Physik 1 f¨ur Ingenieure - Universität Ulm · bestimmter Anteil der transportierten Energie...

Physik 1 fur Ingenieure

Othmar Marti

Experimentelle Physik

Universitat Ulm

[email protected]: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/PhysIng1

Ubungsblatter und Losungen: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/PhysIng1/Ueb/ue#

5. Februar 2002

Universitat Ulm, Experimentelle Physik

http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/PhysIng1 5. Februar 2002

Klausur zur Vorlesung statt.

• Fragestunde zur Klausur: 25. 2. 2002, 10:00 H2 (voraussichtlich)

• Fragestunde zur Klausur: 4. 3. 2002, 10:00 H2 (voraussichtlich)

• Datum: 7. 3. 2002

• Uhrzeit: 9:00 bis 11:00

• Ort: 43.2.101/104

• Hilfsmittel: Taschenrechner

• Anmeldung: bis 28. 2. 2002

Universitat Ulm, Experimentelle Physik 1


Polarisation I

Polarisation durch Absorption

E = E0 cos θ (1)

wobei θ der Winkel zwischen

den Polarisationsrichtungen von

Polarisator und Analysator ist.

Da die Intensitat proportional

zum Quadrat der Amplitude ist

I ∝ E2 gilt fur die Intensitat

I = I0 cos2θ (2)

(Gesetz von Malus).



Polarisation II

Licht durch einen Polarisator und einen Analysator mit gekreuzten Polarisationsrich-

tungen. Darunter die gleiche Anordnung, aber der Analysator ist nun um π/4 gedreht.



Polarisation III

Polarisation durch Streuung



Polarisation IV

Winkel bei der Reflexion unter dem Brewster-Winkel.



Polarisation V

• Einfallswinkel = Ausfallswinkel (Impulserhaltung fur die zur Grenzflache tangentiale

Komponenten des Lichtes)

• Das Gesetz von Snellius n sin θP = n2 sin θ2

Wenn nun der Winkel zwischen dem gebrochenen Licht und dem reflektierten Licht π/2 ist,

kann im reflektierten Licht keine Lichtwelle angeregt werden, deren Polarisationsrichtung

( ~E!) in der durch den einfallenden und gebrochenen Lichtstrahl definierten Einfallsebene

liegt. Der reflektierte Strahl ist vollkommen polarisiert mit der Polarisationsebene senkrecht

zur Einfallsebene. Eine Betrachtung der Winkel in der Abbildung ergibt, dass θP + θ2 =

π/2 ist. Damit wird der Brewster-Winkel

n sin θP = n2 sin θ2 = n2 sin(π/2− θP ) = n2 cos θP (3)

und damit

tan θP =n2

n(4)



Beugung

• dem Auflosungsvermogen von Mikroskopen. Die Beugung an der Offnung der Objek-

tivlinse limitiert die Auflosung, da zwei Objekte im Abstand d eine Beugung mit dem

ersten Beugungsmaximum beim Winkel Θ = arcsin1.22λ

d

erzeugen. Wenn dieses

erste Beugungsmaximum nicht in die Apertur der Linse fallt, sind die beiden Objekte

nicht mehr getrennt abbildbar.

• der Berechnung der ubertragenen Struktur bei Masken fur die Halbleiterlithographie. Die

Beugung an den mit < 100nm definierten Schattenmasken fur Halbleiters verandert

das Bild. Bei Kontaktmasken tritt zusatzlich noch der Talboteffekt auf.

• der Holografie. Ein Hologramm ist ein auf fotografischem Wege erzeugtes Beugungs-

muster. Dieses Beugungsmuster ist so, dass bei der Bilichtung mit monochromatischem

Licht1 das ursprungliche Wellenfeld wieder erzeugt wird. Im Gegensatz zu einer Foto-

grafie ist bei der Holografie die Information uber das ganze Aufnahmemedium verteilt.

