Post on 31-Aug-2019
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Timo Leuders
Produktives üben ist keine Zauberei
Mathe für alle TagungPH Freiburg
17. Oktober 2008
Timo Leuders
Was ist produktives Üben?
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Timo Leuders
Bunte Hunde
Timo Leuders
Schriftliches Rechnen
„Bevor Schülerinnen und Schüler Mathematik betreiben können, müssen sie sich erst einmal bestimmte Fertigkeiten und Kenntnisse aneignen. Das geschieht durch Wiederholung und langsames Erhöhen der Schwierigkeit.“
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Timo Leuders
Jetzt sind Sie gefragt
Timo Leuders
Üben und EntdeckenJede Mathematikstunde soll den Kindern Raum zu neuen Erfahrungen und Entdeckungen geben können. Aktiv-entdeckendes Lernen kann und muss also nicht nur in so genannten "Einführungsstunden" stattfinden sondern auch in "Übungsstunden".
Wittmann/Müller (1992)
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Timo Leuders
Was kann man tun?
Den Unterricht umstellen?
An Aufgaben arbeiten!
Timo Leuders
Beispiel: Mittelwert
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Timo Leuders
Was kann man alles üben?
... und auch dazu bereit sein.Einstellungen
beurteilen, ob es in einer bestimmten Situation sinnvoll ist, einen Mittelwert zu berechnen
Reflexionsfähigkeit
sich in einer unbekannten Situation, bei der um die „Mitte“ geht, zu helfen wissen, z.B. durch Betrachten von Beispielen…
(übergreifende) Strategien
in unbekannten Situationen Probleme mit Hilfe von Mittelwerten lösen
Anwendungsfähigkeit
am Beispiel / am Bild erläutern, was ein Mittelwert istVerstehen / Vorstellungen
einen Mittelwert fehlerlos berechnen (mit oder ohne Taschenrechner)
Fertigkeiten
die Definition des Mittelwertes in eigenen Worten wiedergeben
Kenntnisse
am Beispielthema „Durchschnitt“Fähigkeitsaspekt
Timo Leuders
?
Kenntnisse
VerstehenFertigkeiten
AnwendenReflektieren
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Timo Leuders
Kenntnisse VerstehenFertigkeiten Anwenden Reflektieren Bereitschaft
Timo Leuders
Kenntnisse VerstehenFertigkeiten Anwenden Reflektieren Bereitschaft
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Timo Leuders
Wie findet man Übungsaufgaben?
(1) Gute Schulbücher sammeln – Spicken erlaubt!
(2) Schulbuchaufgaben ergänzen- Altbau renovieren!
(3) Aufgaben systematisch konstruieren- Kreatives Handwerk
Timo Leuders
(1) Gute Schulbücher sammeln
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Timo Leuders
(3) Aufgaben systematisch konstruieren
• Schritt 1: Prüffragen vorher• Schritt 2: Konstruieren & Variieren• Schritt 3: Prüfen & Optimieren
Timo Leuders
Schritt 1: Prüffragen vorherWelches ist die Tätigkeit, die geübt werden soll?
• Das Wiedergeben von Wissen (Zusammenhänge, Bezeichnungen, …) – wenn ja: Welche?
• Das Ausführen von Verfahren – wenn ja: Welches?• Das Anwenden von Begriffen – wenn ja: Welche und
auf welche Weise?• Das Herstellen von Beziehungen – wenn ja: Welche?• …
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Schritt 2: Konstruieren & Variieren
Variationstechniken für drei Aufgabentypen
(P) Probleme lösen(S) Strukturen reflektieren(A) Anwendungen erkunden
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(P) Probleme lösenNicht:
„Übe…“
sondern:
„Löse das Problem …. und übe dabei“
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Timo Leuders
Verändere die Aufgaben (Welche kannst du noch ebenso bearbeiten, welche nicht?, Warum?)
VariierenEigene Aufgaben erarbeitenmit Musteraufgaben
Findet eine gute Strategie.Spielanalyse
Spielt miteinander. ÜbungsspielSpielerisches Auseinandersetzenmit Spielsituationen
Wie viele Möglichkeiten gibt es, …? Wie lauten alle Möglichkeiten, …?
