Primzahlen

Wie viele gibt es?Wie findet man Primzahlen?

Primzahlen 2

Haben Sie eine Lieblingsprimzahl?

2

7

11

23 (Trons Zahl)

Meine kleine Lieblingsprimzahl : 17

Primzahlen 3

Der Plan:

Was sind Primzahlen?Warum sind sie wichtig?Wie viele Primzahlen gibt es?Wie findet man Primzahlen?Wege zum Ruhm.

Ende: Nach 40 Minuten, auf jeden Fall

Primzahlen 4

Was ist eine Primzahl?

Die Definition:

Eine Zahl heißt Primzahl, wenn sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist.

Es geht um natürliche Zahlen, es geht um Teilbarkeit.

Schon jetzt: 1 ist keine Primzahl, sie macht nur unnötigen Ärger!

Primzahlen 5

Teilbarkeit

7 teilt 42: 7 | 42, denn 42 ist Vielfaches von 7,

d.h. 42 = 6 ∙ 7

8 teilt 42 nicht: 8 ∤ 42, denn 42 ist nicht Vielfaches von 8,

d.h. es gibt keine Zahl c mit 42 = c ∙ 8

Primzahlen 6

Teilbarkeit

Die grundlegende Definition:

a | b bedeutet: a teilt b (ohne Rest), also:

b ist Vielfaches von a.

Primzahlen 7

Teilbarkeitseigenschaften

7 │ 42 und 7 │63, also auch 7 │ (42 + 63),7 │105

Teilt a die Zahlen b und c, dann auch b+c

7 │ 42 und 7 │63, also auch 7 │ (42 - 63),7 │-21

Teilt a die Zahlen b und c, dann auch b-c

Primzahlen 8

Primzahlen

Nochmals die Definition:

Eine natürliche Zahl, von 1 verschieden,

heißt Primzahl, wenn sie nur durch 1 und

sich selbst teilbar ist.

1 ist keine Primzahl. Die kleinste Primzahl ist 2.

Primzahlen 9

Die Primzahlen bis 20, der Reihe nach:

Primzahlen 10

Die Primzahlen bis 20:

2, 3, 5, 7,

11, 13, 17, 19

Anzahl = π(20) = 8

π(x) = Anzahl der Primzahlen bis zur Zahl x

Primzahlen 11

Größte zweistellige Primzahl

Kandidaten:

91

93

95

97

99

Primzahlen 12

Größte zweistellige Primzahl

Kandidaten:91: Durch 7 teilbar93: Durch 3 teilbar95: Durch 5 teilbar97: Primzahl99: Durch 3 teilbar

97 ist die größte zweistellige Primzahl.

Primzahlen 13

Kleinste dreistellige Primzahl

Kandidaten:

101

103

105

107

109

Primzahlen 14

Kleinste dreistellige Primzahl

Kandidaten:

101: Primzahl

103: Primzahl

105: Durch 5 teilbar

107: Primzahl

109: Primzahl

101, 103 und 107, 109 sind Primzahlenzwillige

Primzahlen 15

Kleinste dreistellige Primzahl

Kandidaten:

1001

1003

1005

1007

1009

Gar nicht mehr so einfach!

Primzahlen 16

Kleinste dreistellige Primzahl

Kandidaten:

1001: Durch 11 teilbar(11·91)

1003: Durch 17 teilbar(17·59)

1005: Durch 5 teilbar (5·201)

1007: Durch 19 teilbar(19·53)

1009: Primzahl

Primzahlen 17

Primzahlen sind wichtig für:

Mathematiker

Kryptologen

Primzahlen 18

Primzahlen in der Mathematik

Beispiele:

42 = 2∙3∙7700 = 2∙2∙5∙5∙7 = 22∙52∙7

Sie finden dies bei Euklid. Primzahlen sind die Atome der Zahlen.

Der Fundamentalsatz der Arithmetik:

Jede natürliche Zahl größer als 1 lässt sich eindeutig in Primfaktoren zerlegen.

Primzahlen 19

Wie zerlegt man in Primfaktoren?

Beispiele:

Z = 42

Z = 182

Z = 3553

Z = 135014

Dies ist nicht einfach!

