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Timo Leuders

Produktives üben ist keine Zauberei

Mathe für alle TagungPH Freiburg

17. Oktober 2008

Timo Leuders

Was ist produktives Üben?

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Was ist unproduktives Üben?

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Graue Päckchen

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Bunte Hunde

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Schriftliches Rechnen

„Bevor Schülerinnen und Schüler Mathematik betreiben können, müssen sie sich erst einmal bestimmte Fertigkeiten und Kenntnisse aneignen. Das geschieht durch Wiederholung und langsames Erhöhen der Schwierigkeit.“

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Timo Leuders

Jetzt sind Sie gefragt

Timo Leuders

Üben und EntdeckenJede Mathematikstunde soll den Kindern Raum zu neuen Erfahrungen und Entdeckungen geben können. Aktiv-entdeckendes Lernen kann und muss also nicht nur in so genannten "Einführungsstunden" stattfinden sondern auch in "Übungsstunden".

Wittmann/Müller (1992)

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Was kann man tun?

Den Unterricht umstellen?

An Aufgaben arbeiten!

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Beispiel: Mittelwert

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Timo Leuders

vorher

Timo Leuders

nachher

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Timo Leuders

nachher

Timo Leuders

nachher

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Timo Leuders

Was kann man alles üben?

... und auch dazu bereit sein.Einstellungen

beurteilen, ob es in einer bestimmten Situation sinnvoll ist, einen Mittelwert zu berechnen

Reflexionsfähigkeit

sich in einer unbekannten Situation, bei der um die „Mitte“ geht, zu helfen wissen, z.B. durch Betrachten von Beispielen…

(übergreifende) Strategien

in unbekannten Situationen Probleme mit Hilfe von Mittelwerten lösen

Anwendungsfähigkeit

am Beispiel / am Bild erläutern, was ein Mittelwert istVerstehen / Vorstellungen

einen Mittelwert fehlerlos berechnen (mit oder ohne Taschenrechner)

Fertigkeiten

die Definition des Mittelwertes in eigenen Worten wiedergeben

Kenntnisse

am Beispielthema „Durchschnitt“Fähigkeitsaspekt

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?

Kenntnisse

VerstehenFertigkeiten

AnwendenReflektieren

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Timo Leuders

Kenntnisse VerstehenFertigkeiten Anwenden Reflektieren Bereitschaft

Timo Leuders

Kenntnisse VerstehenFertigkeiten Anwenden Reflektieren Bereitschaft

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Wie findet man Übungsaufgaben?

(1) Gute Schulbücher sammeln – Spicken erlaubt!

(2) Schulbuchaufgaben ergänzen- Altbau renovieren!

(3) Aufgaben systematisch konstruieren- Kreatives Handwerk

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(1) Gute Schulbücher sammeln

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(2) Schulbuchaufgaben ergänzen

Timo Leuders

Jetzt sind Sie gefragt

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(3) Aufgaben systematisch konstruieren

• Schritt 1: Prüffragen vorher• Schritt 2: Konstruieren & Variieren• Schritt 3: Prüfen & Optimieren

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Schritt 1: Prüffragen vorherWelches ist die Tätigkeit, die geübt werden soll?

• Das Wiedergeben von Wissen (Zusammenhänge, Bezeichnungen, …) – wenn ja: Welche?

• Das Ausführen von Verfahren – wenn ja: Welches?• Das Anwenden von Begriffen – wenn ja: Welche und

auf welche Weise?• Das Herstellen von Beziehungen – wenn ja: Welche?• …

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Schritt 2: Konstruieren & Variieren

Variationstechniken für drei Aufgabentypen

(P) Probleme lösen(S) Strukturen reflektieren(A) Anwendungen erkunden

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(P) Probleme lösenNicht:

„Übe…“

sondern:

„Löse das Problem …. und übe dabei“

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Verändere die Aufgaben (Welche kannst du noch ebenso bearbeiten, welche nicht?, Warum?)