Kombinatorische Ausschöpfung
Was passiert wenn …?Funktionale Abhängigkeit
Wann ist … am größten / kleinsten / besten?
Optimierung
Wann kommt … heraus?Umkehrfrage
Operatives Durcharbeiten von Umkehraufgaben / Aufgaben mit Parametern
FragetypAufgabentyp: Probleme lösen
Timo Leuders
Operatives Durcharbeiten
Wie viele verschiedene Durchschnitte kannst zu errechnen, wenn du nur die Zahlen 1,2,3,4 und 5 zu Verfügung hast? a) Du darfst jede Zahl höchstens einmal nehmen b) Du darfst jede Zahl auch mehrfach nehmen. Was ist jetzt der größte und kleinste Wert, den du bekommst?
Wie viele Möglichkeiten gibt es, …? Wie lauten alle Möglichkeiten, …?
Was ändert sich am Durchschnitt der folgenden Zahlenreihe 6,10,12,16, wenn man a) alle Werte halbiert? b) alle Werte um 1 erhöht? b) den Durchschnittswert noch hinzufügt
Was passiert wenn …?
Du hast die drei Datenreihen: 1,1,8 3,3 1,2,3,4,5Bei welcher der drei erhöht sich der Durchschnitt am meisten, wenn man noch eine 6 hinzunimmt? Warum?
Wann ist … am größten / kleinsten / besten?
Gib fünf Zahlen an, deren Durchschnitt 5 ist.Gib zwei weitere Beispiele an..Wie oft muss man noch die Zahl 5 zu den Zahlen 1,2,3,4
hinzunehmen, damit der Durchschnitt 4 ist?
Wann kommt …heraus?
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Timo Leuders
Spiel
• Mit welchen Strategien kann man beim vorigen Spiel einfache Lösungen finden? Wie findet man weniger nahe liegende Lösungen?
Würfelt mit 40 Würfeln, die ihr in die Mitte legt.Würfelt dann mit einem einzelnen Würfel. Diese Zahl ist eure Zielzahl, die ihr als Durchschnitt erreichen müsst.Dazu dürft ihr reihum einen, zwei, drei oder vier Würfel aus der Mitte nehmen, die als Durchschnitt die Zielzahl haben. Ihr bekommt für jeden Würfel einen Punkt:
Zielzahl: 3 Punkte
1 Punkt
Timo Leuders
Eigene Aufgabe
a) Wie kann man mit zehn Würfelergebnissen den Mittelwert 4,5 erhalten?
b) Löse die Aufgabe, verändere sie und untersuche, welche Varianten noch lösbar sind.
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Timo Leuders
(S) Strukturen reflektierenNicht:
„Übe…“
sondern:
„Untersuche das Muster …. und übe dabei“
Timo Leuders
Was ist hier falsch? Warum? Wie kann man es besser machen?
Fehler finden
Welche Aufgabe ist unmöglich / sinnvoll? Stimmt die Behauptung? Warum?
Richtigkeit / Gültigkeit
Wie kann man die Situation anders darstellen? (grafisch, rechnerisch, ...)
Darstellen
Wieso kommt dieses Muster heraus?Muster begründen
Argumentieren an gestellten/ gelösten Aufgaben
Suche die schwierigsten / leichtesten / ungewöhnlichen heraus
Bewerten
Welches Beispiel passt nicht? Warum?Passung prüfen
Bilde Gruppen…je nach Lösbarkeit/ Typ/…
Sortieren/KlassifizierenStrukturieren
von unstrukturierten Aufgabengruppen
Wie lauten ähnliche Aufgaben? (Warum sind sie ähnlich?)
