Post on 24-Aug-2019
Relationen und Funktionen
Relationen und Funktionen
Quick Start InformatikTheoretischer Teil
WS2011/12
11. Oktober 2011
QSI - Theorie - WS2011/12
Relationen und Funktionen > Relationen
Relationen
QSI - Theorie - WS2011/12
Relationen und Funktionen > Relationen
Was ist eine Relation?
Eine Relation steht fur eine Beziehung zwischen Objekten - imformalen Kontext Elementen einer Menge. Zwei Elemente aus denbetroffenen Mengen konnen entweder die Beziehung zueinanderbesitzen (die Relation erfullen) oder nicht.Beispiele:
enthalt den Buchstaben Eine Relation zwischen Worten undBuchstaben.
ist verwandt mit Eine Relation zwischen Personen und Personen.
hat die Farbe Eine Relation zwischen Gegenstanden und Farben.
QSI - Theorie - WS2011/12
Relationen und Funktionen > Relationen
Wozu braucht man Relationen?
Es wird die Beziehung von Objekten formalisiert; darauf basiert zumBeispiel das gangigste Modell fur Datenbanken. Besonders haufig istauch die “Kantenrelation”, die die Verbindungen zwischenKnotenpunkten in einem Graphen enthalt.
A B C
Knotenmenge: {A,B,C}, Kantenrelation: {(A,B) , (B,C ) , (B,B)}
QSI - Theorie - WS2011/12
Relationen und Funktionen > Relationen
Tupel
Definition (Das Tupel)
Sei n ∈ N eine naturliche Zahl. Fur n Objekte a1, . . . , an bezeichnet(a1, . . . , an) ein geordnetes Tupel mit den Komponenten a1, a2, . . . , an.
Ein Tupel ist nicht dasselbe wie eine Menge - {a1, a2, . . . , an}:Reihenfolge Die Reihenfolge ist wichtig: {a1, a2} = {a2, a1}, aber
(a1, a2) 6= (a2, a1).
Wiederholungen Ein Objekt kann beliebig oft vorkommen, und dasTupel andert sich dadurch: (a1, a2) 6= (a1, a2, a1).
QSI - Theorie - WS2011/12
Relationen und Funktionen > Relationen
Das Tupel (2)
Fur ein Tupel (a1, . . . , an) heißt n die Lange (nicht Kardinalitatoder Machtigkeit) des Tupels.
Ein Tupel der Lange n heißt auch “n-Tupel”. 2-Tupel und 3-Tupelnennt man auch “Paare” und “Tripel”.
Zwei Tupel (a1, . . . , an) und (b1, . . . , bn) sind gleich, genau dannwenn sie die gleiche Lange haben, und an jeder Positionubereinstimmen (fur 1 ≤ i ≤ n gilt: ai = bi ).
QSI - Theorie - WS2011/12
Relationen und Funktionen > Relationen
Das kartesische Produkt
Definition (Das kartesische Produkt)
Seien A und B Mengen. Das kartesische Produkt von A,B ist dieMenge A× B := {(a, b) |a ∈ A, b ∈ B}.
Beispiel: Sei M = {1, 2, 3} und N = {a, b}, dann ist
M × N = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}. Es wird jedesElement mit jedem Element kombiniert.
QSI - Theorie - WS2011/12
Relationen und Funktionen > Relationen
Relation
Definition (Paar-Relation)
Seien A,B Mengen. Eine Relation uber A,B ist eine TeilmengeR ⊆ A× B; die Elemente der Relation sind daher Tupel.
Eine Relation kann auch zwischen mehr als zwei Mengen definiert sein.Beispiel:
a2 + b2 = c2 Ganzzahlige Seitenlangen von rechtwinkligen Dreiecken:R ⊆ N× N× N. Die Relation istR = {(3, 4, 5) , (4, 3, 5) , (5, 12, 13) , . . .}.
Fur eine Relation uber n Mengen heißt n die Stelligkeit von R.
QSI - Theorie - WS2011/12
Relationen und Funktionen > Funktionen
Funktionen
QSI - Theorie - WS2011/12
Relationen und Funktionen > Funktionen
Was ist eine Funktion?
Funktionen kennt man in der Mathematik und in Programmen alsRegeln, die fur jede Eingabe eine bestimmte Ausgabe festlegen. Formalsagt man, dass sie die Eingabe auf die Ausgabe abbilden.Beispiele:
f (x) = x2 ist eine Funktion, die Zahlen auf andere Zahlenabbildet.
g (wort) = “Anfangsbuchstabe von wort′′ bildet Worte aufBuchstaben ab.
h (M) = “Kardinalitat der Menge M” bildet Mengen auf Zahlenab.
