Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Stefan Geschke

2. Dezember 2009

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Der Satz von Ramsey

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Frank Plumpton Ramsey (1903–1930), britischer Mathematiker,Okonom und Philosoph.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Frage

Wieviele Personen muss man zu einer Party einladen, damit sichmindestens drei der Gaste untereinander kennen oder sichmindestens drei paarweise nicht kennen?

Losung

Man muss mindestens sechs Personen einladen. Es gibt eine Partymit funf Gasten, so dass sich unter je drei Gasten zwei kennen undzwei nicht kennen.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Frage

Wieviele Personen muss man zu einer Party einladen, damit sichmindestens drei der Gaste untereinander kennen oder sichmindestens drei paarweise nicht kennen?

Losung

Man muss mindestens sechs Personen einladen. Es gibt eine Partymit funf Gasten, so dass sich unter je drei Gasten zwei kennen undzwei nicht kennen.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Party mit funf Gasten, so dass unter je drei Gasten sich zweikennen und sich zwei nicht kennen.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Party mit funf Gasten, so dass unter je drei Gasten sich zweikennen und sich zwei nicht kennen.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

DefinitionFur eine Menge X sei [X ]2 die Menge der zweielementigenTeilmengen von X .

Eine Farbung der zweielementigen Teilmengen von X (mit zweiFarben) ist eine Abbildung c : [X ]2 → 0, 1, also eine Abbildung,die jeder zweielementigen Teilmenge von X eine der Farben 0 und1 zuordnet.

Eine Menge H ⊆ X ist homogen fur c (c-homogen), falls c auf[H]2 konstant ist.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

DefinitionFur eine Menge X sei [X ]2 die Menge der zweielementigenTeilmengen von X .

Eine Farbung der zweielementigen Teilmengen von X (mit zweiFarben) ist eine Abbildung c : [X ]2 → 0, 1, also eine Abbildung,die jeder zweielementigen Teilmenge von X eine der Farben 0 und1 zuordnet.

Eine Menge H ⊆ X ist homogen fur c (c-homogen), falls c auf[H]2 konstant ist.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

DefinitionFur eine Menge X sei [X ]2 die Menge der zweielementigenTeilmengen von X .

Eine Farbung der zweielementigen Teilmengen von X (mit zweiFarben) ist eine Abbildung c : [X ]2 → 0, 1, also eine Abbildung,die jeder zweielementigen Teilmenge von X eine der Farben 0 und1 zuordnet.

Eine Menge H ⊆ X ist homogen fur c (c-homogen), falls c auf[H]2 konstant ist.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Satz (Ramsey, endliche Version)

Fur jede Farbung der zweielementigen Teilmengen einern-elementigen Menge X gibt es eine homogene Menge H ⊆ X derMachtigkeit Ω(log n).

Insbesondere gibt es fur jede naturliche Zahl m eine naturlicheZahl n, so dass es fur jede Farbung der zweielementigenTeilmengen einer n-elementigen Menge X eine homogene MengeH ⊆ X der Machtigkeit m gibt.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Satz (Ramsey, endliche Version)

Fur jede Farbung der zweielementigen Teilmengen einern-elementigen Menge X gibt es eine homogene Menge H ⊆ X derMachtigkeit Ω(log n).

Insbesondere gibt es fur jede naturliche Zahl m eine naturlicheZahl n, so dass es fur jede Farbung der zweielementigenTeilmengen einer n-elementigen Menge X eine homogene MengeH ⊆ X der Machtigkeit m gibt.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Frage

Wie groß ist das minimale n, das bei gegebenem m den Satz vonRamsey bezeugt?

Losung

m = 3 ⇒ n = 6m = 4 ⇒ n = 18m = 5 ⇒ 43 ≤ n ≤ 49m = 6 ⇒ 102 ≤ n ≤ 165

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Frage

Wie groß ist das minimale n, das bei gegebenem m den Satz vonRamsey bezeugt?

Losung

m = 3 ⇒ n = 6m = 4 ⇒ n = 18m = 5 ⇒ 43 ≤ n ≤ 49m = 6 ⇒ 102 ≤ n ≤ 165

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Frage

Wie groß ist das minimale n, das bei gegebenem m den Satz vonRamsey bezeugt?

