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Stahlbau Grundlagen

Der Grenzzustand der Stabilität: Einzelstab- und Systemknicken

Prof. Dr.-Ing. Uwe E. Dorka

Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 2

Eine Dachscheibe wird zum statischen System mit Lasten

Einführung


Ein möglicher Grenzzustand ist Einzelstabknicken

Einführung


Beobachtung im Versuch

Einführung


Stabilität ist Gleichgewicht im Nachbarzustand !!

Annahmen der elastischen Stabilitätstheorie in der Baustatik:

Geometrie:

Werkstoff: linear elastisch:

Gleichgewicht: Formulierung am System im Nachbarzustand: v ist sehr klein und unbestimmt

Elastisches Einzelstabknicken Einführungsbeispiel: starrer Stab mit Drehfeder

( )( )( ) ϕ=ϕ

=ϕϕ=ϕ

tan1cos

sin

ε⋅=σ E


Einführungsbeispiel: Starrer Stab mit Drehfeder

Elastisches Einzelstabknicken

1. Lösung (Triviallösung): 2. Lösung (Knicklast):

Werkstoff:

Geometrie: lv ⋅ϕ=

ϕ⋅= ϕϕ cM

GGW im Nachbarzustand:

( )ϕϕ −⋅⋅ϕ=⇔−⋅=⇔=∑ clN0MvN00M

0=ϕ

crNl

cN == ϕ


Knicklast der Kragstütze (Eulerfall 1)


Gleichgewicht im Nachbarzustand:

Elastizitätstheorie:

Homogene DGL II. Ordnung.

( ) ( )xMxwN0 0M −⋅=⇒=∑

( ) ''wEIxM ⋅−=

wNwEI0 '' ⋅+⋅=⇒


Lösung der homogenen DGL:

Eigenwert:

Lösungsansatz:

Einarbeitung der Randbedingungen:


0wEIwN '' =⋅+⋅

0wL

w EI

LN2

2''

22 =⋅

ε+

⋅=ε

⋅ε⋅

ε⋅−

⋅ε⋅

ε⋅=

⋅ε⋅

ε⋅−

⋅ε⋅

ε⋅=

⋅ε⋅+

⋅ε⋅=

Lxcos

LC

Lxsin

LCw

Lxsin

LC

Lxcos

LCw

LxcosC

LxsinCw

2

2

22

2

1''

21'

21

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )ε⋅⋅ε

=⇒≡

ε=⇒ε⋅=⇒≡

=⇒≡

cosCL

0 0Lw

sinfC sinCf fLw

0C 00w

1'

11

2


1. Lösung (Triviallösung): 2. Lösung für Knickbedingung:

hier: β = 2,0


Knicklast:

Knicklänge:

Knicklängenbeiwert:

( ) ( )

( )ε⋅ε⋅=

ε⋅ε

⋅ε

=

cotLf0

cossin

fL

0 ( )ε=sin

fC1

0=ε

( ) ;...2

5;2

3;2

0cot π⋅π⋅π=ε⇒=ε

222

2

cr LEI

L4EIN

EINL

2 ε⋅=

⋅π⋅

=⇒⋅=π

=ε

2cr

2

crEIN

lπ⋅

=

Lcr ⋅β=l

επ

=β


Elastisches Einzelstabknicken - Knickformen

Hinweis: Knickformen sind Schwingungsformen sehr ähnlich, da diese ebenfalls Eigenformen einer DGL 2. Ordnung sind. Schwingungen kann man sich meist gut vorstellen, deshalb auch Knickformen!

1.Knickform

maßgebend, da kleinste Knicklast!

2.Knickform

3.Knickform

Variable Knickform

⋅ε⋅+

⋅ε⋅=

LxcosC

LxsinCw 21

( ) 0C , sin

fC :mit 21 =ε

=

( )

ε

⋅ε

⋅=sin

Lxsin

fw

( )L2LL2

EIN

1,cr

2

2

1,cr

⋅=⋅π⋅

= ( )L66,0LL66,0

EIN

2,cr

2

2

2,cr

⋅=⋅π⋅

= ( )L4,0LL4,0

EIN

3,cr

2

2

3,cr

⋅=⋅π⋅

=


Roik [1]

Die Eulerfälle des Knickens

crNcrl1

2 crl

Der Knicklängenbeiwert β gestattet es, ein konkret vorliegendes Knickproblem auf das Knickproblem eines Ersatzstabes zurückzuführen. Als Ersatzstab wird der Eulerfall 2 herangezogen, bei dem β = 1,0 ist, also lcr = L.

cot


Elastisches Systemknicken - richtungstreue Systeme

Beispiel: Hallenrahmen



Antimetrisch Symmetrisch



1. Knickform - antimetrisch


2. Knickform - symmetrisch


1. Knickform - antimetrisch

Normalkraftverformungen bei Biegegliedern werden hier vernachlässigt, da sie viel kleiner als die Biegeverformungen sind.