VariierenEigene Aufgaben erarbeitenmit Musteraufgaben

Findet eine gute Strategie.Spielanalyse

Spielt miteinander. ÜbungsspielSpielerisches Auseinandersetzenmit Spielsituationen

Wie viele Möglichkeiten gibt es, …? Wie lauten alle Möglichkeiten, …?

Kombinatorische Ausschöpfung

Was passiert wenn …?Funktionale Abhängigkeit

Wann ist … am größten / kleinsten / besten?

Optimierung

Wann kommt … heraus?Umkehrfrage

Operatives Durcharbeiten von Umkehraufgaben / Aufgaben mit Parametern

FragetypAufgabentyp: Probleme lösen

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Operatives Durcharbeiten

Wie viele verschiedene Durchschnitte kannst zu errechnen, wenn du nur die Zahlen 1,2,3,4 und 5 zu Verfügung hast? a) Du darfst jede Zahl höchstens einmal nehmen b) Du darfst jede Zahl auch mehrfach nehmen. Was ist jetzt der größte und kleinste Wert, den du bekommst?

Wie viele Möglichkeiten gibt es, …? Wie lauten alle Möglichkeiten, …?

Was ändert sich am Durchschnitt der folgenden Zahlenreihe 6,10,12,16, wenn man a) alle Werte halbiert? b) alle Werte um 1 erhöht? b) den Durchschnittswert noch hinzufügt

Was passiert wenn …?

Du hast die drei Datenreihen: 1,1,8 3,3 1,2,3,4,5Bei welcher der drei erhöht sich der Durchschnitt am meisten, wenn man noch eine 6 hinzunimmt? Warum?

Wann ist … am größten / kleinsten / besten?

Gib fünf Zahlen an, deren Durchschnitt 5 ist.Gib zwei weitere Beispiele an..Wie oft muss man noch die Zahl 5 zu den Zahlen 1,2,3,4

hinzunehmen, damit der Durchschnitt 4 ist?

Wann kommt …heraus?

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Spiel

• Mit welchen Strategien kann man beim vorigen Spiel einfache Lösungen finden? Wie findet man weniger nahe liegende Lösungen?

Würfelt mit 40 Würfeln, die ihr in die Mitte legt.Würfelt dann mit einem einzelnen Würfel. Diese Zahl ist eure Zielzahl, die ihr als Durchschnitt erreichen müsst.Dazu dürft ihr reihum einen, zwei, drei oder vier Würfel aus der Mitte nehmen, die als Durchschnitt die Zielzahl haben. Ihr bekommt für jeden Würfel einen Punkt:

Zielzahl: 3 Punkte

1 Punkt

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Eigene Aufgabe

a) Wie kann man mit zehn Würfelergebnissen den Mittelwert 4,5 erhalten?

b) Löse die Aufgabe, verändere sie und untersuche, welche Varianten noch lösbar sind.

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(S) Strukturen reflektierenNicht:

„Übe…“

sondern:

„Untersuche das Muster …. und übe dabei“

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Was ist hier falsch? Warum? Wie kann man es besser machen?

Fehler finden

Welche Aufgabe ist unmöglich / sinnvoll? Stimmt die Behauptung? Warum?

Richtigkeit / Gültigkeit

Wie kann man die Situation anders darstellen? (grafisch, rechnerisch, ...)

Darstellen

Wieso kommt dieses Muster heraus?Muster begründen

Argumentieren an gestellten/ gelösten Aufgaben

Suche die schwierigsten / leichtesten / ungewöhnlichen heraus

Bewerten

Welches Beispiel passt nicht? Warum?Passung prüfen

Bilde Gruppen…je nach Lösbarkeit/ Typ/…

Sortieren/KlassifizierenStrukturieren

von unstrukturierten Aufgabengruppen

Wie lauten ähnliche Aufgaben? (Warum sind sie ähnlich?)