Losung

m = 3 ⇒ n = 6m = 4 ⇒ n = 18m = 5 ⇒ 43 ≤ n ≤ 49m = 6 ⇒ 102 ≤ n ≤ 165

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Frage

Wie groß ist das minimale n, das bei gegebenem m den Satz vonRamsey bezeugt?

Losung

m = 3 ⇒ n = 6m = 4 ⇒ n = 18m = 5 ⇒ 43 ≤ n ≤ 49m = 6 ⇒ 102 ≤ n ≤ 165

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Frage

Wie groß ist das minimale n, das bei gegebenem m den Satz vonRamsey bezeugt?

Losung

m = 3 ⇒ n = 6m = 4 ⇒ n = 18m = 5 ⇒ 43 ≤ n ≤ 49m = 6 ⇒ 102 ≤ n ≤ 165

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Satz (Ramsey, unendliche Version)

Fur jede Farbung der zweielementigen Teilmengen einerunendlichen Menge X existiert eine unendliche homogene MengeH ⊆ X.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Frage

Gilt der Satz von Ramsey auch fur uberabzahlbare Mengen?

AntwortDie naheliegende Verallgemeinerung des unendlichen Satzes vonRamsey auf uberabzahlbare Mengen ist falsch.

Es gibt eine Farbung c : [R]2 → 0, 1, so dass jede c-homogeneMenge abzahlbar ist (Sierpinski).

Es gibt jedoch Versionen des Ramseyschen Satzes furuberabzahlbare Mengen (Erdos-Rado, Galvin).

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Frage

Gilt der Satz von Ramsey auch fur uberabzahlbare Mengen?

AntwortDie naheliegende Verallgemeinerung des unendlichen Satzes vonRamsey auf uberabzahlbare Mengen ist falsch.

Es gibt eine Farbung c : [R]2 → 0, 1, so dass jede c-homogeneMenge abzahlbar ist (Sierpinski).

Es gibt jedoch Versionen des Ramseyschen Satzes furuberabzahlbare Mengen (Erdos-Rado, Galvin).

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Frage

Gilt der Satz von Ramsey auch fur uberabzahlbare Mengen?

AntwortDie naheliegende Verallgemeinerung des unendlichen Satzes vonRamsey auf uberabzahlbare Mengen ist falsch.

Es gibt eine Farbung c : [R]2 → 0, 1, so dass jede c-homogeneMenge abzahlbar ist (Sierpinski).

Es gibt jedoch Versionen des Ramseyschen Satzes furuberabzahlbare Mengen (Erdos-Rado, Galvin).

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Frage

Gilt der Satz von Ramsey auch fur uberabzahlbare Mengen?

AntwortDie naheliegende Verallgemeinerung des unendlichen Satzes vonRamsey auf uberabzahlbare Mengen ist falsch.

Es gibt eine Farbung c : [R]2 → 0, 1, so dass jede c-homogeneMenge abzahlbar ist (Sierpinski).

Es gibt jedoch Versionen des Ramseyschen Satzes furuberabzahlbare Mengen (Erdos-Rado, Galvin).

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Sierpinskis Beispiel

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Wac law Sierpinski (1882–1969)

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Wac law Sierpinski (1882–1969) Sierpinski-Dreieck

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

DefinitionEine lineare Ordnung 4 auf einer Menge X ist eine Wohlordnung,wenn jede nicht-leere Teilmenge von X ein 4-kleinstes Elementhat.

Satz (Zermelo)

Jede Menge lasst sich wohlordnen.

Beispiel (Sierpinski)

Wahle eine Wohlordnung 4 auf der Menge R aller reeller Zahlen.Fur x , y ∈ [R]2 sei c(x , y) = 1 falls 4 und ≤ auf x , yubereinstimmen. Sonst sei c(x , y) = 0.

Alle c-homogenen Teilmengen von R sind abzahlbar.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

DefinitionEine lineare Ordnung 4 auf einer Menge X ist eine Wohlordnung,wenn jede nicht-leere Teilmenge von X ein 4-kleinstes Elementhat.

Satz (Zermelo)

Jede Menge lasst sich wohlordnen.

Beispiel (Sierpinski)

Wahle eine Wohlordnung 4 auf der Menge R aller reeller Zahlen.Fur x , y ∈ [R]2 sei c(x , y) = 1 falls 4 und ≤ auf x , yubereinstimmen. Sonst sei c(x , y) = 0.