Analogisieren
Wie lässt sich das Muster fortsetzen?Muster fortsetzen
Welche Muster kannst du entdecken?Muster suchenMuster erkennen und erzeugenin strukturierten Aufgabenserien
FragetypAufgabentyp: Strukturen reflektieren
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Timo Leuders
Bilde die Durchschnitte der folgenden Datenreihen: 3, 4, 7, 8 5, 6, 10, 11 12, 13, 21, 22Was haben die Aufgaben gemeinsam? Bilde eigene weitere.
Wie lauten ähnliche Aufgaben? (Warum sind sie ähnlich?)
Bilde die Mittelwerte der folgenden Datenreihen:1,3 1,3,5 1,3,5,7a) Setze die Reihe und berechne die Durchschnitte.b) Erfinde eigene, ähnliche Reihen und berechne sie.
Wie lässt sich das Muster fortsetzen?
Bilde die Durchschnitte der folgenden Datenreihen: 10,11,12,13,14 11,12,13,14,15 Welche Besonderheiten oder Zusammenhänge kannst du erkennen? Kannst du deine Beobachtungen begründen?
Welche Muster kannst du entdecken?
Muster erkennen und erzeugen
Timo Leuders
Strukturieren
Suche zunächst die Durchschnitte heraus, die du ohne zu rechnen bestimmen kannsta) 4,5,5,5,5,6 b) 8,10,12,14 c) 4,6, 10 d) 10,5,5,5,10 e) 1,3,5,6 f) 11,12,14,15
Suche die schwierigsten / leichtesten / ungewöhnlichen heraus
Welcher Datenreihe passt nicht zu den anderen? Was bedeutet das für den Durchschnitt?a) 5,10,15 b) 1,10,100 c) 200, 220, 240 d) 5,8,11
Welches Beispiel passt nicht? Warum?
Sortiere die folgenden Aufgaben erst in ähnliche Gruppen, bevor du die Durchschnitte berechnest:a) 1, 2, 7 b) 10, 50, 80 c) 31, 33, 37d) 110, 150, 180 e) 100, 200, 700
Bilde Gruppen…je nach Lösbarkeit/ Typ/…
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Timo Leuders
„Der Durchschnitt von 1,2,3,4,5 ist 3.Wenn jetzt noch eine 5 dazukommt, wird der Durchschnitt um 1 größer.“ Prüfe und Begründe.
Was ist hier falsch? Warum? Wie kann man es besser machen?
„Bei vier Zahlen liegt der Durchschnitt immer zwischen den mittleren beiden“ – Stimmt das? Begründe oder widerlege.
Welche Aufgabe ist unmöglich / sinnvoll? Stimmt die Behauptung? Warum?
Berechne den Durchschnitt und begründe das Ergebnis am Zahlenstrahl: 1,3, 5, 10, 12, 14
Wie kann man die Situation anders darstellen? (grafisch, rechnerisch, ...)
Wie ändert sich der Durchschnitt von Datenreihe zu Datenreihe? Warum? 5,8,10,12 6,9,11,13 7,10,12,14
Wieso kommt dieses Muster heraus?
Argumentieren
Timo Leuders
(A) Anwendungen erkundenNicht:
„Übe…“
sondern:
„Erkunde die Situation …. und übe dabei“
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Timo Leuders
Wie lässt sich …. auf … übertragen.Übertragen
Wo hast du … schon einmal gesehen / gemacht?
Verbindungen suchen
Wie passt das zu ….?Verbindungen erfassenVernetzen
mit verwandten Begriffen/ Situationen
Erfinde weitere Situationen, in denen du … anwenden kannst.
Anwendungen erfinden
Kann man … hier anwenden. Warum (nicht)?
Anwendbarkeit reflektieren
Wende … bei der Bearbeitung folgender Situationen an.
an Beispielen anwendenAnwenden
auf Beispielsituationen / Sachsituationen
FragetypAufgabentyp: Anwendungen erkunden
Timo Leuders
Anwenden / Vernetzen
Wie würdest du deine Durchschnittsgröße oder dein Durchschnittsalter in diesem Kalenderjahr berechnen?
Wie lässt sich …. auf …übertragen.
Suche eine Woche lang in der Zeitung, wo Durchschnitte gebildet werden. Erkläre deine Beispiele.