Vereinfachtes System zur Berechnung der 1. Knickform

Normalkraftfreie Stäbe, oder Stäbe mit geringer Normalkraft lassen sich in vielen Fällen durch Rotations- oder Translationsfedern ersetzen.

Roik [1]

Federermittlung für vorliegendes Beispiel z.B. mit Arbeitsgleichung:



( ) ∫∫ ⋅⋅==ϕ⇒⋅⋅⋅=ϕL

2

LdxM

EI11M dxMM

EI1

bEI31c

EI3b1b

31

EI1 R

R

2

R

⋅=

ϕ=⇒

⋅=⋅⋅⋅=ϕ⇒ ϕ


Vereinfachtes System zur Berechnung der 2. Knickform

Normalkraftfreie Stäbe, oder Stäbe mit geringer Normalkraft lassen sich in vielen Fällen durch Rotations- oder Translationsfedern ersetzen.

Federermittlung für vorliegendes Beispiel z.B. mit Arbeitsgleichung:

Roik [1]



( ) ∫∫ ⋅⋅==ϕ⇒⋅⋅⋅=ϕL

2

LdxM

EI11M dxMM

EI1

bEI1c

EIb1b

EI1 R

R

2

R=

ϕ=⇒=⋅⋅=ϕ⇒ ϕ


Roik [1]

Typische Knickformen und Rückführung auf Einzelstäbe mit Endfedern bei Rahmen:

Die meisten üblichen Stabtragwerke

lassen sich auf den Einzelstab mit

Endfedern zurückführen, der somit

als „Grundsystem“ für das Systemknicken angesehen werden kann. Für seine „Grundfälle“ gibt es analytische Lösungen.



GGW am unteren Teilsystem:


Inhomogene DGL II. Ordnung:

Allgemeiner Lösungsansatz:


Lösung für den Grundfall mit 1 Drehfeder unten, 1 Wegfeder oben:

ϕ⋅−⋅⋅−⋅=⋅=

ϕ∑∑

cxfcwNM :MfcQ :H

w

w

''wEIM ⋅−=

( )

xM

w'' cxfcwNwEI ϕ⋅+⋅⋅=⋅+⋅ ϕ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )EIN :mit ...xM1xM1xM1xM

N1xcosCxsinCw 2

ungenentwicklTaylorreih als lLösungstei partikular

''''''6

''''4

''2

lLösungstei ogenerhom

21 =α

−+

α−

α−

α−⋅−⋅α⋅+⋅α⋅=

( ) ( )Nc

xNcfxcosCxsinCw w

21ϕ⋅ϕ

+⋅⋅

+⋅α⋅+⋅α⋅=


4 Unbekannte erfordern 4 Randbedingungen:


( )

( ) ( ) ( )

( )

0cLfcfN :0M .4Ncf0CC :0w .3

fNc

LNcfLcosCLsinC :fLw .2

0Nc

0f1C0C :00w .1

w0

w21

'

w21

21

=⋅ϕ+⋅⋅+⋅−=

ϕ=⋅+⋅α⋅−α⋅ϕ=

=⋅ϕ

+⋅⋅+⋅α⋅+⋅α⋅=

=⋅ϕ

+⋅+⋅+⋅=

ϕ

ϕ

ϕ

∑

( ) ( )

L L EI

Lcc EI

Lcc :nAbkürzunge

0f

C

C

c11c100

1c10

c11c1cossin

c1010

0cA

3w

w

2

1

2w2

w2

2w2

2

⋅α=ε⋅ϕ=ϕ

⋅=

⋅=

=

ϕ

⋅

⋅ε

−⋅ε

−⋅ε

ε

⋅ε

−⋅ε

εε

⋅ε

=⋅

⊗

⊗ϕ⊗ϕ

⊗⊗ϕ

⊗

⊗

⊗ϕ

⊗

⊗ϕ

Homogene Lösung:

Knickbedingung:

Knicklängenbeiwert : für Eulerfall 2

( ) 0Adet =

( )⊗ϕ

⊗ϕ ε−+

ε=

εε

c1

1ctan 2

2

επ

=β


Petersen [4]

Elastisches Systemknicken – richtungstreue Systeme

1.

2.

3.

Damit wird das Grundsystem für das Systemknicken durch den Eulerfall 2 ersetzt und der Eulerfall 2 zum generellen „Ersatzstab“.