Das Halbe Hologramm hat die gleiche Bildinformation wie das ganze Hologramm, aber

mit einer schlechteren Auflosung.

1Es gibt auch Hologramme, die mit weissem Licht arbeiten.



Absorption

Absorption von Licht

Wenn Licht durch Materie transportiert wird, dann gibt es,

abhangig vom Material, eine Wahrscheinlichkeit, dass ein

bestimmter Anteil der transportierten Energie absorbiert

wird. Auf der Strecke dz verringert sich die Intensitat um

dI = −αIdz (5)

Diese Gleichung kann integriert werden und fuhrt zum

Beer-Lambertschen Absorptionsgesetz

I(z) = I0e−αz

(6)

In beiden Gleichungen ist α der Absorptionskoeffizient.



Federmodell fur Dispersion

Federmodell fur die Dispersion nach Kanzig.

Die Bewegungsgleichung fur die n-te Masse ist

mξn = −k (ξn − ξn−1) + k (ξn+1 − ξn) = k (ξn+1 + ξn−1)− 2kξn (7)

analog zur Gleichung fur ein inneres Pendel bei gekoppelten Pendeln. Bei sehr kleinen

Frequenzen schwingen alle Massen in Phase: wie bei den gekoppelten Pendeln gibt die

gleichsinnige Bewegung aller Massen die tiefste Frequenz, die hier, da wir eine unendliche

Anzahl Massen annehmen, null ist.



Federmodell fur Dispersion II

Die maximale Frequenz erhalt man dann, wenn jeweils zwei benachbarte Massen

gegensinnig schwingen. Eine hoher Schwingungsfrequenz ist nicht moglich. Die minimale

Wellenlange ist λmin = 2a und entsprechend kmax = πa . Wir setzen Ω2

0 = 4km und

erhalten

ξn = Ω20

1

4(ξn+1 + ξn−1)−

1

2ξn

(8)

Wir setzen als vorlaufige Losung fur λ > 2a an: ξ(x, t) = Aei(kx−ωt). Da die

Schwingung nur fur diskrete Positionen definiert ist, ersetzen wir x = na und erhalten als

endgultigen Losungsansatz

ξn = ξ(n, t) = Aei(kna−ωt)

(9)



Federmodell fur Dispersion III

Eingesetzt in die Bewegungsgleichung erhalten wir

−ω2e

ikna= Ω

20

1

4

e

ik(n−1)a+ e

ik(n+1)a− 1

2e

ikna

ω

2=

1

2Ω

20

1− 1

2

e

ika+ e

−ika

=1

2Ω

20 [1− cos(ka)]

= Ω20 sin

2 ka

2(10)



Federmodell fur Dispersion IV

Die Dispersionsbeziehung fur die Feder-Masse-Kette

ist

ω(k) = Ω0 sinka

2(11)



Federmodell fur Dispersion V

• Fur lange Wellen λ À a oder ka ¿ 2π ist sin ka2 ≈ ka

2 . Damit ist ω(k) ≈ 12Ω0ka.

Mit der Definition der Phasengeschwindigkeit c = ω/k Erhalten wir

c ≈ 1

2Ω0a =

1

2

√km

Die Gruppengeschwindigkeit cG = dωdk ist

cg ≈1

2Ω0a = c



Federmodell fur Dispersion VI

• Fur Wellen mit λ = λmin = 2a ist die Phasengeschwindigkeit

c0

Ω0

π/a=

Ω0a

π=

1

π

√km

und die Gruppengeschwindigkeit

cG =d

dkΩ0 sin

ka

2

π/a

=a

2cos

ka

2

π/a

= 0

• Fur λ < 2a wird die Welle exponentiell gedampft.