Primzahlen 20

Wie zerlegt man in Primfaktoren?

Beispiele:

Z = 42 = 2∙21 = 2∙3∙7

Z = 364 = 2∙182 = 22∙7∙13

Z = 3553 = 11∙323 = 11∙17∙19

Z = 135014 = 2∙11∙17∙192

Es ist schwierig,

große Zahlen zu „faktorisieren“

Primzahlen 21

Kryptologen und Primzahlen

RSA

Ron Rivest Adi ShamirLeonard Adleman

Löst Problem der Schlüsselübergabe im Internet

Primzahlen 22

RSA

Asymmetrische Verschlüsselung

Benötigt große geheime Primzahlen

Entscheidend: Gibt es genügend viele große Primzahlen?Wie viele Primzahlen gibt es überhaupt?

Primzahlen 23

Wie viele Primzahlen gibt es?

Euklid: (325 – 265 v.Chr.)

Es gibt unendlich

viele Primzahlen.

Primzahlen 24

Euklids Beweis

Die Folgerung:

Es gibt unendlich viele Primzahlen!

Die Idee: Aus endlich vielen Primzahlen kann man stets eine weitere konstruieren.

Primzahlen 25

Euklids Beweisidee

Beispiel:

Primzahlen: 2, 3, 5

E = 2∙3∙5 + 1 = 31:

Keine der Zahlen 2, 3, 5 kann E teilen.

E ist sogar eine neue Primzahl!

Primzahlen 26

Euklids Beweis

Noch ein Beispiel:

Primzahlen: 3, 5, 7E = 3∙5∙7 + 1 = 106: Keine der Zahlen 3, 5, 7 kann E teilen.

E ist keine neue Primzahl! Aber: E enthält neue Primzahlen als Faktoren.

Primzahlen 27

Euklids Beweis, allgemein:

Allgemein:

p1, p2, p3, …, pn seien Primzahlen.

E = p1∙ p2 ∙ p3 ∙ … ∙ pn + 1 :

•Keine der Zahlen p1, p2, p3, …, pn teilt E. Die Primfaktoren von E sind neue Primzahlen.

Primzahlen 28

Der Beweis von Hermite

Charles Hermite1822 – 1901

Wichtige Arbeiten: Zahlentheorie, elliptische Funktionen, quadratische Formen, e ist transzendent.

Primzahlen 29

Der Beweis von Hermite

Die Idee: Ist eine Zahl n gegeben, so gibt es eine Primzahl

größer als n.

Die Folgerung:

Es gibt unendlich viele Primzahlen.

Primzahlen 30

Der Beweis von Hermite für n = 5

Keine der Zahlen 2, 3, 4, 5 kann

H5 = (1 ·2 ·3 ·4 ·5) + 1 = 5! + 1

teilen.

Also ist jeder Primfaktor von H5 größer als 5.

Primzahlen 31

Der Beweis von Hermite für n

Keine der Zahlen 2, 3, 4, …, n kann

Hn = (1 · 2 · 3 · 4 · … · n) +1 = n! + 1

teilen.

Also ist jeder Primfaktor von Hn größer als n.

Primzahlen 32

Kummers Beweis: Der Schönste

Ernst Eduard Kummer

1810 – 1893

Wichtige Arbeiten zur

Analysis,

Zahlentheorie,

Fermats Vermutung

Primzahlen 33

Kummers Beweis

Die Folgerung:

Es gibt unendlich viele Primzahlen!

Die Idee: Wenn es nur endlich viele Primzahlen gibt, dannentsteht ein Widerspruch

Primzahlen 34

Kummers Beweis:

Annahme: Es gibt nur die n Primzahlen

p1, p2, p3, …, pn.

Bilde Z = p1,· p2, · p3 ·… · pn.

Die Primfaktorzerlegung von Z-1 enthältdann eine dieser Primzahlen als Faktor,

etwa pi.

Dann muss pi auch Z – (Z-1) = 1 teilen. Dies geht nicht!

Primzahlen 35

Unendlich viele Primzahlen, ist das genug?

In der Kryptologie interessant:

Primzahlen mit etwa 300 Stellen.

Gibt es genügend viele davon?