Die wichtigsten Grundfälle findet man grafisch aufbereitet in Diagrammen zur Ermittlung von β, zum Beispiel:


Bei bestimmten Systemen treten im Nachbarzustand systembedingte zusätzliche Abtriebskräfte auf, welche die Knicklast beeinflussen.

verkleinert Abtrieb steigert Knicklast

steigert Abtrieb verringert Knicklast

Elastisches Systemknicken - Poltreue Systeme


Beispiel: Längswandverband der Halle


Ermittlung der Abtriebskraft Hstab,i

Bei mehreren zu stabilisierenden Stützen

iii,Stab

ii,StabiLager unteres

LfFH

0LHfF :0M

⋅=

=⋅−⋅=∑

∑∑ ∑ ⋅=⋅==i

i

iii,Stabres,Stab L

FfLfFHH


Beispiel: Längswandverband der Halle


Länge a der Pendelstütze:

Pol

Grundfall 1 Beispiel: Aussteifung der Längswand durch biegesteifen Rahmen

Grundfall 2

∑

∑

∑

=

=⋅−⋅

=

i

i

i

i

LF

Pa

0LFf

afP

0H

PPP mit 21 =+


Ableitung der Knickbedingung

Biegemomente im Nachbarzustand:


Lösungsansatz:

Der poltreue Ersatzstab

Pol ( )

⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅=

aL211fNx

afNwNxM

Rcr

'''wEIM ⋅−=

EIN2 =α

⋅+⋅⋅α+⋅⋅α−=⋅α+

aL211fx

afww

Rcr222''

( ) ( )

⋅+⋅+⋅−⋅α⋅+⋅α⋅=

aL211fx

afxcosCxsinCw

Rcr

21


Ableitung der Knickbedingung


Pol

Randbedingungen: ( )( )( ) fLw :3.Gl

00w :2.Gl

00w :1.Gl

'

'

=

=

=

( ) ( )

0

f

C

C

0LcosLsina

101aL21110

0cA

2

1

Rcr

=

⋅

⋅α⋅αα⋅

−

⋅+

=⋅

Knickbedingung mit: επ

=β⋅α=ε L

( )RcrL21

a1

1tan

⋅+

=ε

ε


Abminderung von Ncr Erhöhung von Ncr

Gefährlicher Bereich!


Die Knickbedingung lässt sich in Abhängigkeit der Längenverhältnisse a / graphisch darstellen: crl


Beispiel für gefährlichen Bereich poltreu:



Abschätzung der richtungstreuen Knicklänge mit Grundfall 2 (poltreue Knicklänge des Rahmens):

Beispiel für gefährlichen Bereich poltreu:


! m 20L

0,43,2 :

3121L21a

m 12Lm 10 :L

Pcr

Rcr

Rcr

Rcr

≥⇒

≤β≤β⇒

−≈⋅

≤≤

crL


Inelastisches Knicken – mechanischer Hintergrund

schlanke Stütze

schlanke Stütze

crL

N

crL

crL



schlanke Stütze

schlanke Stütze

crL

N

crL crL

mittelschlanke Stütze

schlanke Stütze




N

crL


schlanke Stütze




N

crL

gedrungene Stütze



gedrungene Stütze

N


schlanke Stütze

crL



schlanke Stütze


gedrungene Stütze

crL

gedrungene Stütze


schlanke Stütze

N

crL

crL

crL


Normierte Knickspannungskurven nach DIN EN 1993-1-1 (6.3.1)

DIN EN 1993-1-1 (Bild 6.4)

Normierte Größen:

Ersatzstabverfahren

Abminderungsfaktor

bez. Schlankheitsgrad

Trägheitsradius

Bezugsschlankheitsgrad

Zuordnung der Querschnittformen zu den Knickspannungskurven nach DIN EN 1993-1-1 (6.3.1.2)

Ablesung oder aus DIN formelmäßig

Tab. 6.2

y1

1

cr

pl

pl

fE

AIi

:mit

iL

NN

NN

⋅π=λ

=

λ⋅==λ

=κ


Reine Normalkraft – Ablauf des Verfahrens

2. Festlegung der maßgeblichen Knickspannungskurve und Ermittlung des Abminderungsfaktors

1. Ermittlung der Knicklänge Lcr = β ·L

Ersatzstabverfahren

3. Nachweis:

χ

χ

λ

für Querschnittsklasse 1-3

1

cr

pl iL

NN

λ⋅==λ

AA 0,1fA

Neff

myeff

Ed

1

=≤γ⋅⋅χ


[1] Roik – Vorlesungen über Stahlbau

Verlag Ernst und Sohn, 2. überarbeitete Auflage, 1983

[2] DIN EN 1993-1-1:

Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten

Beuth Verlag, 2005

[3] Petersen – Stahlbau

Vieweg, 3. Auflage, 2001

[4] Petersen – Statik und Stabilität der Baukonstruktionen

Vieweg, 2., durchgesehene Auflage, 1982

[5] Lindner und Gietzelt - Zweiachsige Biegung und Längskraft – ein ergänzter Bemessungsvorschlag

Stahlbau 9/1985

[6] Roik und Kindmann - Das Ersatzstabverfahren – Eine Nachweisform für den einfeldrigen Stab bei planmäßig einachsiger Biegung mit Druckkraft

Stahlbau 12/1981

[7] Roik und Kindmann - Das Ersatzstabverfahren – Tragsicherheitsnachweise für Stabwerke bei einachsiger Biegung und Normalkraft Stahlbau 5/1982

Referenzen

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