Dispersion I

Ein Puls oder eine Wellengruppe besteht aus Wellen benachbarter Frequenz. Analog

zur Modulation besteht ein Puls aus einer Einhullenden sowie einer Phase, die fur sich

aber keine Information tragt. Die resultierende Wellenfunktion besteht aus harmonischen

Welle ei(k0x−ωt) sowie der Modulation G

x− dωdk

k0

t

. Die resultierende Welle ist

ξ(x, t) =1√2π

ei(k0x−ωt)

G

x− dω

dk

k0

t

!(12)

Die Gruppengeschwindigkeit

vG =dω

dk

k0

(13)

Bei unserem Feder-Masse-System ist vG = 0 wenn λ = 2a ist. Das heisst, der Puls,

der die Information tragt, ist ortsfest. Wenn vG nicht konstant ist, bewegen verandert

sich die Form des Pulses, da die verschiedenen Frequenzanteile sich unterschiedlich schnell

ausbreiten.



Dispersion II

• Dispersionskompensation. Sie ist aufwendig und wird hauptsachlich bei Kurzpuls-

Lasersystemen angewandt.

• Betrieb des Systems bei einer Wellenlange, bei der die Dispersion minimal, also

vG moglichst konstant ist. Dies wird bei der optischen Kommunikation angewandt

(Wellenlangen 1300 nm und 1500 nm).

• Man setzt die Datenrate auf nidrigere Werte, verbreitert also die Pulse und minimiert so

die Fehler durch die Dispersion. Bis zu einer Verringerung der ubertragenen Datenrate

um den Faktor 2 kann der Geschwindigkeitsverlust meist durch die Anwendung von

Kompressionsalgorithmen minimiert werden.



Streuung

Alle Teilchen, ob sie sehr viel kleiner als die Wellenlange des Lichtes sind wie Molekule

oder ob sie etwa die gleiche Grosse wie die Wellenlange haben, streuen Licht. Molekule

und Atome werden zur Berechnung der Streuung als Dipolstrahler betrachtet.

• Zwei Ladungen +Q und −Q in einem Molekul vom Querschnitt A erzeugen das

elektrische Feld E = Q/(ε0A)

• Das resultierende Dipolmoment, wenn die Ladungen im Abstand d sind, ist

p = Qd ≈ ε0AdE ≈ ε0V E. dabei ist V = Ad das Volumen des Molekuls.

• Die Polarisierbarkeit des Molekuls ist p/E ≈ εV

• Wenn diese molekulare Antenne schwingt, so strahlt sie nach H. Hertz die Leistung

P = ω4p2/(6πε0c3) ≈ ω4ε0V

2E2/(6πε0) ab.

• Diese Leistung entzieht die Streuung sie der Einfallenden Welle mit der Intensitat

I = cε0E2.



Streuung II

Ein Molekul hat also den Streuquerschnitt

σ =P

I≈ ω4V 2

6πc4(14)

Blaues Licht wird also durch Molekule sehr viel starker gestreut als rotes Licht. Wir

berechnen die Eindringtiefe oder die mittlere freie Weglange fur Licht

• Mittlere Freie Weglange: ` = 1/(nσ), wobei n die Molekulzahldichte ist.

• Also ist ` = 6πc4

nV 2ω4 = 6πλ4

16π4nV 2 = 38π3

λ4

nV 2

• Das Molekulvolumen ist etwa V ≈ 5 · 10−29m3

• Die Eindringtiefe ist dann ` = 160λ4 (wobei ` in km und λ in µm gemessen werden).



Streuung III

Wellenlange in nm Farbe Eindringtiefe in km

400 violett 4

600 gelb 20

800 rot 65

Es ist deshalb auch nicht verwunderlich, dass die Alpen von Ulm aus gesehen nur

schlecht zu sehen sind. Diese Rayleigh-Streuung ist fur den blauen Himmel und das rotliche

Licht am Morgen und am Abend verantwortlich. Ist die Atmosphare dichter, dann nimmt

die Streuung zu. Licht wird dann nicht mehr propagierend sondern diffusiv transportiert. So

braucht ein Photon aus dem Sonneninneren etwa ein Jahr um die Oberflache zu erreichen.