Alle c-homogenen Teilmengen von R sind abzahlbar.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

DefinitionEine lineare Ordnung 4 auf einer Menge X ist eine Wohlordnung,wenn jede nicht-leere Teilmenge von X ein 4-kleinstes Elementhat.

Satz (Zermelo)

Jede Menge lasst sich wohlordnen.

Beispiel (Sierpinski)

Wahle eine Wohlordnung 4 auf der Menge R aller reeller Zahlen.Fur x , y ∈ [R]2 sei c(x , y) = 1 falls 4 und ≤ auf x , yubereinstimmen. Sonst sei c(x , y) = 0.

Alle c-homogenen Teilmengen von R sind abzahlbar.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

DefinitionEine lineare Ordnung 4 auf einer Menge X ist eine Wohlordnung,wenn jede nicht-leere Teilmenge von X ein 4-kleinstes Elementhat.

Satz (Zermelo)

Jede Menge lasst sich wohlordnen.

Beispiel (Sierpinski)

Wahle eine Wohlordnung 4 auf der Menge R aller reeller Zahlen.Fur x , y ∈ [R]2 sei c(x , y) = 1 falls 4 und ≤ auf x , yubereinstimmen. Sonst sei c(x , y) = 0.

Alle c-homogenen Teilmengen von R sind abzahlbar.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Eine wohlgeordnete Menge

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Eine wohlgeordnete Menge

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Eine wohlgeordnete Menge

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Eine wohlgeordnete Menge

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Eine wohlgeordnete Menge

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Eine wohlgeordnete Menge

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Eine wohlgeordnete Menge

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Eine wohlgeordnete Menge

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Eine wohlgeordnete Menge

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Eine durch die ubliche Ordnungsrelation auf R wohlgeordneteMenge von reellen Zahlen

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Eine durch die ubliche Ordnungsrelation auf R wohlgeordneteMenge von reellen Zahlen

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Der Satz von Erdos und Rado

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Paul Erdos (1913-1996) Richard Rado (1906-1989)

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Satz (Erdos, Rado)

Sei X eine Menge mit |X | > |R|. Fur jede Farbungc : [X ]2 → 0, 1 existiert eine uberabzahlbare c-homogene MengeH ⊆ X.

Fur jede Kardinalzahl κ existiert eine Kardinalzahl λ, so dass furjede Farbung der zweielementigen Teilmengen einer λ-elementigenMenge eine homogene Menge der Machtigkeit κ existiert.

Frage

Gibt es eine uberabzahlbare Kardinalzahl κ, so dass es fur jedeFarbung der zweielementigen Teilmengen einer κ-machtigen Mengeeine κ-machtige homogene Menge gibt?

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Satz (Erdos, Rado)

Sei X eine Menge mit |X | > |R|. Fur jede Farbungc : [X ]2 → 0, 1 existiert eine uberabzahlbare c-homogene MengeH ⊆ X.

Fur jede Kardinalzahl κ existiert eine Kardinalzahl λ, so dass furjede Farbung der zweielementigen Teilmengen einer λ-elementigenMenge eine homogene Menge der Machtigkeit κ existiert.

Frage

Gibt es eine uberabzahlbare Kardinalzahl κ, so dass es fur jedeFarbung der zweielementigen Teilmengen einer κ-machtigen Mengeeine κ-machtige homogene Menge gibt?

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Satz (Erdos, Rado)

Sei X eine Menge mit |X | > |R|. Fur jede Farbungc : [X ]2 → 0, 1 existiert eine uberabzahlbare c-homogene MengeH ⊆ X.

Fur jede Kardinalzahl κ existiert eine Kardinalzahl λ, so dass furjede Farbung der zweielementigen Teilmengen einer λ-elementigenMenge eine homogene Menge der Machtigkeit κ existiert.

Frage

Gibt es eine uberabzahlbare Kardinalzahl κ, so dass es fur jedeFarbung der zweielementigen Teilmengen einer κ-machtigen Mengeeine κ-machtige homogene Menge gibt?