Analogisieren

Wie lässt sich das Muster fortsetzen?Muster fortsetzen

Welche Muster kannst du entdecken?Muster suchenMuster erkennen und erzeugenin strukturierten Aufgabenserien

FragetypAufgabentyp: Strukturen reflektieren

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Timo Leuders

Bilde die Durchschnitte der folgenden Datenreihen: 3, 4, 7, 8 5, 6, 10, 11 12, 13, 21, 22Was haben die Aufgaben gemeinsam? Bilde eigene weitere.

Wie lauten ähnliche Aufgaben? (Warum sind sie ähnlich?)

Bilde die Mittelwerte der folgenden Datenreihen:1,3 1,3,5 1,3,5,7a) Setze die Reihe und berechne die Durchschnitte.b) Erfinde eigene, ähnliche Reihen und berechne sie.

Wie lässt sich das Muster fortsetzen?

Bilde die Durchschnitte der folgenden Datenreihen: 10,11,12,13,14 11,12,13,14,15 Welche Besonderheiten oder Zusammenhänge kannst du erkennen? Kannst du deine Beobachtungen begründen?

Welche Muster kannst du entdecken?

Muster erkennen und erzeugen

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Strukturieren

Suche zunächst die Durchschnitte heraus, die du ohne zu rechnen bestimmen kannsta) 4,5,5,5,5,6 b) 8,10,12,14 c) 4,6, 10 d) 10,5,5,5,10 e) 1,3,5,6 f) 11,12,14,15

Suche die schwierigsten / leichtesten / ungewöhnlichen heraus

Welcher Datenreihe passt nicht zu den anderen? Was bedeutet das für den Durchschnitt?a) 5,10,15 b) 1,10,100 c) 200, 220, 240 d) 5,8,11

Welches Beispiel passt nicht? Warum?

Sortiere die folgenden Aufgaben erst in ähnliche Gruppen, bevor du die Durchschnitte berechnest:a) 1, 2, 7 b) 10, 50, 80 c) 31, 33, 37d) 110, 150, 180 e) 100, 200, 700

Bilde Gruppen…je nach Lösbarkeit/ Typ/…

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„Der Durchschnitt von 1,2,3,4,5 ist 3.Wenn jetzt noch eine 5 dazukommt, wird der Durchschnitt um 1 größer.“ Prüfe und Begründe.

Was ist hier falsch? Warum? Wie kann man es besser machen?

„Bei vier Zahlen liegt der Durchschnitt immer zwischen den mittleren beiden“ – Stimmt das? Begründe oder widerlege.

Welche Aufgabe ist unmöglich / sinnvoll? Stimmt die Behauptung? Warum?

Berechne den Durchschnitt und begründe das Ergebnis am Zahlenstrahl: 1,3, 5, 10, 12, 14

Wie kann man die Situation anders darstellen? (grafisch, rechnerisch, ...)

Wie ändert sich der Durchschnitt von Datenreihe zu Datenreihe? Warum? 5,8,10,12 6,9,11,13 7,10,12,14

Wieso kommt dieses Muster heraus?

Argumentieren

Timo Leuders

(A) Anwendungen erkundenNicht:

„Übe…“

sondern:

„Erkunde die Situation …. und übe dabei“

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Timo Leuders

Wie lässt sich …. auf … übertragen.Übertragen

Wo hast du … schon einmal gesehen / gemacht?

Verbindungen suchen

Wie passt das zu ….?Verbindungen erfassenVernetzen

mit verwandten Begriffen/ Situationen

Erfinde weitere Situationen, in denen du … anwenden kannst.

Anwendungen erfinden

Kann man … hier anwenden. Warum (nicht)?

Anwendbarkeit reflektieren

Wende … bei der Bearbeitung folgender Situationen an.

an Beispielen anwendenAnwenden

auf Beispielsituationen / Sachsituationen

FragetypAufgabentyp: Anwendungen erkunden

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Anwenden / Vernetzen

Wie würdest du deine Durchschnittsgröße oder dein Durchschnittsalter in diesem Kalenderjahr berechnen?

Wie lässt sich …. auf …übertragen.