QSI - Theorie - WS2011/12
Relationen und Funktionen > Funktionen
Funktionen als Relation
Man kann die Funktion als Relation mit speziellen Eigenschaftenbetrachten:
Definition (Funktion)
Seien X und Y Mengen. Eine Funktion von X nach Y ist eine Relationf ⊆ X × Y mit der Eigenschaft, dass fur jedes Element a ∈ X genauein Element b ∈ Y existiert mit (a, b) ∈ f .
Beispiel: Folgenden Relationen sind Funktionen:
{(m, n) ∈ N× N|n = m3 − 1}.{(x , y) ∈ R≥0 × R≥0|x2 + y2 = 1}. Bzw.: y =
√1− x2.
QSI - Theorie - WS2011/12
Relationen und Funktionen > Funktionen
Sind alle Relationen auch Funktionen?
Nein:
Eine n-stellige Relation mit n 6= 2 ist keine Funktion.
Die Relation {(a, b) ∈ N× N|b = ±a} ist keine Funktion, da zumBeispiel (1,−1) und (1, 1) darin enthalten sind. (Keine eindeutigeAusgabe.)
Die Relation{
(x , y) ∈ R× R|y = 1x
}ist keine Funktion, da sie
kein Tupel (0, y) enthalt. (Nicht vollstandig definiert.)
QSI - Theorie - WS2011/12
Relationen und Funktionen > Funktionen
Notation von Funktionen
Definition
Seien X und Y Mengen.
Wir schreiben f : X → Y um auszudrucken, dass f eine Funktionvon X nach Y ist.
Fur eine Funktion f : X → Y und ein Element a ∈ X schreibenwir auch f (a) = b, wenn (a, b) ∈ f das fur a eindeutige Tupel in fist.
Ist f : X → Y eine Funktion, so heißt die zugehorige Relation{(a, f (a))|a ∈ X} ⊆ X × Y auch der Graph der Funktion f .
Ist f : X → Y eine Funktion, so ist X der Definitionsbereichvon f und Y der Bildbereich von f .
QSI - Theorie - WS2011/12
Relationen und Funktionen > Funktionen
Vergleich von Funktionen
Definition
Seien X und Y Mengen, und seien f , g : X → Y Funktionen.
Die Funktionen f und g sind gleich, wenn fur alle x ∈ X gilt:f (x) = g(x).
Seien X ,Y ⊆ R. Die Funktion f ist kleiner oder gleich g, inZeichen f ≤ g, wenn fur alle x ∈ X gilt: f (x) ≤ g(x).Die Funktion f ist kleiner als g , in Zeichen f < g, wenn fur allex ∈ X gilt: f (x) < g(x).
”f ≥ g “und
”f > g “sind analog definiert.
Beispiel: Fur die Funktionen f (x) = ex , g(x) = x2 und h(x) = 1 giltf > g , g < f , h ≤ f und f ≥ h.
QSI - Theorie - WS2011/12
Relationen und Funktionen > Funktionen
Eigenschaften von Funktionen
Definition (Eigenschaften von Funktionen)
Sei f : X → Y eine Funktion.
f heißt injektiv, falls es fur jedes y ∈ Y hochstens ein x ∈ X gibtmit f (x) = y.
f heißt surjektiv, falls es fur jedes y ∈ Y mindestens ein x ∈ Xgibt mit f (x) = y.
f heißt bijektiv, falls es fur jedes y ∈ Y genau ein x ∈ X gibt mitf (x) = y.
QSI - Theorie - WS2011/12
Relationen und Funktionen > Funktionen
Beispiele
Beispiel:
Die Funktion f : R→ R, f (x) = ex , ist injektiv, aber nichtsurjektiv.
Die Funktion g : R→ R, g(x) = x3 − 2x , ist surjektiv, aber nichtinjektiv.
Die Funktion h : R→ R, h (x) = x − 2, ist injektiv und surjektiv,und daher auch bijektiv.
Die Funktion i : R→ R, i(x) = x2, ist nicht injektiv und nichtsurjektiv.
QSI - Theorie - WS2011/12
Relationen und Funktionen > Funktionen
Eigenschaften von Funktionen im Bild
injektivnicht surjektiv
surjektivnicht injektiv
bijektiv
QSI - Theorie - WS2011/12