Fur grossere Teilchen, d ≈ λ oder grosser, folgt die Streuung dem Gesetz von Mie

(Mie-Streuung). In diesem Bereich ist die Streuung unabhangig von der Wellenlange.

Deshalb sieht das gestreute Licht weiss aus, zum Beispiel das an Wolken oder am Nebel

gestreute Licht.



Welle-Teilchen-Dualismus

Licht verhalt sich wie eine Welle, sofern wir eine genugend grosse Intensitat betrachten.

Bei sehr niedriger Intensitat beobachtet man, dass Licht scheinbar nicht aus Wellen,

sondern aus Teilchen besteht. Gestutzt auf Experimente zum Photoeffekt hat Albert

Einstein jedem Lichtteilchen, Photon genannt, die Energie

E = hω (15)

zugeschrieben. h = 2πh ist das Plancksche Wirkungsquantum. Seine Grosse ist

h = 6.6260755 · 10−34Js

h = 1.05457267 · 10−34Js (16)

Fur die meisten Rechnungen genugt es h = 10−34Js zu verwenden. Die Energie eines

Photons ist auch E = hν



Welle-Teilchen-Dualismus II

Ein Photon ist ein Teilchen mit der Ruhemasse 0. Deshalb muss es sich nach der

speziellen Relativitatstheorie) mit Lichtgeschwindigkeit bewegen. Nach dem relativistischen

Energiesatz ist (m0 = 0

hω = E =q

m20c

4 + c2p2 =p

c2p2 = cp (17)

Wir teilen durch c und erhalten

p =hω

c= h

ω

c= hk (18)

mit der fur Wellen gultigen Relation c = ω/k. Deshalb ist der Impuls eines Photons uber

seinen Wellenvektor gegeben. Von der Wellenlange hangt der Impuls uber p = h/λ ab.

Die folgende Tabelle gibt einige Zahlenwerte zur Energie und dem Impuls von Photonen.