Wo hast du … schon einmal gesehen / gemacht?
Kann man vergleichen, wie gut zwei Länder im Durchschnitt bei den Olympischen Spielen abschneiden? Mache Vorschläge.
Wie passt das zu ….?
Setzt euch zu viert zusammen und sammelt Daten, die ihr von euch allen vieren kennt. Bildet alle möglichen Durchschnitte.
Erfinde weitere Situationen, in denen du …anwenden kannst.
Welche Durchschnitte von zwei Personen kann man nicht bilden, auch wenn man alle Daten kennt? Warum? a) die Körpergröße b) die Augenfarbe c) das Taschengeld d) das Geburtsdatum
Kann man … hier anwenden. Warum (nicht)?
Michaela ist beim Weitsprung 2,30m und 2,45m gesprungen. Wie möchte auf einen Durchschnitt von 2,40m in drei Sprüngen kommen.
Wende … bei der Bearbeitung folgender Situationen an.
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Timo Leuders
Wie würdest du deine Durchschnittsgröße oder dein Durchschnittsalter in diesem Kalenderjahr berechnen?Wie lässt sich …. auf … übertragen.Übertragen
Suche eine Woche lang in der Zeitung, wo Durchschnitte gebildet werden. Erkläre deine Beispiele.Wo hast du … schon einmal gesehen / gemacht? Verbindungen suchen
Kann man vergleichen, wie gut zwei Länder im Durchschnitt bei den Olympischen Spielen abschneiden? Mache Vorschläge.Wie passt das zu ….?Verbindungen erfassen
Vernetzen
Setzt euch zu viert zusammen und sammelt Daten, die ihr von euch allen vieren kennt. Bildet alle möglichen Durchschnitte.Erfinde weitere Situationen, in denen du … anwenden kannst.Anwendungen erfinden
Welche Durchschnitte von zwei Personen kann man nicht bilden, auch wenn man alle Daten kennt? Warum? a) die Körpergröße b) die Augenfarbe c) das Taschengeld d) das GeburtsdatumKann man … hier anwenden. Warum (nicht)?Anwendbarkeit reflektieren
Michaela ist beim Weitsprung 2,30m und 2,45m gesprungen. Wie möchte auf einen Durchschnitt von 2,40m in drei Sprüngen kommen.Wende … bei der Bearbeitung folgender Situationen an.an Beispielen anwenden
Anwenden
AufgabenbeispieleFragetypAufgabentyp: Anwendungen erkunden
„Der Durchschnitt von 1,2,3,4,5 ist 3.Wenn jetzt noch eine 5 dazukommt, wird der Durchschnitt um 1 größer.“ Prüfe und Begründe.
Was ist hier falsch? Warum? Wie kann man es besser machen?Fehler finden
„Bei vier Zahlen liegt der Durchschnitt immer zwischen den mittleren beiden“ – Stimmt das? Begründe oder widerlege.Welche Aufgabe ist unmöglich / sinnvoll? Stimmt die Behauptung? Warum?Richtigkeit / Gültigkeit
Berechne den Durchschnitt und begründe das Ergebnis am Zahlenstrahl: 1,3, 5, 10, 12, 14Wie kann man die Situation anders darstellen? (grafisch, rechnerisch, ...)Darstellen
Wie ändert sich der Durchschnitt von Datenreihe zu Datenreihe? Warum?5,8,10,12 6,9,11,13 7,10,12,14Wieso kommt dieses Muster heraus?Muster begründen
Argumentieren
Suche zunächst die Durchschnitte heraus, die du ohne zu rechnen bestimmen kannsta) 4,5,5,5,5,6 b) 8,10,12,14 c) 4,6, 10 d) 10,5,5,5,10 e) 1,3,5,6 f) 11,12,14,15
Suche die schwierigsten / leichtesten / ungewöhnlichen herausBewerten
Welcher Datenreihe passt nicht zu den anderen? Was bedeutet das für den Durchschnitt?a) 5,10,15 b) 1,10,100 c) 200, 220, 240 d) 5,8,11
Welches Beispiel passt nicht? Warum?Passung prüfen
Sortiere die folgenden Aufgaben erst in ähnliche Gruppen, bevor du die Durchschnitte berechnest:a) 1, 2, 7 b) 10, 50, 80 c) 31, 33, 37d) 110, 150, 180 e) 100, 200, 700
Bilde Gruppen…je nach Lösbarkeit/ Typ/…Sortieren/Klassifizieren
Strukturieren
Bilde die Durchschnitte der folgenden Datenreihen: 3, 4, 7, 8 5, 6, 10, 11 12, 13, 21, 22Was haben die Aufgaben gemeinsam? Bilde eigene weitere.Wie lauten ähnliche Aufgaben? (Warum sind sie ähnlich?)Analogisieren
Bilde die Mittelwerte der folgenden Datenreihen:1,3 1,3,5 1,3,5,7a) Setze die Reihe und berechne die Durchschnitte.b) Erfinde eigene, ähnliche Reihen und berechne sie.
