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VorlesungMathematik fur Ingenieure(WS 11/12, SS 12, WS 12/13)

Kapitel 2: Vektoren

Volker Kaibel

Otto-von-Guericke Universitat Magdeburg

(Version vom 19. Oktober 2011)

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Vektoren in Rn

Definition 2.1

Die Menge aller n-Tupel von reellen Zahlen(Vektoren) bezeichnen wir mit Rn.Schreibweisen:

I x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn (Zeilenvektor)

I x =

x1x2...

xn

∈ Rn (Spaltenvektor)

Die i -te Komponente von x = (x1, x2, . . . , xn) istxi .Fur x = (x1, . . . , xn) und y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn

gilt x = y genau dann, wenn(x1 = y1 und x2 = y2 und · · · und xn = yn) ist.

3

Vektoraddition und skalare Multiplikation

Definition 2.2

Fur x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn

und λ ∈ R definieren wir:

I x + y := (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)(Vektoraddition)

I λx := (λx1, λx2, . . . , λxn)(skalare Multiplikation)

(”Skalar” heißt ”Zahl”, im Gegensatz zu ”Vektor”.)

4

Nullvektor und SubtraktionDefinition 2.3

Der Nullvektor in Rn ist

On := O := (0, 0, . . . , 0︸ ︷︷ ︸n

) ∈ Rn

Definition 2.4

Fur x ∈ Rn definieren wir −x := (−1)x . Und furx , y ∈ Rn setzen wir

x − y := x + (−y) .

5

Rechenregeln . . .

Fur alle x , y , z ∈ Rn und λ, µ ∈ R gelten diefolgenden Regeln:

I x + y = y + x(Kommutativitat der Vektoraddition)

I x + (y + z) = (x + y) + z(Assoziativitat der Vektoraddition)

I x + O = x(O ist neutrales Element der Vektoraddition)

I x + (−x) = O(inverses Element der Vektoraddition)

6

. . . Rechenregeln

I 1 · x = x(1 ist neutrales Element der skalaren Multipl.)

I λ(µx) = (λµ)x(Assoziativitat der skalaren Multiplikation)

I λ(x + y) = λx + λy (Distributivitat)

I (λ + µ)x = λx + µx (Distributivitat)

7

Linearkombinationen

Definition 2.5

Fur k Vektoren v (1), . . . , v (k) ∈ Rn und k Skalareλ1, . . . , λk ∈ R heißt

k∑i=1

λiv(i) = λ1v (1) + λ2v (2) + · · ·+ λkv (k) ∈ Rn

eine Linearkombination von v (1), . . . , v (k). DieKoeffizienten der Linearkombination sindλ1, . . . , λk .

8

Lineare (Un-)Abhangigkeit . . .

Definition 2.6

Die Vektoren v (1), . . . , v (k) ∈ Rn heißen linearunabhangig, falls man keinen der Vektoren alsLinearkombination der ubrigen Vektoren schreibenkann, andernfalls heißen sie linear abhangig.

9

. . . Lineare (Un-)Abhangigkeit

Bemerkung 2.7

Die Vektoren v (1), . . . , v (k) ∈ Rn sind genau dannlinear abhangig, wenn es Skalare λ1, . . . , λk ∈ Rgibt, die nicht alle Null sind, mit

k∑i=1

λiv(i) = O.

Bemerkung 2.8

Die Maximalzahl linear unabhangiger Vektoren inRn ist n.

10

i -te Einheitsvektoren

Definition 2.9

Der i-te Einheitsvektor in Rn ist

ei := (0, . . . , 0︸ ︷︷ ︸i−1

, 1, 0, . . . , 0︸ ︷︷ ︸n−i

) ,

also der Vektor, der in der i -ten Komponente eineEins und in allen anderen Komponenten Nullen hat.

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Basen von Rn

Definition 2.10

Eine Basis von Rn wird von n linear unabhangigenVektoren gebildet. Die Standardbasis von Rn iste1, . . . , en.

Bemerkung 2.11

Ist x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, so ist

x =n∑

i=1

xiei

eine Linearkombination von e1, . . . , en. Dies ist dieeinzige Moglichkeit, x als Linearkombination vone1, . . . , en zu schreiben.

