Teilbarkeit und Primzahlen

D. Totaro & C. Spannagel

Teilbarkeit und Primzahlen

Ausgewählte Kapitel der MathematikWintersemester 2012 / 2013




• Was bedeutet Teilbarkeit?• Welche Teilbarkeitsregeln gibt es?• Was sind arme und reiche Zahlen?• Was sind Primzahlen?• Was ist das Sieb des Eratosthenes?• Was sind Primzahlzwillinge?• Primzahlen – wofür gut?

Überblick


Lösen Sie folgende Aufgaben:

Bilden Sie 5-stellige Zahlen die teilbar sind:

a) durch 15b) durch 3, aber nicht durch 9c) durch 3 und 8d) durch 2, aber nicht durch 4

Aufgaben

Bild by: Bdesham: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Text_document_with_red_question_mark.svg?uselang=de

http://commons.wikimedia.org/wiki/User:Bdesham

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Text_document_with_red_question_mark.svg?uselang=de



DefinitionTeilbarkeit ist eine Beziehung zwischen zwei ganzen Zahlen.

Man schreibt: a I b

http://de.wikipedia.org/wiki/Teilbarkeit

Die ganze Zahl a ist genau dann Teiler der ganzen Zahl b, wenn (mindestens) eine ganze Zahl q existiert mit qa=b.

Die ganze Zahl b ist genau dann ein Vielfaches der ganzen Zahl a, wenn (mindestens) eine ganze Zahl q existiert mit qa=b.




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Teilbarkeitsregeln

Wiederholen Sie gemeinsam die Teilbarkeitsregeln.Wann ist eine Zahl durch folgende Zahlen teilbar:

2

3

4

56

7

8

9


Teilermenge

Die Menge aller Teiler einer natürlichen Zahl nennt man Teilermenge.

Schreiben Sie die Teilermenge von 36 aufund dann die Teilermenge von 24. Erstellen Sie nun ein Venn-Diagramm.

Welches ist der größte gemeinsame Teiler (ggT)?

***Was wäre das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von 36 und 24?






Teilersumme

Beispiel:Die Zahl 6 hat die Teiler 1, 2, 3 und 6. Die Teilersumme für 6 lautet also 1+2+3+6 = 12.

Die echte Teilersumme der Zahl 6 lautet also 1+2+3 = 6

http://de.wikipedia.org/wiki/Teilersumme

Unter der Teilersumme einer natürlichen Zahl versteht man die Summe aller Teiler dieser Zahl.

Die echte Teilersumme der natürlichen Zahl n ist die Summe der Teiler von n ohne die Zahl n selbst.




Überblick


Eine natürliche Zahl n > 1 heißt…

http://de.wikipedia.org/wiki/Teilersumme

Teilersumme

…teilerarm, wenn die echte Teilersumme kleiner ist als n. Echte Teilersumme von 10: 1+2+5 = 9

…teilerreich, wenn die echte Teilersumme größer ist als n. Echte Teilersumme von 12: 1+2+3+4+6= 16

…vollkommen, wenn die echte Teilersumme gleich n ist.Echte Teilersumme von 6: 1+2+3=6


Finden Sie noch weitere Beispiele für…

…eine teilerarme Zahl.

…eine teilerreiche Zahl.

***…eine vollkommene Zahl.

Teilersumme






Teilersumme

Wie sieht die Teilersumme einer Primzahl aus?

Wie sieht die Teilersumme einer Primzahl aus?




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DefinitionDas Wort „Primzahl“(numerus primus) bedeutet „die erste Zahl“.

Eine Primzahl p ist eine natürliche Zahl, die genau zwei Teiler hat (nämlich 1 und p).

Welche dieser Zahlen sind Primzahlen?

Vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/PrimzahlenVgl. Padberg 2008, S.13

1

5 2

7

9

15

0


Finden Sie alle Primzahlen…

Bild by: Sebastian Koppehel: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Animation_Sieb_des_Eratosthenes.gif?uselang=de#filehistory (CC-BY-SA)

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Animation_Sieb_des_Eratosthenes.gif?uselang=de





Überblick


Finden Sie alle Primzahlen…

Bild by: Sebastian Koppehel: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Animation_Sieb_des_Eratosthenes.gif?uselang=de#filehistory (CC-BY-SA)




Primzahlen - Besonderheiten

Was fällt bei der Verteilung der Primzahlen auf?Was könnten Primzahlzwillinge sein?

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643…




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PrimzahlzwillingeDie Primzahlen 2 und 3 sind die einzigen unmittelbar benachbarten Primzahlen.

Zwischen allen übrigen Primzahlen liegt mindestens eine gerade Zwischenzahl.

Vgl. Padberg 2008, S.13Bild by: Raul Carabeo: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Twin_boys.JPG (CC-BY-SA)

Zwei aufeinanderfolgende Primzahlen pn und pn+1 mit: pn+1 – pn = 2

bezeichnet man als Primzahlzwillinge.

http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Raul_Carabeo&action=edit&redlink=1

http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Raul_Carabeo&action=edit&redlink=1

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Twin_boys.JPG

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Twin_boys.JPG


Primzahlzwillige – Wo?Suchen Sie Primzahlzwillinge!

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643…


Bausteine für natürliche Zahlen?

Vgl. Padberg 2008, S.13

Lässt sich jede zusammengesetzte natürliche Zahl a 1 als Produkt von ausschließlich Primzahlen darstellen? Probieren Sie aus.

Lässt sich jede zusammengesetzte natürliche Zahl a 1 als Produkt von ausschließlich Primzahlen darstellen? Probieren Sie aus.




Überblick


Primzahlen und der Rest der Welt...

…Bei den Tieren: Lebenslauf einer Zikade

Foto by Karsten Dörre: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Rhododendron-Zikade_2006_08.jpg?uselang=de (CC-BY-SA)Foto by ©entomart: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Cicadella_viridis01.jpg&filetimestamp=20060514051829Foto by: Martin Hauser: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Magicicada_fg06_ver%C3%A4ndert.jpg&filetimestamp=20061217105935 (CC-BY-SA)

13 oder 17 Jahre lange Entwicklung im Boden

Alle Erwachsenen schlüpfen gleichzeitig, machen ca. 6 Wochen Party, vermehren sich und sterben dann

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Rhododendron-Zikade_2006_08.jpg?uselang=de

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Rhododendron-Zikade_2006_08.jpg?uselang=de

http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Cicadella_viridis01.jpg&filetimestamp=20060514051829

http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Cicadella_viridis01.jpg&filetimestamp=20060514051829

http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Magicicada_fg06_ver%C3%A4ndert.jpg&filetimestamp=20061217105935




Primzahlen und der Rest der Welt...

… Bei den Pflanzen: Die Fichte

Foto by: Heinz Seehagel: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:GemeineFichte.jpg&filetimestamp=20051217132402Illustration by: Franz Eugen Köhler: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Picea_abies_-_K%C3%B6hler%E2%80%93s_Medizinal-Pflanzen-105.jpg&filetimestamp=20070129225405

http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:GemeineFichte.jpg&filetimestamp=20051217132402



http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Picea_abies_-_K%C3%B6hler%E2%80%93s_Medizinal-Pflanzen-105.jpg&filetimestamp=20070129225405

http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Picea_abies_-_K%C3%B6hler%E2%80%93s_Medizinal-Pflanzen-105.jpg&filetimestamp=20070129225405


…In der Technik: Die Verschlüsselungstechnik

Primzahlen und der Rest der Welt…

Grafik by:Stern: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Verschl%C3%BCsselung_(symmetrisches_Kryptosystem)_Schema.svg&filetimestamp=20110809183718Foto by:Hk kng:http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lock-icon.svg?uselang=de (CC-BY-.SA)

http://en.wikipedia.org/wiki/de:Benutzer:Stern

http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Verschl%C3%BCsselung_(symmetrisches_Kryptosystem)_Schema.svg&filetimestamp=20110809183718

http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Verschl%C3%BCsselung_(symmetrisches_Kryptosystem)_Schema.svg&filetimestamp=20110809183718

http://commons.wikimedia.org/wiki/User:Hk_kng




…noch ein einfaches Verschlüsselungsbeispiel:

19 03 08 15 05 14 05

06 05 18 09 05 14 !!!

Und zum Schluss…

Foto by Ben Tubby: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Falkland_Islands_Penguins_22.jpg (CC-BY)

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Falkland_Islands_Penguins_22.jpg

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Falkland_Islands_Penguins_22.jpg

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