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Stetige Ramseytheorie

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

DefinitionSei (X , d) ein metrischer Raum.Eine Farbung c der zweielementigen Teilmengen von X mit zweiFarben ist stetig, wenn fur alle x , y ∈ [X ]2 ein ε > 0 existiert, sodass fur alle a, b ∈ X mit d(a, x), d(b, y) < ε gilt:

c(a, b) = c(x , y)

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

DefinitionSei (X , d) ein metrischer Raum.Eine Farbung c der zweielementigen Teilmengen von X mit zweiFarben ist stetig, wenn fur alle x , y ∈ [X ]2 ein ε > 0 existiert, sodass fur alle a, b ∈ X mit d(a, x), d(b, y) < ε gilt:

c(a, b) = c(x , y)

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Zwei Punkte x und y in einem metrischen Raum X

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Zwei Punkte x und y mit offenen ε-Umgebungen

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

DefinitionEine nichtleere Teilmenge P eines metrischen Raums X ist perfekt,falls sie abgeschlossen ist und keine isolierten Punkte hat.

Satz (Cantor)

Eine perfekte Teilmenge eines vollstandigen metrischen Raumeshat mindestens die Machtigkeit |R|.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

DefinitionEine nichtleere Teilmenge P eines metrischen Raums X ist perfekt,falls sie abgeschlossen ist und keine isolierten Punkte hat.

Satz (Cantor)

Eine perfekte Teilmenge eines vollstandigen metrischen Raumeshat mindestens die Machtigkeit |R|.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Das Cantorsche Diskontinuum ist das typische Beispiel einerperfekten Teilmenge eines vollstandigen metrischen Raumes.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Das Cantorsche Diskontinuum ist das typische Beispiel einerperfekten Teilmenge eines vollstandigen metrischen Raumes.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Das Cantorsche Diskontinuum ist das typische Beispiel einerperfekten Teilmenge eines vollstandigen metrischen Raumes.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Das Cantorsche Diskontinuum ist das typische Beispiel einerperfekten Teilmenge eines vollstandigen metrischen Raumes.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Satz (Galvin)

Sei X ein uberabzahlbarer vollstandiger metrischer Raum und ceine stetige Farbung der zweielementigen Teilmengen von X .

Dann hat X eine perfekte, c-homogene Teilmenge. Insbesonderegibt es eine c-homogene Menge der Machtigkeit |R|.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Satz (Galvin)

Sei X ein uberabzahlbarer vollstandiger metrischer Raum und ceine stetige Farbung der zweielementigen Teilmengen von X .

Dann hat X eine perfekte, c-homogene Teilmenge. Insbesonderegibt es eine c-homogene Menge der Machtigkeit |R|.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Was ist eine wahre mathematische Aussage?

Unvollstandigkeit

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Was ist eine wahre mathematische Aussage?

Unvollstandigkeit

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Paul Cohen (1934-2007) Kurt Godel (1906-1978)

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

So gut wie alle in der Mathematik betrachteten Objekte sindMengen oder lassen sich in naheliegender Weise als Mengenauffassen.

Praktisch jede mathematische Aussage lasst sich in der Spracheder Mengenlehre formulieren.

Ein mathematischer Satz wird allgemein als korrekt anerkannt,wenn ein Beweis vorliegt, der nur die ublichen Axiome derMengenlehre benutzt, also ZFC, die Zermelo-FraenkelschenAxiome zusammen mit dem Auswahlaxiom.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

So gut wie alle in der Mathematik betrachteten Objekte sindMengen oder lassen sich in naheliegender Weise als Mengenauffassen.

Praktisch jede mathematische Aussage lasst sich in der Spracheder Mengenlehre formulieren.

Ein mathematischer Satz wird allgemein als korrekt anerkannt,wenn ein Beweis vorliegt, der nur die ublichen Axiome derMengenlehre benutzt, also ZFC, die Zermelo-FraenkelschenAxiome zusammen mit dem Auswahlaxiom.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

So gut wie alle in der Mathematik betrachteten Objekte sindMengen oder lassen sich in naheliegender Weise als Mengenauffassen.

Praktisch jede mathematische Aussage lasst sich in der Spracheder Mengenlehre formulieren.

Ein mathematischer Satz wird allgemein als korrekt anerkannt,wenn ein Beweis vorliegt, der nur die ublichen Axiome derMengenlehre benutzt, also ZFC, die Zermelo-FraenkelschenAxiome zusammen mit dem Auswahlaxiom.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Wir sind davon uberzeugt, dass ZFC widerspruchsfrei ist.

Nach dem zweiten Godelschen Unvollstandigkeitssatz lasst sichletzteres jedoch nicht im Rahmen von ZFC beweisen.