12

Koordinaten bzgl. BasisSatz 2.12

Die Vektoren v (1), . . . , v (n) ∈ Rn bilden genau danneine Basis von Rn, wenn jeder Vektor x ∈ Rn alsLinearkombination

x =n∑

i=1

λiv(i)

der v (1), . . . , v (n) darstellbar ist.Fur jedes x ∈ Rn

gibt es dann genau eine Moglichkeit,λ1, . . . , λn ∈ Rn zu wahlen. Diese λ1, . . . , λn heißendie Koordinaten von x bzgl. der Basisv (1), . . . , v (n).

13

Das (Euklidische) Skalarprodukt

Definition 2.13

Fur x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn heißtder Skalar

x · y := 〈x , y〉 :=n∑

i=1

xiyi ∈ R

das (Euklidische) Skalarprodukt oder auch inneresProdukt von x und y .

14

Rechenregeln

Fur alle x , y , z ∈ Rn und λ ∈ R gelten:

I 〈x , y〉 = 〈y , x〉I 〈x + y , z〉 = 〈x , z〉+ 〈y , z〉I λ〈x , y〉 = 〈λx , y〉 = 〈x , λy〉I 〈x , x〉 ≥ 0

I 〈x , x〉 = 0⇔ x = O

15

(Euklidische) NormDefinition 2.14

Fur x ∈ Rn heißt

|x | := ||x || := ||x ||2 :=√〈x , x〉 =

√√√√ n∑i=1

x2i

der Betrag oder die (Euklidische) Norm von x .

Bemerkung 2.15

Fur x ∈ R1 = R ist||x || =

√x2 = |x |

der ubliche (Absolut-)Betrag der Zahl x.

16

Rechenregeln

Fur alle x ∈ Rn , λ ∈ R gelten:

I ||x || = ||−x ||I ||x || ≥ 0

I ||x || = 0⇔ x = OI ||λx || = |λ| · ||x ||

17

(Euklidischer) Abstand in Rn

Definition 2.16

Der (Euklidische) Abstand von x ∈ Rn undy ∈ Rn ist

||x − y || .

18

Pfeile und Raumvektoren

I Der Pfeil−→PQ reprasentiert den Raumvektor

~a, der nur bestimmt ist durch seine Richtungund seine Lange (Betrag) |~a| (also denAbstand zwischen P und Q), aber nicht durchden speziellen Anfangspunkt P .

I−→PQ und

−→RS reprasentieren genau dann den

gleichen Raumvektor, wenn−→RS eine

Parallelverschiebung von−→PQ ist.

I Zu jedem Raumvektor ~a und Punkt P gibt es

genau einen Pfeil−→PQ, der ~a reprasentiert.

I−→PP reprasentiert den Nullvektor ~0.

19

Beipiele

20

Skalare Multiplikation

Definition 2.17

Fur einen Raumvektor ~a, reprasentiert durch einen

Pfeil−→PQ, ist −~a der durch

−→QP reprasentierte

Raumvektor.

Definition 2.18

Fur einen Raumvektor ~a und eine Zahl α ∈ Rdefinieren wir den Raumvektor α~a wie folgt:

I Falls α ≥ 0 : α~a ist der Vektor, der die gleicheRichtung wie ~a und Lange α|~a| hat. (0~a = ~0)

I Falls α < 0 : α~a := −|α|~a

21

Beispiel

22

Addition von Raumvektoren

Definition 2.19

Ist ~a der von−→PQ reprasentierte Raumvektor und ~b

der von−→QR reprasentierte Raumvektor, so ist ~a + ~b

der von−→PR reprasentierte Raumvektor. Außerdem

definieren wir:

~a − ~b := ~a + (−~b)

23

Beispiele

24

Rechenregeln

I ~a +~0 = ~a

I ~a −~a = ~0

I ~a + ~b = ~b +~a

I (~a + ~b) + ~c = ~a + (~b + ~c)

I ~a1 + ~a2 + ... + ~ak ist der Vektor, der vom Pfeil−−→P0Pk reprasentiert wird, wenn fur alle

i ∈ {1, . . . , k} der Vektor ~ai von−−−−→Pi−1Pi

reprasentiert wird.

