten des charakteristischen Polynoms.

92

Komplex konjugierte Vektoren/Matrizen

Definition 4.67

Fur v = (v1, . . . , vn) ∈ Cn sei v = (v1, . . . , vn) ∈ Cn

der zu v komplex konjugierte Vektor; furA = (aij) ∈ Cn×n sei A = (aij) ∈ Cn×n die zu Akomplex konjugierte Matrix.

93

Symmetrische reelle Matrizen

Satz 4.68

Jede symmetrische reelle Matrix A ∈ Rn×n ist uberR diagonalisierbar.

Satz 4.69

Die Eigenraume zu verschiedenen Eigenwerten einersymmetrischen reellen Matrix stehen orthogonalzueinander (d.h., je zwei Vektoren aus verschiedenenEigenraumen haben Skalarprodukt Null).

94

Orthonormalbasen, orthogonale MatrizenDefinition 4.70

Eine Orthonormalbasis ist eine Basis von Rn,deren Vektoren paarweise orthogonal aufeinanderstehen und Norm Eins haben.

Definition 4.71

Eine Matrix S ∈ Rn×n heißt orthogonal, wennSTS = I (d. h. S−1 = ST ) gilt.

Bemerkung 4.72

Eine Matrix S ∈ Rn×n ist genau dann orthogonal,wenn die Spalten von S eine Orthonormalbasisvon Rn bilden.

95

Reelle symmetrische Matrizen

Satz 4.73

Fur jede symmetrische Matrix A ∈ Rn×n gibt es eineorthogonale Matrix S ∈ Rn×n, so dass STAS = DDiagonalgestalt hat. Die Eigenwerte von A stehendabei mit ihren (algebraischen, geometrischen)Vielfachheiten auf der Diagonalen von D. DieSpalten von S bilden eine Orthonormalbasis von Rn

aus Eigenvektoren von A.

96

Hermitesche Matrizen

Definition 4.74

Eine Matix A ∈ Cn×n heißt hermitesch, wenn

AT

= A ist.

Satz 4.75

Jede hermitesche Matrix A ∈ Cn×n istdiagonalisierbar und hat nur reelle Eigenwerte.