Nach dem ersten Godelschen Unvollstandigkeitssatz gibt esAussagen in der Sprache der Mengenlehre, die sich im Rahmen vonZFC weder beweisen noch widerlegen lassen.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Wir sind davon uberzeugt, dass ZFC widerspruchsfrei ist.

Nach dem zweiten Godelschen Unvollstandigkeitssatz lasst sichletzteres jedoch nicht im Rahmen von ZFC beweisen.

Nach dem ersten Godelschen Unvollstandigkeitssatz gibt esAussagen in der Sprache der Mengenlehre, die sich im Rahmen vonZFC weder beweisen noch widerlegen lassen.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Wir sind davon uberzeugt, dass ZFC widerspruchsfrei ist.

Nach dem zweiten Godelschen Unvollstandigkeitssatz lasst sichletzteres jedoch nicht im Rahmen von ZFC beweisen.

Nach dem ersten Godelschen Unvollstandigkeitssatz gibt esAussagen in der Sprache der Mengenlehre, die sich im Rahmen vonZFC weder beweisen noch widerlegen lassen.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Die bekannteste Aussage, die sich in ZFC weder beweisen nochwiderlegen lasst, ist die Kontinuumshypothese (CH), also dieAussage, dass jede uberabzahlbare Teilmenge von R bereits dieMachtigkeit |R| hat.

Es gibt genau drei bekannte Methoden, um zu zeigen, dass sicheine Aussage in ZFC nicht beweisen lasst:

1. Der zweite Godelsche Unvollstandigkeitssatz

2. Die Methode der inneren Modelle (Godel)

3. Forcing (Cohen)

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Die bekannteste Aussage, die sich in ZFC weder beweisen nochwiderlegen lasst, ist die Kontinuumshypothese (CH), also dieAussage, dass jede uberabzahlbare Teilmenge von R bereits dieMachtigkeit |R| hat.

Es gibt genau drei bekannte Methoden, um zu zeigen, dass sicheine Aussage in ZFC nicht beweisen lasst:

1. Der zweite Godelsche Unvollstandigkeitssatz

2. Die Methode der inneren Modelle (Godel)

3. Forcing (Cohen)

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Die bekannteste Aussage, die sich in ZFC weder beweisen nochwiderlegen lasst, ist die Kontinuumshypothese (CH), also dieAussage, dass jede uberabzahlbare Teilmenge von R bereits dieMachtigkeit |R| hat.

Es gibt genau drei bekannte Methoden, um zu zeigen, dass sicheine Aussage in ZFC nicht beweisen lasst:

1. Der zweite Godelsche Unvollstandigkeitssatz

2. Die Methode der inneren Modelle (Godel)

3. Forcing (Cohen)

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Die bekannteste Aussage, die sich in ZFC weder beweisen nochwiderlegen lasst, ist die Kontinuumshypothese (CH), also dieAussage, dass jede uberabzahlbare Teilmenge von R bereits dieMachtigkeit |R| hat.

Es gibt genau drei bekannte Methoden, um zu zeigen, dass sicheine Aussage in ZFC nicht beweisen lasst:

1. Der zweite Godelsche Unvollstandigkeitssatz

2. Die Methode der inneren Modelle (Godel)

3. Forcing (Cohen)

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Die bekannteste Aussage, die sich in ZFC weder beweisen nochwiderlegen lasst, ist die Kontinuumshypothese (CH), also dieAussage, dass jede uberabzahlbare Teilmenge von R bereits dieMachtigkeit |R| hat.

Es gibt genau drei bekannte Methoden, um zu zeigen, dass sicheine Aussage in ZFC nicht beweisen lasst:

1. Der zweite Godelsche Unvollstandigkeitssatz

2. Die Methode der inneren Modelle (Godel)

3. Forcing (Cohen)

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Mit dem zweiten Unvollstandigkeitssatz lasst sich zum Beispielzeigen, dass man in ZFC die Existenz einer uberabzahlbarenKardinalzahl κ mit der folgenden Eigenschaft nicht beweisen kann:

Fur jede Farbung der zweielementigen Teilmengen einerκ-machtigen Menge X mit zwei Farben gibt es eine homogeneMenge der Machtigkeit κ.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Mit dem zweiten Unvollstandigkeitssatz lasst sich zum Beispielzeigen, dass man in ZFC die Existenz einer uberabzahlbarenKardinalzahl κ mit der folgenden Eigenschaft nicht beweisen kann:

Fur jede Farbung der zweielementigen Teilmengen einerκ-machtigen Menge X mit zwei Farben gibt es eine homogeneMenge der Machtigkeit κ.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Das mengentheoretische Universum

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Das mengentheoretische Universum und ein inneres Modell

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Das mengentheoretische Universum und eine Forcing-Erweiterung

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Unabhangigkeitsresultate

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Satz (G., Schipperus)

Es sei (∗) die folgende Aussage:

“Fur jeden vollstandigen metrischen Raum X mit einerabzahlbaren dichten Teilmenge und jede stetige Farbung c derzweielementigen Teilmengen von X mit zwei Farben ist X dieVereinigung von weniger als |R| c-homogenen Mengen.”

Dann gibt es eine Forcing-Erweiterung des mengentheoretischenUniversums in der (∗) gilt. Insbesondere lasst sich (∗) in ZFCweder beweisen noch widerlegen.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Satz (G., Schipperus)

Es sei (∗) die folgende Aussage:

“Fur jeden vollstandigen metrischen Raum X mit einerabzahlbaren dichten Teilmenge und jede stetige Farbung c derzweielementigen Teilmengen von X mit zwei Farben ist X dieVereinigung von weniger als |R| c-homogenen Mengen.”

Dann gibt es eine Forcing-Erweiterung des mengentheoretischenUniversums in der (∗) gilt. Insbesondere lasst sich (∗) in ZFCweder beweisen noch widerlegen.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Satz (G., Schipperus)

Es sei (∗) die folgende Aussage:

“Fur jeden vollstandigen metrischen Raum X mit einerabzahlbaren dichten Teilmenge und jede stetige Farbung c derzweielementigen Teilmengen von X mit zwei Farben ist X dieVereinigung von weniger als |R| c-homogenen Mengen.”

Dann gibt es eine Forcing-Erweiterung des mengentheoretischenUniversums in der (∗) gilt. Insbesondere lasst sich (∗) in ZFCweder beweisen noch widerlegen.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Metrische Raume

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

DefinitionSeien (X , dX ) und (Y , dY ) metrische Raume und K ≥ 1.

Eine injektive Abbildung e : X → Y ist eine K-Einbettung, falls furalle x1, x2 ∈ X Folgendes gilt:

1

K· dX (x1, x2) ≤ dY (e(x1), e(x2)) ≤ K · dX (x1, x2)

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

DefinitionSeien (X , dX ) und (Y , dY ) metrische Raume und K ≥ 1.

Eine injektive Abbildung e : X → Y ist eine K-Einbettung, falls furalle x1, x2 ∈ X Folgendes gilt:

1

K· dX (x1, x2) ≤ dY (e(x1), e(x2)) ≤ K · dX (x1, x2)

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

DefinitionSeien (X , dX ) und (Y , dY ) metrische Raume und K ≥ 1.

Eine injektive Abbildung e : X → Y ist eine K-Einbettung, falls furalle x1, x2 ∈ X Folgendes gilt:

1

K· dX (x1, x2) ≤ dY (e(x1), e(x2)) ≤ K · dX (x1, x2)

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

DefinitionEin metrischer Raum X ist K-linear, falls es eine K -Einbettung vonX in die reelle Gerade R gibt.

X ist K-hilbertsch, falls es eine K -Einbettung in einen Hilbertraumgibt. (Fur endliche X ist das aquivalent zur K -Einbettbarkeit in Rn

fur ein n.)

X ist K-uniform, falls es eine K -Einbettung von X in einenmetrischen Raum gibt, in dem je zwei verschiedene Punktedenselben Abstand haben.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

DefinitionEin metrischer Raum X ist K-linear, falls es eine K -Einbettung vonX in die reelle Gerade R gibt.

X ist K-hilbertsch, falls es eine K -Einbettung in einen Hilbertraumgibt. (Fur endliche X ist das aquivalent zur K -Einbettbarkeit in Rn

fur ein n.)

X ist K-uniform, falls es eine K -Einbettung von X in einenmetrischen Raum gibt, in dem je zwei verschiedene Punktedenselben Abstand haben.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

DefinitionEin metrischer Raum X ist K-linear, falls es eine K -Einbettung vonX in die reelle Gerade R gibt.