25

Beispiel

26

Kartesische Koordinatensysteme . . .Definition 2.20

Ein kartesisches Koordinatensystem des Raumsbesteht aus 3 Zahlengeraden (gleicherLangeneinheit) – der x-Achse, y -Achse und z-Achse–, welche sich alle rechtwinklig in einem Punkt Ofolgendermaßen schneiden:

I Es seien Exy ,Exz und Eyz die Ebenen, die x-/y -bzw. x-/z- bzw. y -/z-Achse enthalten.

I Außerdem seien Px ,Py und Pz die Punkte, indenen die 1 der x-, y - bzw. z-Achse liegt.

I Dann soll−−→OPy aus

−−→OPx durch Drehung in Exy

um π2 von Pz aus gesehen gegen den

Uhrzeigersinn hervorgehen.

27

. . . Kartesische Koordinatensysteme

Die von−−→OPx ,

−−→OPy und

−−→OPz reprasentierten

Raumvektoren ~ex , ~ey bzw. ~ez sind eine kartesischeBasis des Raumes. Sie bilden ein Rechtssystem(rechte-Hand-Regel).

Definition 2.21

Bezuglich eines durch O, ~ex , ~ey , ~ez festgelegtenkartesischen Koordinatensystems hat ein Punkt Qdie Koordinaten (qx , qy , qz) ∈ R3, wobei qx/qy/qz

die Zahl ist, welche die in Q verschobene EbeneEyz/Exz/Exy in Q auf der x- / y - / z-Achse anzeigt.

28

Beispiel

Wir konnen (bzgl. dieses Koordinatensystems) jedenPunkt P mit seinen Koordinaten (px , py , pz)identifizieren. Wir schreiben P = (px , py , pz).

29

Koordinaten von Raumvektoren. . .

Definition 2.22

Fur einen Punkt A ist der von−→OA reprasentierte

Raumvektor der zu A gehorende Ortsvektor.

Bemerkung 2.23

Fur einen Raumvektor ~a, der durch−→OA mit

A = (ax , ay , az) reprasentiert wird, gilt

~a = ax ~ex + ay ~ey + az ~ez .

(ax , ay , az) ∈ R3 ist der Koordinatenvektor desRaumvektors ~a. Schreibweise: ~a = (ax , ay , az).

30

. . . Koordinaten von Raumvektoren

Bemerkung 2.24

Reprasentiert−→PQ den Vektor ~a und sind

P = (px , py , pz) und Q = (qx , qy , qz), so ist

~a =

qx − px

qy − py

qz − pz

.

31

Rechnen mit Raumvektoren

Bemerkung 2.25

Fur Raumvektoren ~a,~b mit ~a = (ax , ay , az) und~b = (bx , by , bz) und α ∈ R gelten:

I ~a + ~b = (ax , ay , az) + (bx , by , bz)

I α~a = α(ax , ay , az)

I |~a| =√

a2x + a2y + a2z = ||(ax , ay , az)||Addition, skalare Multiplikation und Betrage vonRaumvektoren kann man also mit Hilfe ihrerKoordinatenvektoren in R3 berechnen.

32

Der Betrag

33

Abstande zwischen Punkten

Bemerkung 2.26

Der Abstand zweier Punkte P und Q mitKoordinaten P = (px , py , pz) und Q = (qx , qy , qz)

und von−→PQ reprasentiertem Vektor ~a ist

|~a| =

∣∣∣∣∣∣ qx − px

qy − py

qz − pz

∣∣∣∣∣∣=√

(qx − px)2 + (qy − py)2 + (qz − pz)2 .

34

Parallelitat von Raumvektoren

Fur Raumvektoren ~a,~b, reprasentiert durch−→OA,−→OB

mit

A =

axayaz

, B =

bx

by

bz

gilt:(ax , ay , az) und (bx , by , bz) sind genau dann linear

abhangig, wenn die Pfeile−→OA und

−→OB in einer

Geraden liegen (~a und ~b sind parallel). Dies ist

insbesondere der Fall, wenn ~a = ~0 oder ~b = ~0 ist.

