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Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 1

Physik für Mediziner und Zahnmediziner

Vorlesung 0010

Satz von Bernoulli

In einer reibungsfreien (!) Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit ist die Summe aus Dichte der kinetischen Energie, Druck und potentieller Energiedichte konstant.

konstantρghpρv2

Der Satz von Bernoulli ist eine direkte Folge des Energieerhaltungssatzes.

.constEEE potDkin Zur Erinnerung (Mechanik):

Alle diese Terme umschreiben „Druck“!

Versuch: rotierender ZylinderMagnus Effekt

vZylinder

vrot,oben

vrot,untenvrot,oben vrot,unten= -

voben = │vLuft │ + │ vrot │

vunten = │vLuft │ - │ vrot │

poben < punten

Auftrieb!

Zylinder bewegt sich nach rechts

Die Luft strömt ihn von links an.

noch einmal Bernoulli: Freistoß um die Ecke...

aus: Physik-Journal, Juni 2006

Flugzeugflügel

Erklärung über den Bernoulli-Effekt

Kontinuitätsgleichung

Folge der Inkompressibilität von Flüssigkeiten: „die pro Zeit in ein Volumen hineinfließende Flüssigkeit muss auch wieder herausfließen“

Querschnittsfläche A2Querschnittsfläche A1

Je kleiner der Rohrquerschnitt desto größer die (mittlere) Strömungsgeschwindigkeit

tAvtAv

Gleichheit der Volumenelemente

Gleichheit des Transports

Ergibt umgekehrte Proportionalität zw.Flächen und Geschwindigkeiten

...das „aufgebogene“ U-Rohr-Manometer

ρghpp Luft

⇒ Druck p messbar über Höhe h der Flüssigkeitssäule

Bernoulli

Beobachtung:

Deutung:

Experimente

Erklärung mit dem Satz von Bernoulli

konstantρghpρv2

Also: mit der Kontinuitätsgleichung ergibt sich:

an Verengungen in einer Röhre verringert sich der (statische) Druck in der Flüssigkeit

Also: mit der Kontinuitätsgleichung ergibt sich:

an Verengungen in einer Röhre verringert sich der (statische) Druck in der Flüssigkeit

Wir haben: veng > vbreit

Damit ergibt sich peng < pbreit

Wegen:unterschiedliches h

kommt noch dazu!

Bernoulli mit weichen Scheiben

Beobachtung:

Deutung:

Experimente

Stimmritze: Gummimembran-Modell

Phonation

aus: Klinke/Silbernagel: „Lehrbuch der Physiologie“

1. Luftströmung aus Trachea (Luftröhre) führt zum Öffnen der Stimmritze (Glottis)

2. erhöhte Strömungsgeschwindigkeit erniedrigt den Druck (Bernoulli)

3. ⇒ Schließen der Glottis

Folge: periodisches Öffnen und Schließen führt zur Tonerzeugung

Phonation und Artikulation

aus: Klinke/Silbernagel: „Lehrbuch der Physiologie“

• Form des Resonanzkörpers (=Rachen und Mundhöhle) bestimmt den produzierten Laut

• Stimmgebung über Rückkopplung mit dem Gehör

Buchhaltung: Bernoulli und Kontinuität

Je kleiner der Rohrquerschnitt desto größer die (mittlere) Strömungsgeschwindigkeit

KontinuitätsgleichungKontinuitätsgleichung

konstantρghpρv2

1 2 Satz von BernoulliSatz von Bernoulli

Mit Kontinuitätsgleichung ergibt sich:an Verengungen in einer Röhre verringert sich der (statische) Druck in der Flüssigkeit

In einer reibungsfreien (!) Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit ist die Summe aus Dichte der kinetischen Energie, Druck und potentieller Energie konstant.

Ströme: Vorgehensweise

• Erarbeiten wichtiger Zusammenhänge am Beispiel der Flüssigkeitsströmung

• Übertragen allgemeiner Ergebnisse auf elektrische Ströme

und Spannungen Kirchhoffsche Gesetze, Widerstandsnetzwerke

elektrische Spannung und Druckabfall

Beobachtung:

Deutung:

Experimente

Druckverlust in fließenden Flüssigkeiten

Druckabfall entlang des Widerstands sowie Stromfluß

Widerstand ist unendlich: kein Druckabfall und kein Stromfluß

elektrische Spannung und Druckabfall

Beobachtung:

Deutung:

Experimente

reale elektrische Leiter

U=DφI

Das Ohm‘sche Gesetz

U=DφI

Zumeist geschriebenals:

U = R . I„uri“Der Typ mit den

verbogenen Gabeln

WIKIPEDIA: Uri Geller erregte in den 1970er-Jahren erstmals Aufsehen mit seinen Fernsehauftritten, in denen er angeblich durch telepathische Kräfte versteckt gemalte Zeichnungen nachmalte, stehengebliebene Uhren zum Ticken brachte und Besteck verbog. Er sagt in Interviews gelegentlich, dass er glaubt, seine Kräfte von Außerirdischen vom Planeten „Hoova“,erhalten zu haben. Ob das bei der Physikklausur auch hilft……?

Blutkreislauf: Netzwerk von „Röhren“ mit unterschiedlichen Widerständen

aus: Schmitd/Thews: Physiologie des Menschen

Verzweigungen: „Knoten“

geschlossene Kreise: „Maschen“

Blutkreislauf: Parallel- und Serienschaltung von Widerständen

Serienschaltung:

Parallelschaltung:

Kirchhoffsche Gesetze

In einem geschlossenen Stromkreis (Flüssigkeitskreislauf) bleiben einige physikalische Größen konstant:

Zahl der Ladungen (Zahl der Teilchen)

1.Kirchhoffsches Gesetz: In einem Knoten ist die Summe aller Ströme gleich Null (In einem Knoten ist die Summe der hinfließenden Ströme gleich der Summe der wegfließenden Ströme)

Energie: Spannung (Druckdifferenz)

2.Kirchhoffsches Gesetz: In einer Masche ist die Summe der treibenden Kräfte (= Spannungen, Druckdifferenzen) gleich Null

1. Kirchhoffsches GesetzKnotenregel

j In einem Knoten ist die Summe der Ströme gleich Null

0IIII 2143

Zufließende und abfließende Ströme vorzeichenrichtig addieren!

2. Kirchhoffsches GesetzMaschenregel

In einer Masche ist die Summe der Spannungen gleich Null

Einmal rum: DruckdifferenzP1-P1 muß Null sein

Masche

Für Spannungen gilt dasselbe.Einmal rum:

Flüssigkeitswiderstände

21 RRR

Leitfähigkeit und Widerstand

R2Verschließen!

Z.B. fließen jetzt 10ml pro Sekunde

Nach dem Öffnen: Wieviel fließt etwa?? Etwa das Doppelte!

Der Widerstand R hat abgenommen Die Leitfähigkeit g hat zugenommen!

Es gilt: g = 1/R Wichtig bei Membranen!

Serienschaltung

R1 R2R

Equivalentzu

Knotenreg.:

Maschenreg.:

Ohm‘sches Ges.: undund

X X XAlle Ströme sind gleich:21 RRR I.

Parallelschaltung

Equivalentzu

1II.I.

Wie ist der Wert von R?

Damit:X X

Knotenreg.:

Maschenreg.:

Ohm‘sches Ges.: undund

Flüssigkeitswiderstände

21 RRR

...wrap up

1.Kirchhoff

(Teilchen)

im Knotenim Knoten

2.Kirchhoff

(Energie)

in der Maschein der Masche

treibende Kraft

Spannung

Druckdifferenz

Stromelektrischer Strom

Volumenstrom

allgemeinelektr.StromFlüssigkeitsstrom

Schaltsymbole

• Widerstand R

• Zuleitung (widerstandsfrei)

• Voltmeter (großer Innenwiderstand Ri; ideal: Ri=∞)

• Amperemeter (kleiner Innenwiderstand Ri; ideal Ri=0)

• Gleichspannungsquelle

• Kondensator

Versuch: Viskosität

reale Flüssigkeiten: Widerstand durch innere Reibung

Alltag: Flüssigkeiten besitzen unterschiedliche „Fließeigenschaften“

Ursache: Viskosität oder Zähigkeit, auch: innere Reibung

Def.: Viskosität ηDef.: Viskosität η

ΔvAηF

laminares Strömungsprofil

Beobachtung:

Deutung:

Experimente

kreisförmiger Röhrenquerschnitt: laminares Geschwindigkeitsprofil

22 ρrρv • Strömungsgeschwindigkeit am Gefäßrand Null

• max. Strömungsgeschwindigkeit in der Röhrenmitte

• Strömungsgeschwindigkeit am Gefäßrand Null

• max. Strömungsgeschwindigkeit in der Röhrenmitte

v(r=r) = 0v(r2) > 0

v(r3) >> 0v( =0r ) = max.

v, Geschwin-digkeit

Radius: r

laminare Strömung: mikroskopische Vorstellung

• Flüssigkeit am Gefäßrand ruht (v=0)

• „Abgleiten“ der Flüssigkeitsschichten aneinander

• Reibung aufgrund der Viskosität der Flüssigkeit

laminare Strömung: Hagen-Poiseuille

v(r+dr)dr

Betrachung einzelnerFlüssigkeitszylinder

Flüssigkeitskraft:(vom Druck)

Viskosität:

Wenn‘s gleichmäßigfließt:

Umstellen:

Die Ableitung ist eine lineare Funktion von r

Integration

Integrationskonstante

Rand- oder Nebenbedingungen treten in der Physik oft auf. Sie geben an, wie sich ein System an bestimmten „charakteristischen“ Stellen verhält. Damit kann man dann ‚uneindeutige Gleichungen‘ endgültig bestimmen.

Sollte NULL sein !

Der Rand des Zylinders:

Wenn wir hier v0=0 setzen, bekommen wir für den Rand des Zylinders (der „Randwert“ – hier sprichwörtlich!) was unsinniges raus, nämlich:

Wir hatten:

Und setzten: Damit ist:

Also insgesamt:

Achtung: „groß-V“ist das Volumen

DxJedoch: v ist nicht konstant, wir haben: v(r) !

Achtung: „klein-v“ist die Geschw.

Und nun zum Fluß (laminare Strömung):

Von vornARing

Einsetzen von v(r):Dann in Integralform (undRausziehen aller Konstanten):

Damit:

Fluß eines einzelnen Rings: (Geschw. mal Volumen, wie vor)

Fluß gesamt:

Strömung eines Rings:

Summe über alle Ringe!

Stammfunktionen:

Bemerkenswert!4te Potenz des Radius!Und endlich:

Hagen-Poiseuille

Beobachtung:

Deutung:

Experimente

Der Strömungswiderstand einer newtonschen Flüssigkeit (Viskosität unabhängig vom Druck) in einer Kapillaren ist

• proportional zur Viskosität der Flüssigkeit

• proportional zur Länge der Kapillaren

• umgekehrt proportional zur vierten Potenz des Kapillarradius

Der Strömungswiderstand einer newtonschen Flüssigkeit (Viskosität unabhängig vom Druck) in einer Kapillaren ist

• proportional zur Viskosität der Flüssigkeit

• proportional zur Länge der Kapillaren

• umgekehrt proportional zur vierten Potenz des Kapillarradius

Folgerung: der Strömungswiderstand - und damit der Volumenstrom bei festem Druck - kann über den Röhrendurchmesser empfindlich verändert werden

einige Kreislaufdaten

• Blutvolumen: 5l• Herzschlagvolumen: ca 70ml

≈(4-6)l/min• unter Belastung: 20l/min• statischer Druck: (6-8)mmHg (ca. 1kPa) (ohne Herzschlag!)• mittlerer Blutdruck: 100mmHg

(13kPa)• 0.25l/min O2-Verbrauch in Ruhe

• 3l/min O2-Verbrauch unter Belastung

• Blut ist keine newtonsche Flüssigkeit!

...abhängig vom Gefäßdurchmesser

l „Le

Blut ist keine newtonsche Flüssigkeit

...abhängig von der Schubspannung (Druck)

Aggragation bei kleinen Schub-spannungen

Desaggragation bei großen Schub-spannungen

aus: Klinke/Silbernagel „Lehrbuch der Physiologie“

Stromstärke-Druck-Diagramm

arteriovenöse Druckdifferenz

dehnbares, aber druckpassives Gefäß (z.B. Lunge, Skelettmuskel)

starres Rohr

dehnbares, aber autoregulierendes Gefäsystem (z.B. Gehirn, Darm, Niere)

Blutgefäße ändern passiv oder aktiv ihren Strömungswiderstand und regulieren so die Durchblutung

Fluß-Muster

laminare und turbulente Strömung

Beobachtung:

Deutung:

Experimente

laminar turbulent

Strömungsarten

laminare Strömung: Flüssigkeitsteilchen bewegen sich nur in Fließrichtung

turbulente Strömung: auch Geschwindigkeitskomponenten senkrecht und entgegen der Fließrichtung Wirbelbildung

Blutkreislauf: vorwiegend laminare Strömung; turbulente Strömung in der Aorta; pathologisch bei Gefäßverengungen ( Auskultation Strömungsgeräusche)

Übergang laminar turbulent: Reynoldszahl

laminar turbulent

• laminare Strömung für kleine Strömungsgeschwindigkeiten

• Strömungswiderstand im turbulenten Bereich erhöht

• Übergang durch Reynoldszahl beschrieben:

oberhalb von Re≈1000 nimmt der turbulente Strömungsanteil zu

Zusätzliche Folien

Schaltung von Widerständen

Sie haben 3 Widerstände mit jeweils R=2kΩ zur Verfügung. Entwerfen Sie mit diesen Widerständen eine Schaltung mit dem Gesamwtiderstand Rges=3kΩ.

Serienschaltung

15Ω 12Ω 27Ω18Ω 24Ω

Die Spannung zwischen den Klemmen I und II des Widerstandes R2 beträgt

in dem oben gezeigten Schaltbild:

1. U=2V

2. U=4V

3. U=5V

4. U=12V

5. U=15V

...Kategorien

Grundlagen: notwendige Kenntnisse und Fähigkeiten

Wissenswertes: Informationen jenseits des Notwendigen

Für Experten: Medzinische Physik...

...das U-Rohr-Manometer

p p p p+Dp

h ρghΔp

der hydrostatische Druck hängt nur von der Höhe der Flüssigkeitssäule ab; insbesondere hängt er nicht von der Gefäßform ab

hydrostatischer Druckhydrostatischer Druck

Blutdruckmessung

Manschettendruck > syst.Druck >> diast. Druck

Manschettendruck ≥ syst.Druck >> diast. Druck

syst.Druck ≥ Manschettendruck >> diast. Druck Manschettendruck < syst. und

diast. Druck

l „Le

Widerstand

I: Volumenstromstärke [m3/s]Dp: Druckdifferenz [Pa=N/m2]

I: elektr. Stromstärke [A]U: Spannung [V]

Def.: Widerstand R

sPa]R[

Ergänzung: Leitwert G

I: Volumenstromstärke [m3/s]Dp: Druckdifferenz [Pa=N/m2]

I: elektr. Stromstärke [A]U: Spannung [V]

Def.: Leitwert G

ungebräuchlich! )Siemens(SV

Folge: Druckverlust in fließenden Flüssigkeiten

reale elektrische Leiter

U=DφI

reale elektrische Leiter...

elektrische Leiter: Ladung wird transportiert durch

• Elektronen (Metalle)

• Ionen (Elektrolyte, biologische Systeme)

Widerstand aufgrund von Stößen der Ladungsträger Beschreibung durch die „Beweglichkeit“ μ:

v: Geschwindigkeit des LadungsträgersF: Kraft auf den Ladungstträgerq: Ladung des Ladungsträgers

Blutkreislauf: Netzwerk von „Röhren“ mit unterschiedlichen Widerständen

Verzweigungen: „Knoten“

geschlossene Kreise: „Maschen“

Blutkreislauf: Parallel- und Serienschaltung von Widerständen

Serienschaltung:

Parallelschaltung:

Buchhaltung: Kirchhoffsche Gesetze

In einem geschlossenen Stromkreis (Flüssigkeitskreislauf) bleiben einige physikalische Größen konstant:

Zahl der Ladungen (Zahl der Teilchen)

1.Kirchhoffsches Gesetz: In einem Knoten ist die Summe aller Ströme gleich Null (In einem Knoten ist die Summe der hinfließenden Ströme gleich der Summe der wegfließenden Ströme)

Energie: Spannung (Druckdifferenz)

2.Kirchhoffsches Gesetz: In einer Masche ist die Summe der treibenden Kräfte (= Spannungen, Druckdifferenzen) gleich Null

1. Kirchhoffsches Gesetz

j In einem Knoten ist die Summe der Ströme gleich Null

0IIII 2143

Zufließende und abfließende Ströme vorzeichenrichtig addieren!

In einer Masche ist die Summe der Spannungen gleich Null

A B 0UU

Parallelschaltung

I)(RIR

IRUIRUIRUUUU

p22211121

Serienschaltung

21s RRR

IIRIRIRUUU

Schaltungen

21s RRR

ParallelschaltungParallelschaltung

SerienschaltungSerienschaltung

...wrap up

1.Kirchhoff

(Teilchen)

im Knotenim Knoten

2.Kirchhoff

(Energie)

in der Maschein der Masche

treibende Kraft

Spannung

Druckdifferenz

Stromelektrischer Strom

Volumenstromdichte

allgemeinelektr.StromFlüssigkeitsstrom

Schaltsymbole

• Widerstand R

• Zuleitung (widerstandsfrei)

• Voltmeter (großer Innenwiderstand Ri; ideal: Ri=∞)

• Amperemeter (kleiner Innenwiderstand Ri; ideal Ri=0)

• Gleichspannungsquelle

• Kondensator

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Die Physik des Hörens Lehrbücher: Biophysik für Mediziner (Herausgeber S. Damjanovich, J. Fidy und J. Szöllősi) Medicina, Budapest, 2008. Adam G., Läuger.