Wie lässt sich das Muster fortsetzen?Muster fortsetzen
Bilde die Durchschnitte der folgenden Datenreihen: 10,11,12,13,14 11,12,13,14,15 Welche Besonderheiten oder Zusammenhänge kannst du erkennen? Kannst du deine Beobachtungen begründen?
Welche Muster kannst du entdecken?Muster suchen
Muster erkennen und erzeugen
AufgabenbeispieleFragetypAufgabentyp: Strukturen reflektieren
„Wie kann man mit zehn Würfelergebnissen den Mittelwert 4,5 erhalten?“ – Löse die Aufgabe, verändere sie und untersuche, welche Varianten noch lösbar sind.
Verändere die Aufgaben (Welche kannst du noch ebenso bearbeiten, welche nicht?, Warum?)
VariierenEigene Aufgaben erarbeiten
Mit welchen Strategien kann man beim vorigen Spiel einfache Lösungen finden? Wie findet man weniger nahe liegende Lösungen?
Findet eine gute Strategie.Spielanalyse
Jeder Mitspieler wirft einen Würfel. Alle werfen zudem noch 20 Würfeln. Nun muss jeder mit Würfeln aus der Mitte sein Würfelergebnis als Mittelwert legen.Spielt miteinander. ÜbungsspielSpielerisches Auseinandersetzen
Wie viele verschiedene Durchschnitte kannst zu errechnen, wenn du nur die Zahlen 1,2,3,4 und 5 zu Verfügung hast? a) Du darfst jede Zahl höchstens einmal nehmen b) Du darfst jede Zahl auch mehrfach nehmen. Was ist jetzt der größte und kleinste Wert, den du bekommst?
Wie viele Möglichkeiten gibt es, …? Wie lauten alle Möglichkeiten, …?
Kombinatorische Ausschöpfung
Was ändert sich am Durchschnitt der folgenden Zahlenreihe 6,10,12,16, wenn man a) alle Werte halbiert? b) alle Werte um 1 erhöht? b) den Durchschnittswert noch hinzufügt Was passiert wenn …?Funktionale Abhängigkeit
Du hast die drei Datenreihen: 1,1,8 3,3 1,2,3,4,5Bei welcher der drei erhöht sich der Durchschnitt am meisten, wenn man noch eine 6 hinzunimmt? Warum?
Wann ist … am größten / kleinsten / besten?Optimierung
Gib fünf Zahlen an, deren Durchschnitt 5 ist.Gib zwei weitere Beispiele an..Wie oft muss man noch die Zahl 5 zu den Zahlen 1,2,3,4 hinzunehmen, damit der Durchschnitt 4 ist?
Wann kommt … heraus?Umkehrfrage
Operatives Durcharbeiten
AufgabenbeispieleFragetypAufgabentyp: Probleme lösen
Timo Leuders
Prüffragen nachherRegt die Aufgabe an, die Zieltätigkeit• möglichst oft auszuführen? (Effektivität)• auf verschiedenen Niveaus auszuführen?
