Polygone und Polyeder

Reguläre Polygone

Dreieck

Quadrat

Pentagon

Hexagon

Oktagon

120º

30º 30º

30º

108º

54º

72º

54º 54º

108º

36º36º36º

72º72º

36º

108º

36º36º36º

72º 36º

36º36º

1

1

y

x

1

1

1

y

x

1

A

B

C D

E

Dreieck ADF ist ähnlich Dreieck BCF.

F

Also . Aber .1

1

x

y 1y x

1

1

y

x

1

A

B

C D

E

F

21 1 5 und 1 implizieren 1 0, oder

1 2

xy x x x y

y

Der Goldene Schnitt1

x 1-x

1

1

x

x x

2 1 0x x

1,2

1 5

2x

Konstruktion von

1

25

5

1 5

2

1 5

2

Pentagon:

1) Konstruiere das Goldene Dreieck2) Konstruiere das Pentagon

Welcheregulären Polygone können

mit Zirkel und

Lineal konstruiertwerden?

Welcheregulären Polygone können

mit Zirkel und

Lineal konstruiertwerden?

The reguläre Septagon (Heptagon) kann nicht mit Zirkel un Lineal konstruiert werden!

Platonische KörperPlatonische KörperReguläre Polyeder, welche konvex

sind und kongruente reguläre Polygone als Seitenflächen haben, und an jedem Eckpunkt treffen gleich viele

Flächen zusammen.

Reguläre Polyeder, welche konvex sind und kongruente

reguläre Polygone als Seitenflächen haben, und an jedem Eckpunkt treffen gleich viele

Flächen zusammen.

Es gibt genau fünf:Tetraeder, Cubus = Hexaeder, Oktaeder,

Ikosaeder und Dodekaeder

Es gibt genau fünf:Tetraeder, Cubus = Hexaeder, Oktaeder,

Ikosaeder und Dodekaeder

20 12

BeispielBeispiel

OktaederOktaeder BootBoot

konvexkonvex nicht konvexnicht konvex

Photography by Gayla Chandler

“of a Fractal Nature”

http://www.public.asu.edu/~starlite/

Warum fünf Platonische Körper?Warum fünf Platonische Körper?

Schritt 1: Peripheriewinkel der SeitenflächenSchritt 1: Peripheriewinkel der Seitenflächen

Jede Seitenfläche ist ein reguläres PolygonJede Seitenfläche ist ein reguläres Polygon

Partition des Polygons in n DreieckePartition des Polygons in n Dreiecke

Summe aller Winkel:

Summe aller Winkel im Zentrum:

Summe der Peripheriewinkel:

Ein Peripheriewinkel:

180n

360

180 360 ( 2) 180n n

( 2) 180n

n

Peripheriewinkel:( 2) 180n

n

Dreieck:

Quadrat:

Pentagon:

Hexagon:

60

90

108

128.57..Septagon:

120

Warum fünf Platonische Körper?Warum fünf Platonische Körper?

Schritt 2:Schritt 2:

An einem Eckpunkt muss die Summe der Peripherie-winkel kleiner als sein: An einem Eckpunkt muss die Summe der Peripherie-winkel kleiner als sein: 360

Warum fünf Platonische Körper?Warum fünf Platonische Körper?

Schritt 3:Schritt 3:In einem Eckpunkt treffen mindestens 3 Seitenflächen zusammen.In einem Eckpunkt treffen mindestens 3 Seitenflächen zusammen.

Also müssen die Peripheriewinkel kleiner als sein: .Also müssen die Peripheriewinkel kleiner als sein: .360 / 3 120

Dreiecke:Dreiecke:

3 60 4 60 5 60

Warum fünf Platonische Körper?Warum fünf Platonische Körper?

Quadrat:Quadrat:

3 90

Warum fünf Platonische Körper?Warum fünf Platonische Körper?

Schritt 3:Schritt 3:In einem Eckpunkt treffen mindestens 3 Seitenflächen zusammen.In einem Eckpunkt treffen mindestens 3 Seitenflächen zusammen.

Also müssen die Peripheriewinkel kleiner als sein: .Also müssen die Peripheriewinkel kleiner als sein: .360 / 3 120

Pentagon:Pentagon:

3 108

Warum fünf Platonische Körper?Warum fünf Platonische Körper?

Schritt 3:Schritt 3:In einem Eckpunkt treffen mindestens 3 Seitenflächen zusammen.In einem Eckpunkt treffen mindestens 3 Seitenflächen zusammen.

Also müssen die Peripheriewinkel kleiner als sein: .Also müssen die Peripheriewinkel kleiner als sein: .360 / 3 120

Flächen, Kanten, Ecken, …Flächen, Kanten, Ecken, …

Flächen Kanten EckenKanten

pro FlächeFlächen an einer Ecke

4 6 4 3 3

Tetraeder

Flächen Kanten EckenKanten

pro Fläche

Flächen

an einer Ecke

6 12 8 4 3

Hexaeder

Flächen, Kanten, Ecken, …Flächen, Kanten, Ecken, …

Flächen Kanten EckenKanten

pro FlächeFlächen an einer Ecke

8 12 6 3 4

Oktaeder

Flächen, Kanten, Ecken, …Flächen, Kanten, Ecken, …

Flächen Kanten EckenKanten

pro FlächeFlächen an einer Ecke

20 30 12 3 5

Ikosaeder

Flächen, Kanten, Ecken, …Flächen, Kanten, Ecken, …

Flächen Kanten EckenKanten

pro Fläche

Flächen

an einer Ecke

12 30 20 5 3

Dodekaeder

Flächen, Kanten, Ecken, …Flächen, Kanten, Ecken, …

Flächen Kanten EckenKanten

pro Fläche

Flächen an einer

Ecke

4 6 4 3 3

6 12 8 4 3

8 12 6 3 4

20 30 12 3 5

12 30 20 5 3

Flächen Kanten EckenKanten

pro Fläche

Flächen an einer Kante

4 6 4 3 3

6 12 8 4 3

8 12 6 3 4

20 30 12 3 5

12 30 20 5 3

Euler-ZahlEuler-Zahl

?Flaechen Kanten Ecken

Flächen Kanten EckenKanten

pro Fläche

Flächen

an einer Ecke

4 6 4 3 3

6 12 8 4 3

8 12 6 3 4

20 30 12 3 5

12 30 20 5 3

Duale PolyederDuale Polyeder

Duale PolyederDuale Polyeder

Jede Fläche wird mit einer Ecke identifiziert:Jede Fläche wird mit einer Ecke identifiziert:

Duale PolyederDuale Polyeder

Jede Fläche wird mit einer Ecke identifiziert:Jede Fläche wird mit einer Ecke identifiziert:

Netze von KörpernNetze von Körpern

Netze von KörpernNetze von Körpern

Netze von KörpernNetze von Körpern

Netze von KörpernNetze von Körpern

Netze von KörpernNetze von Körpern

Netze von KörpernNetze von Körpern

Ein Netz aber verschiedene Körper:Ein Netz aber verschiedene Körper:

Ein Körper aber verschiedene Netze:Ein Körper aber verschiedene Netze:

Platonischer Körper

Zahl der Netze

Cubus 11

Dodekaeder 43380

Ikosaeder 43380

Oktaeder 11

Tetraeder 2

Ein Körper aber verschiedene Netze:Ein Körper aber verschiedene Netze:

Welcher Körper ist das?Welcher Körper ist das?

http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/geometry/polycuts/

http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/geometry/polycuts/

Welcher Körper ist das?Welcher Körper ist das?

http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/geometry/polycuts/

Welcher Körper ist das?Welcher Körper ist das?