Es gibt unendlich viele Zahlen der Form nn, aber nur 149 mit weniger als 300 Stellen.

Primzahlen 36

Richtig gemein: Primzahlenlücken

Es gibt beliebig große Primzahlenlücken.

Als Beispiel: Eine Lücke der Länge 42

43! + 2, 43! + 3, 43! + 4, ….. , 43! + 43

(Aber: 43! = 6 ∙ 1052)

Primzahlen 37

Die Verteilung der Primzahlen

π(10) = |{2, 3, 5, 7}| = 4

π(20) = |{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}| = 8

π(30) = |{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}| = 10

π(100) = 25; π(1000) = 168;

π(1 000 0

π(x) = Anzahl der Primzahlen x

00) = 78 498

Primzahlen 38

Erste gute Ergebnisse:

Pafnuty Tschebycheff

1821 – 1894

Arbeiten zur

Analysis,

Zahlentheorie

Primzahlen 39

Tschebycheffs Ergebnis:

1Satz: Für x 2 gilt mit a= log 2 und

4A = 6log 2:

x xa π(x) < A

logx logx

Primzahlen 40

Der Primzahlensatz (1896)

Satz:

Für große x: xπ(x)

ln(x)

Primzahlen 41

Der Primzahlensatz (1896)

Nicolas de la Vallee-

Poussin

(1866 – 1962)

Primzahlen 42

Der Primzahlensatz (1896)

Jacques Salomon

Hadamard

(1865 – 1963)

Primzahlen 43

Wie viele Primzahlen bis 10300?

300 300300 297

300

10 10π(10 ) > 10

ln(10 ) 300 ln(10)

Primzahlen 44

Bestimmung von Primzahlen

Verschiedene Vorgehensweisen:

– Siebe (Eratosthenes, quadratische Siebe)– Formeln (traurig und schön)– Monte-Carlo-Methoden für große Primzahlen

Primzahlen 45

Das Sieb des Eratosthenes

Eratosthenes

Geb.: 276 v. Chr. InCyrene (Libyen)

Gest.: 194 v. Chr. in Alexandria

U.a.: Zahlentheoretiker.

Primzahlen 46

Eratosthenes

Ein sehr kluger Mann

Bestimmte den Erdradius

Primzahlen 47

Eratosthenes: Alle Primzahlen bis 50 bestimmen.

Sein modernes

Verfahren:

Iterationsverfahren

Start: Wie fange ich an?

Iterationsschritt:

Immer die gleichen Schritte.

Mit veränderten Daten.

Abbruch:

Wann höre ich auf?

Primzahlen 48

Sieb des Eratosthenes:Alle Primzahlen bis 50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Primzahlen 49

Sieb des Eratosthenes:Alle Primzahlen bis 50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Primzahlen 50

Sieb des Eratosthenes:Alle Primzahlen bis 50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Primzahlen 51

Sieb des Eratosthenes:Alle Primzahlen bis 50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Primzahlen 52

Sieb des Eratosthenes:Alle Primzahlen bis 50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Primzahlen 53

Sieb des Eratosthenes:Alle Primzahlen bis 50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Primzahlen 54

Sieb des Eratosthenes:Alle Primzahlen bis 50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Primzahlen 55

Sieb des Eratosthenes:Alle Primzahlen bis 50: π(50) =15

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Primzahlen 56

Primzahlen nach Formeln: Mersenne Zahlen

Marin Mersenne

Geb.: 1588 in OizeGest.: 1648 in Paris

Mathematiker undPhysiker,suchte Formeln für Primzahlen

Primzahlen 57

Mersenne Zahlen

M(p) = 2p – 1, p PrimzahlM(2) = 22 – 1 = 4 – 1 = 3M(3) = 23 – 1 = 8 – 1 = 7M(5) = 25 -1 = 32 -1 =31M(7) = 27 – 1 = 128 – 1 = 127M(11) = 211 – 1 = 2048 - 12047 = 23*89,

keine Primzahl

Primzahlen 58

Primzahlen 59

Mersenne Zahlen: M44 (4.9.2006)

