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Stahlbau Grundlagen

Der Grenzzustand der Stabilität: Einzelstab- und Systemknicken

Prof. Dr.-Ing. Uwe E. Dorka

Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 2

Eine Dachscheibe wird zum statischen System mit Lasten

Einführung

Ein möglicher Grenzzustand ist Einzelstabknicken

Einführung

Beobachtung im Versuch

Einführung

Stabilität ist Gleichgewicht im Nachbarzustand !!

Annahmen der elastischen Stabilitätstheorie in der Baustatik:

Geometrie:

Werkstoff: linear elastisch:

Gleichgewicht: Formulierung am System im Nachbarzustand: v ist sehr klein und unbestimmt

Elastisches Einzelstabknicken Einführungsbeispiel: starrer Stab mit Drehfeder

( )( )( ) ϕ=ϕ

=ϕϕ=ϕ

tan1cos

ε⋅=σ E

Einführungsbeispiel: Starrer Stab mit Drehfeder

Elastisches Einzelstabknicken

1. Lösung (Triviallösung): 2. Lösung (Knicklast):

Werkstoff:

Geometrie: lv ⋅ϕ=

ϕ⋅= ϕϕ cM

GGW im Nachbarzustand:

( )ϕϕ −⋅⋅ϕ=⇔−⋅=⇔=∑ clN0MvN00M

cN == ϕ

Knicklast der Kragstütze (Eulerfall 1)

Gleichgewicht im Nachbarzustand:

Elastizitätstheorie:

Homogene DGL II. Ordnung.

( ) ( )xMxwN0 0M −⋅=⇒=∑

( ) ''wEIxM ⋅−=

wNwEI0 '' ⋅+⋅=⇒

Lösung der homogenen DGL:

Eigenwert:

Lösungsansatz:

Einarbeitung der Randbedingungen:

0wEIwN '' =⋅+⋅

22 =⋅

⋅=ε

⋅ε⋅

ε⋅−

⋅ε⋅

ε⋅=

⋅ε⋅

ε⋅−

⋅ε⋅

ε⋅=

⋅ε⋅+

⋅ε⋅=

LxcosC

LxsinCw

( ) ( ) ( )

( ) ( )ε⋅⋅ε

=⇒≡

ε=⇒ε⋅=⇒≡

=⇒≡

sinfC sinCf fLw

0C 00w

1. Lösung (Triviallösung): 2. Lösung für Knickbedingung:

hier: β = 2,0

Knicklast:

Knicklänge:

Knicklängenbeiwert:

( ) ( )

( )ε⋅ε⋅=

ε⋅ε

cotLf0

cossin

0 ( )ε=sin

( ) ;...2

0cot π⋅π⋅π=ε⇒=ε

cr LEI

2 ε⋅=

⋅π⋅

=⇒⋅=π

lπ⋅

Lcr ⋅β=l

Elastisches Einzelstabknicken - Knickformen

Hinweis: Knickformen sind Schwingungsformen sehr ähnlich, da diese ebenfalls Eigenformen einer DGL 2. Ordnung sind. Schwingungen kann man sich meist gut vorstellen, deshalb auch Knickformen!

1.Knickform

maßgebend, da kleinste Knicklast!

2.Knickform

3.Knickform

Variable Knickform

⋅ε⋅+

⋅ε⋅=

LxcosC

LxsinCw 21

( ) 0C , sin

fC :mit 21 =ε

⋅=sin

( )L2LL2

⋅=⋅π⋅

= ( )L66,0LL66,0

⋅=⋅π⋅

= ( )L4,0LL4,0

⋅=⋅π⋅

Roik [1]

Die Eulerfälle des Knickens

crNcrl1

Der Knicklängenbeiwert β gestattet es, ein konkret vorliegendes Knickproblem auf das Knickproblem eines Ersatzstabes zurückzuführen. Als Ersatzstab wird der Eulerfall 2 herangezogen, bei dem β = 1,0 ist, also lcr = L.

Elastisches Systemknicken - richtungstreue Systeme

Beispiel: Hallenrahmen

Antimetrisch Symmetrisch

1. Knickform - antimetrisch

2. Knickform - symmetrisch

1. Knickform - antimetrisch

Normalkraftverformungen bei Biegegliedern werden hier vernachlässigt, da sie viel kleiner als die Biegeverformungen sind.