(Differenzierung)• operativ durchzuarbeiten? (Flexibilität)• beim Ausführen zu reflektieren?
(Verständnis)
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Timo Leuders
Öffnen Sie die Aufgaben ggf. noch ein wenig dafür, dass Schüler Entscheidungen treffen können. Oder lassen Sie ein Phänomen verbal beschrieben, vergleichen, begründen etc..
Reflexivitätoptimieren
Formulieren Sie die Aufgabe so, dass es sich lohnt, auch einmal vom Ergebnis her zu denken, oder einen Wert systematisch durchzuprobieren. Gegebenenfalls fordern Sie explizit dazu auf.
Flexibilitätoptimieren
Stellen Sie sicher, dass schwächere Schüler die Aufgabenstellung sofort verstehen können. Gegebenenfalls stellen sie eine einfachere, geschlossenere Einstiegsaufgabe mit Beispielcharakter voran
Differenzierung optimieren
Verändern Sie die Aufgabenstellung, dass Schüler auf jeden Fall mehrere Beispiele bearbeiten müssen, z.B. durch direkte Aufforderung.
Effektivität optimieren
Timo Leuders
Wie sieht es konkret aus?
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Timo Leuders
Wie sieht es konkret aus?
Timo Leuders
Anregungen für die Arbeit in einer Fachkonferenz
Wann? Alle ein oder zwei Wochen Wer? Alle Kollegen einer StufeWas? Übungen für die (über)nächste WocheWie? Kreativitätstechniken!Wozu? Aufbau eines erprobten Repertoires
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Timo Leuders
KreativitätstechnikSchreibgespräch:
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oder…• Wählen Sie eine Aufgabe• Variieren Sie „produktiv“ mit Hilfe der Liste• Methode: Ich-Du-Wir
Gruppen Präsentation und DiskussionWIRPartnerAustausch mit PartnerDUEinzelnIndividuelle LösungICH
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Timo Leuders
Jetzt sind Sie dran
Timo Leuders
Nachtrag
„Mach mal wieder Mathe!“Eine willkommen Nebenwirkung des produktiven Übens
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Timo Leuders
• Fülle diese Pluszahlenmauer mit möglichst vielen ungeraden Zahlen
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• Fülle diese Pluszahlenmauer mit möglichst vielen Primzahlen
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• Fülle diese Pluszahlenmauer mit möglichst vielen Quadratzahlen
Timo Leuders
Winter, H. (1984). Begriff und Bedeutung des Übens im Mathematikunterricht. Mathematik Lehren 2/84 S. 4-16
Wittmann, E. Chr./ Müller, G.N. (1990/1992). Handbuch produktiver Rechenübungen, Band 1 & 2, Klett
Selter, Chr. (1995). Entdeckend üben - übend entdecken Grundschule 27, 5/1995, S. 30-34
Blum, W./ Wiegand, B. (2000) Vertiefen und Vernetzen – Intelligentes Üben im Mathematikunterricht, in: Üben & Wiederholen, Friedrich Jahresheft XVII, S. 106–108.
Büchter, A./ Leuders, T. (2005) Mathematikaufgaben selbst entwickeln. Cornelsen Scriptor. S.144-149
Leuders, T. (2005). Intelligentes Üben selbst gestalten! - Erfahrungen aus dem Mathematikunterricht. Pädagogik, 11/05, S.29-32
Müller, J. (2005). Entdeckend Lernen mit Zahlenmauern in der Sekundarstufe. Praxis Mathematikunterricht 2/05 S. 32–38.
Leuders, T. & Wittmann, G. (2006). Fit in Form - Produktives Üben in der Geometrie. Praxis der Mathematik in der Schule 12.
Leuders, T. (2006). Reflektierendes Üben mit Plantagenaufgaben. Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht 59(5),S.276-284
Leuders, T. (2008). Übungsaufgaben produktiv weiterentwickeln. Tipps und Kniffe am Beispielthema „Römische Zahlen“ Mathematik lehren 147
Bruder, R. (2008). Üben mit Konzept. Mathematik lehren 131