Suche eine Woche lang in der Zeitung, wo Durchschnitte gebildet werden. Erkläre deine Beispiele.

Wo hast du … schon einmal gesehen / gemacht?

Kann man vergleichen, wie gut zwei Länder im Durchschnitt bei den Olympischen Spielen abschneiden? Mache Vorschläge.

Wie passt das zu ….?

Setzt euch zu viert zusammen und sammelt Daten, die ihr von euch allen vieren kennt. Bildet alle möglichen Durchschnitte.

Erfinde weitere Situationen, in denen du …anwenden kannst.

Welche Durchschnitte von zwei Personen kann man nicht bilden, auch wenn man alle Daten kennt? Warum? a) die Körpergröße b) die Augenfarbe c) das Taschengeld d) das Geburtsdatum

Kann man … hier anwenden. Warum (nicht)?

Michaela ist beim Weitsprung 2,30m und 2,45m gesprungen. Wie möchte auf einen Durchschnitt von 2,40m in drei Sprüngen kommen.

Wende … bei der Bearbeitung folgender Situationen an.

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Timo Leuders

Wie würdest du deine Durchschnittsgröße oder dein Durchschnittsalter in diesem Kalenderjahr berechnen?Wie lässt sich …. auf … übertragen.Übertragen

Suche eine Woche lang in der Zeitung, wo Durchschnitte gebildet werden. Erkläre deine Beispiele.Wo hast du … schon einmal gesehen / gemacht? Verbindungen suchen

Kann man vergleichen, wie gut zwei Länder im Durchschnitt bei den Olympischen Spielen abschneiden? Mache Vorschläge.Wie passt das zu ….?Verbindungen erfassen

Vernetzen

Setzt euch zu viert zusammen und sammelt Daten, die ihr von euch allen vieren kennt. Bildet alle möglichen Durchschnitte.Erfinde weitere Situationen, in denen du … anwenden kannst.Anwendungen erfinden

Welche Durchschnitte von zwei Personen kann man nicht bilden, auch wenn man alle Daten kennt? Warum? a) die Körpergröße b) die Augenfarbe c) das Taschengeld d) das GeburtsdatumKann man … hier anwenden. Warum (nicht)?Anwendbarkeit reflektieren

Michaela ist beim Weitsprung 2,30m und 2,45m gesprungen. Wie möchte auf einen Durchschnitt von 2,40m in drei Sprüngen kommen.Wende … bei der Bearbeitung folgender Situationen an.an Beispielen anwenden

Anwenden

AufgabenbeispieleFragetypAufgabentyp: Anwendungen erkunden

„Der Durchschnitt von 1,2,3,4,5 ist 3.Wenn jetzt noch eine 5 dazukommt, wird der Durchschnitt um 1 größer.“ Prüfe und Begründe.

Was ist hier falsch? Warum? Wie kann man es besser machen?Fehler finden

„Bei vier Zahlen liegt der Durchschnitt immer zwischen den mittleren beiden“ – Stimmt das? Begründe oder widerlege.Welche Aufgabe ist unmöglich / sinnvoll? Stimmt die Behauptung? Warum?Richtigkeit / Gültigkeit

Berechne den Durchschnitt und begründe das Ergebnis am Zahlenstrahl: 1,3, 5, 10, 12, 14Wie kann man die Situation anders darstellen? (grafisch, rechnerisch, ...)Darstellen

Wie ändert sich der Durchschnitt von Datenreihe zu Datenreihe? Warum?5,8,10,12 6,9,11,13 7,10,12,14Wieso kommt dieses Muster heraus?Muster begründen

Argumentieren

Suche zunächst die Durchschnitte heraus, die du ohne zu rechnen bestimmen kannsta) 4,5,5,5,5,6 b) 8,10,12,14 c) 4,6, 10 d) 10,5,5,5,10 e) 1,3,5,6 f) 11,12,14,15

Suche die schwierigsten / leichtesten / ungewöhnlichen herausBewerten

Welcher Datenreihe passt nicht zu den anderen? Was bedeutet das für den Durchschnitt?a) 5,10,15 b) 1,10,100 c) 200, 220, 240 d) 5,8,11