Vereinfachtes System zur Berechnung der 1. Knickform

Normalkraftfreie Stäbe, oder Stäbe mit geringer Normalkraft lassen sich in vielen Fällen durch Rotations- oder Translationsfedern ersetzen.

Roik [1]

Federermittlung für vorliegendes Beispiel z.B. mit Arbeitsgleichung:

( ) ∫∫ ⋅⋅==ϕ⇒⋅⋅⋅=ϕL

EI11M dxMM

bEI31c

EI3b1b

ϕ=⇒

⋅=⋅⋅⋅=ϕ⇒ ϕ

Vereinfachtes System zur Berechnung der 2. Knickform

Normalkraftfreie Stäbe, oder Stäbe mit geringer Normalkraft lassen sich in vielen Fällen durch Rotations- oder Translationsfedern ersetzen.

Federermittlung für vorliegendes Beispiel z.B. mit Arbeitsgleichung:

Roik [1]

( ) ∫∫ ⋅⋅==ϕ⇒⋅⋅⋅=ϕL

EI11M dxMM

ϕ=⇒=⋅⋅=ϕ⇒ ϕ

Roik [1]

Typische Knickformen und Rückführung auf Einzelstäbe mit Endfedern bei Rahmen:

Die meisten üblichen Stabtragwerke

lassen sich auf den Einzelstab mit

Endfedern zurückführen, der somit

als „Grundsystem“ für das Systemknicken angesehen werden kann. Für seine „Grundfälle“ gibt es analytische Lösungen.

GGW am unteren Teilsystem:

Inhomogene DGL II. Ordnung:

Allgemeiner Lösungsansatz:

Lösung für den Grundfall mit 1 Drehfeder unten, 1 Wegfeder oben:

ϕ⋅−⋅⋅−⋅=⋅=

ϕ∑∑

cxfcwNM :MfcQ :H

''wEIM ⋅−=

w'' cxfcwNwEI ϕ⋅+⋅⋅=⋅+⋅ ϕ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )EIN :mit ...xM1xM1xM1xM

N1xcosCxsinCw 2

ungenentwicklTaylorreih als lLösungstei partikular

''''''6

lLösungstei ogenerhom

21 =α

α−⋅−⋅α⋅+⋅α⋅=

( ) ( )Nc

xNcfxcosCxsinCw w

21ϕ⋅ϕ

+⋅⋅

+⋅α⋅+⋅α⋅=

4 Unbekannte erfordern 4 Randbedingungen:

( ) ( ) ( )

0cLfcfN :0M .4Ncf0CC :0w .3

LNcfLcosCLsinC :fLw .2

0f1C0C :00w .1

=⋅ϕ+⋅⋅+⋅−=

ϕ=⋅+⋅α⋅−α⋅ϕ=

=⋅ϕ

+⋅⋅+⋅α⋅+⋅α⋅=

=⋅ϕ

+⋅+⋅+⋅=

( ) ( )

L L EI

Lcc EI

Lcc :nAbkürzunge

c11c100

c11c1cossin

⋅α=ε⋅ϕ=ϕ

−⋅ε

⊗ϕ⊗ϕ

⊗⊗ϕ

Homogene Lösung:

Knickbedingung:

Knicklängenbeiwert : für Eulerfall 2

( ) 0Adet =

( )⊗ϕ

⊗ϕ ε−+

1ctan 2

Petersen [4]

Elastisches Systemknicken – richtungstreue Systeme

Damit wird das Grundsystem für das Systemknicken durch den Eulerfall 2 ersetzt und der Eulerfall 2 zum generellen „Ersatzstab“.