M44 = 232 582 657 – 1M44 besitzt 9 808 358 Stellen!M44 als Textdatei: 10 MB

Primzahlen 60

• 3154164756188460809363030286645451701265196562623238703163237107951353874490069346209438629475170296• 6362361422994450686916698686600279039593446893432936551204206347823658766440668754025307664209877402• 0969609945983292505783928283570842567724222472424177384530775747071585395344060062523282594879423792• 4394762048922434865847035028788593595047780850179458230391559238902357133419984601919493448218924829• 7423971417367146785344920107187028854616889613680555081376552273643139066199808666001320015918479958• 6344310640160882662896619835513624965683427527228832614627235339926202140626135740059405043680416024• 5695791118476877879904040314888270764778638440564460594446715493640212840524640263853258648567875880• 5207486603779584656802441561512807448053088924530413276985790310479275392759409642958887074769447677• 8455686462581130357179495540007112806849012797583398279772692025012125112023957367805032874051785391• 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8990202441978327960533232905516300332979279381548175680754536752734938106030522829872888560538531442• 5459646977842425273627674249003089465521112370556179318628634625387890120725949945144901549309075056• 4305162310550035739673980410386854676491434256527299066349441601754962998888851568996973366396423222• 0378706621907724941957217674960878448882308920721524587328468256420010375531458681119430872328687124• 2537549090447493689073519984748102397949303464944676206218413265539794091064593191285303991214411211• 9740936337500199326897352488182346553964317734576807622090959329337503226196703101713183279159318815• 1354379593841837678621542346006656503875688414975697381475998348561378858914148710121190009655970578• 1878438641245591210649877364078066402757795600646109600197869687237548737869999975380258388027000801• 6308462728058684293077227765191881626841375595175739375958474491833031164557586683691032023237466155• 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1777699494825771772872209594741217886009629289008246881812742191030217616284961503821174742349885315• 6577661169807847623982187003417225697108321577411291108410865523973229459360169214867049760624998777• 9894464939426562832554479594386939010319366348989811957998819762301274806592709067149506780095037434• 7178770225829018828901565117507666653664012018977208237978750461258380759175170487436872655626395343• 9196666571180131839946928883538975048310287196034896045971774451932008592682654118936510002826403256• 8325922867927934014448437078790364848068662062128037675303557918015534510798400084033516367841050368• 2879929695762445112556370412017097113478910753907930231288880365210352591232777990485484577973036998• 2925349414104445128705778128384750358006247373494347716475012847425836445016477124861291311336977869• 2922878538962702351910927028247418996202573971071054481539592846548530008218029489122433138657311186• 5565335019498196530366993068985267936110909368685894234612183981614488487925021745953386799956640271• 4033910498895117489680123325987655933050186209290494788432488669444486519790642745953402720009437232• 2534742249903225315322984039049743488448432314474704416056595444025312990961499334159597867937768904• 4836973902911920650758489608689531921395820901619373824926714558581236161539984527456626110228558656• 7530114460959284720075588433973918442902352080772735317766397787560058618477610491195882327307658097• 4516231659312568541252429679748654593066139294523701177711082788993468476864909629751645572470793107• 1787653996030343667698858622518074850642323707000792901283740230128947151964632283999758373693282487• 6718348090368546669507869862136671580412216303080312685929372127536845346748149695398617967533994408• 8359658279622338659685088570081603755487541103549846409653478431170829138716824993808569263448903886• 9086348864073329146699589382743945881995571403713806730499027182975435979213155899801803602511532716• 5674840104566052433656905359506778996450521114190635079681140988072789137215926086881390814747077127• 6505620100550628834172694152767890293695676748400840515730029145202475114226816741978378420383265146• 7490443296673774412642095426164607592544210845017646436449204013054481756437822324898792997350536727• 7867595589951512906599152514267426733868924810370304130450204878471115674135577538403244493328800794• 0408597048769824447093527816329485336946043816244282047685002062214706582909668259382120612027351912• 5364582815801771046099486812467772852317916544306314258873303216528864150477980801432304596268937583• 6025064282895041248103375063999146410278697620253421599103820689379288876629963307320736675201384179• 3178480482258803425092321205333384894656674246934134872511869700279295154896515186914583905279096607• 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Primzahlen 61

M44

Ausgedruckt mit 8-Punktschrift:

Etwa 1200 Seiten

Primzahlen 62

Eine Formel für alle Primzahlen

• Hardy und Wrights Formel

• n Zweien bei f(n) • ω = 1.9287800…• Zur Berechnung von ω

benötigt man alle Primzahlen

• Nicht sehr praktisch!• Es gibt weitere solcher

Formeln

Primzahlen 63

Godfrey Harold Hardy

Geb.: 1877 in Cranleigh

Gest.: 1947 in Cambridge

Einer der bedeutendsten

Zahlentheoretiker des

20. Jahrhunderts

Primzahlen 64

Primzahlenzwillinge

Primzahlen im Abstand 2:

3, 5

11, 13

29, 31

101, 103

……..

Primzahlen 65

Wie viele Zwillinge gibt es?

Man weiß es nicht.

Wahrscheinlich unendlich viele (Hardy)

Neueste Ergebnisse aus den USA und der

Türkei stützen dies

Primzahlen 66

Viggo Brun

Mathematiker, Norweger

1885 – 1978

Bedeutender

Zahlentheoretiker

Primzahlen 67

Bruns Witz

2, 2

Pr

2

1 1 = B 1,902160583...

2

1 1 1 1 1 1 1 1.... B

3 5 5 7 11 13 17 19

p pimzahl

p p

Primzahlen 68

Wege zum Ruhm: Probleme der Zahlentheorie

Die Goldbachsche Vermutung,

Die Riemannsche Vermutung,

Vermutung, dass es unendlich viele Primzahlenzwillinge gibt

Ein schnelle Algorithmus zur Primfaktorzerlegung

Primzahlen 69

Konkurrenten

Primzahlen 70

Die Goldbachsche Vermutung

Christian Goldbach

Geb.: 1690 in Königsberg

Gest.: 1764 in Moskau

Primzahlen 71

Die Vermutung

Beispiel: 100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 13 + 87 = ….

Goldbach II: Jede ungerade Zahl > 7 ist die Summe von drei ungeraden PrimzahlenBeispiel: 51 = 3 + 17 + 31 = 5 + 17 + 29 =

5 + 23 + 23 = ….

Goldbach I: Jede gerade Zahl ≥ 4 ist Summe zweier Primzahlen.

Primzahlen 72

Goldbach I: State of the Art

Bestätigt bis 2x1016 Jede gerade Zahl ist Summe von höchstens 6

PrimzahlenVinogradov: Jede genügend große Zahl ist

Summe von höchstens 4 PrimzahlenVinogradov: Fast alle geraden Zahlen sind

Summe von 2 PrimzahlenCheng Jing-run (1966): Jede gerade Zahl ≥ 4 ist

Summe aus einer Primzahl und einer Zahl mit höchstens zwei Primfaktoren

Primzahlen 73

Goldbach I:

Im Jahr 2000 wurde ein Preis von

1 000 000 $ für den Beweis der

Goldbachschen Vermutung ausgesetzt.

Nach Ansicht der meisten Mathematiker

stimmt die Goldbachsche Vermutung;

statistische Argumente sprechen dafür.

Primzahlen 74

Bernhard Riemann (1826 – 1866)

Nachfolger von Gauß inGöttingen

Mathematisches Genie

Ohne ihn keine allgemeine Relativitäts-theorie

Primzahlen 75

Die Riemannsche Vermutung

zn=1

1ς(z)=

n

Alle komplexen Nullstellen

haben die Form

1

Schwierig,

Sie haben schlechte

z = +i

Cha

y.2

ncen.

Primzahlen 76

Primzahlenzwillinge

Zeigen Sie, dass es unendlich viele gibt,entschärfen Sie den Witz von Viggo Brun.

Sie werden länger berühmt sein als DanielKübelböck.

Sie werden die Fields-Medaille oder den Abelpreis erhalten.

Primzahlen 77

Ein schneller Algorithmus zur PFZ

Überleben schwierig!

Falls doch, Sie sind

berühmt, für immer!

Primzahlen 78

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit

Eine Literaturliste liegt aus.Der Vortrag unterliegt der GNU-License.

PDF-Version des Vortrags demnächst auf der TholeyerHomepage

Für (nicht allzu) kritischeKommentare bin ich dankbar.