Welle-Teilchen-Dualismus III

Wellenlange Frequenz Impuls Energie Energieλ/m ν/Hz p/Ns E/J E/eV

1.00 · 10−11 3.00 · 10+19 6.63 · 10−23 1.99 · 10−14 1.24 · 10+05

1.00 · 10−10 3.00 · 10+18 6.63 · 10−24 1.99 · 10−15 1.24 · 10+04

1.00 · 10−09 3.00 · 10+17 6.63 · 10−25 1.99 · 10−16 1.24 · 10+03

1.00 · 10−08 3.00 · 10+16 6.63 · 10−26 1.99 · 10−17 1.24 · 10+02

1.00 · 10−07 3.00 · 10+15 6.63 · 10−27 1.99 · 10−18 1.24 · 10+01

2.00 · 10−07 1.50 · 10+15 3.31 · 10−27 9.93 · 10−19 6.20 · 10+00

3.00 · 10−07 9.99 · 10+14 2.21 · 10−27 6.62 · 10−19 4.13 · 10+00

4.00 · 10−07 7.49 · 10+14 1.66 · 10−27 4.97 · 10−19 3.10 · 10+00

5.00 · 10−07 6.00 · 10+14 1.33 · 10−27 3.97 · 10−19 2.48 · 10+00

6.00 · 10−07 5.00 · 10+14 1.10 · 10−27 3.31 · 10−19 2.07 · 10+00

7.00 · 10−07 4.28 · 10+14 9.47 · 10−28 2.84 · 10−19 1.77 · 10+00

8.00 · 10−07 3.75 · 10+14 8.28 · 10−28 2.48 · 10−19 1.55 · 10+00

1.00 · 10−06 3.00 · 10+14 6.63 · 10−28 1.99 · 10−19 1.24 · 10+00

1.50 · 10−06 2.00 · 10+14 4.42 · 10−28 1.32 · 10−19 8.27 · 10−01



Welle-Teilchen-Dualismus IV

Wellenlange Frequenz Impuls Energie Energieλ/m ν/Hz p/Ns E/J E/eV

1.00 · 10−05 3.00 · 10+13 6.63 · 10−29 1.99 · 10−20 1.24 · 10−01

1.00 · 10−04 3.00 · 10+12 6.63 · 10−30 1.99 · 10−21 1.24 · 10−02

1.00 · 10−03 3.00 · 10+11 6.63 · 10−31 1.99 · 10−22 1.24 · 10−03

1.00 · 10−02 3.00 · 10+10 6.63 · 10−32 1.99 · 10−23 1.24 · 10−04

1.00 · 10−01 3.00 · 10+09 6.63 · 10−33 1.99 · 10−24 1.24 · 10−05

1.00 · 10+00 3.00 · 10+08 6.63 · 10−34 1.99 · 10−25 1.24 · 10−06

1.00 · 10+01 3.00 · 10+07 6.63 · 10−35 1.99 · 10−26 1.24 · 10−07

1.00 · 10+02 3.00 · 10+06 6.63 · 10−36 1.99 · 10−27 1.24 · 10−08

1.00 · 10+03 3.00 · 10+05 6.63 · 10−37 1.99 · 10−28 1.24 · 10−09

1.00 · 10+04 3.00 · 10+04 6.63 · 10−38 1.99 · 10−29 1.24 · 10−10

1.00 · 10+05 3.00 · 10+03 6.63 · 10−39 1.99 · 10−30 1.24 · 10−11

1.00 · 10+06 3.00 · 10+02 6.63 · 10−40 1.99 · 10−31 1.24 · 10−12

6.00 · 10+06 5.00 · 10+01 1.10 · 10−40 3.31 · 10−32 2.07 · 10−13

1.00 · 10+07 3.00 · 10+01 6.63 · 10−41 1.99 · 10−32 1.24 · 10−13



Welle-Teilchen-Dualismus V

1 Photon

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

–200 –100 0 100 200 300j

10 Photonen

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

–200 –100 0 100 200 300j

Verteilung der gemessenen Photonen in einem simulierten Beugungsbild. Links wurde

1 Photon, rechts 10 gemessen.



Welle-Teilchen-Dualismus VI

100 Photonen

0

0.5

1

1.5

2

–200 –100 0 100 200 300j

1000 Photonen

0

1

2

3

4

5

6

7

–300 –200 –100 0 100 200 300j

Verteilung der gemessenen Photonen in einem simulierten Beugungsbild. Links wurden

100 Photonen, rechts 1000 gemessen.



Welle-Teilchen-Dualismus VII

10000 Photonen

0

10

20

30

40

–300 –200 –100 0 100 200 300j

100000 Photonen

0

50

100

150

200

250

300

350

–300 –200 –100 0 100 200 300j





Welle-Teilchen-Dualismus VIII

1000000 Photonen

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

–300 –200 –100 0 100 200 300j

10000000 Photonen

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

–200 –100 0 100 200 300j





Reflexion

Geometrie der Reflexion

Bei der Reflexion gilt:

Einfallswinkel=Ausfallswinkel



Optisch dichteres Medium

Bei zwei Medien mit unterschiedli-chen Bfrechzahlen heisst dasjenigedas optisch dichtere Medium, des-sen Brechzahl grosser ist.



Brechung

Geometrie der Brechung



Totalreflexion und optische Kommunikation

Transport von Licht in einer Stufenindexfaser



Prismen

Links: Strahlengang durch ein Prisma. Rechts: Dispersion einiger Materialien



Spiegel

Ebener Spiegel



Spiegel II

Gekrummter Spiegel



Brechung an Kugelflachen

Brechung von Licht an einer gekrummten Glasoberflache


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