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Primzahlen, III: Ordnung oder Chaos?Mathematik Querbeet
Prof. Dr. Stefan Wewers
Institut fur Reine MathematikUniversitat Ulm
11. Januar 2019
Prof. Dr. Stefan Wewers Institut fur Reine Mathematik Universitat Ulm
Primzahlen, III: Ordnung oder Chaos?
Die Primzahlen zwischen 40 und 100
40 41 42 43 44 45 46 47 48 4950 51 52 53 55 55 56 57 58 5960 61 62 63 66 65 66 67 68 6970 71 72 73 77 75 76 77 78 7980 81 82 83 88 85 86 87 88 8990 91 92 93 99 95 96 97 98 99
Wir sieben die Vielfachen von p = 2, 3, 5, 7 aus.
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Primzahlen, III: Ordnung oder Chaos?
Die Primzahlen zwischen 40 und 100
40 41 42 43 44 45 46 47 48 4950 51 52 53 55 55 56 57 58 5960 61 62 63 66 65 66 67 68 6970 71 72 73 77 75 76 77 78 7980 81 82 83 88 85 86 87 88 8990 91 92 93 99 95 96 97 98 99
Wir sieben die Vielfachen von p = 2, 3, 5, 7 aus.
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Primzahlen, III: Ordnung oder Chaos?
Die Primzahlen zwischen 40 und 100
��40 41 ��42 43 ��44 45 ��46 47 ��48 49
��50 51 ��52 53 ��54 55 ��56 57 ��58 59
��60 61 ��62 63 ��64 65 ��66 67 ��68 69
��70 71 ��72 73 ��74 75 ��76 77 ��78 79
��80 81 ��82 83 ��84 85 ��86 87 ��88 89
��90 91 ��92 93 ��94 95 ��96 97 ��98 99
Wir sieben die Vielfachen von p = �2, 3, 5, 7 aus.
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Primzahlen, III: Ordnung oder Chaos?
Die Primzahlen zwischen 40 und 100
��40 41 ��42 43 ��44 ��45 ��46 47 ��48 49
��50 ��51 ��52 53 ��54 55 ��56 ��57 ��58 59
��60 61 ��62 ��63 ��64 65 ��66 67 ��68 ��69
��70 71 ��72 73 ��74 ��75 ��76 77 ��78 79
��80 ��81 ��82 83 ��84 85 ��86 ��87 ��88 89
��90 91 ��92 ��93 ��94 95 ��96 97 ��98 ��99
Wir sieben die Vielfachen von p = �2, �3, 5, 7 aus.
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Die Primzahlen zwischen 40 und 100
��40 41 ��42 43 ��44 ��45 ��46 47 ��48 ��49
��50 ��51 ��52 53 ��54 ��55 ��56 ��57 ��58 59
��60 61 ��62 ��63 ��64 ��65 ��66 67 ��68 ��69
��70 71 ��72 73 ��74 ��75 ��76 ��77 ��78 79
��80 ��81 ��82 83 ��84 ��85 ��86 ��87 ��88 89
��90 ��91 ��92 ��93 ��94 ��95 ��96 97 ��98 ��99
Wir sieben die Vielfachen von p = �2, �3, �5, �7 aus.
Die Verteilung der Primzahlen erscheint einigermaßen zufallig...
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Die Primzahlen zwischen 40 und 100
��40 41 ��42 43 ��44 ��45 ��46 47 ��48 ��49
��50 ��51 ��52 53 ��54 ��55 ��56 ��57 ��58 59
��60 61 ��62 ��63 ��64 ��65 ��66 67 ��68 ��69
��70 71 ��72 73 ��74 ��75 ��76 ��77 ��78 79
��80 ��81 ��82 83 ��84 ��85 ��86 ��87 ��88 89
��90 ��91 ��92 ��93 ��94 ��95 ��96 97 ��98 ��99
Wir sieben die Vielfachen von p = �2, �3, �5, �7 aus.
Die Verteilung der Primzahlen erscheint einigermaßen zufallig...
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Primzahlen, III: Ordnung oder Chaos?
Die Euler-Ulam-Spirale
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Primzahlen, III: Ordnung oder Chaos?
Die Euler-Ulam-Spirale
Die Zahlen auf der Diagonalen sind von der Form
f (n) = n2 − n + 41.
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Primzahlen, III: Ordnung oder Chaos?
