Post on 06-Apr-2016
School ofEngineering1. Signalbeschreibung im Zeitbereich
SiSy, Signal, 1-1
Inhaltsverzeichnis
1.1 Signalklassen * Kapitel 7.1.1
1.2 Symmetrie-Eigenschaften von Signalen * Kapitel 7.1.2
1.3 Verschiebung und Dehnung eines Zeitsignals * Kapitel 7.3.3
1.4 Elementarsignale * Kapitel 7.3.2
1.5 Harmonische Funktionen * Kapitel 3.1.1, 3.1.5.1 und 3.1.5.2
1.6 Mittelwerte
Anhang A: Darstellung komplexer Zahlen
* Kories, Schmidt-Walter, „Taschenbuch der Elektrotechnik“, Verlag Harri Deutsch, 9. Auflage, 2010.
School ofEngineering1.1 Signalklassen
SiSy, Signal, 1-2
Periodische Signale• wiederholen sich abschnittsweise, sind wichtige Hilfssignale• für alle t gilt: x(t+T0) = x(t), wobei kleinstes T0 die Periode ist
• f0 = 1/T0 ist die Wiederhol- bzw. Grund-Frequenz
T0 t
2T0 -2T0 -T0
Nicht-periodische Signale• sind nicht periodisch nach obiger Definition, z.B.
t
x(t)
x(t)
x(t+nT0) = x(t) für alle t und Integer n
τ
A x(t) = A·e-t/τ für t ≥ 0
0 sonstA/e
School ofEngineering1.1 Signalklassen
SiSy, Signal, 1-3
Normierte Signalleistung und Signalenergie
• Momentanleistung p(t) = u(t)·i(t) = R·i2(t) = u2(t) / R
• Normierung auf R = 1Ω und auf 1V (bei einem Spannungssignal)=> x2(t) ist dimensionslos
• (mittlere) normierte SignalleistungBezeichnung manchmal auch Pn
• (mittlere) normierte SignalenergieBezeichnung manchmal auch En
(Energie = Leistung · Zeit)
T
Tdtx(t)
2T1
limT
P 2
dt2x(t)E
School ofEngineering1.1 Signalklassen
SiSy, Signal, 1-4
Leistungssignale• haben endliche normierte Signalleistung, d.h. 0 < P < ∞
bzw. unendliche normierte Signalenergie E = ∞• zeitlich unbegrenzte Signale ohne abklingende Amplitude• periodischen Signale sind Leistungssignale• (mittlere normierte) Leistung eines periodischen Signals
• Effektivwert bzw. RMS-Wert eines periodischen Signals(ist vom Scheitelwert Xp und von der Signalform (!) abhängig)
0
2
0 Tdt(t)x
T1P
Integral über 1 Periode T0
Pdt(t)xT1XX
0T
2
0rmseff Root-Mean-Square
School ofEngineering
Zeige dass das Signal x(t) = A·sin(2π·f0·t) die Leistung P = A2/2 hatund damit den Effektivwert Xrms = A/√2
Benutze trigonometrische Umformung: sin2(α) = 0.5 – 0.5·cos(2α) P = …
P = = A2/2
E = ∞T0 T0
FF
00 T
dt(t)2sT1
Beispiel: s(t) = A·sin(2πf0t-φ) ist ein Leistungssignal
2
1.1 SignalklassenSiSy, Signal, 1-5
Flächen F gleich gross mittlere Leistung
School ofEngineering1.1 Signalklassen
SiSy, Signal, 1-6
t τ
1
x(t) = e-t/ τ für t ≥ 00 für t < 0
1/e = 0.37
Beispiel eines Energiesignals: zeige dass x(t) Energie E = τ/2 hat
je grösser τ, desto langsamer ist der exponentielle Abfall der Amplitude bzw. desto grösser ist die Signal-Energie E
Energiesignale• haben endliche normierte Signalenergie, d.h. 0 < E < ∞
bzw. verschwindende normierte Signalleistung P = 0 • zeitlich begrenzte Signale (z.B. Einzelpuls)
• zeitlich unbegrenztes Signal mit abklingender Amplituded.h. transiente Signale z.B. „Ausschwingvorgänge“
E = …
t τ
1 x(t)
School ofEngineering1.1 Signalklassen
SiSy, Signal, 1-7
kausale Signale• nehmen nur für t ≥ 0 von Null verschiedene Werte an• spielen nur eine Rolle im Zusammenhang mit kausalen Systemen
Kausalität
Ein kausales System reagiert erst dann mit einem Ausgangssignal, wenn ein Eingangssignal anliegt.
Die Stossantwort von kausalen Systemen verschwindet für t<0.
Technisch realisierbare Systeme sind kausal !
kausalesSystem
Stossanregung
t
kausale Stossantwort
t
School ofEngineering
Komplexe Signale• reelle Signale haben reellwertige Amplituden• komplexe Signale haben komplexwertige Amplituden
d.h. x(t) = xreal(t) + j·ximag(t) • praktische Signale sind reell, aber
manchmal hat die komplexe Darstellung Vorteile• Ix(t)I ist die Umhüllende bzw. Enveloppe• Beispiel: x(t) = e-t · ej2πfot wobei t ≥ 0 und f0 = 1 Hz
1.1 SignalklassenSiSy, Signal, 1-8
Ix(t)I Umhüllende
reelles Signal Re{x(t)}
School ofEngineering1.1 Signalklassen
Deterministische Signale• können exakt vorhergesagt und beschrieben werden• tragen keine Information, sind aber wichtige Hilfssignale
Stochastische Signale bzw. Zufallssignale• können nur mit stochastischen Kenngrössen wie z.B. Mittelwert
und Varianz der Amplitude, Korrelation usw. beschrieben werden• tragen Information oder stellen Rauschen dar
Musterverlauf(immer wieder
anderer Verlauf)
sin(2πf0t)
SiSy, Signal, 1-9/ V
/ V
School ofEngineering1.1 Signalklassen
t
x(t)
t
t
analoge Signale(zeit- und Amplituden-
wertkontinuierlich)
zeitdiskrete (wertkontinuierliche) Signale
digitale Signale(zeit- und wertdiskret,
Zahlenreihe)
Ts = 1/fs -Ts
Abtastung
Quantisierung
fs : Abtastrate [Samples/s], Abtastfrequenz [Hz]
AD
CSiSy, Signal, 1-10
x(nTs)
x[n]
Ts : Abtastperiode oder -intervall
Amplitude quantisiert
School ofEngineering
Ein Bild ist ein 2-dimensionales, digitales Signal 2-dimensionale Funktion f(x,y) der Ortskoordinaten (x,y)z.B. quantisierte Intensität (Helligkeit) in Funktion des Orts
1.1 SignalklassenSiSy, Signal, 1-11
x
y0 1 2 ... N-1
0
1
2
M-1
:
1 Pixel (Bildelement)
Matlab-Beispiel % Bild 16x16 Pixel, pixval=0: schwarz, pixval=64 weissX=[0*ones(8,8) 16*ones(8,8); 32*ones(8,8) 64*ones(8,8)]; image(X) colormap(gray);
8x8 Pixel
School ofEngineering
Ungerade bzw. anti-symmetrische Funktion• wenn für alle t gilt: x(-t) = -x(t)• Punktsymmetrie zum Ursprung • sin(.) ist eine ungerade Funktion
Gerade bzw. symmetrische Funktion• wenn für alle t gilt: x(-t) = x(t)• Spiegelsymmetrie zur vertikalen Achse• cos(.) ist eine gerade Funktion
t
x(t)
t
x(t)
1.2 SymmetrieeigenschaftenSiSy, Signal, 1-12
Achtung: die meisten Signale sind weder gerade noch ungerade• sind aber theoretisch in geraden und ungeraden Anteil zerlegbar
d.h. x(t) = xg(t) + xu(t)
0
0
School ofEngineering
Originalsignal x(t)
x(t+1s) Zeitverschiebung um 1s nach links
x(t-2s) Zeitverschiebung um 2s nach rechts
2·x(t) Skalierung (Verstärkung) mit 2
Quelle: Dr. S. Wyrsch
1.3 Verschiebung und DehnungSiSy, Signal, 1-13
School ofEngineering
Originalsignal x(t)
x(-t) (Zeit-) Spiegelung x(2t) (Zeit-) Stauchung mit Faktor 2
x(t/3) (Zeit-) Dehnung mit Faktor 3x(-(t-2s)) (Zeit-) Spiegelung und nachher(Zeit-) Verschiebung um 2s nach rechts
1.3 Verschiebung und DehnungSiSy, Signal, 1-14
School ofEngineering1.4 Elementarsignale
SiSy, Signal, 1-15
Für die Systembeschreibung wird die Reaktion auf Testsignale ermittelt.
Sprungfunktion, Schritt- oder Heaviside-Funktion (engl. unit step)
• u(t) wird oft als „Einschaltfunktion“ verwendet
• Matlab: heaviside()
u(t) = 1 für t > 01/2 für t = 0
0 für t < 0 t
x(t) = u(t-t0)
1
t t0
1
u(t)
R
Cx(t) y(t) 1V
t=t0
y(t)
System
School ofEngineering1.4 Elementarsignale
SiSy, Signal, 1-16
Beispiel Rechteck-Puls der Breite τ
• Zusammenhang mit Sprungfunktion
t
1
rτ(t) = rect(t/τ)
τ/2 - τ/2 rτ(t) = 1 für ItI < τ/2
0 sonst
rτ(t) = u(t+τ/2) - u(t-τ/2) t
1 u(t+τ/2)
τ/2 - τ/2
-u(t-τ/2)
t
1
rect(t)
1/2 - 1/2
rect(t) = 1 für ItI < 1/2 0 sonst
Rechteck-Funktion
• Matlab rectpuls()
School ofEngineering1.4 Elementarsignale
SiSy, Signal, 1-17
Dreieck-Puls
• Matlab tripuls()
t
1 Λ(t)
1-1
1t01tt1
(t)
Gauss-Impuls
• Matlab gauspuls()
t
1 Γ(t)2tπeΓ(t)
Fläche = 1
School ofEngineering
Dirac-Stoss, Dirac-Impuls, Dirac-Deltafunktion δ(t)
• ist keine Funktion, sondern eine Distribution
• Näherung als sehr kurzer Rechteck-Impuls mit sehr hoher Amplitude
• Darstellung als Pfeil, allenfalls mit „Gewicht“
t
1
2·r1/2(t)
1/2 -1/2
2
r1(t)
t
1
Fläche = 1
1dtδ(t)
δ(t) = lim n·r1/n(t)n→∞
1.4 ElementarsignaleSiSy, Signal, 1-18
δ(t) = 0 für t ≠ 0 der Wert für t=0 ist nicht definiert, aber
School ofEngineering
Der Dirac-Impuls ist die zentrale Testfunktion für Systeme!
Impulsantwort h(t) beschreibt ein LTI-System vollständig, siehe später
Eigenschaften des Dirac-Impulses
• Sieb- bzw. Ausblendeigenschaft
• Abtastung
• Ableitung der Einheitsschrittfunktion
0 0( ) ( ) ( )x t t t dt x t
t
δ(t-t0)x(t)
LTI-System
x(t) = δ(t)
t
y(t) = h(t)
tLTI: linear, time-invariant
x(t)·δ(t-t0) = x(t0)·δ(t-t0)δ(t) = du(t) / dt
1.4 ElementarsignaleSiSy, Signal, 1-19
Stossantwort
School ofEngineering1.4 Elementarsignale
SiSy, Signal, 1-20
Signum-Funktion
• Matlab: sign()
Betragsfunktion
Ix(t)I = x(t) / sgn(x(t))
• Matlab: abs()
sgn(t) = 1 für t > 00 für t = 0
-1 für t < 0 t
1
sgn(t)
-1
Beispiel: Ix(t)I = Icos(2π·f0·t)I wobei f0 = 1 kHz
keine Elementarsignale, aber wichtige Hilfsfunktionen
School ofEngineering1.5 Harmonische Funktionen
SiSy, Signal, 1-21
• spielen eine zentrale Rolle in der Fourier-Spektralanalyse• sind Eigen- oder Resonanzfrequenz von linearen Systemen
Lösungen der SchwingungsgleichungBeispiel Feder-Pendel ungedämpft (http://de.wikipedia.org/wiki/Harmonischer_Oszillator)
m
Feder-konstante k
Ruhelage
Kraft F = Masse m mal Beschleunigung d2x(t)/dt2
F = m · d2x(t)/dt2 = - k · x(t)
m · d2x(t)/dt2 + k · x(t) = 0
Schwingungsgleichung: d2x(t)/dt2 + (ω0)2 · x(t) = 0 wobei (ω0)2 = k/m
Eine mögliche Lösung: x(t) = A·sin(ω0·t+φ0)
x(t) und 2. Ableitung sind bis auf einen Faktor identisch
Demo: http://de.wikipedia.org/wiki/Schwingung
!
School ofEngineering1.5 Harmonische Funktionen
SiSy, Signal, 1-22
Sinus- und Kosinus-Funktionen
A Amplitude auch Scheitelwert oder Peak-Wert Xp genannt
ω0 Kreisfrequenz in [rad/s], ω0 = 2π·f0 wobei
f0 die Frequenz in Hz = 1/s bezeichnet und
T0 = 1/f0 = 2π / ω0 die Periodendauer ist
φ0 (Null-) Phase Zeit-Verschiebung / -Offset Δt0 = -φ0 / ω0
x(t) = A·sin(ω0t+φ0)
x̂
T0
A
Δt0
Momentanwert
A·sin(φ0)
School ofEngineering
Exponentialfunktion mit imaginärem Exponenten: x(t) = ejωot
• auch eine Lösung der (ungedämpften) Schwingungsgleichung
• x(t) = ejω0t = cos(ω0·t) + j·sin(ω0·t)
• Umhüllende (Enveloppe) Ix(t)I = 1
1.5 Harmonische FunktionenSiSy, Signal, 1-23
School ofEngineering
Exponentialfunktion mit komplexen Exponenten x(t) = A·est
• Lösung der (gedämpften) Schwingungsgleichung
d2x(t)/dt2 + 2·ξ·ω0 · dx(t)/dt + (ω0)2 · x(t) = 0
wobei ξ: Dämpfungskonstante, ω0: Schwingkreisfrequenz
• Amplitude A = IAI·ejφ0, “Frequenz” s = σ + jω0
• Realteil von s bestimmt die Form der Signal-Enveloppe
Ix(t)I = IAI·eσt
• Imaginärteil von s, d.h. ω0 = 2π·f0, bestimmt die Frequenz
x(t) = IAI·eσt · ejω0t+φ0 = IAI·eσt · [cos(ω0t+φ0) + j·sin(ω0t+φ0)]
σ<0 gedämpfte Schwingung
σ=0 harmonische Schwingungσ>0 angefachte Schwingung
1.5 Harmonische FunktionenSiSy, Signal, 1-24
School ofEngineering
Quelle: Dr. S. Wyrsch
Beispiel komplexe Schwingung (seltene Darstellung)
1.5 Harmonische FunktionenSiSy, Signal, 1-25
School ofEngineering
Quelle: Dr. S. Wyrsch
Beispiel komplexe Schwingung (häufige Darstellung)
1.5 Harmonische FunktionenSiSy, Signal, 1-26
School ofEngineering
sinc-Funktion•ist eigentlich keine harmonische Funktion•wichtige Funktion in der Fourier-Analyse
• Matlab: sinc()
0t10tt)(π/t)sin(π
(t)sinc 00f0
ff
1/(π·f0·t)
T0 = 1/f0
Nullstellen bei Vielfachen von T0
1.5 Harmonische FunktionenSiSy, Signal, 1-27
School ofEngineering1.6 Mittelwertbegriffe
SiSy, Signal, 1-28
Linearer Mittelwert (Gleichanteil) bzw. "DC-Wert"
• eines Signals
• eines periodischen Signals
Quadratischer Mittelwert (mittlere normierte Leistung Pn)
• eines Leistungs-Signals
• eines periodischen Signals
T/2
T/2dtx(t)
T1
limT
X0
0
00
Tdtx(t)
T1X
Integral über 1 Periode T0
= X
T/2
T/2dt(t)2x
T1
limT
X2
0
2
0
2
Tdt(t)x
T1X
School ofEngineering1.6 Mittelwertbegriffe
SiSy, Signal, 1-29
Beispiele• DC-Signal DC-Wert Leistung
x(t) = A X0 = A X2 = A2
• Sinus-Signal
x(t) = A·sin(2π·f0·t+φ) X0 = 0 X2 = A2/2
• Sinus-Betrag-Signal
x(t) = A·Isin(2π·f0·t)I X0 = (2/π)·A X2 = A2/2
X0 = 0.6366·A
School ofEngineering
2T/2
T/2
2eff Xtd(t)x
T1X
1.6 MittelwertbegriffeSiSy, Signal, 1-30
Effektivwert• engl. Begriff "Root-Mean-Square-Value" beschreibt die Berechnung
• periodisches Signal = √P = XRMS
Beispiele• Sinus-Signal x(t) = A·sin(2π·f0·t+φ) Xeff = Xrms = A/√2
• Periodisches Rechtecksignal Xeff = Xrms = A
School ofEngineering1.6 Mittelwertbegriffe
SiSy, Signal, 1-31
Varianz• mittlere quadratische Abweichung vom Mittel- bzw. DC-Wert
• periodisches Signal
Standardabweichung• σ = √Var(x)
Nützliche Identität
Matlab mean(), var(), std()
dtXx(t)T1Var(x(t))
0T
20
0
2022 XXσVar(x(t))
School ofEngineering
z = a + j∙b z* = a - j∙b konjugiert komplexe Zahl
Kartesische Darstellung
a = Re{z} = (z + z*) / 2
Real- und Imaginär-Teil von z
b = Im{z} = (z - z*) / 2j
Anhang A: Darstellung komplexer ZahlenSiSy, Signal, 1-32
z = r·ejφ
Polardarstellung
r
j·r
a
φj·b
z = r·ejφ = a+j·b
Betrag r = IzI = √ a2+b2
b = r·sin(φ)
r
a = r·cos(φ)
Phase φ = arctan (b/a)
School ofEngineering
z = ejφ
Polardarstellung, wenn r = 1
1
j
a
φj·b
z = ejφ = a+j·b
z = a + j·b wobei
a = cos(φ) und b = sin(φ)
Anhang A: Darstellung komplexer ZahlenSiSy, Signal, 1-33
cos(φ) = (ejφ + e-jφ) / 2
sin(φ) = (ejφ - e-jφ) / 2j
Euler-Formeln
ejφ = cos(φ) + j·sin(φ)
Beweis: Re{z} = (z + z*) / 2 wobei z = ejφ
Beweis: Im{z} = (z - z*) / 2j wobei z = ejφ
School ofEngineeringAnhang A: Darstellung komplexer Zahlen
SiSy, Signal, 1-34
z·z* = r·ejφ · r·e-jφ = r2 = IzI2
Produkt von komplexen Zahlen in Polarform
z1·z2 = r1·ejφ1 · r2·ejφ2 = r·ejφ r = r1·r2 φ = φ1 + φ2
z1/z2 = r1·ejφ1 / (r2·ejφ2) = r·ejφ r = r1 / r2 φ = φ1 - φ2
Beispiel
z1 = 1+j = √2·ejπ/4
z1
z = z1·z2 = √2·ejπ/4 · √2·e-jπ/4 = 2
z2 = 1-j = √2·e-jπ/4
z2
z = z1/z2 = √2·ejπ/4 / (√2·e-jπ/4) = ejπ/2
z = z1·z2 = (1+j)·(1-j) = 12-j2 = 2
z = z1/z2 = (1+j)2 / [(1-j)(1+j)]
= (1+j)2/2 = 2j/2 = j