35

Koplanaritat von RaumvektorenFur Raumvektoren ~a,~b,~c , reprasentiert durch−→OA,−→OB ,−→OC mit

A =

axayaz

, B =

bx

by

bz

, C =

cxcycz

gilt:(ax , ay , az), (bx , by , bz), (cx , cy , cz) sind genau dann

linear abhangig, wenn−→OA,−→OB und

−→OC in einer

Ebene liegen (~a, ~b und ~c sind koplanar). Dies ist

insbesondere der Fall, wenn ~a = ~0, ~b = ~0 oder ~c = ~0ist oder wenn zwei der drei Vektoren parallel sind.

36

Skalarprodukt von Raumvektoren

Definition 2.27

Das Skalarprodukt (innere Produkt) zweier

Raumvektoren ~a und ~b ist

I 〈~a,~b〉 := 0 ∈ R, falls ~a = ~0 oder ~b = ~0 ist,

I ansonsten ist es

〈~a,~b〉 := |~a| · |~b| · cos](~a,~b) ∈ R ,

wobei ](~a,~b) ∈ [0, π] der von den ~a bzw. ~breprasentierenden Pfeilen mit Anfangspunkt Oeingeschlossene Winkel ist (also

cos](~a,~b) ∈ [−1, 1]).

37

OrthogonalitatDefinition 2.28

Stehen die beiden Raumvektoren ~a und ~b senkrecht(orthogonal) aufeinander (d.h. ](~a,~b) = π

2 ), soschreiben wir

~a ⊥ ~b .

Bemerkung 2.29

I Sind ~a 6= ~0 und ~b 6= ~0, so gilt:〈~a,~b〉 = 0⇔ ~a ⊥ ~b

I |~a| =√〈~a,~a〉

38

Orthogonale Projektion

39

In einem KoordinatensystemSatz 2.30

Sind ~a und ~b zwei Raumvektoren, so ist ihrSkalarprodukt das Skalarprodukt ihrer beidenKoordinatenvektoren (ax , ay , az) und (bx , by , bz):

〈~a,~b〉 = 〈(ax , ay , az), (bx , by , bz)〉= axbx + ayby + azbz ∈ R

Insbesondere: ax = 〈~a,~ex〉,ay = 〈~a,~ey〉,az = 〈~a,~ez〉

Bemerkung 2.31

Die Rechenregeln fur Skalarprodukte in R3

ubertragen sich auf Raumvektoren.

40

Beispiel. . .

41

. . . Beispiel

42

Das Vektorprodukt. . .

Definition 2.32

Das Vektorprodukt (außere Produkt,

Kreuzprodukt) zweier Raumvektoren ~a und ~b,

reprasentiert durch Pfeile−→OA bzw.

−→OB , ist der

Raumvektor ~a × ~b, der durch folgenden Pfeil−→OC

reprasentiert wird:

43

. . . Das Vektorprodukt

I Falls−→OA und

−→OB in einer Gerade liegen

(insbesondere: wenn ~a = ~0 oder ~b = ~0): C = O

(also ~a × ~b = ~0)I Sonst:

I−→OC steht senkrecht auf der Ebene E , die

−→OA und−→

OB enthalt.I Die Lange von

−→OC ist der Flacheninhalt des von−→

OA und−→OB erzeugten Parallelogramms.

I Von C aus gesehen kann man−→OA in der Ebene E

durch eine Drehung um den Punkt O um einen

Winkel aus ] 0, π [ gegen den Uhrzeigersinn auf−→OB

drehen. (Rechte-Hand-Regel)

44

Beispiel

45

Betrag des Kreuzprodukts

Bemerkung 2.33

Fur Raumvektoren ~a und ~b gilt

|~a × ~b| = |~a||~b| sin](~a,~b)

Insbesondere also:

~a × ~b = ~0⇐⇒ ~a und ~b sind parallel.

46

Rechenregeln

Fur Raumvektoren ~a,~b,~c und α ∈ R gelten:

I ~a ×~a = ~0

I ~a × ~b = −(~b ×~a)

I α(~a × ~b) = (α~a)× ~b = ~a × (α~b)

I ~a × (~b + ~c) = ~a × ~b +~a × ~c

I (~a + ~b)× ~c = ~a × ~c + ~b × ~c

47

Koordinatendarstellung des Kreuzprodukts

Satz 2.34

Haben die Raumvektoren ~a und ~b die Koordinaten~a = (ax , ay , az) und ~b = (bx , by , bz), so gilt

~a × ~b =

aybz − azby

azbx − axbz

axby − aybx

48

GeradenIst P = (px , py , pz) ein Punkt und~0 6= ~a = (ax , ay , az) ein Raumvektor, so ist

{P + t~a | t ∈ R}

die Menge aller Punkte auf der zu ~a parallelenGeraden g durch P .

49

Parameterdarstellung von Geraden

Auf g liegen also genau die Punkte, derenKoordinaten (x , y , z) ∈ R3 die Vektorgleichung x

yz

=

px

py

pz

+ t

axayaz

fur irgendein t ∈ R erfullen.(Parameterdarstellung der Geraden g)

50

Abstand Punkt – Gerade

|~a × ~b| = |~a| · d , und somit

d =|~a × ~b||~a|

.

51

Ebenen

Ist P = (px , py , pz) ein Punkt und sind ~a 6= ~0 und~b 6= ~0 zwei nicht parallele Raumvektoren,

reprasentiert von Pfeilen−→PR bzw.

−→PS , so ist

{P + r ·~a + s · ~b | r , s ∈ R}

die Menge aller Punkte in der Ebene E , die−→PR und−→

PS enthalt.

52

Parameterdarstellung von Ebenen

In E liegen also genau die Punkte, derenKoordinaten (x , y , z) ∈ R3 die Vektorgleichung x

yz

=

px

py

pz

+ r

axayaz

+ s

bx

by

bz

(mit ~a = (ax , ay , az) und ~b = (bx , by , bz)) furirgendwelche r , s ∈ R erfullen.(Parameterdarstellung der Ebene E )

53

NormalenvektorenI Ein Raumvektor, der senkrecht auf ~a und ~b

steht (also senkrecht auf E ), heißtNormalenvektor von E .

I ~a × ~b ist ein Normalenvektor von E .I Ist ~n = (nx , ny , nz) ein Normalenvektor von E ,

so liegt ein Punkt Q genau dann in E , wenn−→PQ senkrecht zu ~n ist.In E liegen also genaudie Punkte, deren Koordinaten (x , y , z) die

Gleichung 〈~n,~c〉 = 0 fur den zu−→PQ

gehorenden Raumvektor ~c , also

nx(x − px) + ny(y − py) + nz(z − pz) = 0

erfullen (Hesse-Normalform der Ebene).

54

Beispiel

55

Abstand Punkt – Ebene

~n = ~a × ~b ist Normalenvektor zu E . Dann ist derAbstand von Q zu E gleich∣∣∣∣〈~c ,~n〉|~n|2 · ~n

∣∣∣∣ =|〈~c ,~n〉||~n|

,

wobei ~c der zu−→PQ gehorende Raumvektor ist.

56

Vektorraume

Definition 2.35

Eine Menge V 6= ∅ mit einem ausgezeichnetenElement O ∈ V (Nullvektor), einerAdditionsoperation v + w (fur v ,w ∈ V ) und einerskalaren Multiplikationsoperation λ · v = λv (furv ∈ V , λ ∈ K) ist ein K-Vektorraum, wennfolgende Axiome fur alle v ,w , u ∈ V und λ, µ ∈ Kerfullt sind:

57

Vektorraumaxiome

1. v + w ∈ V , λv ∈ V (Abgeschlossenheit)

2. (u + v) + w = u + (v + w) (Assoziativitat)

3. v + O = v (Neutrales Element)

4. Es gibt v ′ ∈ V mit v + v ′ = O. (InversesElement)

5. v + w = w + v (Kommutativitat)

6. λ(v + w) = λv + λw (Distributivitat)

7. (λ + µ)v = λv + µv (Distributivitat)

8. (λµ)v = λ(µv) (Assoziativitat)

9. 1v = v (Neutrales Element)

58

Unterraume

Definition 2.36

Ein Unterraum (linearer Unterraum,Untervektorraum) eines K-Vektorraums V ist eineTeilmenge U ⊆ V mit

1. O ∈ U

2. v + w ∈ U fur alle v ,w ∈ U

3. λv ∈ U fur alle v ∈ U , λ ∈ K

Bemerkung 2.37

Untervektorraume sind selber Vektorraume.