Die Euler-Ulam-Spirale
Erstaunlicherweise ist
p = f (n) = n2 − n + 41
ein Primzahl fur n = 0, 1, . . . , 40!
Fur n = 41 gilt aber
f (41) = 412 − 41 + 41 = 412.
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Primzahlen, III: Ordnung oder Chaos?
Die Euler-Ulam-Spirale
Erstaunlicherweise ist
p = f (n) = n2 − n + 41
ein Primzahl fur n = 0, 1, . . . , 40!Fur n = 41 gilt aber
f (41) = 412 − 41 + 41 = 412.
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Primzahlen, III: Ordnung oder Chaos?
Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat
Theorem (Fermat, Euler)
Fur eine Primzahl p > 2 gilt:
p = x2 + y2 ⇔ p ≡ 1 (mod 4).
Zum Beispiel:
5 = 22 + 12,
13 = 32 + 22,
17 = 42 + 12,
29 = 52 + 22,
...
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Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat
Theorem (Fermat, Euler)
Fur eine Primzahl p > 2 gilt:
p = x2 + y2 ⇔ p ≡ 1 (mod 4).
Zum Beispiel:
5 = 22 + 12,
13 = 32 + 22,
17 = 42 + 12,
29 = 52 + 22,
...
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Primzahlen, III: Ordnung oder Chaos?
Zwei-Quadrate-Satz: Beweisskizze
Fur ⇒ benutzen wir:
Lemma
1 Sei x ∈ Z gerade, also x ≡ 0 (mod 2). Dann gilt
x2 ≡ 0 (mod 4).
2 Sei x ∈ Z ungerade, also x ≡ 1 (mod 2). Dann gilt
x2 ≡ 1 (mod 4).
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Primzahlen, III: Ordnung oder Chaos?
Zwei-Quadrate-Satz: Beweisskizze
Sei p = x2 + y2 > 2. Da p ungerade ist, gilt (ohne Einschrankung)x ≡ 1 (mod 2) und y ≡ 0 (mod 2), oder x ≡ 1 (mod 2) undy ≡ 0 (mod 2).
Im ersten Fall folgt aus dem Lemma:
p = x2 + y2 ≡ 1 + 0 ≡ 1 (mod 4).
Im zweiten Fall gilt
p = x2 + y2 ≡ 1 + 1 ≡ 2 (mod 4).
Aber dann ware p gerade, ein Widerspruch!Also tritt der zweite Fall nicht auf, und p ≡ 1 (mod 4).q.e.d.
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Zwei-Quadrate-Satz: Beweisskizze
Sei p = x2 + y2 > 2. Da p ungerade ist, gilt (ohne Einschrankung)x ≡ 1 (mod 2) und y ≡ 0 (mod 2), oder x ≡ 1 (mod 2) undy ≡ 0 (mod 2).Im ersten Fall folgt aus dem Lemma:
p = x2 + y2 ≡ 1 + 0 ≡ 1 (mod 4).
Im zweiten Fall gilt
p = x2 + y2 ≡ 1 + 1 ≡ 2 (mod 4).
Aber dann ware p gerade, ein Widerspruch!Also tritt der zweite Fall nicht auf, und p ≡ 1 (mod 4).q.e.d.
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Zwei-Quadrate-Satz: Beweisskizze
Sei p = x2 + y2 > 2. Da p ungerade ist, gilt (ohne Einschrankung)x ≡ 1 (mod 2) und y ≡ 0 (mod 2), oder x ≡ 1 (mod 2) undy ≡ 0 (mod 2).Im ersten Fall folgt aus dem Lemma:
p = x2 + y2 ≡ 1 + 0 ≡ 1 (mod 4).
Im zweiten Fall gilt
p = x2 + y2 ≡ 1 + 1 ≡ 2 (mod 4).
Aber dann ware p gerade, ein Widerspruch!
Also tritt der zweite Fall nicht auf, und p ≡ 1 (mod 4).q.e.d.
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Zwei-Quadrate-Satz: Beweisskizze
Sei p = x2 + y2 > 2. Da p ungerade ist, gilt (ohne Einschrankung)x ≡ 1 (mod 2) und y ≡ 0 (mod 2), oder x ≡ 1 (mod 2) undy ≡ 0 (mod 2).Im ersten Fall folgt aus dem Lemma:
p = x2 + y2 ≡ 1 + 0 ≡ 1 (mod 4).
Im zweiten Fall gilt
p = x2 + y2 ≡ 1 + 1 ≡ 2 (mod 4).
Aber dann ware p gerade, ein Widerspruch!Also tritt der zweite Fall nicht auf, und p ≡ 1 (mod 4).q.e.d.
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Primzahlen, III: Ordnung oder Chaos?
Der Ring der ganzen Gauß’schen Zahlen
Sei i ∈ C die imaginare Einheit, i2 = −1, und
Z[i ] := {x + i · y | x , y ∈ Z} ⊂ C
Fur Elemente a + i · b, c + i · d gilt:
(a + i · b)± (c + i · d) = (a± c) + i · (b ± d) ∈ Z[i ]
und
(a + i · b) · (c + i · d) = (ac − bd) + i · (ad + bc) ∈ Z[i ].
Daher ist Z[i ] ⊂ C ein Ring (genau wie Z ⊂ R).
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Der Ring der ganzen Gauß’schen Zahlen
Sei i ∈ C die imaginare Einheit, i2 = −1, und
Z[i ] := {x + i · y | x , y ∈ Z} ⊂ C
Fur Elemente a + i · b, c + i · d gilt:
(a + i · b)± (c + i · d) = (a± c) + i · (b ± d) ∈ Z[i ]
und
(a + i · b) · (c + i · d) = (ac − bd) + i · (ad + bc) ∈ Z[i ].
Daher ist Z[i ] ⊂ C ein Ring (genau wie Z ⊂ R).
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Der Ring der ganzen Gauß’schen Zahlen
Sei i ∈ C die imaginare Einheit, i2 = −1, und
Z[i ] := {x + i · y | x , y ∈ Z} ⊂ C
Fur Elemente a + i · b, c + i · d gilt:
(a + i · b)± (c + i · d) = (a± c) + i · (b ± d) ∈ Z[i ]
und
(a + i · b) · (c + i · d) = (ac − bd) + i · (ad + bc) ∈ Z[i ].
Daher ist Z[i ] ⊂ C ein Ring (genau wie Z ⊂ R).
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Der schwierige Teil des Beweises
Wir benutzen:
Theorem (Euler)
Sei p > 2 ein ungerade Primzahl, p ≡ 1 (mod 4). Dann ist −1 einquadratischer Rest modulo p, d.h. es gibt ein a ∈ Z mit
a2 ≡ −1 (mod p).
Fur ein a wie im Satz gilt dann
p | a2 + 1 = (a− i)(a + i).
Anderseits gilt p - a± i . Also ist p kein Primelement von Z[i ].
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Der schwierige Teil des Beweises
Wir benutzen:
Theorem (Euler)
Sei p > 2 ein ungerade Primzahl, p ≡ 1 (mod 4). Dann ist −1 einquadratischer Rest modulo p, d.h. es gibt ein a ∈ Z mit
a2 ≡ −1 (mod p).
Fur ein a wie im Satz gilt dann
p | a2 + 1
= (a− i)(a + i).
Anderseits gilt p - a± i . Also ist p kein Primelement von Z[i ].
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Der schwierige Teil des Beweises
Wir benutzen:
Theorem (Euler)
Sei p > 2 ein ungerade Primzahl, p ≡ 1 (mod 4). Dann ist −1 einquadratischer Rest modulo p, d.h. es gibt ein a ∈ Z mit
a2 ≡ −1 (mod p).
Fur ein a wie im Satz gilt dann
p | a2 + 1 = (a− i)(a + i).
Anderseits gilt p - a± i . Also ist p kein Primelement von Z[i ].
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Der schwierige Teil des Beweises
Wir benutzen:
Theorem (Euler)
Sei p > 2 ein ungerade Primzahl, p ≡ 1 (mod 4). Dann ist −1 einquadratischer Rest modulo p, d.h. es gibt ein a ∈ Z mit
a2 ≡ −1 (mod p).
Fur ein a wie im Satz gilt dann
p | a2 + 1 = (a− i)(a + i).
Anderseits gilt p - a± i . Also ist p kein Primelement von Z[i ].
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Der schwierige Teil des Beweises
Wir haben gezeigt: eine Primzahl p ≡ 1 (mod 4) ist keinPrimelement von Z[i ]. Daraus folgt:
?⇒ p = (a + i · b)(c + i · d), |a + i · b|, |c + i · d | > 1
⇒ p2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
⇒ p = a2 + b2.
q.e.d.
Allerdings braucht es fur?⇒ eine besondere Begrundung!
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Der schwierige Teil des Beweises
Wir haben gezeigt: eine Primzahl p ≡ 1 (mod 4) ist keinPrimelement von Z[i ]. Daraus folgt:
?⇒ p = (a + i · b)(c + i · d), |a + i · b|, |c + i · d | > 1
⇒ p2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
⇒ p = a2 + b2.
q.e.d.
Allerdings braucht es fur?⇒ eine besondere Begrundung!
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Der schwierige Teil des Beweises
Wir haben gezeigt: eine Primzahl p ≡ 1 (mod 4) ist keinPrimelement von Z[i ]. Daraus folgt:
?⇒ p = (a + i · b)(c + i · d), |a + i · b|, |c + i · d | > 1
⇒ p2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
⇒ p = a2 + b2.
q.e.d.
Allerdings braucht es fur?⇒ eine besondere Begrundung!
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Primzahlen, III: Ordnung oder Chaos?
Der schwierige Teil des Beweises
Wir haben gezeigt: eine Primzahl p ≡ 1 (mod 4) ist keinPrimelement von Z[i ]. Daraus folgt:
?⇒ p = (a + i · b)(c + i · d), |a + i · b|, |c + i · d | > 1
⇒ p2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
⇒ p = a2 + b2.
q.e.d.
Allerdings braucht es fur?⇒ eine besondere Begrundung!
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Der schwierige Teil des Beweises
Wir haben gezeigt: eine Primzahl p ≡ 1 (mod 4) ist keinPrimelement von Z[i ]. Daraus folgt:
?⇒ p = (a + i · b)(c + i · d), |a + i · b|, |c + i · d | > 1
⇒ p2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
⇒ p = a2 + b2.
q.e.d.
Allerdings braucht es fur?⇒ eine besondere Begrundung!
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Primzahlen, III: Ordnung oder Chaos?
Das Klassenzahl-1-Problem
Fur den Beweis von?⇒ benotigt man:
Theorem (Gauss)
Der Ring Z[i ] besitzt eine eindeutige Zerlegung in Primfaktoren.
Zum Beispiel hat eine Primzahl p ≡ 1 (mod 1) in Z[i ] diePrimfaktorzerlegung
p = π · π,
wobei π := a + i · b zur Darstellung
p = a2 + b2
korrespondiert.
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Das Klassenzahl-1-Problem
Fur den Beweis von?⇒ benotigt man:
Theorem (Gauss)
Der Ring Z[i ] besitzt eine eindeutige Zerlegung in Primfaktoren.
Zum Beispiel hat eine Primzahl p ≡ 1 (mod 1) in Z[i ] diePrimfaktorzerlegung
p = π · π,
wobei π := a + i · b zur Darstellung
p = a2 + b2
korrespondiert.
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Primzahlen, III: Ordnung oder Chaos?
Das Klassenzahl-1-Problem
Sei d ∈ N quadratfrei. Wir setzen
θ :=
{i ·√d , falls d ≡ 1, 2 (mod 4),
1+i ·√d
2 , falls d ≡ 1 (mod 4).
Dann istZ[θ] := {a + b · θ | a, b ∈ Z} ⊂ C
ein Ring mit ahnlichen Eigenschaften wie Z[i ] (und es giltZ[θ] = Z[i ] fur d = 1).
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Das Klassenzahl-1-Problem
Theorem (Baker–Heegner–Stark, 1952-69)
Der Ring Z[θ] besitzt eine eindeutige Primfaktorzerlegung genaufur
d = 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163.
Der Fall d = 163 ist besonders interessant: fur
θ =1 + i ·
√163
2
besitzt Z[θ] eine eindeutige Primfaktorzerlegung, und es gilt
f (n) = n2 − n + 41 = (n − θ)(n − θ).
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Das Klassenzahl-1-Problem
Theorem (Baker–Heegner–Stark, 1952-69)
Der Ring Z[θ] besitzt eine eindeutige Primfaktorzerlegung genaufur
d = 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163.
Der Fall d = 163 ist besonders interessant: fur
θ =1 + i ·
√163
2
besitzt Z[θ] eine eindeutige Primfaktorzerlegung, und es gilt
f (n) = n2 − n + 41 = (n − θ)(n − θ).
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Des Ratsels Losung
Sei 0 ≤ n ≤ 40 und m := f (n) = n2 − n + 41. Es gilt
41 ≤ m < 412.
Wir mochten zeigen, dass m ein Primzahl ist.
Annahme: m ist keine Primzahl.