X ist K-hilbertsch, falls es eine K -Einbettung in einen Hilbertraumgibt. (Fur endliche X ist das aquivalent zur K -Einbettbarkeit in Rn

fur ein n.)

X ist K-uniform, falls es eine K -Einbettung von X in einenmetrischen Raum gibt, in dem je zwei verschiedene Punktedenselben Abstand haben.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

2-Einbettung eines 1-uniformen Raumes in die reelle Gerade

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

K -lineare Teilmenge der Ebene

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

K -lineare Teilmenge der Ebene

Zusammenhangende K -lineare Teilmenge der Ebene

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Satz (Bourgain, Figiel, Milman)

Sei K > 1. Dann besitzt jeder metrische Raum X der Machtigkeitn eine K-hilbertsche Teilmenge der Machtigkeit Ω(log n).

Satz (Karloff, Rabani, Ravid)

Sei K > 1. Dann besitzt jeder n-elementige metrische Raum Xeine Teilmenge der Machtigkeit Ω(log n), die K-uniform oderK-linear ist.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Satz (Bourgain, Figiel, Milman)

Sei K > 1. Dann besitzt jeder metrische Raum X der Machtigkeitn eine K-hilbertsche Teilmenge der Machtigkeit Ω(log n).

Satz (Karloff, Rabani, Ravid)

Sei K > 1. Dann besitzt jeder n-elementige metrische Raum Xeine Teilmenge der Machtigkeit Ω(log n), die K-uniform oderK-linear ist.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Satz (Matousek)

Sei K > 1. Dann hat jeder unendliche metrische Raum eineunendliche Teilmenge, die K-linear oder K-uniform ist.

SatzSei K > 1 und X ein uberabzahlbarer, separabler, vollstandigermetrischer Raum. Dann hat X eine perfekte Teilmenge, dieK-linear ist.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Satz (Matousek)

Sei K > 1. Dann hat jeder unendliche metrische Raum eineunendliche Teilmenge, die K-linear oder K-uniform ist.

SatzSei K > 1 und X ein uberabzahlbarer, separabler, vollstandigermetrischer Raum. Dann hat X eine perfekte Teilmenge, dieK-linear ist.

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

SatzDie folgende Aussage lasst sich in ZFC weder beweisen nochwiderlegen:

“Sei K > 1 und X ein separabler vollstandiger metrischer Raum.Dann ist X die Vereinigung von weniger als |R|-vielen K-linearenTeilmengen.”

SatzDie folgende Aussage lasst sich in ZFC weder beweisen nochwiderlegen:

“Sei K > 1 und n > 1. Dann ist Rn die Vereinigung von wenigerals |R|-vielen zusammenhangenden, K-linearen Teilmengen.”

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

SatzDie folgende Aussage lasst sich in ZFC weder beweisen nochwiderlegen:

“Sei K > 1 und X ein separabler vollstandiger metrischer Raum.Dann ist X die Vereinigung von weniger als |R|-vielen K-linearenTeilmengen.”

SatzDie folgende Aussage lasst sich in ZFC weder beweisen nochwiderlegen:

“Sei K > 1 und n > 1. Dann ist Rn die Vereinigung von wenigerals |R|-vielen zusammenhangenden, K-linearen Teilmengen.”

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

SatzDie folgende Aussage lasst sich in ZFC weder beweisen nochwiderlegen:

“Sei K > 1 und X ein separabler vollstandiger metrischer Raum.Dann ist X die Vereinigung von weniger als |R|-vielen K-linearenTeilmengen.”

SatzDie folgende Aussage lasst sich in ZFC weder beweisen nochwiderlegen:

“Sei K > 1 und n > 1. Dann ist Rn die Vereinigung von wenigerals |R|-vielen zusammenhangenden, K-linearen Teilmengen.”

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

SatzDie folgende Aussage lasst sich in ZFC weder beweisen nochwiderlegen:

“Sei K > 1 und X ein separabler vollstandiger metrischer Raum.Dann ist X die Vereinigung von weniger als |R|-vielen K-linearenTeilmengen.”

SatzDie folgende Aussage lasst sich in ZFC weder beweisen nochwiderlegen:

“Sei K > 1 und n > 1. Dann ist Rn die Vereinigung von wenigerals |R|-vielen zusammenhangenden, K-linearen Teilmengen.”

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren

Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel

Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie

Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate

Metrische Raume

Vielen Dank!

Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren