Stabilisierung linearer Systeme mitAusgangsruckfuhrung via Euler-Methode

Markus Mullergemeinsame Arbeit mit M. French (Southampton) und A. Ilchmann (Ilmenau)

Elgersburg-Workshop 2007

Elgersburg, 21. Februar 2007

Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix

Gliederung

1 Einleitung

2 Theoretische Grundlagen

3 Ergebnisse

4 Zusammenfassung

Markus Muller Elgersburg-Workshop 2007

Stabilisierung linearer Systeme mit Ausgangsruckfuhrung via Euler-Methode

Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix

Systemklasse

Lineares System fur (A, b, c) ∈ Rn×n × Rn × R1×n und x0 ∈ Rn

x = Ax + bu , x(0) = x0

y = cx

(A, b, c) habe Relativgrad r ∈ {1, . . . , n},

⇐⇒ ∀ i ∈ {0, . . . , r−2} : cAib = 0 und cAr−1b 6= 0 ,

(A, b, c) habe stabile Nulldynamik

⇐⇒ (x, y, u) ≡ (x, 0, u) lost (A, b, c) ⇒ (x(t), u(t)) →t→∞

0 ,

Markus Muller Elgersburg-Workshop 2007

Stabilisierung linearer Systeme mit Ausgangsruckfuhrung via Euler-Methode

Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix

Normalform (Byrnes & Isidori)

(A, b, c) ⇐⇒

y(r) =r∑

i=1Riy

(i−1) + Sη + cAr−1bu

η = Ty + Qη ,

wobei (y, y(1), . . . , y(r−1), ηT ) := (V x)T mit V ∈ Rn×n

invertierbar.

stabile Nulldynamik ⇐⇒ spec(Q) ⊂ C−.

Markus Muller Elgersburg-Workshop 2007

Stabilisierung linearer Systeme mit Ausgangsruckfuhrung via Euler-Methode

Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix

Regler (Ableitungen)

Regler fur k = (k1, . . . , kr) ∈ R1×r

Ck : y 7→ u :=r−1∑i=0

ki+1y(i) ,

Geschlossener Regelkreis

dann ∃ k ∈ R1×r : (A, b, c) & Ck ist exponentiell stabiler Kreis.

Nachteil

Ableitungen des Ausgangs y mussen bekannt sein!

Frage

Ist (A, b, c) & Ck mit approximierten Ableitungen immer nochstabil?

Markus Muller Elgersburg-Workshop 2007

Stabilisierung linearer Systeme mit Ausgangsruckfuhrung via Euler-Methode

Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix

Regler (Ableitungen)

Regler fur k = (k1, . . . , kr) ∈ R1×r

Ck : y 7→ u :=r−1∑i=0

ki+1y(i) ,

Geschlossener Regelkreis

dann ∃ k ∈ R1×r : (A, b, c) & Ck ist exponentiell stabiler Kreis.

Nachteil

Ableitungen des Ausgangs y mussen bekannt sein!

Frage

Ist (A, b, c) & Ck mit approximierten Ableitungen immer nochstabil?

Markus Muller Elgersburg-Workshop 2007

Stabilisierung linearer Systeme mit Ausgangsruckfuhrung via Euler-Methode

Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix

Regler (Ableitungen)

Regler fur k = (k1, . . . , kr) ∈ R1×r

Ck : y 7→ u :=r−1∑i=0

ki+1y(i) ,

Geschlossener Regelkreis

dann ∃ k ∈ R1×r : (A, b, c) & Ck ist exponentiell stabiler Kreis.

Nachteil

Ableitungen des Ausgangs y mussen bekannt sein!

Frage

Ist (A, b, c) & Ck mit approximierten Ableitungen immer nochstabil?

Markus Muller Elgersburg-Workshop 2007

Stabilisierung linearer Systeme mit Ausgangsruckfuhrung via Euler-Methode

Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix

Regler (Ableitungen)

Regler fur k = (k1, . . . , kr) ∈ R1×r

Ck : y 7→ u :=r−1∑i=0

ki+1y(i) ,

Geschlossener Regelkreis

dann ∃ k ∈ R1×r : (A, b, c) & Ck ist exponentiell stabiler Kreis.

Nachteil

Ableitungen des Ausgangs y mussen bekannt sein!

Frage

Ist (A, b, c) & Ck mit approximierten Ableitungen immer nochstabil?

Markus Muller Elgersburg-Workshop 2007

Stabilisierung linearer Systeme mit Ausgangsruckfuhrung via Euler-Methode

Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix

Regler (Euler-Approximation)

Regler fur k = (k1, . . . , kr) ∈ R1×r und h > 0

CEulerk [h] : y 7→ u :=

r−1∑i=0

ki+1∆ih(y) ,

wobei

∆0h(y) = y

∆1h(y) = ∆h(y) =

1h

(y(·)− y(· − h)

)∆m

h (y) = ∆m−1h

(∆h(y)

).

Markus Muller Elgersburg-Workshop 2007

Stabilisierung linearer Systeme mit Ausgangsruckfuhrung via Euler-Methode

Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix

Gliederung

1 Einleitung

2 Theoretische Grundlagen

3 Ergebnisse

4 Zusammenfassung

Markus Muller Elgersburg-Workshop 2007

Stabilisierung linearer Systeme mit Ausgangsruckfuhrung via Euler-Methode

Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix

Definitionen 1

Operatoren

U , Y seien normierte Vektorraume.

P : U → Y , u1 7→ y1 = Pu1 , P (0) = 0 ,

C : Y → U , y2 7→ u2 = Cy2 , C(0) = 0 .

”gain“-Stabilitat

[P,C] heißt”gain“-stabil : ⇐⇒

ΠC//P := sup{‖(u2, y2)‖‖(u0, y0)‖

∣∣∣∣ (u0, y0) ∈ U × Y ,‖(u0, y0)‖ 6= 0

}< ∞ .

Markus Muller Elgersburg-Workshop 2007

Stabilisierung linearer Systeme mit Ausgangsruckfuhrung via Euler-Methode

Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix

Definitionen 1

Operatoren

U , Y seien normierte Vektorraume.

P : U → Y , u1 7→ y1 = Pu1 , P (0) = 0 ,

C : Y → U , y2 7→ u2 = Cy2 , C(0) = 0 .

”gain“-Stabilitat

[P,C] heißt”gain“-stabil : ⇐⇒

ΠC//P := sup{‖(u2, y2)‖‖(u0, y0)‖

∣∣∣∣ (u0, y0) ∈ U × Y ,‖(u0, y0)‖ 6= 0

}< ∞ .

Markus Muller Elgersburg-Workshop 2007

Stabilisierung linearer Systeme mit Ausgangsruckfuhrung via Euler-Methode

Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix

Definitionen 2

V1

V2 {v1 ∈ V1 | ‖v1‖ = 1}~δ(V1,V2)

b

Gerichtete gap (Kato, 66)

~δ(V1,V2) := supv1∈V1,‖v1‖=1

dist(v1,V2) .

Markus Muller Elgersburg-Workshop 2007

Stabilisierung linearer Systeme mit Ausgangsruckfuhrung via Euler-Methode

Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix

Definitionen 3

Graphen

GP := {(u, Pu) | u ∈ U , Pu ∈ Y} ⊂ U × YGC := {(Cy, y) | y ∈ Y, Cy ∈ U} ⊂ U × Y

sind die Graphen von P bzw. C.

gap

δ(C1, C2) := max(~δ(GC1 ,GC2), ~δ(GC2 ,GC1)

),

heißt gap der Operatoren C1, C2 : Y → U .

Markus Muller Elgersburg-Workshop 2007

Stabilisierung linearer Systeme mit Ausgangsruckfuhrung via Euler-Methode

Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix

Definitionen 3

Graphen

GP := {(u, Pu) | u ∈ U , Pu ∈ Y} ⊂ U × YGC := {(Cy, y) | y ∈ Y, Cy ∈ U} ⊂ U × Y

sind die Graphen von P bzw. C.

gap

δ(C1, C2) := max(~δ(GC1 ,GC2), ~δ(GC2 ,GC1)

),

heißt gap der Operatoren C1, C2 : Y → U .

Markus Muller Elgersburg-Workshop 2007

Stabilisierung linearer Systeme mit Ausgangsruckfuhrung via Euler-Methode

Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix

Robustheit der Stabilitat

Satz (Georgiou & Smith, 97, IEEE TAC)

[P,C1] ist”gain“-stabil und ~δ(C1, C2) <

(ΠC1//P

)−1,

⇒[P,C2] ist

”gain“-stabil.

Markus Muller Elgersburg-Workshop 2007

Stabilisierung linearer Systeme mit Ausgangsruckfuhrung via Euler-Methode

Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix

Gliederung

1 Einleitung

2 Theoretische Grundlagen

3 Ergebnisse

4 Zusammenfassung

Markus Muller Elgersburg-Workshop 2007

Stabilisierung linearer Systeme mit Ausgangsruckfuhrung via Euler-Methode

Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix

Idee

Bekannt:

[(A, b, c), Ck] ist exponentiell stabil.

Falls [(A, b, c), Ck]”gain“-stabil und ~δ(Ck, CEuler

k [h]) klein⇒[(A, b, c), CEuler

k [h]] ist”gain“-stabil.

Wir zeigen:

[(A, b, c), Ck] ist”gain“-stabil.

~δ(Ck, CEulerk [h]) = O(h),

dann [(A, b, c), CEulerk [h]] ist

”gain“-stabil fur kleine h.

[(A, b, c), CEulerk [h]] ist exponentiell stabil.

Markus Muller Elgersburg-Workshop 2007

Stabilisierung linearer Systeme mit Ausgangsruckfuhrung via Euler-Methode

Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix

Idee

Bekannt:

[(A, b, c), Ck] ist exponentiell stabil.

Falls [(A, b, c), Ck]”gain“-stabil und ~δ(Ck, CEuler

k [h]) klein⇒[(A, b, c), CEuler

k [h]] ist”gain“-stabil.

Wir zeigen:

[(A, b, c), Ck] ist”gain“-stabil.

~δ(Ck, CEulerk [h]) = O(h),

dann [(A, b, c), CEulerk [h]] ist

”gain“-stabil fur kleine h.

[(A, b, c), CEulerk [h]] ist exponentiell stabil.

Markus Muller Elgersburg-Workshop 2007

Stabilisierung linearer Systeme mit Ausgangsruckfuhrung via Euler-Methode

Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix

Idee

Bekannt:

[(A, b, c), Ck] ist exponentiell stabil.

Falls [(A, b, c), Ck]”gain“-stabil und ~δ(Ck, CEuler

k [h]) klein⇒[(A, b, c), CEuler

k [h]] ist”gain“-stabil.

Wir zeigen:

[(A, b, c), Ck] ist”gain“-stabil.

~δ(Ck, CEulerk [h]) = O(h),

dann [(A, b, c), CEulerk [h]] ist

”gain“-stabil fur kleine h.

[(A, b, c), CEulerk [h]] ist exponentiell stabil.

Markus Muller Elgersburg-Workshop 2007

Stabilisierung linearer Systeme mit Ausgangsruckfuhrung via Euler-Methode

Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix

Idee

Bekannt:

[(A, b, c), Ck] ist exponentiell stabil.

Falls [(A, b, c), Ck]”gain“-stabil und ~δ(Ck, CEuler

k [h]) klein⇒[(A, b, c), CEuler

k [h]] ist”gain“-stabil.

Wir zeigen:

[(A, b, c), Ck] ist”gain“-stabil.

~δ(Ck, CEulerk [h]) = O(h),

dann [(A, b, c), CEulerk [h]] ist

”gain“-stabil fur kleine h.

[(A, b, c), CEulerk [h]] ist exponentiell stabil.

Markus Muller Elgersburg-Workshop 2007

Stabilisierung linearer Systeme mit Ausgangsruckfuhrung via Euler-Methode

Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix

Idee

Bekannt:

[(A, b, c), Ck] ist exponentiell stabil.

Falls [(A, b, c), Ck]”gain“-stabil und ~δ(Ck, CEuler

k [h]) klein⇒[(A, b, c), CEuler

k [h]] ist”gain“-stabil.

Wir zeigen:

[(A, b, c), Ck] ist”gain“-stabil.

~δ(Ck, CEulerk [h]) = O(h),

dann [(A, b, c), CEulerk [h]] ist

”gain“-stabil fur kleine h.

[(A, b, c), CEulerk [h]] ist exponentiell stabil.

Markus Muller Elgersburg-Workshop 2007

Stabilisierung linearer Systeme mit Ausgangsruckfuhrung via Euler-Methode

Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix

Idee

Bekannt:

[(A, b, c), Ck] ist exponentiell stabil.

Falls [(A, b, c), Ck]”gain“-stabil und ~δ(Ck, CEuler

k [h]) klein⇒[(A, b, c), CEuler

k [h]] ist”gain“-stabil.

Wir zeigen:

[(A, b, c), Ck] ist”gain“-stabil.

~δ(Ck, CEulerk [h]) = O(h),

dann [(A, b, c), CEulerk [h]] ist

”gain“-stabil fur kleine h.

[(A, b, c), CEulerk [h]] ist exponentiell stabil.

Markus Muller Elgersburg-Workshop 2007

Stabilisierung linearer Systeme mit Ausgangsruckfuhrung via Euler-Methode

Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix

Die gap

Satz

Fur k = (k1, . . . , kr) ∈ Rr und h > 0 gilt:

~δ(Ck, CEuler

k [h])≤ 2 h

r−1∑i=1

|ki+1| · i .

Markus Muller Elgersburg-Workshop 2007

Stabilisierung linearer Systeme mit Ausgangsruckfuhrung via Euler-Methode

Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix

”gain“-Stabilitat

Folgerung

[(A, b, c), Ck] ist”gain“-stabil und

0 < α := ΠCk//(A,b,c) < ∞ .

Sei h∗ := 1α

(2

r−1∑i=1

|ki+1| · i)−1

. Dann:

∀ h ∈ (0, h∗) : [(A, b, c), CEulerk [h]] ist

”gain“-stabil.

Markus Muller Elgersburg-Workshop 2007

Stabilisierung linearer Systeme mit Ausgangsruckfuhrung via Euler-Methode

Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix

Gliederung

1 Einleitung

2 Theoretische Grundlagen

3 Ergebnisse

4 Zusammenfassung

Markus Muller Elgersburg-Workshop 2007

Stabilisierung linearer Systeme mit Ausgangsruckfuhrung via Euler-Methode

Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix

Zusammenfassung und Ausblick

Mit Hilfe der”gap-metric“ haben wir gezeigt: lineare

Eingroßensysteme konnen durch Ruckfuhrung derEuler-approximierten Ableitungen des Ausgangssignalsstabilisiert werden.

Ist dies auch fur andere Approximationskonzepte moglich?

Gelingt eine ahnliche Aussage fur nichtlineare Regler?

Kann die Idee auch bei der Regelung nichtlinearer Systemezum Erfolg fuhren?

Markus Muller Elgersburg-Workshop 2007

Stabilisierung linearer Systeme mit Ausgangsruckfuhrung via Euler-Methode

Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix

Zusammenfassung und Ausblick

Mit Hilfe der”gap-metric“ haben wir gezeigt: lineare

Eingroßensysteme konnen durch Ruckfuhrung derEuler-approximierten Ableitungen des Ausgangssignalsstabilisiert werden.

Ist dies auch fur andere Approximationskonzepte moglich?

Gelingt eine ahnliche Aussage fur nichtlineare Regler?

Kann die Idee auch bei der Regelung nichtlinearer Systemezum Erfolg fuhren?

Markus Muller Elgersburg-Workshop 2007

Stabilisierung linearer Systeme mit Ausgangsruckfuhrung via Euler-Methode

Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix

Zusammenfassung und Ausblick

Mit Hilfe der”gap-metric“ haben wir gezeigt: lineare

Eingroßensysteme konnen durch Ruckfuhrung derEuler-approximierten Ableitungen des Ausgangssignalsstabilisiert werden.

Ist dies auch fur andere Approximationskonzepte moglich?

Gelingt eine ahnliche Aussage fur nichtlineare Regler?

Kann die Idee auch bei der Regelung nichtlinearer Systemezum Erfolg fuhren?

Markus Muller Elgersburg-Workshop 2007

Stabilisierung linearer Systeme mit Ausgangsruckfuhrung via Euler-Methode

Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix

Zusammenfassung und Ausblick

Mit Hilfe der”gap-metric“ haben wir gezeigt: lineare

Eingroßensysteme konnen durch Ruckfuhrung derEuler-approximierten Ableitungen des Ausgangssignalsstabilisiert werden.

Ist dies auch fur andere Approximationskonzepte moglich?

Gelingt eine ahnliche Aussage fur nichtlineare Regler?

Kann die Idee auch bei der Regelung nichtlinearer Systemezum Erfolg fuhren?

Markus Muller Elgersburg-Workshop 2007

Stabilisierung linearer Systeme mit Ausgangsruckfuhrung via Euler-Methode

Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix

Definition gap (Georgiou & Smith, 97, IEEE TAC)

Menge OFur Ci : Y → U , i = 1, 2 seien die GraphenGCi = {(Ciy, y) | y ∈ Y, Cy ∈ U} ⊂ U × Y und

OC1,C2 := {Φ : GC1 → GC2 | Φ ist kausal, bijektiv, Φ(0) = 0} .

Gerichtete gap

~δ(C1, C2) := infΦ∈OC1,C2

supw∈GC1

\{0}

(‖(Φ− I)(w)‖

‖w‖

),

Nonlinear gap

δ(C1, C2) := max{~δ(C1, C2), ~δ(C2, C1)} .

Markus Muller Elgersburg-Workshop 2007

Stabilisierung linearer Systeme mit Ausgangsruckfuhrung via Euler-Methode

Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix

Definition gap (Georgiou & Smith, 97, IEEE TAC)

Menge OFur Ci : Y → U , i = 1, 2 seien die GraphenGCi = {(Ciy, y) | y ∈ Y, Cy ∈ U} ⊂ U × Y und

OC1,C2 := {Φ : GC1 → GC2 | Φ ist kausal, bijektiv, Φ(0) = 0} .

Gerichtete gap

~δ(C1, C2) := infΦ∈OC1,C2

supw∈GC1

\{0}

(‖(Φ− I)(w)‖

‖w‖

),

Nonlinear gap

δ(C1, C2) := max{~δ(C1, C2), ~δ(C2, C1)} .

Markus Muller Elgersburg-Workshop 2007

Stabilisierung linearer Systeme mit Ausgangsruckfuhrung via Euler-Methode

Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix

Definition gap (Georgiou & Smith, 97, IEEE TAC)

Menge OFur Ci : Y → U , i = 1, 2 seien die GraphenGCi = {(Ciy, y) | y ∈ Y, Cy ∈ U} ⊂ U × Y und

OC1,C2 := {Φ : GC1 → GC2 | Φ ist kausal, bijektiv, Φ(0) = 0} .

Gerichtete gap

~δ(C1, C2) := infΦ∈OC1,C2

supw∈GC1

\{0}

(‖(Φ− I)(w)‖

‖w‖

),

Nonlinear gap

δ(C1, C2) := max{~δ(C1, C2), ~δ(C2, C1)} .

Markus Muller Elgersburg-Workshop 2007

Stabilisierung linearer Systeme mit Ausgangsruckfuhrung via Euler-Methode

Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix

Delay-Differentialgleichung

(A, b, c) & CEulerk [h] ⇒

ddt

(ξη

)(t) = A0

k,h

(ξη

)(t) +

r−1∑j=1

Ajk,h

(ξη

)(t− jh) .

Fur Systeme mit r = 2 wurde die exponentielle Stabilitatdirekt gezeigt (Ilchmann & Sangwing, 04, SCL).

Fur hoheren Relativgrad ist ein Beweis nicht gelungen.

Markus Muller Elgersburg-Workshop 2007

Stabilisierung linearer Systeme mit Ausgangsruckfuhrung via Euler-Methode

Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix

Exponentielle Stabilitat

Definition (Kharitonov, 04)

Eine Delay-Differentialgleichung heißt exponentiell stabil

: ⇐⇒ ∀ ϕ ∈ Cpw([(1− r)h, 0], Rn) ∃ M,λ > 0 ∀ t ≥ 0 :

|x(t;ϕ)| ≤ Me−λt maxs∈[(1−r)h,0]

|ϕ(s)| .

Satz

∀ h ∈ (0, h∗) :

ddt

(ξη

)(t) = A0

k,h

(ξη

)(t) +

r−1∑j=1

Ajk,h

(ξη

)(t− jh)

ist exponentiell stabil.

Markus Muller Elgersburg-Workshop 2007

Stabilisierung linearer Systeme mit Ausgangsruckfuhrung via Euler-Methode

Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix

Exponentielle Stabilitat

Definition (Kharitonov, 04)

Eine Delay-Differentialgleichung heißt exponentiell stabil

: ⇐⇒ ∀ ϕ ∈ Cpw([(1− r)h, 0], Rn) ∃ M,λ > 0 ∀ t ≥ 0 :

|x(t;ϕ)| ≤ Me−λt maxs∈[(1−r)h,0]

|ϕ(s)| .

Satz

∀ h ∈ (0, h∗) :

ddt

(ξη

)(t) = A0

k,h

(ξη

)(t) +

r−1∑j=1

Ajk,h

(ξη

)(t− jh)

ist exponentiell stabil.

Markus Muller Elgersburg-Workshop 2007

Stabilisierung linearer Systeme mit Ausgangsruckfuhrung via Euler-Methode