Dann gibt es einen Primteiler p | m, p < 40. Fur p gilt:
p | m = n2 − n + 41 = (n − θ)(n − θ),
aber p - n − θ, n − θ. Also ist p kein Primelement in Z[θ].
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Des Ratsels Losung
Sei 0 ≤ n ≤ 40 und m := f (n) = n2 − n + 41. Es gilt
41 ≤ m < 412.
Wir mochten zeigen, dass m ein Primzahl ist.
Annahme: m ist keine Primzahl.
Dann gibt es einen Primteiler p | m, p < 40. Fur p gilt:
p | m = n2 − n + 41 = (n − θ)(n − θ),
aber p - n − θ, n − θ. Also ist p kein Primelement in Z[θ].
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Des Ratsels Losung
Sei 0 ≤ n ≤ 40 und m := f (n) = n2 − n + 41. Es gilt
41 ≤ m < 412.
Wir mochten zeigen, dass m ein Primzahl ist.
Annahme: m ist keine Primzahl.
Dann gibt es einen Primteiler p | m, p < 40.
Fur p gilt:
p | m = n2 − n + 41 = (n − θ)(n − θ),
aber p - n − θ, n − θ. Also ist p kein Primelement in Z[θ].
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Des Ratsels Losung
Sei 0 ≤ n ≤ 40 und m := f (n) = n2 − n + 41. Es gilt
41 ≤ m < 412.
Wir mochten zeigen, dass m ein Primzahl ist.
Annahme: m ist keine Primzahl.
Dann gibt es einen Primteiler p | m, p < 40. Fur p gilt:
p | m = n2 − n + 41 = (n − θ)(n − θ),
aber p - n − θ, n − θ. Also ist p kein Primelement in Z[θ].
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Des Ratsels Losung
Annahme: m = n2 − n + 41 ist keine Primzahl, 0 ≤ n < 41.
Dann gibt es p | m, p < 40, und p ist kein Primelement n Z[θ].
Wie im Beweis des Zwei-Quadrate-Satzes folgt daraus
p = x2 − xy + 41y2 > 40.
Dies ist ein Widerspruch!
Die Annahme muss daher falsch sein, also ist m = n2 − n + 41 einePrimzahl.
q.e.d.
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Des Ratsels Losung
Annahme: m = n2 − n + 41 ist keine Primzahl, 0 ≤ n < 41.
Dann gibt es p | m, p < 40, und p ist kein Primelement n Z[θ].Wie im Beweis des Zwei-Quadrate-Satzes folgt daraus
p = x2 − xy + 41y2
> 40.
Dies ist ein Widerspruch!
Die Annahme muss daher falsch sein, also ist m = n2 − n + 41 einePrimzahl.
q.e.d.
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Primzahlen, III: Ordnung oder Chaos?
Des Ratsels Losung
Annahme: m = n2 − n + 41 ist keine Primzahl, 0 ≤ n < 41.
Dann gibt es p | m, p < 40, und p ist kein Primelement n Z[θ].Wie im Beweis des Zwei-Quadrate-Satzes folgt daraus
p = x2 − xy + 41y2 > 40.
Dies ist ein Widerspruch!
Die Annahme muss daher falsch sein, also ist m = n2 − n + 41 einePrimzahl.
q.e.d.
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Primzahlen, III: Ordnung oder Chaos?
Des Ratsels Losung
Annahme: m = n2 − n + 41 ist keine Primzahl, 0 ≤ n < 41.
Dann gibt es p | m, p < 40, und p ist kein Primelement n Z[θ].Wie im Beweis des Zwei-Quadrate-Satzes folgt daraus
p = x2 − xy + 41y2 > 40.
Dies ist ein Widerspruch!
Die Annahme muss daher falsch sein, also ist m = n2 − n + 41 einePrimzahl.
q.e.d.
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Primzahlen, III: Ordnung oder Chaos?
Primzahlen III: Ordnung oder Chaos?
Die Folien dieses Vortrags konnen von meiner Webseiteheruntergeladen werden:
https://www.uni-ulm.de/mawi/rmath/mitarbeiter/wewers/
Vielen Dank fur Ihre Aufmerksamkeit!
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Primzahlen III: Ordnung oder Chaos?
Die Folien dieses Vortrags konnen von meiner Webseiteheruntergeladen werden:
https://www.uni-ulm.de/mawi/rmath/mitarbeiter/wewers/
Vielen Dank fur Ihre Aufmerksamkeit!
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