59

Linearkombinationen

Definition 2.38

Ist X ⊆ V eine beliebige Teilmenge einesK-Vektorraumes V , so heißt die Menge

span(X ) = 〈X 〉 := {r∑

i=1

λiv(i) : v (1), . . . , v (r) ∈ X ,

λ1, . . . , λr ∈ K, r ∈ N}

aller K-Linearkombinationen von endlich vielenElementen aus X der von Xerzeugte/aufgespannte Unterraum von V .

60

Affine Unterraume

Definition 2.39

Ein affiner Unterraum eines K-Vektorraums V isteine Teilmenge der Form

v + U = {v + u | u ∈ U}

mit einem Vektor v und einem Unterraum U von V .

61

Linear unabhangige Vektoren

Definition 2.40

Die Vektoren v (1), . . . , v (k) in einem K-VektorraumV heißen linear unabhangig, falls man keinen derVektoren als Linearkombination der ubrigenVektoren schreiben kann, andernfalls heißen sielinear abhangig.

62

Kriterium fur lineare Unabhangigkeit

Bemerkung 2.41

Die Vektoren v (1), . . . , v (r) ∈ V sind genau dannlinear unabhangig, wenn

r∑i=1

λiv(i) = O

(mit λ1, . . . , λr ∈ K) nur fur λ1 = · · · = λr = 0 gilt.

63

Lineare Unabhangigkeit von Teilmengen

Definition 2.42

Eine (moglicherweise unendliche) Teilmenge X ⊆ Veines K-Vektorraums V ist linear unabhangig,falls jede Auswahl von endlich vielen paarweiseverschiedenen Vektoren in X linear unabhangig ist.

64

Erzeugendensysteme / Basen

Definition 2.43

Ein Erzeugendensystem eines K-Vektorraums Vist eine Teilmenge X ⊆ V mit V = span(X ). EineBasis von V ist ein linear unabhangigesErzeugendensystem von V .

65

Existenz von Basen

Satz 2.44

Jeder K-Vektorraum V hat (wenigstens) eine Basis.

Bemerkung 2.45

Es gilt sogar fur jeden K-Vektorraum V :

I Jedes Erzeugendensystem von V enthalt eineBasis.

I Jede linear unabhangige Teilmenge kann zueiner Basis von V erganzt werden.

66

Dimension

Satz 2.46

Hat ein K-Vektorraum V ein endlichesErzeugendensystem, so haben alle Basen von V diegleiche Kardinalitat dim(V ) (Dimension von V ).

Bemerkung 2.47

In einem n-dimensionalen Vektorraum bilden nlinear unabhangige Vektoren immer eine Basis.

67

Koordinaten

Definition 2.48

Ist B ⊂ V eine Basis des K-Vektorraums undv ∈ V , so heißen die eindeutig bestimmten λb ∈ K(b ∈ B) (genauer: die durch b 7→ λb definierteAbildung) mit v =

∑b∈B λbb die Koordinaten

von v bzgl. B .

68

Koordinatenvektoren

Definition 2.49

Ist B = (b(1), . . . , b(n)) eine geordnete Basisvon V (d.h. die Menge {b(1), . . . , b(n)} ist eine Basisvon V ), so heißt fur jeden Vektor v ∈ V daseindeutig bestimmte n-Tupel

Bv = (λ1, . . . , λn) ∈ Kn mit v =∑

i=1 λib(i) der

Koordinatenvektor von v (bzgl. der geordnetenBasis (b(1), . . . , b(n))).