Die wichtigsten Grundfälle findet man grafisch aufbereitet in Diagrammen zur Ermittlung von β, zum Beispiel:

Bei bestimmten Systemen treten im Nachbarzustand systembedingte zusätzliche Abtriebskräfte auf, welche die Knicklast beeinflussen.

verkleinert Abtrieb steigert Knicklast

steigert Abtrieb verringert Knicklast

Elastisches Systemknicken - Poltreue Systeme

Beispiel: Längswandverband der Halle

Ermittlung der Abtriebskraft Hstab,i

Bei mehreren zu stabilisierenden Stützen

iii,Stab

ii,StabiLager unteres

0LHfF :0M

=⋅−⋅=∑

∑∑ ∑ ⋅=⋅==i

iii,Stabres,Stab L

FfLfFHH

Beispiel: Längswandverband der Halle

Länge a der Pendelstütze:

Grundfall 1 Beispiel: Aussteifung der Längswand durch biegesteifen Rahmen

Grundfall 2

=⋅−⋅

PPP mit 21 =+

Ableitung der Knickbedingung

Biegemomente im Nachbarzustand:

Lösungsansatz:

Der poltreue Ersatzstab

Pol ( )

⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅=

aL211fNx

afNwNxM

'''wEIM ⋅−=

EIN2 =α

⋅+⋅⋅α+⋅⋅α−=⋅α+

aL211fx

Rcr222''

( ) ( )

⋅+⋅+⋅−⋅α⋅+⋅α⋅=

aL211fx

afxcosCxsinCw

Ableitung der Knickbedingung

Randbedingungen: ( )( )( ) fLw :3.Gl

00w :2.Gl

00w :1.Gl

( ) ( )

0LcosLsina

101aL21110

⋅α⋅αα⋅

Knickbedingung mit: επ

=β⋅α=ε L

( )RcrL21

Abminderung von Ncr Erhöhung von Ncr

Gefährlicher Bereich!

Die Knickbedingung lässt sich in Abhängigkeit der Längenverhältnisse a / graphisch darstellen: crl

Beispiel für gefährlichen Bereich poltreu:

Abschätzung der richtungstreuen Knicklänge mit Grundfall 2 (poltreue Knicklänge des Rahmens):

Beispiel für gefährlichen Bereich poltreu:

! m 20L

0,43,2 :

3121L21a

m 12Lm 10 :L

≥⇒

≤β≤β⇒

−≈⋅

≤≤

Inelastisches Knicken – mechanischer Hintergrund

schlanke Stütze

crL crL

mittelschlanke Stütze

schlanke Stütze

gedrungene Stütze

schlanke Stütze

gedrungene Stütze

schlanke Stütze

gedrungene Stütze

schlanke Stütze

Normierte Knickspannungskurven nach DIN EN 1993-1-1 (6.3.1)

DIN EN 1993-1-1 (Bild 6.4)

Normierte Größen:

Ersatzstabverfahren

Abminderungsfaktor

bez. Schlankheitsgrad

Trägheitsradius

Bezugsschlankheitsgrad

Zuordnung der Querschnittformen zu den Knickspannungskurven nach DIN EN 1993-1-1 (6.3.1.2)

Ablesung oder aus DIN formelmäßig

Tab. 6.2

⋅π=λ

λ⋅==λ

Reine Normalkraft – Ablauf des Verfahrens

2. Festlegung der maßgeblichen Knickspannungskurve und Ermittlung des Abminderungsfaktors

1. Ermittlung der Knicklänge Lcr = β ·L

Ersatzstabverfahren

3. Nachweis:

für Querschnittsklasse 1-3

λ⋅==λ

AA 0,1fA

=≤γ⋅⋅χ

[1] Roik – Vorlesungen über Stahlbau

Verlag Ernst und Sohn, 2. überarbeitete Auflage, 1983

[2] DIN EN 1993-1-1:

Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten

Beuth Verlag, 2005

[3] Petersen – Stahlbau

Vieweg, 3. Auflage, 2001

[4] Petersen – Statik und Stabilität der Baukonstruktionen

Vieweg, 2., durchgesehene Auflage, 1982

[5] Lindner und Gietzelt - Zweiachsige Biegung und Längskraft – ein ergänzter Bemessungsvorschlag

Stahlbau 9/1985

[6] Roik und Kindmann - Das Ersatzstabverfahren – Eine Nachweisform für den einfeldrigen Stab bei planmäßig einachsiger Biegung mit Druckkraft

Stahlbau 12/1981

[7] Roik und Kindmann - Das Ersatzstabverfahren – Tragsicherheitsnachweise für Stabwerke bei einachsiger Biegung und Normalkraft Stahlbau 5/1982

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