Welches Beispiel passt nicht? Warum?Passung prüfen

Sortiere die folgenden Aufgaben erst in ähnliche Gruppen, bevor du die Durchschnitte berechnest:a) 1, 2, 7 b) 10, 50, 80 c) 31, 33, 37d) 110, 150, 180 e) 100, 200, 700

Bilde Gruppen…je nach Lösbarkeit/ Typ/…Sortieren/Klassifizieren

Strukturieren

Bilde die Durchschnitte der folgenden Datenreihen: 3, 4, 7, 8 5, 6, 10, 11 12, 13, 21, 22Was haben die Aufgaben gemeinsam? Bilde eigene weitere.Wie lauten ähnliche Aufgaben? (Warum sind sie ähnlich?)Analogisieren

Bilde die Mittelwerte der folgenden Datenreihen:1,3 1,3,5 1,3,5,7a) Setze die Reihe und berechne die Durchschnitte.b) Erfinde eigene, ähnliche Reihen und berechne sie.

Wie lässt sich das Muster fortsetzen?Muster fortsetzen

Bilde die Durchschnitte der folgenden Datenreihen: 10,11,12,13,14 11,12,13,14,15 Welche Besonderheiten oder Zusammenhänge kannst du erkennen? Kannst du deine Beobachtungen begründen?

Welche Muster kannst du entdecken?Muster suchen

Muster erkennen und erzeugen

AufgabenbeispieleFragetypAufgabentyp: Strukturen reflektieren

„Wie kann man mit zehn Würfelergebnissen den Mittelwert 4,5 erhalten?“ – Löse die Aufgabe, verändere sie und untersuche, welche Varianten noch lösbar sind.

Verändere die Aufgaben (Welche kannst du noch ebenso bearbeiten, welche nicht?, Warum?)

VariierenEigene Aufgaben erarbeiten

Mit welchen Strategien kann man beim vorigen Spiel einfache Lösungen finden? Wie findet man weniger nahe liegende Lösungen?

Findet eine gute Strategie.Spielanalyse

Jeder Mitspieler wirft einen Würfel. Alle werfen zudem noch 20 Würfeln. Nun muss jeder mit Würfeln aus der Mitte sein Würfelergebnis als Mittelwert legen.Spielt miteinander. ÜbungsspielSpielerisches Auseinandersetzen

Wie viele verschiedene Durchschnitte kannst zu errechnen, wenn du nur die Zahlen 1,2,3,4 und 5 zu Verfügung hast? a) Du darfst jede Zahl höchstens einmal nehmen b) Du darfst jede Zahl auch mehrfach nehmen. Was ist jetzt der größte und kleinste Wert, den du bekommst?

Wie viele Möglichkeiten gibt es, …? Wie lauten alle Möglichkeiten, …?

Kombinatorische Ausschöpfung

Was ändert sich am Durchschnitt der folgenden Zahlenreihe 6,10,12,16, wenn man a) alle Werte halbiert? b) alle Werte um 1 erhöht? b) den Durchschnittswert noch hinzufügt Was passiert wenn …?Funktionale Abhängigkeit

Du hast die drei Datenreihen: 1,1,8 3,3 1,2,3,4,5Bei welcher der drei erhöht sich der Durchschnitt am meisten, wenn man noch eine 6 hinzunimmt? Warum?

Wann ist … am größten / kleinsten / besten?Optimierung

Gib fünf Zahlen an, deren Durchschnitt 5 ist.Gib zwei weitere Beispiele an..Wie oft muss man noch die Zahl 5 zu den Zahlen 1,2,3,4 hinzunehmen, damit der Durchschnitt 4 ist?

Wann kommt … heraus?Umkehrfrage

Operatives Durcharbeiten

AufgabenbeispieleFragetypAufgabentyp: Probleme lösen

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Prüffragen nachherRegt die Aufgabe an, die Zieltätigkeit• möglichst oft auszuführen? (Effektivität)• auf verschiedenen Niveaus auszuführen?

(Differenzierung)• operativ durchzuarbeiten? (Flexibilität)• beim Ausführen zu reflektieren?

(Verständnis)

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Öffnen Sie die Aufgaben ggf. noch ein wenig dafür, dass Schüler Entscheidungen treffen können. Oder lassen Sie ein Phänomen verbal beschrieben, vergleichen, begründen etc..

Reflexivitätoptimieren

Formulieren Sie die Aufgabe so, dass es sich lohnt, auch einmal vom Ergebnis her zu denken, oder einen Wert systematisch durchzuprobieren. Gegebenenfalls fordern Sie explizit dazu auf.

Flexibilitätoptimieren

Stellen Sie sicher, dass schwächere Schüler die Aufgabenstellung sofort verstehen können. Gegebenenfalls stellen sie eine einfachere, geschlossenere Einstiegsaufgabe mit Beispielcharakter voran

Differenzierung optimieren

Verändern Sie die Aufgabenstellung, dass Schüler auf jeden Fall mehrere Beispiele bearbeiten müssen, z.B. durch direkte Aufforderung.

Effektivität optimieren

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Wie sieht es konkret aus?

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Wie sieht es konkret aus?

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Anregungen für die Arbeit in einer Fachkonferenz

Wann? Alle ein oder zwei Wochen Wer? Alle Kollegen einer StufeWas? Übungen für die (über)nächste WocheWie? Kreativitätstechniken!Wozu? Aufbau eines erprobten Repertoires

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KreativitätstechnikSchreibgespräch:

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oder…• Wählen Sie eine Aufgabe• Variieren Sie „produktiv“ mit Hilfe der Liste• Methode: Ich-Du-Wir

Gruppen Präsentation und DiskussionWIRPartnerAustausch mit PartnerDUEinzelnIndividuelle LösungICH

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Jetzt sind Sie dran

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Nachtrag

„Mach mal wieder Mathe!“Eine willkommen Nebenwirkung des produktiven Übens

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• Fülle diese Pluszahlenmauer mit möglichst vielen ungeraden Zahlen

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• Fülle diese Pluszahlenmauer mit möglichst vielen Primzahlen

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• Fülle diese Pluszahlenmauer mit möglichst vielen Quadratzahlen

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Winter, H. (1984). Begriff und Bedeutung des Übens im Mathematikunterricht. Mathematik Lehren 2/84 S. 4-16

Wittmann, E. Chr./ Müller, G.N. (1990/1992). Handbuch produktiver Rechenübungen, Band 1 & 2, Klett

Selter, Chr. (1995). Entdeckend üben - übend entdecken Grundschule 27, 5/1995, S. 30-34

Blum, W./ Wiegand, B. (2000) Vertiefen und Vernetzen – Intelligentes Üben im Mathematikunterricht, in: Üben & Wiederholen, Friedrich Jahresheft XVII, S. 106–108.

Büchter, A./ Leuders, T. (2005) Mathematikaufgaben selbst entwickeln. Cornelsen Scriptor. S.144-149

Leuders, T. (2005). Intelligentes Üben selbst gestalten! - Erfahrungen aus dem Mathematikunterricht. Pädagogik, 11/05, S.29-32

Müller, J. (2005). Entdeckend Lernen mit Zahlenmauern in der Sekundarstufe. Praxis Mathematikunterricht 2/05 S. 32–38.

Leuders, T. & Wittmann, G. (2006). Fit in Form - Produktives Üben in der Geometrie. Praxis der Mathematik in der Schule 12.

Leuders, T. (2006). Reflektierendes Üben mit Plantagenaufgaben. Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht 59(5),S.276-284

Leuders, T. (2008). Übungsaufgaben produktiv weiterentwickeln. Tipps und Kniffe am Beispielthema „Römische Zahlen“ Mathematik lehren 147

Bruder, R. (2008). Üben mit Konzept. Mathematik lehren 131

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